Chủ đề 4-Toán 9. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình TXBM

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (432.78 KB, 11 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chuyên đề ôn tập:

GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƢƠNG TRÌNH,

HỆ PHƢƠNG TRÌNH

A/ KIẾN THỨC:

* Các bước giải tốn bằng cách lập phương trình. 
+ Bƣớc 1 : Lập phƣơng trình.

- Chọn ẩn, xác định đơn vị và điều kiện thích hợp cho ẩn.
- Biểu diễn đại lƣợng chƣa biết theo ẩn và đại lƣợng đã biết.

- Lập phƣơng trình dựa theo mối quan hệ giữa các đại lƣợng vừa biểu diễn.
+ Bƣớc 2 : Giải phƣơng trình.

+ Bƣớc 3 : Chọn giá trị thỏa điều kiện và trả lời.
* Cấu trúc cơ bản để lập phƣơng trình:

+ Nếu hai đại lƣợng hơn kém nhau về độ lớn thì: “Lớn – nhỏ = phần hơn”

+ Nếu cho biết tổng hai đại lƣợng thì: “Đại lượng thứ nhất + Đại lượng thứ hai = Tổng”
B/ CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP:

I. TOÁN LẬP PHƢƠNG TRÌNH:

1/ TỐN VỀ QUAN HỆ GIỮA CÁC SỐ:
 + Kiến thức cần nhớ:

. Biểu diễn số tự nhiên dƣới dạng tổng:

10 0 9 0 9

ab .a b (  a ;  b ;a,b N)

100 10 0 9 0 9 9

abc .a .b c (  a ;  b ;c ;a,b,c N)
. Hai số tự nhiên liên tiếp: Hơn kém nhau 1 đơn vị.

. Hai số chẵn liên tiếp (hai số lẽ liên tiếp): Hơn kém nhau 2 đơn vị.
+ Các ví dụ:

Ví dụ Bài tập tƣơng tự

* Ví dụ 1: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tổng
các bình phƣơng của nó là 85.

Giải.

Gọi số tự nhiên thứ nhất là x (x0,x N)
Số tự nhiên liền sau là x + 1.

Vì tổng các bình phƣơng của nó là 85
nên ta có phƣơng trình:

2 2

1 85

2 2 84 0

x (x )

x x

  
   

Giải phƣơng trình đƣợc: x1 = 6,

x2 = - 7 (không thỏa đk)

Vậy hai số tự nhiên cần tìm là 6 và 7.

* Ví dụ 2: Cho một số có hai chữ số. Tổng hai
chữ số của chúng bằng 10. Tích hai chữ số ấy nhỏ
hơn số đã cho là 12. Tìm số đã cho.

Giải.

Gọi chữ số hàng chục là x (0 x 9)

Chữ số hàng đơn vị là 10 – x
Tích hai chữ số đó là x(10 – x).

Số đã cho là 10x(  x) x.10 10  x 9x10

Ta có phƣơng trình: 9x + 10 - x.(10 – x) = 12
x2  x 2 0

Giải phƣơng trình đƣợc: x1 = 2,

x2 = - 1(không thỏa đk)

Vậy chữ số hàng chục là 2, chữ số hàng đơn vị là 8

* Mức độ cơ bản:

1/ Tìm hai số, biết hiệu của chúng là 7 và tổng
bình phƣơng hai số đó là 289.

2/ Tích của hai số liên tiếp lớn hơn tổng của
chúng là 109. Tìm hai số đó.

3/ Tìm một số biết rằng số đó nhỏ hơn số
nghịch đảo của nó là 2,1.

* Mức độ nâng cao:

1/ Tìm số tự số tự nhiên có hai chữ số, biết
rằng tổng các chữ số của nó bằng 13 và nếu
cộng 34 vào tích của hai chữ số đó thì đƣợc
chính số đó.

2/ Một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ
số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2
và số đó lớn hơn tổng các bình phƣơng các

chữ số của nó là 1.

3/ Một phân số có tử số lớn hơn mẫu số là 3
đơn vị và phân số đó lớn hơn phân số nghịch
đảo của nó thì bằng 33

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

 Số đã cho là 28.

2/ TỐN CĨ NỘI DUNG HÌNH HỌC:
 + Kiến thức cần nhớ:

- Diện tích hình chữ nhật S = a.b ( a là chiều rộng; b là chiều dài)
- Diện tích tam giác 1

S a.h(a là độ dài cạnh, h là chiều cao tƣơng ứng)
- Định lý Pitago : a2 = b2 + c2 (a là cạnh huyền; c,b là hai cạnh góc vng)
- Số đƣờng chéo của một đa giác 3

n(n )

(n là số đỉnh)

Ví dụ Bài tập tƣơng tự

* Ví dụ 1: Cạnh huyền của một tam góc vng
bằng 5 m. Hai cạnh góc vng hơn kém nhau 1m.

Tính các cạnh góc vng của tam giác vng đó.

Giải.

Gọi cạnh góc vng thứ nhất là x (m) (5 > x > 0)
Cạnh góc vng thứ hai là x + 1 (m)

Vì cạnh huyền bằng 5m nên theo định lý Pi-ta-go
ta có phƣơng trình:

x2 + (x + 1)2 = 52
x2 x 120

Giải phƣơng trình đƣợc: x1 = 3,

x2 = - 4(không thỏa đk)

Vậy hai cạnh góc vng của tam giác đó là 3 (m)
và 4 (m)

* Mức độ cơ bản:

1/ Một miếng đất hình chữ nhật có chiều dài
hơn chiều rộng 5m. Tính chu vi của hình chữ
nhật, Biết diện tích của miếng đất đó là
500m2.

2/ Cạnh huyền của một tam giác vng bằng
10 m. Hai cạnh góc vng hơn kém nhau 2m.
Tìm các cạnh góc vng của tam giác đó.

3/ Chiều cao ứng với một cạnh của tam giác
bằng 3

4 cạnh đó. Nếu chiều cao tăng thêm
3cm và cạnh đó giảm 5cm thì diện tích của
tam giác bằng 9

10 diện tích ban đầu. Tính
cạnh và chiều cao của tam giác ban đầu.
* Mức độ nâng cao:

1/ Chiều cao của một tam giác vuông là 2,4m
chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng hơn
kém nhau 1,4m. Tính độ dài cạnh huyền của
tam giác vng.

2/ Tính các kích thƣớc của hình chữ nhật có
chu vi bằng 120m và diện tích bằng 875m2

.
3/ TỐN VỀ CHUYỂN ĐỘNG, TOÁN VỀ LÀM VIỆC:

+ Kiến thức cần nhớ:

- Nếu gọi quảng đƣờng là s; vận tốc là v; thời gian là t thì: s = v.t; v s; t s

t v

  .
- Nếu vận tốc thực của ca nô là v1 vận tốc dịng nƣớc là v2 thì vận tốc ca nơ khi xi

dịng nƣớc là v = v1 + v2. Vân tốc ca nơ khi ngƣợc dịng là v = v1 – v2.

+ Hƣớng dẫn học sinh tìm hiểu và tóm tắt đề toán. 
- Tìm hiểu đề:

. Xác định hai đối tƣợng (hoặc hai tình huống) của bài toán.
. Xác định các đại lƣợng của mỗi đối tƣợng (hoặc tình huống):
- Đại lƣợng nào đã biết?

- Đại lƣợng nào đề hỏi?

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Đại lƣợng
Đối tƣợng (tình huống)

Q.đƣờng
(Công việc)

Vận tốc

(Vận tốc làm việc) Thời gian
Xe 1 (Kế hoạch/tình huống 1)

Xe 2 (Thực tế/tình huống 2)

Ví dụ Bài tập tƣơng tự

* Ví dụ 1: Hai ơ tơ khởi hành cùng một lúc đi từ A
đến B cách nhau 100km. Mỗi giờ tô thứ nhất chạy
nhanh hơn ô tô thứ hai 20 km nên ôtô thứ nhất đến B

trƣớc ô tô thứ hai 25 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.
+ Tìm hiểu đề:

- Hai đối tƣợng: Ơtơ 1, ơtơ 2.

- Các đại lƣợng: q.đường, v.tốc, thời gian
. Đại lƣợng đã biết: quãng đường.
. Đại lƣợng đề hỏi: vận tốc.

. Đại lƣợng ta dựa vào để lập pt: thời gian.
 + Tóm tắt đề:

s v t

Ơ tơ 1 100 x 100

Ơ tơ 2 100 x – 20 100

x20
Giải.

Gọi vận tốc ô tô thứ nhất là x km/h (x > 0)
Vận tốc ô tô thứ nhất là (x - 20) km/h
Thời gian ô tố thứ nhất đi từ A  B là 100

x
 Thời gian ô tố thứ hai đi từ A  B là 100

x20
 Theo đề bài ta có phƣơng trình:

100
x20 -

100
x =

5
12

Giải phƣơng trình ta đƣợc: x1 = 80 (nhận)

x2 = - 60 (loại)

Vậy: - Vận tốc ô tô thứ nhất là 80 km/h
- Vận tốc ô tô thứ hai là 60 km/h

* Mức độ cơ bản:

1/ Bác Hai và cô bảy đi xe đạp từ huyện lên
tỉnh trên quãng đƣờng dài 30km, khởi hành
cùng một lúc. Vận tốc xe của bác hai lớn
hơn vận tốc của cô Bảy là 3km/h nên bác
Hai đã đến trƣớc cơ Bảy nửa giờ. Tính vận
tốc của mỗi ngƣời.

2/ Một bè gỗ đƣợc thả trơi trên dịng sông
Sêrêpôk. Sau khi bè trôi đƣợc 5h20’, một

xuồng máy bắt đầu xuất phát từ vị trí bè trơi.
Sau khi xuồng máy đi đƣợc 20km thì bắt kịp
bè gỗ. Tính vận tốc của bè gỗ, biết rằng vận
tốc của xuồng máy hơn vận tốc của bè là
12km/h.

3/ Một công nhân phải làm 420 dụng cụ. Do
mỗi ngày ngƣời đó tăng năng suất 5 dụng cụ
nên đã hồn thành cơng việc sớm 7 ngày.
Tính số ngày ngƣời đó đã làm.

* Mức độ nâng cao:

1/ Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là
30 km. Một ca nô đi từ A đến B, nghỉ 40
phút ở B, rồi trở về bến A. Thời gian kể từ
lúc đi đến lúc trở về đến bến A là 6 giờ.
Tính vận tốc của canơ trong nƣớc n lặng,
biết vận tốc của dòng nƣớc là 3 km/h.
2/ Một ô tô đi trên quãng đƣờng dài 150 km
với một thời gian đã định. Sau khi đi đƣợc

2quãng đƣờng, ơ tơ dừng lại 10 phút, do đó
để đến B đúng hẹn, xe phải tăng vận tốc
thêm 5 km/h trên qng đƣờng cịn lại. Tính
vận tốc dự định của ơtơ.

4/ TỐN NĂNG SUẤT: (LÀM CHUNG, LÀM RIÊNG, VÕI NƢỚC CHẢY ...)
 + Kiến thức cần nhớ:

- Tổng khối lượng công việc = năng suất . thời gian.

- Nếu một đội làm xong công việc trong x giờ thì mỗi giờ đội đó làm được 1

x c.việc. 
- Xem tồn bộ cơng việc là 1 (100%)

+ Chú ý:

- Nếu hai đối tượng cùng làm một công việc mà thời gian của hai đối tượng này 
phụ thuộc vào nhau thì ta nên chọn một ẩn là thời gian để lập phương trình bậc hai.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Ví dụ Bài tập tƣơng tự 
* Ví dụ 1: Hai đội cùng đào một con mƣơng thì

sau 2 giờ 55 phút thì xong việc. Nếu họ làm riêng
thì đội I hồn thành công việc nhanh hơn đội II là
2 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm
trong bao nhiêu giờ thì xong cơng việc?

Giải.

Ta có 2 giờ 55 phút =255 35
6012 (giờ)

Gọi thời gian đội 1 làm một mình xong cơng việc
là x (giờ)(x > 35

12)

 thời gian đội 2 làm một mình xong cơng việc là
x + 2 (giờ)

Mỗi giờ đội 1 làm đƣợc 1

x công việc.

Mỗi giờ đội 2 làm đƣợc 1
2

x công việc.

Vì cả hai đội thì sau 2 giờ 55 phút
=255 35

6012(giờ) xong.
Trong 1 giờ cả hai đội làm đƣợc 12

35 công việc
Theo đề bài ta có phƣơng trình 1 1 12

2 35

x x  

6x223x350
Giải phƣơng trình đƣợc: x1 = 5 (thỏa mãn)

x2 = - 2 (loại)

Vậy: Đội thứ nhất hồn thành cơng việc trong 5 giờ.
Đội hai hoàn thành công việc trong 7 giờ.

* Mức độ cơ bản:

1/ Hai đội công nhân cùng làm một công việc
thì xong trong 2 giờ. Biết rằng thời gian để đội
thứ nhất làm một mình xong cơng việc ít hơn
thời gian để đội thứ hai làm một mình xong
cơng việc đó là 3 giờ. Tính thời gian để mỗi
đội làm một mình xong cơng việc.

2/ Nếu mở cả hai vòi nƣớc chảy vào một bể
nƣớc cạn thì sau 2 giờ 55 phút đầy bể. Nếu
mở riêng từng vịi thì vịi thứ nhất chảy đầu bể
nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu mở
riêng từng vịi thì mỗi vòi chảy bao lâu đầy
bể.

* Mức độ nâng cao:

1/ Một công việc nếu giao cho hai đội cơng
nhân làm riêng thì thời gian tổng cộng hai đội
pahỉ làm là 20 giờ. Nếu làm chung thì hai đội
làm xong cơng việc trong 4 giờ 48 phút. Hỏi
nếu là riêng thì mỗi đội hồn thành cơng việc
đó trong bao lâu?

2/ Hai đội cơng nhân cùng làm một qng
đƣờng thì 12 ngày xong việc. Nếu đội thứ
nhất làm một mình hết nửa công việc, rồi đội
thứ hai tiếp tục làm một mình nột phần việc
cịn lại thì hết tất cả 25 ngày. Hỏi mỗi đội làm
một mình thì bao lâu xong việc.

I. TỐN LẬP HỆ PHƢƠNG TRÌNH:

1/ TỐN VỀ QUAN HỆ GIỮA CÁC SỐ:

Ví dụ Bài tập tƣơng tự

* Ví dụ 1: Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi
chổ hai chữ số của nó thì đƣợc một số lớn hơn số
đã cho là 63, Tổng của số đã cho và số mới tạo
thành bằng 99. Tìm số đã cho.

Giải.

Gọi chữ số hàng chục là x (0 x 9)
Gọi chữ số hàng đơn vị là y (0 y 9)

 Số đã cho là xy10x y
Số sau khi đổi chổ yx10y x

Vì số sau khi đổi chổ lớn hơn số đã cho là 63.
Ta có phƣơng trình: 10y + x - (10x + y) = 63
- x + y = 7

Lại có tổng của hai số đó là 99.

* Mức độ cơ bản:

1/ Tìm một phân số, biết rằng nếu thêm 3 vào tử
và thêm 3 vào mẫu thì phân số mới bằng 9

10,
nếu bớt 3 ở tử và bớt 3 ở mẫu thì phân số mới
bằng 6

2/ Có hai ngăn sách, số sách ở ngăn trên bằng 1
5
số sách ở ngăn dƣới. Nếu thêm 25 cuốn vào
ngăn trên và bớt 15 cuốn ở ngăn dƣới thì số
sách ngăn trên bằng 2

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Ta có phƣơng trình: 10x + y + 10y + x = 99
x + y = 9

Theo đề ta có hệ phƣơng trình: 7
9
x y
x y
  

  



Giải hệ đƣợc 1
8
x
y


 


Vậy số đã cho là 18.

số sách mỗi ngăn lúc đầu.
* Mức độ nâng cao:

1/ Tìm một số có hai chữ số, biết rằng 2 lần chữ
số hàng chục lớn hơn 5 lần chữ số hàng đơn vị
là 1 và chữ số hàng chục chia cho chữ số hàng
đơn vị đƣợc thƣơng là 2 và dƣ cũng là 2.
2/ Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng
chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là
2 và nếu viết xen chữ số 0 vào giữa chữ số hàng
chục và chữ số hàng đơn vị thì số tự nhiên đ1o
tăng thêm 630 đơn vị.

2/ TỐN VỀ CHUYỂN ĐỘNG.

Ví dụ Bài tập tƣơng tự

* Ví dụ 1: Một ngƣời đi từ A đến B gồm quãng
đƣờng AC và quãng đƣờng CB hết thời gian 4
giờ 20 phút. Tính quãng đƣờng AC, CB biết rằng
vận tốc của ngƣời đó trên AC là 30 km và trên
CB là 20 km và quãng đƣờng AC ngắn hơn
quãng đƣờng CB là 20 km.

Giải.

Gọi độ dài quãng đƣờng AC là x (km) (x > 0)
Gọi độ dài quãng đƣờng CB là y (km) (y > 20)
Vì quãng đƣờng AC ngắn hơn quãng đƣờng CB
là 20 km. Ta có pt: y – x = 20

Thời gian đi trên AC là
30

(giờ)
Thời gian đi trên CB là

(giờ)

Thời gian tổng cộng là 4 giờ 20 phút = 41
3 (giờ)

Ta có phƣơng trình 41

30 20 3

x y

 

Ta có hệ phƣơng trình:

20
1
4

30 20 3

y x
x y
 


  


Giải hệ đƣợc 40
60
x
y



 

 (thỏa điều kiện)

Vậy: Quãng đƣờng AC là 40 km.
Quãng đƣờng CB là 60 km.

* Mức độ cơ bản:

1/ Một ôtô đi quãng đƣờng AB với vận tốc 50
km/h, rồi đi tiếp quãng đƣờng BC với vận tốc
45 km/h, biết quãng đƣờng tổng cộng dài 165
km và thời gian ôtô đi trên AB ít hơn thời gian
đi trên BC là 30 phút. Tính thời gian ơtơ đi trên
mỗi đoạn đƣờng AB, BC.

2/ Một canô đi từ A đến B với vận tốc và thời
gian dự định. Nếu canơ tăng vận tốc 3 km/h thì
thời gian rút ngắn đƣợc 2 giờ. Nếu canô giảm
vận tốc 3 km/ h thì thời gian tăng thêm 3 giờ.
Tính vận tốc và thời gian canơ dự định đi từ A
đến B.

* Mức độ nâng cao:

1/ Một ngƣời đi xe đạp từ A đến B gồm đoạn
lên dốc AC và đoạn xuống dốc CB. Thời gian đi
từ A đến B mất 4 giờ 20 phút, thời gian về từ B
đến A là 4 giờ. Biết rằng vận tốc lên dốc (lúc đi
cũng nhƣ lúc về) là 10 km/h, vận tốc xuống dốc

(lúc đi cũng nhƣ lúc về) là 15 km/h . Tính quãng
đƣờng AC và CB.

2/ Quãng đƣờng AB gồm đoạn lên dốc dài 4 km
và đoạn xuống dốc dài 5 km. Một ngƣời đi xe
đạp từ A đến B hết 40 phút và về B đến A hết
41 phút (vận tốc lên dốc lúc đi và lúc về bằng
nhau, vận tốc xuống dốc lúc đi và lúc về bằng
nhau). Tính vận tốc lên dốc và vận tốc xuống
dốc.

3/ TOÁN VỀ NĂNG SUẤT. (LÀM CHUNG, LÀM RIÊNG, VÕI NƢỚC CHẢY ...)

Ví dụ Bài tập tƣơng tự

* Ví dụ 1: Hai vịi nƣớc cùng chảy vào một bể
cạn thì sau 4 giờ 48 phút bể đầy. Nếu vòi 1 chảy
trong 4 giờ, vòi 2 chảy trong 3 giờ thì cả hai
chảy đƣợc 3

4bể. Tính thời gian để mỗi vịi chảy

* Mức độ cơ bản:

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

một mình đầy bể.
Giải.

Ta có 4 giờ 48 phút = 448 24
60  5 giờ

Gọi thời gian để vịi 1 chảy một mình đầy bể là x
(giờ)(x > 24

5 )

Gọi thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là y
(giờ) (y > 24

5 )

Mỗi giờ vòi 1 chảy đƣợc 1

x (bể).

Mỗi giờ vòi 2 chảy đƣợc 1

y (bể).

Vì cả hai vịi cùng chảy thì sau 4 giờ 48 phút
=448 24

60  5 (giờ) đầy bể.
Mỗi giờ cả 2 vòi chảy đƣợc 1 24 5

5 24

:  (bể).
Theo đề bài ta có phƣơng trình 1 1 5

x y 

Vì vịi 1 chảy trong 4 giờ, vịi 2 chảy trong 3 giờ
thì cả hai chảy đƣợc 3

4bể ta có phƣơng trình
4 3 3

x y 

Theo đề ta có hệ phƣơng trình

1 1 5

4 3 3

x y
x y

  




  


Giải hệ phƣơng trình đƣợc: 8
12

x
y



 

 (thỏa đk)

Vậy: thời gian để vịi 1 chảy một mình đầy bể là
8 (giờ), thời gian để vịi 2 chảy một mình đầy bể
là 12 (giờ).

cả hai xây đƣợc 3

4bức tƣờng. Hỏi mỗi ngƣời
làm một mình thì bao lâu xong việc.

2/ Hai công nhân cùng sơn cửa cho một cơng
trình trong 4 ngày thì xong. Nếu ngƣời thứ nhất
làm một mình trong 9 ngày rồi ngƣời thứ hai

đến cùng làm tiếp trong một ngày nữa thì xong
viêc. Hỏi mỗi ngƣời làm một mình thì bao lâu
xong việc.

* Mức độ nâng cao:

1/ Hai cần cẩu lớn bốc dỡ một lô hàng ở cảng
Sài Gịn, Sau 3 giờ có thêm 5 cần cẩu bé (công
suất bé hơn) cùng làm việc. Cả 7 cần cẩu làm
việc trong 3 giờ nữa thì xong. Hỏi mỗi cần cẩu
làm việc một mình thì bao lâu xong việc, biết
rằng nếu cả bảy cần cẩu cùng làm việc từ đầu
thì trong 4 giờ xong việc.

C/ TÓM TẮT BÀI GIẢI CÁC BÀI TẬP: 
 I. TOÁN LẬP PHƢƠNG TRÌNH:

1/ TỐN VỀ QUAN HỆ GIỮA CÁC SỐ:
 * Mức độ cơ bản:

1/ Tìm hai số, biết hiệu của chúng là 7 và tổng bình phương hai số đó là 289. 
Giải.

Gọi số nhỏ là x (x R) thì số lớn là x + 7
Phƣơng trình: 2 2

7 289

(x ) x 

Giải phƣơng trình đƣợc: x1 = - 15, x2 = 8

Vậy hai số phải tìm là – 15 và – 8 ; hoặc 8 và 15.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Gọi số nhỏ là x (x R) thì số lớn là x + 1
Phƣơng trình: x(x + 1) – (x + x + 1) = 109
x2 x 1100

Giải phƣơng trình đƣợc: x1 =

5
2

 , x2 =

5
2
Vậy số phải tìm là 5

 ; hoặc 5
2

3/ Tìm một số biết rằng số đó nhỏ hơn số nghịch đảo của nó là 2,1. 
Giải.

Gọi số phải tìm là x (xR,x0) thì số nghịch đảo của nó là 1

Phƣơng trình: 1 2

2 1 10 21 10 0

x , x x

x     

Giải phƣơng trình đƣợc: x1 = 11, x2 = -10

Vậy hai số phải tìm là 11 và 12; hoặc – 10 và – 9.

* Mức độ nâng cao:

1/ Tìm số tự số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 13 và nếu 
cộng 34 vào tích của hai chữ số đó thì được chính số đó.

Giải.

Gọi chữ số hàng chục là x (0 x 9) thì chữ số hàng đơn vị là 13 – x
Phƣơng trình: x(13 – x) + 34 = 10x + (13 – x) 2

4 21 0

x x

   

Giải phƣơng trình đƣợc: x1 = 7, x2 = - 3 (loại)

Vậy hai số phải tìm là 76.

2/ Một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị 
là 2 và số đó lớn hơn tổng các bình phương các chữ số của nó là 1.

Giải.

Gọi chữ số hàng đơn vị là x 0(  x 9) thì chữ số hàng chục là x + 2
Phƣơng trình: 10(x + 2) + x = x2

+ (x + 2)2 + 1
2x2 7x150

Giải phƣơng trình đƣợc: x1 =

2 (loại) , x2 = 5
Vậy hai số phải tìm là 75.

3/ Một phân số có tử số lớn hơn mẫu số là 3 đơn vị và phân số đó lớn hơn phân số nghịch 
đảo của nó thì bằng 33

28. 
Giải.

Gọi mẫu số là x (x0,x Z ) thì tử số là x + 3

Phƣơng trình: 3 33

3 28

x x

  



2x 7x 15 0

   
Giải phƣơng trình đƣợc: x1 = 4, x2 =

21
11

 (loại)
Vậy phân số phải tìm là 7

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

* Mức độ cơ bản:

1/ Một miếng đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 5m. Tính chu vi của hình

chữ nhật, Biết diện tích của miếng đất đó là 500m2

. 
Giải.

Gọi chiều dài của mảnh đất là x (m) (x > 0)

Chiều rộng của mảnh đất là x – 5 (m)
Phƣơng trình: x.(x – 5) = 500 2

5 500 0

x x

   
Giải phƣơng trình đƣợc: x1 = 25, x2 = - 20 (loại)

Vậy: Chu vi mảnh đất là (25 + 20).2 = 90 m

2/ Cạnh huyền của một tam giác vng bằng 10 m. Hai cạnh góc vng hơn kém nhau 
2m. Tìm các cạnh góc vng của tam giác đó.

Giải.

Gọi cạnh góc vng thứ nhất là x (m) (10 > x > 0)
Cạnh góc vng thứ hai là x + 2 (m)

Vì cạnh huyền bằng 10 m nên theo định lý Pi-ta-go ta có phƣơng trình:
x2 + (x + 2)2 = 102

x2 x 120

Giải phƣơng trình đƣợc: x1 = 6,

x2 = - 8(không thỏa đk)

Vậy hai cạnh góc vng của tam giác đó là 6 (m) và 8 (m)
3/ Chiều cao ứng với một cạnh của tam giác bằng 3

4 cạnh đó. Nếu chiều cao tăng thêm 
3cm và cạnh đó giảm 5cm thì diện tích của tam giác bằng 9

10 diện tích ban đầu. Tính cạnh và 
chiều cao của tam giác ban đầu.

Giải.

Gọi cạnh của tam giác là x (cm) (x > 0)
Chiều cao tƣơng ứng là 3

4 x (m)
Nếu chiều cao khi tăng 3 cm ta đƣợc 3

4x + 3
Cạnh giảm 5 cm ta đƣợc x – 5

Phƣơng trình: (3

4x + 3)(x - 5) =
9

10.

2
3
4x
x210x2000
Giải phƣơng trình đƣợc: x1 = 20,

x2 = - 10(khơng thỏa đk)

Vậy cạnh của tam giác đó là 20 (cm) và chiều cao tƣơng ứng là 15 (cm)
 * Mức độ nâng cao:

1/ Chiều cao của một tam giác vuông là 2,4m chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng hơn 
kém nhau 1,4m. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác vng.

Giải.

Gọi độ dài đoạn thẳng nhỏ hơn là x (m) (x > 0)
Chiều dài đoạn thẳng còn lại là x + 1,4 (m)
Phƣơng trình: x(x + 1,4) = 2,42

25x235x1440
Giải phƣơng trình đƣợc: x1 =

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

x2 =

 (không thỏa đk)

Vậy độ dài đoạn thẳng nhỏ hơn là 1,8 (m) nên độ dài đoạn thẳng lớn hơn là 1,8 + 1,4 = 3,2(m)
nên độ dài cạnh huyền của tam giác vng đó là 5 m

2/ Tính các kích thước của hình chữ nhật có chu vi bằng 120m và diện tích bằng 875m2
. 
Giải.

Gọi độ dài một cạnh là x (m) (x > 0)

 độ dài cạnh còn lại là 60 – x (m)
Phƣơng trình: x(60 – x ) = 875

60 875 0

x x

   

Giải phƣơng trình đƣợc: x1 = 35,

x2 = 25

Vậy hai kích thƣớc của hình chữ nhật đó là 35 và 25 (m)

3/ TOÁN VỀ CHUYỂN ĐỘNG, TOÁN VỀ LÀM VIỆC:
 * Mức độ cơ bản:

1/ Bác Hai và cô Bảy đi xe đạp từ huyện lên tỉnh trên quãng đường dài 30km, khởi hành 
cùng một lúc. Vận tốc xe của Bác Hai lớn hơn vận tốc của cô Bảy là 3km/h nên bác Hai đã đến 
trước cơ Bảy nửa giờ. Tính vận tốc của mỗi người.

Giải.

Gọi vận tốc của Bác Hai là x km/h (x > 0)
Vận tốc của cô Bảy là (x - 3) km/h

Thời gian Bác Hai đi từ huyện lên tỉnh là 30
x
 Thời gian Cô Bảy đi từ huyện lên tỉnh là 30

x3
 Theo đề bài ta có phƣơng trình:

30
x3 -

30
x =

1
2
2

3 180 0

x x

   
Giải phƣơng trình ta đƣợc: x1 = 15 (nhận)

x2 = - 12 (loại)

Vậy: - Vận tốc vận tốc của Bác Hai là 15 km/h
- Vận tốc của cô Bảy là 12 km/h

2/ Một bè gỗ được thả trơi trên dịng sơng Sêrêpơk. Sau khi bè trôi được 5h20’, một xuồng 
máy bắt đầu xuất phát từ vị trí bè trơi. Sau khi xuồng máy đi được 20km thì bắt kịp bè gỗ. Tính 
vận tốc của bè gỗ, biết rằng vận tốc của xuồng máy hơn vận tốc của bè là 12km/h.

Giải.

Gọi vận tốc của bè gỗ là x km/h (x > 0)
Vận tốc của xuồng máy là (x + 12) km/h
Theo đề bài ta có phƣơng trình: 20

x - 
20
x 12 =

16
3
2

12 45 0

x x

   

Giải phƣơng trình ta đƣợc: x1 = 3 (nhận)

x2 = - 15 (loại)

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

3/ Một công nhân phải làm 420 dụng cụ. Do mỗi ngày người đó tăng năng suất 5 dụng cụ 
nên đã hồn thành cơng việc sớm 7 ngày. Tính số ngày người đó đã làm.

Giải.

Gọi số ngày ngƣời đó đã làm là x ngày (x > 0)
Theo đề bài ta có phƣơng trình: 420 420 5

x x7 
2

7 588 0

x x

   
Giải phƣơng trình ta đƣợc: x1 = 21 (nhận)

x2 = - 28 (loại)

Vậy số ngày ngƣời đó đã làm là 21 ngày.

* Mức độ nâng cao:

1/ Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30 km. Một ca nô đi từ A đến B, nghỉ 40 
phút ở B, rồi trở về bến A. Thời gian kể từ lúc đi đến lúc trở về đến bến A là 6 giờ. Tính vận tốc 
của canơ trong nước yên lặng, biết vận tốc của dòng nước là 3 km/h.

Giải.

Gọi vận tốc của canô trong nƣớc yên lặng là x km/h (x > 3)
Theo đề bài ta có phƣơng trình: 30 30 2 6

x3x3 3
2

45 36 0

x x

   
Giải phƣơng trình ta đƣợc: x1 = 12 (nhận)

x2 =

3
4

 (loại)

Vậy vận tốc của canô trong nƣớc yên lặng là 12 km/h

2/ Một ô tô đi trên quãng đường dài 150 km với một thời gian đã định. Sau khi đi được 
1

2quãng đường, ô tô dừng lại 10 phút, do đó để đến B đúng hẹn, xe phải tăng vận tốc thêm 5 
km/h trên qng đường cịn lại. Tính vận tốc dự định của ôtô.

Giải.

Gọi vận tốc dƣ định của ôtô là x km/h (x > 0)
Theo đề bài ta có phƣơng trình: 75 75 1

x x56
2

5 2250 0

x x

   

Giải phƣơng trình ta đƣợc: x1 = 45 (nhận)

x2 = -50 (loại)

Vậy vận tốc dƣ định của ôtô là 45 km/h

4/ TOÁN NĂNG SUẤT: (LÀM CHUNG, LÀM RIÊNG, VÕI NƢỚC CHẢY ...)
 * Mức độ cơ bản:

1/ Hai đội công nhân cùng làm một cơng việc thì xong trong 2 giờ. Biết rằng thời gian để

đội thứ nhất làm một mình xong cơng việc ít hơn thời gian để đội thứ hai làm một mình xong 
cơng việc đó là 3 giờ. Tính thời gian để mỗi đội làm một mình xong công việc.

Giải.

Gọi thời gian đội 1 làm một mình xong cơng việc là x (giờ)(x > 2 )

 thời gian đội 2 làm một mình xong công việc là x + 3 (ngày)
Theo đề bài ta có phƣơng trình 1 1 1

3 2

x x  

x2  x 6 0
Giải phƣơng trình đƣợc: x1 = 3 (thỏa mãn)

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Vậy: Đội thứ nhất hồn thành cơng việc trong 3 giờ.
Đội hai hồn thành cơng việc trong 6 giờ.

2/ Nếu mở cả hai vòi nước chảy vào một bể nước cạn thì sau 2 giờ 55 phút đầy bể. Nếu 
mở riêng từng vịi thì vịi thứ nhất chảy đầu bể nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu mở 
riêng từng vịi thì mỗi vòi chảy bao lâu đầy bể.

Giải.

Gọi thời gian vịi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x(giờ) x > 0

 thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x + 2
Theo đề bài ta có phƣơng trình 1 1 12

2 35

x x  

6x 23x 35 0

   
Giải phƣơng trình đƣợc: x1 = 5 (thỏa mãn)

x2 =

7
6

 (loại)

Vậy thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là 5 giờ
thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là 7 giờ
 * Mức độ nâng cao:

1/ Một công việc nếu giao cho hai đội công nhân làm riêng thì thời gian tổng cộng hai 
đội phaỉ làm là 20 giờ. Nếu làm chung thì hai đội làm xong công việc trong 4 giờ 48 phút. Hỏi 
nếu là riêng thì mỗi đội hồn thành cơng việc đó trong bao lâu?

Giải.
4 giờ 48 phút = 24

Gọi thời gian đội 1 làm một mình xong công việc là x (giờ)(x > 24
5 )

 thời gian đội 2 làm một mình xong cơng việc là 20 – x (giờ)
Theo đề bài ta có phƣơng trình 1 1 5

20 24

x x 

x220x960
Giải phƣơng trình đƣợc: x1 = 8 (thỏa mãn)

x2 = 12 (thỏa mãn)

Vậy: Đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 8 giờ.
Đội hai hồn thành cơng việc trong 12 giờ.

2/ Hai đội công nhân cùng làm một quãng đường thì 12 ngày xong việc. Nếu đội thứ nhất làm 
một mình hết nửa cơng việc, rồi đội thứ hai tiếp tục làm một mình nột phần việc cịn lại thì hết 
tất cả 25 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu xong việc.

Giải.

Gọi thời gian đội 1 làm một mình xong nửa cơng việc là x (ngày)(6 < x < 25 )

 thời gian đội 2 làm một mình xong nửa cơng việc là 25 – x (ngày)
Theo đề bài ta có phƣơng trình 1 1 1

2x2 25( x)12
x225x1500
Giải phƣơng trình đƣợc: x1 = 10 (thỏa mãn)

x2 = 15 (thỏa mãn)

</div>