Một số đề thi học sinh giỏi Toán 12 - Phần 8

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Nguyễn Văn Xá.
165. THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 – VĨNH PHÚC (2002 - 2003) Câu 1 a. Giải phương trình. 4 − 3 3x + 1 = 1 − x ..  x2 + y = m  x 2 − xy = n b. Tìm n, m ñể hai hệ phương trình sau tương ñương  2 (I ) ,  2 ( II ) . y + x = m  y − xy = n Câu 2 Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 5x2 + 3y3 3 và 2x2 + 5y2 = 11(xy – 143). Câu 3 Cho hai số thực dương a, b. Chứng minh các mệnh ñề sau tương ñương (i) a + 1 > b ; x (ii) ax + > b với mọi x > 1. x-1 Câu 4 Cho tam giác nhọn ABC (AB > AC) với các ñường cao AD, BE, CF (D ∈ BC, E ∈ AC, F ∈ AB). ðường thẳng qua D song song với EF cắt AC, AB lần lượt ở Q, R. Gọi P là giao ñiểm của EF và BC. Chứng minh rằng: 1. Các ñiểm E, F, D và trung ñiểm của BC nằm trên một ñường tròn. 2. ðường tròn ngoại tiếp ∆PQR ñi qua trung ñiểm của BC..
166. THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 – VĨNH PHÚC (2000 - 2001) 1 m 2m Câu 1 Tìm các giá trị của tham số m ñể phương trình ( + − 2 )( x − m − m) = 0 có x + m x − m m − x2 nghiệm duy nhất không âm. Câu 2 Hãy lập phương trình trùng phương có tổng các bình phương các nghiệm bằng 50 và tích các nghiệm bằng 144. Câu 3 Cho x, y ∈ R thỏa mãn x2 + xy + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức F = x3y + xy3. Câu 4 Cho tứ giác ABCD, gọi M là giao ñiểm của hai ñường chéo AC và BD. Kí hiệu AB = c, BC = p, CD = q, DA = b, DB = a, DB = 3DM, AM = MC. a. Tính p, q theo a, b, c. ∧ ∧ ∧ ∧ b. Chứng minh rằng nếu ABD + 1800 = 2 ADB thì DBC = 2 BDC . Câu 5 Trên mặt phẳng Oxy cho p ñiểm Ak(k; rk ), k = 0, 1, 2, 3, …, p – 1; với p là số nguyên tố lớn hơn 3 và rk là số dư trong phép chia k2 cho p. Chứng minh rằng trong các ñiểm Ak(k; rk ) không có 3 ñiểm nào thẳng hàng, không có 4 ñiểm nào là 4 ñỉnh của một hình bình hành..
167. THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 – VĨNH PHÚC (2001 - 2002) Bài 1 Giải phương trình x − 2 x − 1 − ( x − 1) x + x 2 − x = 0 ..  ax 2 + bx + 1 = 0 Bài 2 Tìm a, b ñể hệ phương trình  2 có nghiệm. bx + ax + 1 = 0 Bài 3 Cho a, b, c là ñộ dài 3 cạnh một tam giác. Chứng minh rằng ðề thi HSG môn Toán. Trang 144 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Nguyễn Văn Xá. ∧. a +b−c + b+c−a + c +a −b ≤ a + b + c .. ∧. ∧. Bài 4 Cho ∆ABC, A = 50 , B = 600 , C = 700 , M là một ñiểm nằm trên mặt phẳng chứa tam giác, gọi A1, B1, C1 tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA, AB. 1. Khi M trùng với tâm I của ñường tròn nội tiếp ∆ABC thì A1, B1, C1 có là ba ñỉnh của một tam giác ñều không? 2. Tìm tất cả các ñiểm M ñể A1, B1, C1 là ba ñỉnh của một tam giác ñều. Bài 5 Trong các ô vuông của một bảng hình vuông kích thước 2002×2002, người ta ghi các số thực sao cho: Tổng các số trong một hình chữ thập tùy ý của bảng (hình gồm một dòng và một cột) không nhỏ hơn 2002. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của tổng các số trong bảng. 0.
168. ðỀ THI HSG LỚP 10 – VĨNH PHÚC (98 - 99) Câu 1 Giải phương trình x − 2 + 4 − x = x 2 − 6 x + 11 . n n n n + 1− < 2, ∀ n ∈N*. n n Câu 3 Giải phương trình x7 – 2x6 + 3x5 – x4 – x3 + 3x2 – 2x + 1 = 0.  x 2 + 2 xy + 2 y 2 ≤ a (1) Câu 4 Tìm a ñể hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất  2 . 2  x − 4 xy − y ≤ a (2) Câu 5 Giả sử O là một ñiểm bên trong ∆ABC, các ñường thẳng OA, OB, OC lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại A’, B’, C’. Tìm quỹ tích ñiểm O sao cho. Câu 2 Chứng minh rằng n 1 +. n. S∆2OAC ' + S∆2OBA' + S∆2OCB ' = S∆2OBC ' + S∆2OCA' + S∆2OAB ' ..
169. ðỀ THI HSG LỚP 10 – VĨNH PHÚC (97 – 98) Câu 1 (1.5 ñiểm) Giải phương trình (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9. Câu 2 (2.0 ñiểm) Tìm cặp số (x; y) thỏa mãn phương trình x2 + y2 + 6x – 3y – 2xy + 7 = 0 sao cho y ñạt giá trị lớn nhất. 4 Câu 3 (2.0 ñiểm) Cho x0 là nghiệm thực của PT x4 + ax3 + bx2 + ax + 1 = 0. Chứng minh a 2 + b 2 ≥ . 5 Câu 4 (2.0 ñiểm) Cho ñường tròn bán kính R và n ñiểm bất kì trên mặt phẳng chứa ñường tròn (n∈N*).Chứng minh rằng trên ñường tròn ñã cho có thể tìm ñược ñiểm M sao cho tổng khoảng cách từ M ñến n ñiểm nói trên không nhỏ hơn nR. Câu 5 (2.5 ñiểm) Trên các cạnh BC, CA, AB của ∆ABC lần lượt lấy các ñiểm D, E, K sao cho BD CE AK 1 = = = . Gọi A’ = CK ∩ AD, B’ = BE ∩ AD, C’ = CK ∩ BE. BC CA AB 1997 a. Hãy xác ñịnh trọng tâm ∆DEK. b. Tìm trọng tâm ∆A’B’C’.. ðề thi HSG môn Toán. Trang 145 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Nguyễn Văn Xá.
170. ðỀ THI HSG LỚP 10 – VĨNH PHÚ (96 – 97) 2 x − y 2 − y + 1 > 0  Câu 1 Tìm nghiệm nguyên của hệ bất phương trình  2 x + y − 1 < 5 .  y ≥1  Câu 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x100 – 10x10 + 2005, với x∈R. x. y. z. Câu 3 Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình 3 – 2 = 1930 . Câu 4 Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c với các hệ số dương và a + b + c = 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương k thì f(x) ≥ [f(. (2k ). k). x )](2. với mọi x ≥ 0.. Câu 5 Trên các cạnh của ∆ABC ta dựng về phía ngoài của tam giác các hình vuông BCDE, ACFG, BAHK. Giả sử P, Q thỏa mãn FCDP và EBKQ là các hình bình hành. Hãy các ñịnh hình dạng của ∆PAQ..
171. ðỀ THI HSG LỚP 10 – VĨNH PHÚ (năm học 95 – 96) thi ngày 09 – 01 – 1996. Thí sinh các trường bảng A làm tất cả các câu, kể cả câu 5, thí sinh các trường bảng B chỉ làm các câu 1, 2, 3, 4, không phải làm câu 5. Câu 1 Chứng minh rằng 3 378 + 142884 + 1 + 3 378 − 142884 + 1 = 9. Câu 2 Tìm tất cả các giá trị nguyên của a, b ñể ña thức x4 + ax3 + 10x2 + bx + 9 là bình phương của một tam thức bậc hai với hệ số nguyên. Câu 3 Trong ∆ABC nhọn và không ñều, ta kẻ ñường cao AH, trung tuyến BM, phân giác CL. Ba ñường này cắt nhau tạo thành ∆PQR. Chứng minh rằng ∆PQR không thể là tam giác ñều..  x + 1 + y + 2 = m có nghiệm duy nhất. Câu 4 Tìm m ñể hệ phương trình  x + y = 3m  Câu 5 Chứng minh rằng diện tích của một hình bình hành bất kì nằm trong một tam giác không lớn hơn nửa diện tích của tam giác ñó..
172. ðỀ THI HSG LỚP 10 – VĨNH PHÚ (năm học 94 – 95) thi ngày 06 – 01 – 1995. Câu 1 Giả sử phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm, tam thức bậc hai ϕ ( x) = α x 2 + β x + γ có nghiệm và khoảng các nghiệm của tam thức ϕ ( x) chứa khoảng (0; 2). Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm: a ϕ (0) x2 + b ϕ (1) x + c ϕ (2) = 0. a b c Câu 2 Chứng minh nếu + + = 0, k > l > m > 0, km ≤ l 2 thì tam thức f(x) = ax2 + bx + c có k l m nghiệm thuộc khoảng (0; 1). Câu 3 Chứng minh phương trình x4 – y4 = z2 không có nghiệm nguyên dương. Câu 4 Cho ∆ABC có số ño các cạnh là a1 , a2 , a3 và diện tích là S. Chứng minh rằng với mọi số dương bất kì p1 , p2 , p3 ta luôn có ðề thi HSG môn Toán. Trang 146 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Nguyễn Văn Xá p3 p1 p2 a12 + a22 + a32 ≥ 2 3.S . p2 + p3 p3 + p1 p1 + p2 Câu 5 Cho ∆ABC, qua ñiểm M nằm trong tam giác ta dựng ba ñoạn thẳng MA1, MB1, MC1 tương ứng vuông góc với BC, CA, AB và hướng ra phía ngoài tam giác, ñộ dài ba ñoạn thẳng MA1, MB1, MC1 tương ứng tỉ lệ với ñộ dài ba cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng MA1 ñi qua trung ñiểm của B1C1..
173. ðỀ THI HSG LỚP 10 – VĨNH PHÚ (năm học 93 – 94) thi ngày 11 – 01 – 1994. Câu 1 Với các số cho trước n ∈N, n ≥ 2, a ∈ R, a > 0, hãy tìm giá trị lớn nhất của tổng. n −1. xi yi +1 , biết ∑ i =1. n. rằng xi ≥ 0 (i = 1, n ) và. xi = a. ∑ i =1. Câu 2 Cho hai parabol (P1) y = x2 và (P2) y = - x2 + 2x + 4. 1 – Tìm tọa ñộ giao ñiểm M, N của (P1) và (P2). 2 – Qua M dựng ñường thẳng ∆1 cắt (P1) và (P2) lần lượt ở E, F ( khác M), qua N dựng ñường thẳng ∆2 cắt (P1) và (P2) lần lượt ở C, D ( khác N), chứng minh rằng CE // DF. Câu 3 Kí hiệu A = a1a2 ...a20 là số nguyên dương có 20 chữ số. Hai người chơi một trò chơi như sau: “Người thứ nhất ñiền vào chữ số ñầu tiên a1 bởi một trong năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Người thứ hai ñiền tiếp vào chữ số a2 bởi một trong năm chữ số nói trên. Rồi tiếp lại ñến người thứ nhất ñiền vào a3 … Cứ tiếp tục như vậy cho ñến hết 20 chữ số của A. Nếu số A thu ñược là số chia hết cho 9 thì người thứ hai thắng cuộc, ngược lại thì người thứ nhất thắng cuộc”. Chứng minh rằng có một cách chơi luôn ñảm bảo cho người thứ nhất thắng cuộc. Câu 4 Gọi O là tâm ñường tròn ngoại tiếp ∆ABC, M là trung ñiểm của AC, E là trọng tâm của ∆ABM. Chứng minh rằng OE = BM nếu AB = AC. (cần kiểm tra lại ñề bài).
174. ðỀ THI HSG LỚP 11 – VĨNH PHÚ (năm học 93 – 94) thi ngày 11 – 01 – 1994. |sin x | Bài 1 Giải phương trình 3 = cosx .  2 x3 − 7 x2 + 8 x − 2 = y  Bài 2 Giải hệ phương trình trên tập số nguyên 2 y 3 − 7 y 2 + 8 y − 2 = z .  2z3 − 7 z 2 + 8z − 2 = x  n. Bài 3 Với số nguyên dương n ≥ 2 cho trước, tìm giá trị nhỏ nhất của tích ( i = 1, n ) và. xi , với ñiều kiện xi ≥ ∏ i =1. 1 n. n. xi = 1. ∑ i =1 2. Bài 4 Giả sử S, R lần lượt là diện tích và bán kính ñường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Gọi S1 là diện tích tam giác có các ñỉnh là chân ñường vuông góc hạ xuống các cạnh của ∆ABC từ một ñiểm M cách tâm. ñường tròn ngoại tiếp ∆ABC một khoảng d. Chứng minh rằng S1 =. ðề thi HSG môn Toán. 1 d2 S 1− 2 . R 4. Trang 147 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Nguyễn Văn Xá.
175. ðỀ THI HSG LỚP 11 – VĨNH PHÚ (năm học 94 – 95) thi ngày 06 – 01 – 1995. Bài 1 Giả sử a2 + b2 ≠ 0. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau ñây có nghiệm: asinx + bcosx + c = 0 (1), atanx + bcotx + 2c = 0 (2). n n n Bài 2 Tìm số nguyên dương n ñể phương trình x + (2 + x) + (2 - x) = 0 có nghiệm hữu tỉ. n a a Bài 3 Cho ña thức P(x) = ∑ ai xi (n ≥ 2, an.a0 ≠ 0) có n nghiệm dương. Chứng minh n−1 1 ≥ n 2 . an a0 i =0 Bài 4 Cho dãy {un} có u1 = 3, u2 = 17, un = 6un – 1 – un – 2, n = 3, 4, 5, … a. Chứng minh u 2n+1 − 6u n u n+1 + u n2 = −8, ∀n ∈ N *. Từ ñó suy ra rằng với mọi n thì u 2n - 1 chia hết cho 2 và thương là số chính phương. b. Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số. Bài 5 Cho tứ diện ABCD có các cạnh ñối diện bằng nhau BC = DA, CA = DB, AB = DC, M là một ñiểm tùy ý trong không gian. Chứng minh bình phương khoảng cách từ M ñến một ñỉnh của tứ diện không lớn hơn tổng bình phương các khoảng cách từ M ñến ba ñỉnh còn lại của tứ diện..
176. ðỀ THI HSG LỚP 11 – VĨNH PHÚ (năm học 95 – 96) thi ngày 09 – 01 – 1996. Thí sinh các trường bảng A làm tất cả các câu, kể cả câu 5, thí sinh các trường bảng B chỉ làm các câu 1, 2, 3, 4, không phải làm câu 5. Câu 1 sin 6 x + cos 6 x 1 =− . a. Giải phương trình π π 4 tan( x − ) tan( x + ) 4 4 b. Cho trước các ñại lượng a và α. Xét hàm số f(x) = cos2x + acos(x + α). ðặt M = maxf(x), m = minf(x), với x ∈ R. Chứng minh M2 + m2 ≥ 2. Câu 2 Cho ∆ABC cân ñỉnh A, cạnh bên bằng b, cạnh ñáy bằng a, và rằng a5 – 4a3b2 + 3ab4 – b5 = 0.. b 2π = 1 + 2 cos . Chứng minh a 7. 1 Câu 3 Cho b > a > 1. Lập hai dãy số (un) và (vn) như sau: u1 = b, v1 = a, u n+1 = (u n + v n ), 2 n 2 2u n .v n (b - a) vn + 1 = , ∀n ∈ *. Chứng minh 0 < u n+1 − v n+1 < , ∀n∈N*. u n + vn 2n Câu 4 Các ñường chéo của tứ giác lồi ABCD vuông góc với nhau. Qua trung ñiểm các cạnh AB, AD kẻ những ñường vuông góc tương ứng với CD, CB. Chứng minh rằng các ñường này và ñường thẳng AC ñồng quy..
177. ðỀ THI HSG LỚP 11 – VĨNH PHÚC (1997 – 1998) Câu 1 (2 ñiểm) Tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c với các hệ số nguyên và a > 0, có hai nghiệm thực phân biệt trong khoảng (0; 1). a) Chứng minh rằng a ≥ 5. b) Hãy tìm tất cả các ña thức thỏa mãn ñiều kiện trên và có a = 5. ðề thi HSG môn Toán. Trang 148 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Nguyễn Văn Xá Câu 2 (2 ñiểm) Cho x2 + y2 + z2 = 1. Chứng minh xyz + 2(1+ x + y + z + xy + yz + zx) ≥ 0. Câu 3 (2 ñiểm) Với ñiều kiện nào thì 3 số hạng dương liên tiếp của một cấp số nhân là ñộ dài của ba cạnh một tam giác? Câu 4 (2 ñiểm) Giải biện luận theo a và b phương trình asinx + bcosx = a 2 + b 2 + cos 2 2x . Câu 5 (2 ñiểm) Cho tứ diện ABCD và G là một ñiểm nằm bên trong tứ diện. Gọi A’, B’, C’, D’ là các giao GA' GB' GC' GD' ñiểm của các tia AG, BG, CG, DG với các mặt ñối tương ứng. Chứng minh rằng + + + GA GB GC GD ñạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi G là trọng tâm của tứ diện A’B’C’D’..
178. ðỀ THI HSG LỚP 11 – VĨNH PHÚC (1998 – 1999) Câu 1 Chứng minh f(x) = x5 – 5x3 + 4x -1 có ñúng 5 nghiệm. Câu 2 Cho ∆ABC cân ñỉnh A, cạnh bên bằng b, cạnh ñáy bằng a, và rằng a5 – 4a3b2 + 3ab4 – b5 = 0.. π. b 2π = 1 + 2 cos . Chứng minh a 7. π. Câu 3 Cho α , β ∈ (0; ) và tan β = 3 tan α . Chứng minh rằng β ≤ α + . 2 6 Câu 4 Cho dãy số {un} thỏa mãn un + un+2 ≥ 2un+1, ∀n = 1, 2, 3,… Chứng minh rằng 1 1 (u1 + u3 + ... + u2 n +1 ) ≥ (u2 + u4 + ... + u2 n ) , ∀ n = 1, 2, 3, … n +1 n Câu 5 Cho hình chóp SABC biết SA = a, SB = b, SC = c, BSC = α , CSA = β , ASB = γ . Tính thể tích khối chóp SABC..
179. ðỀ THI HSG LỚP 11 – VĨNH PHÚC (1999 – 2000) Câu 1 Tìm α ñể phương trình sau có nghiệm 3(sin 4 x + cos 4 x) + 2(sin 6 x + cos 6 x)cosα =3+cosα . Câu 2 Dãy số (an) xác ñịnh bởi an = k + k + ... + k (n dấu căn). a. Chứng minh rằng với mọi số dương k cố ñịnh thì dãy số trên luôn có giới hạn. b. Tìm số nguyên dương k ñể giới hạn của dãy số trên là một số nguyên. Câu 3 Các góc C, B, A của ∆ABC theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Gọi O, K, L lần lượt là tâm ñường. ∧. ∧. ∧∧ ∧. tròn nội tiếp, bàng tiếp góc B , bàng tiếp góc A của ∆ABC. Các góc O, K, L của ∆OKL theo thứ tự 5 cũng lập thành cấp số nhân. Chứng minh cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = . 4 Câu 4 Cho ∆ABC cố ñịnh và một ñiểm M thay ñổi trong không gian nhưng luôn không thuộc các ñường thẳng AB, BC, CA. Kí hiệu x, y, z lần lượt là khoảng cách từ M tới AB, BC, CA. Tìm tập hợp ñiểm M x y z 1 thỏa mãn + + = . 1999y + 2000z 1999z + 2000x 1999x + 2000y 1333 Câu 5 Kí hiệu Sn là tập hợp n số nguyên dương ñầu tiên, tức là Sn = {1, 2, 3, …, n – 1, n}.. ðề thi HSG môn Toán. Trang 149 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Nguyễn Văn Xá a. Tìm n ñể tập hợp Sn có thể chia ñược thành hai tập hợp khác rỗng, rời nhau, và tổng các phần tử của n(n + 1) mỗi tập hợp con ñó bằng . 4 b. Tìm n ñể tập hợp Sn có thể chia ñược thành ba tập hợp khác rỗng, ñôi một rời nhau, và tổng các phần n(n + 1) tử của mỗi tập hợp con ñó bằng . 6.
180. ðỀ THI HSG LỚP 11 – VĨNH PHÚC (2000 – 2001) Câu 1 Tìm các giá trị của tham số a sao cho tất cả các nghiệm không âm của phương trình (2a − 1) sin x + (2 − a ) sin 2 x = sin 3 x lập thành cấp số cộng.. ∧. Câu 2 Cho ∆ABC cân ñỉnh A, ñường phân giác trong góc B cắt AC tại D. Biết BC = BD + DA, hãy tính ∧ góc A . Câu 3 Các số thực x, y thoả mãn x2 + y 3 ≥ x3 + y4. Chứng minh x3 + y3 ≤ 2. Câu 4 Dãy số nguyên (f(n))∞n=0 , trong ñó f(x) là một hàm xác ñịnh và nhận giá trị trên Z, thỏa mãn f(0) = 0, f(n) = n – f(f(n - 1)) với mọi n nguyên dương. a. Chứng minh rằng f(n) ≥ f(n – 1) với mọi n nguyên dương. b. Tồn tại hay không số nguyên dương k thỏa mãn f(k + 1) = f(k) = f(k – 1), tại sao? Câu 5 Trên mặt phẳng Oxy cho p ñiểm Ak(k; rk ), k = 0, 1, 2, 3, …, p – 1; với p là số nguyên tố lớn hơn 3 và rk là số dư trong phép chia k2 cho p. Chứng minh rằng trong các ñiểm Ak(k; rk ) không có 3 ñiểm nào thẳng hàng, không có 4 ñiểm nào là 4 ñỉnh của một hình bình hành..
181. ðỀ THI HSG LỚP 11 – VĨNH PHÚC (2001 – 2002) Bài 1 Giải phương trình log 2002 (tan x) = cos2x .  x + y + 2 xy + a ≥ 1 có nghiệm duy nhất. Bài 2 Tìm a ñể hệ bất phương trình  x + y ≤1  Bài 3 Cho a, b, c là số ño ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng a (b 2 + c 2 − a 2 ) + b(c 2 + a 2 − b 2 ) + c(a 2 + b 2 − c 2 ) > 2abc . Bài 4 Cho tứ giác lồi ABCD có AB = a, AD = b, BC = p – a, DC = p – b, với a, b, p là các số dương cho. ∧. trước. Gọi O là giao ñiểm của hai ñường chéo AC, BD. ðặt BAD = α . OA 1. Tính tỉ số theo a, b, p và α. OC 2. Tính lim OA . α →0. Bài 5 Cho dãy số a1, a2, …, an, … xác ñịnh bởi an+1 = an(2 – ban), n = 1, 2, 3…, b là số dương cho trước, 1 a1 là số tùy ý thuộc khoảng (0; ). Chứng minh dãy số trên ñơn ñiệu và bị chặn, từ ñó tìm giới hạn của b dãy.. ðề thi HSG môn Toán. Trang 150 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Nguyễn Văn Xá.
182. ðỀ THI HSG LỚP 11 – VĨNH PHÚC (2002 – 2003) Câu 1 Cho phương trình ẩn x 3π x πx π cos 2 (π (a − x)) − 2 cos(π (a − x)) + cos .cos( + )+2 = 0. 2a 2a 3 1. Giải phương trình khi a = 18. 2. Xác ñịnh số nguyên dương a nhỏ nhất ñể phương trình có nghiệm. Câu 2 Xét ∆ABC thỏa mãn ràng buộc max{A, B, C} >. π. . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 P = sinA + sin2B + sin3C.. n + 1 21 2 2 2n ( + + ... + ) , n = 1, 2, 3, … Chứng minh rằng: n 2n +1 1 2 a. an + 1 ≤ an, với n ≥ 3. Câu 3 Giả sử an =. b. Dãy {an }n =1 có giới hạn và tìm giới hạn ñó. Câu 4 Gọi O là một ñiểm nằm trên cạnh AB của tứ diện ABCD (O không trùng với A, B). Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AOCD cắt các cạnh BC, BD của tứ diện ABCD lần lượt tại M, N (M ≠ C, N ≠ D). Mặt cầu ∞. ngoại tiếp tứ diện BOCD cắt các cạnh AC, AD của tứ diện ABCD lần lượt P, Q (P ≠ C, Q ≠ D). Chứng minh rằng hai tam giác OMN và OQP ñồng dạng..
183. ðỀ THI HSG LỚP 11 – VĨNH PHÚC (2003 – 2004) Câu 1 (2.5 ñiểm) Giả sử ∆ABC có ñộ dài ba cạnh thỏa mãn. ∧ ∧ BC AB + BC = . Tính 3A + B . AB − BC AC. Câu 2 (2.5 ñiểm) Cho một cấp số nhân biết rằng tổng các số hạng của chúng bằng 11, tổng bình phương các số hạng bằng 341, tổng lập phương các số hạng bằng 3641. a) Chứng tỏ rằng công bội của cấp số nhân ñã cho khác 1. b) Xác ñịnh các số hạng của cấp số nhân ñó.  an ∈ (0;1)  Câu 3 (2.0 ñiểm) Cho dãy số {an} thỏa mãn  1 với mọi số nguyên dương n. an +1 (1 − an ) = 4 1 1 − với mọi n nguyên dương. 2 2n b> Chứng tỏ dãy {an} có giới hạn và tìm giới hạn ñó. Câu 4 (3.0 ñiểm) Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông, ∆SAB ñều, (SAB)⊥(ABC). Giả sử M là một ñiểm di ñộng trên ñoạn AB và P là hình chiếu vuông góc của S trên CM. a./ Tìm quỹ tích ñiểm P khi M di ñộng. b./ Xác ñịnh vị trí của M ñể ñộ dài ñoạn thẳng nối M với trung ñiểm của SC ñạt giá trị lớn nhất. a> Chứng minh rằng an >.
184. ðỀ THI HSG LỚP 11 – VĨNH PHÚC (2004 – 2005) – Dành cho HS các trường không chuyên. ðề thi HSG môn Toán. Trang 151 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Nguyễn Văn Xá loga (ax). ≥ (ax)4 . Câu 2 (2.0 ñiểm) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình cos 4 x + sin 4 x = cos2x thỏa mãn bất phương trình 1 + log 1 (2 + x - x 2 ) ≥ 0 .. Câu 1 (3.0 ñiểm) Giải biện luận theo tham số a bất phương trình x. 2. Câu 3 (1.0 ñiểm) Cho a, b, x, y là các số thực thỏa mãn a > 0, b > 0, x > y > 0. Chứng minh rằng x x y y y x (a + b ) < (a + b ) . Câu 4 (3.0 ñiểm) Cho tứ diện ABCD, mặt phẳng ( π ) song song với hai ñường thẳng AD, BC, cắt các ñường thẳng AB, AC, CD, DB lần lượt tại M, N, P, Q. Xác ñịnh ( π ) ñể: a. Tứ giác MNPQ là hình thoi. b. Diện tích thiết diện của ABCD cắt bởi ( π ) là lớn nhất. Câu 5 (1.0 ñiểm) Cho dãy số (un) xác ñịnh bởi (n 2 + n + 1)(n + 1) n +1 u n + 2 + (n 2 + n +1)u n +1 − u n , ∀n ∈N . u0 = 0, u1 = 1, u2 = 0, u n + 3 = n n Chứng minh rằng un là số chính phương với mọi n = 0, 1, 2, 3, ….
185. ðỀ THI HSG LỚP 11 – THPT NHƯ NGUYỆT (2009) Vòng 1 Bài 1 Cho dãy số {un} xác ñịnh như sau: u0 = 1, u1 = - 1, u n + 2 = k.un + 1 - un, ∀ n ∈ N. Tìm số hữu tỉ k ñể dãy số trên là dãy tuần hoàn. Bài 2 Giả sử phương trình anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 = 0 có n nghiệm thực (n ∈ N, n ≥ 3, ai ∈ R, i = 0, n , an ≠ 0). Chứng minh (n − 1)a 2n −1 ≥ 2na n a n − 2 , ∀n ∈ N, n ≥ 3. Bài 3 Tìm a, b ñể tập giá trị của hàm số y =. ax + b là ñoạn [- 1; 4]. x2 +1. Bài 4 Tính giới hạn: [(2+ 3)n ] a) lim n (ở ñó [x] là phần nguyên của số thực x, tức là số nguyên lớn nhất không vượt quá x). n →+∞ (2+ 3) b) lim ( n ( x + a1 )( x + a2 )...( x + an ) − x) (với n ∈ N*, ai ∈ R, i = 1, n ). x →+∞. Bài 5 Cho hàm số liên tục f : [a; b] → R và hai số thực α , β dương. Chứng minh rằng tồn tại x0 ∈ [a; b] α f (a) + β f (b) sao cho f(x0) = . α +β nn n n Bài 6 Tìm số nguyên dương n ñể 20063 +14 + 20062005 + 2007 + 1 là số nguyên tố..
186. ðỀ THI HSG LỚP 11 - THPT NHƯ NGUYỆT (2009) Vòng 2 m 1 + ax .n 1 + bx − 1 ( với a, b ∈ R; m, n ∈ N*). Bài 1 Tính lim x →0 x Bài 2 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức T = a2 + b2 + c2 + 2abc, với a, b, c là ñộ dài ba cạnh một tam giác có chu vi bằng 2.. ðề thi HSG môn Toán. Trang 152 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Nguyễn Văn Xá Bài 3 Cho hai hàm số liên tục f, g : [a; b] → R thỏa mãn f(x) = g(x), ∀ x ∈. [a; b]. Chứng minh rằng. ta luôn có f(x) = g(x), ∀ x ∈ [a; b]. x. x. x. Bài 4 Tùy theo các tham số a, b, c dương, biện luận số nghiệm của phương trình a + b = c . Bài 5 Cho dãy số {an} thỏa mãn an+1 ≤ an – an2, ∀n ∈ N. Chứng minh rằng liman = 0. Bài 6 Trên nửa ñường tròn (O; R = 1) lấy 2n + 1 ñiểm (n ∈ N*) P1, P2, …, P2n+1 ở cùng phía ñối với một 2 n +1. ñường kính nào ñó. Chứng minh. →. ∑ OP k =1. k. ≥ 1..
187. ðỀ THI HSG LỚP 12 - THPT NHƯ NGUYỆT (2009) Vòng 1 Bài 1 Người ta chứng minh ñược ñịnh lí sau, gọi là ñịnh lí Lagrăng: “Nếu hàm số f(x) liên tục trên ñoạn f (a ) − f (b) ”. [a; b], có ñạo hàm trên khoảng (a; b) thì tồn tại giá trị c∈(a; b) sao cho f '(c) = a −b 1 a) Bây giờ ta xét hàm số f(x) = 1 − x 2 + 2 x + 1 liên tục trên ñoạn [- ; 1] và có ñạo hàm trên khoảng 2 1 (- ; 1). Hãy tìm giá trị c như trong ñịnh lí trên nói tới. 2 a −b a a −b b) Cho a > b > 0. Vận dụng ñịnh lí trên chứng minh < ln < . a b b Bài 2 Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = x3 – 3x. Từ ñó dùng ñồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3 – 3x = m3 – 3m. Bài 3 a. Trong mặt phẳng Oxy cho ñường tròn (C) (x – 1)2+ (y + 2)2 = 4. Tìm quỹ tích các ñiểm M trong mặt phẳng sao cho từ M kẻ ñược 2 tiếp tuyến tới (C) và 2 tiếp tuyến ñó vuông góc với nhau. b. Gọi T là tập hợp các ñiểm trên ñường tròn (C) và có các thành phần tọa ñộ ñều là số nguyên. Tìm ñiểm N trong mặt phẳng Oxy sao cho ∑ NA2 ñạt giá trị nhỏ nhất. A ∈T.
188. ðỀ THI HSG LỚP 12 - THPT NHƯ NGUYỆT (2009) Vòng 2 f ( x1 ) + f ( x2 ) x +x Bài 1 Cho hàm số f(x) xác ñịnh trên (a; b) và thỏa mãn ≤ f ( 1 2 ), ∀x1 , x2 ∈ (a; b). 2 2 f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 ) x1 + x2 + x3 ≤ f( ), ∀x1 , x2 , x3 ∈ (a; b). a – Chứng minh rằng 3 3 f ( x1 ) + f ( x2 ) + ... + f ( xn ) x + x + ... + xn b – Chứng minh rằng ≤ f( 1 2 ), ∀x1 , x2 ,..., xn ∈ (a; b), n ∈N *. n n x−2 (C). Bài 2 Cho hàm số y = x +1 a> Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số. b> Tìm hai ñiểm A, B thuộc 2 nhánh khác nhau của (C) sao cho ñộ dài AB nhỏ nhất.. ðề thi HSG môn Toán. Trang 153 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Nguyễn Văn Xá Bài 3 Với mọi số nguyên dương k, hãy chứng minh tích của k số nguyên liên tiếp bao giờ cũng chia hết cho k!. Bài 4 Tìm tọa ñộ các ñỉnh của hình vuông ABCD nằm trong mặt phẳng Oxy, biết A thuộc ñường thẳng (d) x – y = 0, C thuộc ñường thẳng (d’) 2x + y – 1 = 0, và B, D thuộc trục Ox..
189. ðỀ THI HSG LỚP 12 QUỐC GIA – BẢNG A (11 – 03 – 2004)  x 3 + x( y − z )2 = 2  Bài 1 Giải hệ phương trình  y 3 + y ( z − x) 2 = 30 .  z 3 + z ( x − y )2 = 16  Bài 2 Trong mặt phẳng, cho ∆ABC, gọi D là giao ñiểm của cạnh AB và ñường phân giác trong của. ∠ACB. Xét một ñường tròn (O) ñi qua hai ñiểm C, D và không tiếp xúc với các ñường thẳng BC, CA. ðường tròn này cắt lại các ñường thẳng BC, CA tại M, N tương ứng. 1/ Chứng minh rằng có một ñường tròn (S) tiếp xúc với ñường thẳng DM tại M và tiếp xúc với DN tại N. 2/ ðường tròn (S) cắt lại các ñường thẳng BC, CA lần lượt tại P, Q. Chứng minh rằng các ñoạn thẳng MP, NQ có ñộ dài không ñổi, khi ñường tròn (O) thay ñổi. Bài 3 Cho tập A gồm 16 số nguyên dương ñầu tiên. Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất có tính chất: trong mỗi tập con có k phần tử của A ñều tồn tại hai số phân biệt a, b sao cho a2 + b2 là một số nguyên tố..
190. ðỀ THI HSG LỚP 12 QUỐC GIA – BẢNG A (12 – 03 – 2004) (2 + cos2α )x n + cos 2α , với (2 − 2cos2α )x n + 2 − cos2α mọi n =1, 2, 3, …, trong ñó α là một tham số thực. Hãy xác ñịnh tất cả các giá trị của α ñể dãy (yn) với n 1 yn = ∑ , n = 1, 2, 3, ... , có giới hạn hữu hạn khi n → + ∞ . Tìm giới hạn của dãy (yn) trong các k=1 2x k + 1 trường hợp ñó. Bài 5 Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn ñiều kiện (x + y + z)3 = 32xyz. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và x 4 + y4 + z 4 giá trị lớn nhất của biểu thức P = . (x + y + z ) 4 Bài 6 Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu S(n) là tổng tất cả các chữ số trong biểu diễn thập phân của n. Xét các số nguyên dương m là bội của 2003. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của S(m). Bài 4 Xét dãy số thực (xn), n = 1, 2, 3, …, xác ñịnh bởi x1 = 1, x n + 1 =.
191. ðỀ THI HSG LỚP 12 – BẮC NINH (1999 - 2000) (ðề này cần kiểm tra lại vì ñược ñánh máy theo một bản photocopy bị mờ, có thể có một số chi tiết không ñược chính xác) [XÁ]. Bài 1 (5 ñiểm). x − 6 x 2 − x + 1 + 1 = 0 không thể có nghiệm âm. 2 1 1 2) Tìm a sao cho với mọi x ≠ 0 ta luôn có ( x 2 + 2 ) + (1 + 3sin a )( x + ) + 3sin a > 0 . x x Bài 2 (4 ñiểm) 1) Chứng minh rằng phương trình x3 −. ðề thi HSG môn Toán. Trang 154 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Nguyễn Văn Xá 1) Cho sáu số thực dương a, b, c, x, y, z thỏa mãn 4xyz – (a x + b y + c z) = abc. Chứng minh tồn tại các 2. số α , β thỏa mãn 0 < α <. π. 2. ,0 < β <. π. 2. 2. 2. , sao cho a = 2 yz sin α , b = 2 zx sin β , và c = 2 xycos(α +β ) ..  x+y+z=a+b+c 2) Cho trước ba số dương a, b, c. Tìm các số dương x, y, z theo a, b, c, biết  . 2 2 2 4xyz − (a x+b y+c z) = abc Bài 3 (5 ñiểm) 3 3 1) Chứng minh rằng sinA + sinB + sinC ≤ . 2 log sin A sin B log sin B sin C log sin C sin A + + . 2) Cho ∆ABC không vuông, tìm giá trị nhỏ nhất của P = sin A + sin B sin B + sin C sin C + sin A Bài 4 (6 ñiểm) Cho tứ diện ABCD có BC = DA = a, CA = DB = b, AB = DC = c. Gọi G là trọng tâm tứ diện và x, y, z, t lần lượt là khoảng cách từ G ñến các mặt phẳng (DBC), (DCA), (DAB), (ABC). a. Tìm mối liên hệ giữa a, b, c ñể GA + GB + GC + GD = 3(x + y + z + t). b. Gọi α , β , γ là góc giữa các cặp ñường thẳng tương ứng BC và DA, CA và DB, AB và DC. Giả sử c < b < a . Hỏi ba ñoạn thẳng a cosα , b cosβ , c cosγ có thể dựng ñược một tam giác hay không ? (Xem thêm ñề 48).
191. ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH DỰ THI HSG QUỐC GIA ( 2001 – 2002) Ngày thi 26 -11-2001 (buổi 2) 1 1 1  3( x + ) = 4( y + ) = 5( z + ) Bài 1 (2 ñiểm) Giải hệ phương trình  x y z .  xy + yz + zx = 1 Bài 2 (2 ñiểm) Cho ∆ABC không có góc tù. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sin A + sin B + sin C E= . cos A + cos B + cos C Bài 3 (2 ñiểm) Cho hàm số f : N → N và ñồng thời thỏa mãn hai hệ thức (1). f(f(n)) = 4n + 9 với mọi n ∈ N;. (2). f(2 ) = 3 + 2. n. n+1. với mọi n ∈ N*.. Tính f(1789). Bài 4 (2 ñiểm) Chứng minh rằng mọi mặt phẳng ñi qua ñường thẳng nối hai trung ñiểm của hai cạnh ñối của một tứ diện chia tứ diện ñó thành hai phần có thể tích bằng nhau. Bài 5 (2 ñiểm) Cho n hình vuông bất kì (n ∈N*). Chứng minh rằng có thể cắt n hình vuông ñó thành những ña giác mà với những ña giác này có thể ghép lại ñược một hình vuông mới..
192. ðỀ THI HSG BẮC NINH (10 – 04 – 2002) Bài 1 (2 ñiểm) sin 3 x ln(cosx) 1/ Tìm giới hạn a. lim . b. lim . x→ 0 x2 x→ π 1 − 2 cos x 3. ðề thi HSG môn Toán. Trang 155 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Nguyễn Văn Xá 2/ Cho an = cos(π n. 3 n 3 + 3n 2 + n + 1) , n ∈ N*. Tìm lim an . n→ ∞. Bài 2 (1.5 ñiểm) Tính các tổng sau: a) Sn = sinx + sin2x + … + sinnx. b) Cn = cosx + 2cos2x + … + ncosnx. Bài 3 (2 ñiểm) 1) Giải phương trình x 3 + (1 − x 2 ) 3 = x 2(1 − x 2 ) .  x3 − 9 z 2 + 27 z = 27  2) Giải hệ phương trình  y 3 − 9 x 2 + 27 x = 27 .  z 3 − 9 y 2 + 27 y = 27  Bài 4 (1.5 ñiểm) Cho dãy số vô hạn phần tử {an}. Chứng minh rằng nếu an + an + 2 ≥ 2an +1 , ∀n ∈ N*, thì a1 + a3 + ... + a2 n+1 a2 + a4 + ... + a2 n ≥ , ∀n ∈ N*. n +1 n Bài 5 (3 ñiểm) 1) Chứng minh rằng nếu mỗi cạnh của một tam giác nào ñó ñều nhỏ hơn 1 thì diện tích của tam giác ñó 3 nhỏ hơn . 4 2) Trong tứ diện chỉ có một cạnh có ñộ dài lớn hơn 1, chứng minh rằng thể tích tứ diện ấy không vượt 1 quá . Hãy chỉ ra một tứ diện như thế. 8.
193. ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH DỰ THI HSG QUỐC GIA ( 2002 – 2003) Ngày thi 16 -10 -2002 (buổi 1) Bài 1 (2 ñiểm) Chứng minh rằng. 3. 5 2 +7 − 3 5 2 −7 = 2.. Bài 2 (2 ñiểm) Cho dãy {an} gồm vô hạn số tự nhiên thỏa mãn an =. 2an −1an +1 , n ∈ N*, n > 1. Chứng minh an −1 + an +1. rằng a1 = a2 = ... = an . Bài 3 (2 ñiểm) Cho ∆ABC. Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 ≤ + + ≤( )2 . A B C sin 2 A sin 2 B sin 2 C A B C 2 sin sin sin 4 sin sin sin 2 2 2 2 2 2 Bài 4 (2 ñiểm) Tồn tại hay không hàm số f : R→R thỏa mãn (f(x) – f(y))2 ≤ |x – y|3, ∀x, y ∈ R , và f. không phải là hằng số? Bài 5 (2 ñiểm) Cho hình chóp cụt ABC.A’B’C’. Chứng minh rằng các mặt (ABC’), (BCA’), (CAB’) cắt nhau tại một ñiểm..
194. ðỀ THI HSG BẮC NINH (2003). ðề thi HSG môn Toán. Trang 156 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Nguyễn Văn Xá 1 1 2) lim (sin + cos ) x . x→ ∞ x x. 1) lim (s inx) tanx ;. Bài 1 (2 ñiểm) Tìm các giới hạn sau:. x→. π. 2. 3. Bài 2 (2.5 ñiểm) Cho hàm số f(x) = x – 3x – 1. 1. Gọi x1 , x2 , x3 là hoành ñộ giao ñiểm của ñồ thị hàm số với trục hoành. Tính giá trị của biểu thức A = x13 x23 + x23 x33 + x33 x13 + 4 x12 x22 x32 . 2. Xét số nghiệm của phương trình f(f(x)) = 0. Bài 3 (1.5 ñiểm) 2 x − 2 y = ( y − x)( xy + 2) . 1. Giải hệ phương trình  x2 + y2 = 2  2. Tìm số k lớn nhất ñể với mọi ∆ABC ta luôn có sin2A + sin2B > ksin2C. Bài 4 (2.75 ñiểm) Cho hình chóp SABC, SA ⊥ SB, chân ñường cao hạ từ S ñến mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm ∆ABC. 1. Gọi α , β , γ lần lượt là góc tạo bởi các mặt phẳng (SAB), (SBC), (SCA) với ñáy (ABC). Tính giá trị của biểu thức T = cos2α +cos2β +cos2γ . 2. Gọi m là cạnh lớn nhất trong các cạnh bên và r là bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp SABC, tính tỉ m số . r Bài 5 (1.25 ñiểm) Cho hàm số f(tanx) = sin2x, với mọi |x| < của biểu thức P = f(sin32x).f(cos32x).. π 2. . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
195. ðỀ THI HSG BẮC NINH (2004 - 2005) Ngày thi 12 – 04 - 2005 1 Câu 1 (2 ñiểm) Tìm giới hạn: 1) A = lim ( sinx ) x −a ; x→ a. sina. cos(. π. cosx) 2 . x→0 sin(tanx). 2) B = lim. Câu 2 (2 ñiểm) x x 1. Tính ñạo hàm của hàm số f(x) = x ( x > 0), từ ñó tìm nguyên hàm của hàm số ϕ (x) = x (1 + lnx). π. 2. Tính tích phân J = ∫ sin n -1 x.cos(n+1)x.dx , trong ñó n là số nguyên dương không nhỏ hơn 2. 0.  b2 − x 2 + c 2 − x2 = a   Câu 3 (2 ñiểm) Cho ∆ABC có ñộ dài 3 cạnh là a, b, c. Giải hệ phương trình  c 2 − y 2 + a 2 − y 2 = b .  2 2 2 2  a − z + b − z = c Câu 4 (2 ñiểm) Cho ∆ABC có ñộ dài 3 cạnh là a, b, c, bán kính ñường tròn ngoại tiếp và nội tiếp là R, r, chu vi là 2p. 1. Chứng minh rằng ab + bc + ca = p2 + r2 + 4Rr. 1 1 1 2. Tính tổng + + qua p, R, r. a b c ðề thi HSG môn Toán. Trang 157 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Nguyễn Văn Xá 3. Chứng minh rằng p2 + r2 ≥ 14Rr. ( x − 19) 2 ( y − 98)2 Câu 4 (2 ñiểm) Cho elip (E) + = 1998 . Gọi R1, R2, R3, R4 lần lượt là diện tích các phần 19 98 của (E) nằm trong góc phần tư thứ nhất, thứ hai, thứ ba, thứ tư tương ứng trên ñồ thị. Hãy xác ñịnh giá trị T = R1 - R2 + R3 - R4..
196. ðỀ THI HSG BẮC NINH (2005 - 2006) Ngày thi 05 – 04 - 2006 x − s inx ( x 2 + 2005) 9 1 − 5 x − 2005 . Bài 1 Tìm giới hạn 1) lim ; 2) lim x→∞ x+sinx x →0 x Bài 2 1) Cho hàm số f(x) = x3 – 3x – 1. Tính số nghiệm của phương trình f(f(x)) = 0. 2) Tìm m ñể phương trình |x|3 – 3|x| – 2 = m(x – 2) có 4 nghiệm thực phân biệt. Bài 3 Cho hình chóp SABC có ñáy ABCD là tứ giác nội tiếp ñường tròn ñường kính AC, SA = 2BD, ∧ BAD = 60o , SA ⊥ (ABCD). Kẻ AH, AK lần lượt vuông góc với SB, SD tại H, K. Hãy tính góc giữa hai mặt phẳng (AHK) và (ABCD). 13 . Bài 4 Cho các số không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng x2 + y 2 + z2 + 4xyz ≥ 27 Dấu ñẳng thức xảy ra khi nào? Bài 5 Cho hàm số f xác ñịnh bởi f(x) = f(x + 3).f(x – 3), ∀ x ∈ R . Chứng minh f là hàm tuần hoàn..
197. ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH DỰ THI HSG QUỐC GIA ( 2005 – 2006) Ngày thi 20 -10 -2005 4  x − y 2 + 2 xy + 2 y = 0 Câu 1 (4 ñiểm) Giải hệ phương trình  . 2  x + y − x −1 = 0 A B C Câu 2 (4 ñiểm) Cho ∆ABC, tìm giá trị nhỏ nhất của T = tan 2 + 3(tan 2 + tan 2 ) . 2 2 2 Câu 3 (4 ñiểm) Tìm tất cả các hàm số f(x) xác ñịnh và có ñạo hàm trên R , thỏa mãn f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy, ∀ x, y ∈ R . Câu 4 (4 ñiểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp ñường tròn (O). Tiếp tuyến của (O) tại A và C cắt nhau ở Q, tiếp tuyến của (O) tại B và D cắt nhau ở P. Chứng minh rằng P ∈ AC ⇔ Q ∈ BD. n. n. Câu 5 (4 ñiểm) Chứng minh rằng hai số 2005 và (2005 + 5 dương.. n. ) có số chữ số bằng nhau với mọi n nguyên.
198. ðỀ THI THAM KHẢO HSG Bài 1 Chứng minh phương trình xn + px + q = 0 (p, q ∈ R, n ∈N*) không thể có quá 2 nghiệm thực nếu n chẵn và không thể có quá 3 nghiệm thực nếu n lẻ.. ðề thi HSG môn Toán. Trang 158 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Nguyễn Văn Xá Bài 2 Cho hàm số f(x) liên tục trên [0; 2], khả vi trên (0; 2), và |f ’(x)| ≤ 1, ∀x∈ (0; 2), f(0) = f(2) = -1. 2. Chứng minh rằng 1 ≤ ∫ f ( x) dx ≤ 3 . 0. Bài 3 Xét sự hội tụ của dãy {un} xác ñịnh bởi u0 ∈ [0; 1], un + 1 = sin2un, ∀ n = 1, 2, 3, … Bài 4 Cho f : [a; b] → R liên tục và thỏa mãn |f(x) – f(y)| > x – y, ∀x∈ [a; b], x ≠ y. Chứng minh rằng tồn tại x0 ∈ [a; b] sao cho f(x0) ∉ [a; b]. - 2006x Bài 5 Tìm hàm f xác ñịnh và ñồng biến (0; + ∞ ), thỏa mãn f(x + 2006) – f(x) = e , ∀ x ∈ (0; + ∞ ).. Bài 6 Cho hàm f khả vi ñến cấp 2 trên (0; + ∞ ), có lim f ( x) = 0 và |f ’’(x)| ≤ 1, ∀ x ∈ 0; + ∞ ), Chứng x →+∞. minh rằng lim f '( x) = 0. x →∞. 1. Bài 7 Chứng minh 1 ≤. ∫. 1 + x 4 dx ≤. 0. 4 . 3. Bài 8 Giả sử hàm f khả vi trên ñoạn [a; b] và |f ’(x)| ≤ M với mọi x ∈ [a; b]. Chứng minh rằng b. |f(x)| ≤ M(b – a), ∀x ∈ [a; b], và. ∫a f ( x)dx ≤. M (b − a) 2 . 2. Bài 9 Hai hàm f, g có ñạo hàm ñến cấp hai liên tục trên ñoạn [a; b] và f(a) = g(a) = f(b) = g(b) = 0. Chứng minh rằng. b. b. b. b. a. a. a. a. ∫ f ( x) g ''( x)dx = ∫ f ''( x) g ( x)dx . Từ ñó chứng minh ∫ ( x − a)( x − b) f ''( x)dx = −2∫ f ( x)dx . Giả. thiết nào của f, g tại a và b có thể cho cùng kết quả? Bài 10 Cho a < c < b, hàm f liên tục trên các ñoạn [a; c] và [c; b]. Chứng minh f liên tục trên ñoạn [a; b]..
199. ðỀ THI THAM KHẢO HSG 2001 Bài 1 Chứng minh rằng mọi nghiệm của phương trình x = 1 – 2001.x ñều là nghiệm cuat phương trình 2001 2001 x = 1 – 2001(1- 2001.x ) . Bài 2 Chứng minh rằng với mọi ∆ABC ta có A B C A B C 3 a) sin + sin + sin + tan + tan + tan ≥ + 3 . 2 2 2 2 2 2 2 3 3. 2 b) (sin A)sin A .(sin B )sin B .(sin C )sin C > ( ) 3. 2. .. 7 + cos 2 x . 4 Bài 4 Trong mặt phẳng Oxy cho B(- m; 0), C(m; 0) cố ñịnh, m ≠ 0. Gọi A là ñiểm thay ñổi trong mặt. Bài 3 Giải phương trình lượng giác 1 + sin x + 1 − sin x =. phẳng và thỏa mãn ñiều kiện: tung ñộ của A bằng 3 lần tung ñộ ñiểm I là tâm ñường tròn nội tiếp ∆ABC. Tìm quỹ tích ñiểm I. Bài 5 Giải hệ phương trình và bất phương trình ðề thi HSG môn Toán. Trang 159 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Nguyễn Văn Xá 1 1 1  1  2 2 2 8 x(2 x 2 − 1)(8 x 4 − 8 x 2 + 1) = 1 3( x + ) = 4( y + ) = 5( z + ) 32 x( x − 1)(2 x − 1) = 1 − x y z . a)  . b)  x . c)  0 ≤ x ≤1    0 < x <1 xy + yz + zx = 1  Bài 6 Chứng minh rằng trong một tứ diện, tích của các cặp cạnh ñối chia cho tích các sin của nhị diện tương ứng bằng nhau (nhị diện tương ứng là nhị diện nhận cạnh ñó làm cạnh)..
200. ðỀ THI THAM KHẢO HSG Bài 1 Giải phương trình 1 1 35 1 + 2x 1 − 2x 1 1 4 3 + + = . b) + = . c) 1 − 2 x + 1 + 2 x = . a) 2 1− 2x 1+ 2x x 12 1− 1− x 1+ 1− x 1− x 1− x Bài 2 a) Cho ∆ABC ñều cạnh a, P và Q là hai ñiểm di ñộng trên AB, AC tương ứng và thỏa mãn 1 1 3 + = . Chứng minh rằng ñường thẳng PQ luân ñi qua ñiểm cố ñịnh. AP AQ a b) Cho ∆ABC nội tiếp ñường tròn (O), M ∈ (O). Chứng minh rằng MA 4 + MB4 + MC4 có giá trị là hằng số không phụ thuộc vào ñiểm M. AP BP CP Bài 3 Cho O.ABC là tam diện vuông ñỉnh O, ñiểm P ∈ (ABC). ðặt u = ,v= ,w= , và gọi AO BO CO Chứ∧ ng minh u2 + v2 + w2 = cot2 α . α là góc giữa OP và (ABC).∧ ∧ ∧ Bài 4 Cho tứ giác ABCD có B + D < A + C. Gọi R1, R2, R3, R4 lần lượt là bán kính ñường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, BCD, CDA, DAB. CMR R1 R3 < R2 R4. Bài 5 1 yz zx xy 1) Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng x cos A + y cos B + z cos C ≤ ( + + ) . 2 x z y x2 ≥ cosA+x(cosB+cosC) . 2 Bài 6 Cho n ∈N*, cho dãy gồm n số (un) cho bởi uk = C 2nn+ k .C 2nn− k với k = 1, 2, …, n. Xét tính ñơn ñiệu của. 2) Chứng minh rằng với mọi số thực x và mọi ∆ABC ta có 1 +. dãy số (un).. ========== HẾT ==========. Năm tháng sẽ trôi qua một cách vô vị ñối với những ai nhìn tương lai qua một cặp kính viễn vọng của nhà thông thái và chỉ biết hái hoa của hiện tại, nhưng ai biết sử dụng thời gian giống như một cái cây cứ mỗi năm cao thêm một ngấn, thì họ sẽ có hạnh phúc!. ðề thi HSG môn Toán. Trang 160 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(18)</span>