Chuyên đề Sử dụng tính chất trung điểm để tìm hàm số có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số đã cho qua một điểm, một đường thẳng

<span class='text_page_counter'>(1)</span>I. Đặt vấn đề Trong chương trình Toán THPT những bài toán về hàm số rất đa dạng và phong phú, đã có nhiều cuốn sách viết về các chuyên đề xung quanh hàm số. Tuy nhiên, với chuyên đề “Tìm hàm số có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số cho trước qua một điểm, qua một đường thẳng” thì không được trình bày trong sách giáo khoa, ở rải rác các sách tham khảo, một số tác giả đã viết một số bài tập với lời giải dựa trên công thức đổi trục toạ độ, với phương pháp này học sinh phải nhớ công thức đổi trục toạ độ, nhớ được tính chất của hai hàm số đối xứng nhau qua gốc toạ độ, qua trục hoành, qua trục tung. Với chuyên đề “Tìm hàm số có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số cho trước qua một điểm, qua một đường thẳng”. Nếu chỉ dừng lại ở cách giải thông thường nhờ phương pháp đổi trục toạ độ thì đó là điều bình thường. ở đây ta hãy nhìn vấn đề dưới góc độ khác, cách giải quyết khác để giải quyết bài toán hiệu quả hơn và có thÓ më réng sang c¸c bµi to¸n phøc t¹p h¬n. Trong bài viết này, tôi muốn trao đổi cùng các bạn đồng nghiệp về “Sử dụng tính chất trung điểm để tìm hàm số có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số đã cho qua mét ®iÓm, mét ®­êng th¼ng”. Tôi hy vọng phương pháp này sẽ giúp các em học sinh giải quyết tốt các bài tập cùng dạng trong các kỳ thi vào Đại học, Cao đẳng và khích lệ tinh thần say mê sáng tạo trong học tập của các em, góp phần nâng cao chất lượng cho học sinh Tỉnh nhµ. II. Néi dung 1/ Lý thuyết: Xét trong hệ trục toạ độ Oxy. + Hai điểm: A(x1; y1) và B(x2; y2) đối xứng nhau qua I(x0; y0).  I lµ trung ®iÓm cña AB. x  x 2  2 x 0  1 y 1  y 2  2 y 0. + Hai điểm: A(x1; y1) và B(x2; y2) đối xứng nhau qua đường thẳng x = a.  I lµ trung ®iÓm cña AB; víi I(a; y1) x  x 2  2 a   1 y 1  y 2. + Hai điểm: A(x1; y1) và B(x2; y2) đối xứng nhau qua đường thẳng y = b.  I lµ trung ®iÓm cña AB; I(x1; b) x  x 2   1 y 1  y 2  2 b 2 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> + Hai điểm: A(x1; y1) và B(x2; y2) đối xứng nhau qua đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) (d)..  I lµ trung ®iÓm cña AB; I(x0; y0) lµ h×nh chiÕu cña A trªn ®­êng th¼ng x  x 2  2 x 0   1 y 1  y 2  2 y 0. 2/ C¸c bµi to¸n. Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xøng víi (C) qua ®iÓm I(x1; y1). Bµi gi¶i: Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C). B(x; y) là điểm đối xứng với A qua điểm I.  I lµ trung ®iÓm cña AB x  x  2 x 1 x  2 x 1  x   0   0  A(2 x1  x;2 y 1  y ) y  y  2 y y  2 y  y  0  0 1 1. Mµ A  (C)  2y1 – y = f(2x1 – x).  y = g(x) KÕt luËn: y = g(x) lµ hµm sè cÇn t×m. VÝ dô 1: Cho y = x3 – 3x + 1 (C) Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua điểm I(1; 1) Bµi gi¶i: Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C). B(x; y) là điểm đối xứng với A qua điểm I.  I lµ trung ®iÓm cña AB x  x  2 x I  2 x  2  x   0   0  A(2  x;2  y ) y  y  2 y  2 y  2  y  0  0 I. Do A  (C)  2 – y = (2 – x)3 – 3(2 – x) + 1.  y = x3 – 6x2 + 9x - 1 KÕt luËn: Hµm sè cÇn t×m lµ y = x3 – 6x2 + 9x – 1.. 3 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> VÝ dô 2: Cho y =. 2x  1 (C) x 1. Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua điểm I(2; 1) Bµi gi¶i: Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C). B(x; y) là điểm đối xứng với A qua điểm I.  I lµ trung ®iÓm cña AB x  x  2 x I  4 x  4  x   0   0  A(4  x;2  y ) y 0  y  2 y I  2 y 0  2  y. Do A  (C)  2 – y =. 2(4  x) 3  y= 4  x 1 x3. KÕt luËn: Hµm sè cÇn t×m lµ y =. 3 x3. * Ngay cả với những đường cong không là đồ thị của một hàm số, ta cũng giải quyÕt bµi to¸n dÔ dµng nhê c«ng thøc trung ®iÓm; Ta xÐt vÝ dô sau: x2 y2  VÝ dô 3: Cho (E): =1 9 4. I(3;2).. Tìm phương trình của đường cong (C) mà (C) đối xứng với (E) qua điểm. Bµi gi¶i: Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (E). B(x; y) là điểm đối xứng với A qua điểm I.  I lµ trung ®iÓm cña AB. x 0  x  6 x  6  x     0  A(6  x;4  y ) y 0  y  4 y 0  4  y (6  x ) 2 ( 4  y ) 2  1 Do A  (E)  9 4 ( x  6) 2 ( y  4) 2  1 Kết luận: Đường cong cần tìm có phương trình 9 4. Bµi to¸n 2: Cho hµm sè y = f(x), (C) 4 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua đường thẳng y = b. Bµi gi¶i: Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C). I(x0; b) B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đường thẳng y = b..  I lµ trung ®iÓm cña AB x  x x  x   0   0  A(x;2 b  y ) y 0  y  2 b y 0  2 b  y. Mµ A  (C)  2b – y = f(x).  y = g(x) KÕt luËn: y = g(x) lµ hµm sè cÇn t×m. VÝ dô 1: Cho hµm sè y = x3 – 3x2 + 2 (C). Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua đường thẳng y = 1. Bµi gi¶i: Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C). I(x0; 1) B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đường thẳng y = 1..  I lµ trung ®iÓm cña AB x  x x  x   0   0  A(x;2  y ) y 0  y  2 y 0  2  y. Mµ A  (C)  2 – y = x3 – 3x2 + 2.  y = -x3 + 3x2 KÕt luËn: Hµm sè cÇn t×m lµ y = -x3 + 3x2. VÝ dô 2: (Häc viÖn kü thuËt qu©n sù – 1999). Cho hµm sè y =. x2  x  2 (C) x2. Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua đường thẳng y = 2. Bµi gi¶i: Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C). I(x0; 2) B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đường thẳng y = 2..  I lµ trung ®iÓm cña AB 5 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> x  x x  x   0   0  A(x;4  y ) y  y  4 y  4  y  0  0. Mµ A  (C)  4 – y =. x2  x  2 x2. x 2  3x  6  y= 2x x 2  3x  6 KÕt luËn: Hµm sè cÇn t×m lµ y = . 2x Bµi to¸n 3: Cho hµm sè y = f(x); (C) Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua đường thẳng x = a. Bµi gi¶i: Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C). I(a; y0) B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đường thẳng x = a..  I lµ trung ®iÓm cña AB x  x  2 a x  2 a  x   0   0  A(2a  x; y ) y 0  y y 0  y. Mµ A  (C)  y = f(2a-x).  y = g(x). KÕt luËn: y = g(x) lµ hµm sè cÇn t×m. VÝ dô 1: Cho hµm sè y = x3 – 3x2 + 2 (C) Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua đường thẳng x=-1. Bµi gi¶i: Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C). I(-1; y0) B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đường thẳng x = -1..  I lµ trung ®iÓm cña AB x  x  2 x  2  x   0   0  A(2  x; y ) y  y y  y  0  0. Mµ A  (C)  y = (-2 – x)3 – 3(-2 – x)2 + 2.  y = -x3 – 9x2 – 24x - 18 6 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> KÕt luËn: Hµm sè cÇn t×m lµ y = -x3 – 9x2 – 24x - 18. VÝ dô 2: Cho hµm sè y =. 2x  1 (C) x2. Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua đường thẳng x = 1. Bµi gi¶i: Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C). I(1; y0) B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đường thẳng x = 1..  I lµ trung ®iÓm cña AB x  x  2 x  2  x   0   0  A(2  x; y ) y  y y  y  0  0. Mµ A  (C)  y =.  y=. 2(2  x)  1 2x2 2x  5 . x. KÕt luËn: Hµm sè cÇn t×m lµ y =. 2x  5 . x. Bµi to¸n 4: Cho hµm sè y = f(x); (C) Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua đường thẳng (d): y = ax + b. (a ≠ 0). Bµi gi¶i: + Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C). + Viết phương trình đường thẳng (Δ) qua A và vuông góc với (d). y=. 1 (x – x0) + y0 a. (Δ). + Tọa độ giao điểm I của (Δ) và (d) là nghiệm của hệ: y  ax  b   1 y  (x  x 0 )  y 0  a. x    I y I . + B(x; y) đối xứng với A qua đường thẳng (d)  I là trung điểm của AB.. 7 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> x  x 0  2 x I x  2 x I  x     0 y  y 0  2 y I y 0  2 y I  y.  A(2xI – x; 2yI – y). + Do A  (C)  2yI – y = f(2xI – x)..  y = g(x) KÕt luËn: y = g(x) lµ hµm sè cÇn t×m. VÝ dô 1: (§¹i häc l©m nghiÖp – 2001). Cho hµm sè y =. 3x  1 (C) x3. Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua đường thẳng (d): x + y – 3 = 0. Bµi gi¶i: + Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C). + Phương trình đường thẳng (Δ) qua A và vuông góc với (d) là: y = (x – x0) + y0. (Δ). + Tọa độ giao điểm I của (Δ) và (d) là nghiệm của hệ: y   x  3  y  x  x 0  y 0. 3  x0  y0  x  I  2   y  3  x 0  y 0  I 2. + B(x; y) đối xứng với A qua đường thẳng (d)  I là trung điểm của AB. x  x 0  2 x I  3  x 0  y 0 x  3  y     0 y  y 0  2 y I  3  x 0  y 0 y 0  3  x.  A(3-y; 3-x). + Do A  (C)  3 - x =.  y=. 3(3  y )  1  10  3 3y3 y. 10 x. KÕt luËn: Hµm sè cÇn t×m lµ y =. 10 . x 8 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> VÝ dô 2: Cho hµm sè y = x2 + 2x + 3 (C). Tìm phương trình của đường cong (P) mà (P) đối xứng với (C) qua đường th¼ng (d): y = x – 1. Bµi gi¶i: + Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C). + Phương trình đường thẳng (Δ) qua A và vuông góc với (d) là: y = - (x – x0) + y0. (Δ). + Tọa độ giao điểm I của (Δ) và (d) là nghiệm của hệ: y  x  1  y   x  x 0  y 0. 1  x0  y0  x  I  2   y   1  x 0  y 0  I 2. + B(x; y) đối xứng với A qua đường thẳng (d)  I là trung điểm của AB. x  x 0  2 x I  1  x 0  y 0 x  y  1     0 y  y 0  2 y I  1  x 0  y 0 y 0  x  1.  A(y + 1; x - 1). + Do A  (C)  x - 1 = (y + 1)2 + 2(y + 1) + 3.  x = y2 + 4y + 6. Kết luận: Đường cong cần tìm có phương trình x = y2 + 4y + 6 (P) * (C) là Parabol có đỉnh tại điểm M(-1; 2) và có trục đối xứng là đường thẳng x = -1; (P) là Parabol có đỉnh tại điểm N(2; -2) và có trục đối xứng là ®­êng th¼ng y = -2. Chú ý: Các bài toán 1, 2, 3 đều có thể giải được bằng phương pháp đổi trục toạ độ; Ta lấy một ví dụ: (Học viện kỹ thuật quân sự – 1999).. x2  x  2 Cho hµm sè y = (C) x2 Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua đường thẳng y = 2. Bµi gi¶i: + §æi hÖ trôc Oxy vÒ hÖ trôc IXY gèc I(0; 2) theo c«ng thøc: x  X  y  2  Y 9 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> X2  X  2 + Hàm số đã cho trở thành 2 + Y = X2 X2  X  2 = F(X).  Y= X2 + Do hàm số cần tìm đối xứng với (C) qua đường thẳng y = 2 (trục hoành đối víi hÖ IXY) nªn hµm sè cÇn t×m cã d¹ng: Y = - F(X). X2  X  2  Y=X2 x2  x  2  y–2=x2 x 2  3x  6  y= 2x x 2  3x  6 KÕt luËn: Hµm sè cÇn t×m lµ: y = . 2x Nhận xét 1: Bạn đọc tự so sánh cách giải này với cách giải dùng tính chất trung điểm (Bài toán 2 – ví dụ 2) để thấy được tính ngắn gọn trong việc trình bày; sử dụng tính chất trung điểm, học sinh không phải dùng đến các tính chất khác của hµm sè. Nhận xét 2: Sử dụng phương pháp đổi trục toạ độ còn có hạn chế thứ 2 đó là: chỉ giải quyết được khi (C) là đồ thị của hàm số; khi đường cong đã cho không là đồ thị của một hàm số mà muốn sử dụng phương pháp đổi trục toạ độ ta phải tách đường cong ra từng phần sao cho đường cong trong mỗi phần đó ứng với một hàm số xác định sau đó mới áp dụng công thức đổi trục. x2 y2  Ta xÐt mét vÝ dô: (E) = 1 (1) 9 4. Rõ ràng đương cong (E) không là đồ thị của hàm số (vì tồn tại đường thẳng song song với Oy mà cắt (E) tại hai điểm). Để tìm một đường cong đối xứng với (E) qua một điểm hay qua một đường thẳng theo phương pháp đổi trục toạ độ ta ph¶i lµm nh­ sau: + (1)  y = . 1 36  4 x 2 3. Khi đó ta có hai hàm số: y = f(x) =. 1 36  4 x 2 3. 10 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> y = g(x) = . 1 36  4 x 2 3. Sau đó ta áp dụng công thức đổi trục toạ độ cho từng hàm số, cuối cùng hợp l¹i ta ®­îc ®­êng cong cÇn t×m. Vậy phương pháp đổi trục toạ độ đối với những đường cong không là hàm số thì lời giải rõ ràng dài dòng và phức tạp. Trong khi đó nếu sử dụng tÝnh chÊt trung ®iÓm ta cã lêi gi¶i qu¸ ng¾n gän vµ hiÖu qu¶ (xem bµi to¸n 1 – vÝ dô 3). 3/ Bµi tËp luyÖn tËp. Bµi 1: Cho hµm sè y = x2 + 2x – 5 (P) 1, Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (P) qua điểm I(-1; 1). 2, Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (P) qua đường thẳng x=3. 3, Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (P) qua đường thẳng y = -1. 4, Tìm phương trình đường cong đối xứng với đồ thị (P) qua đường thẳng x + y + 2 = 0. Bµi 2: Cho y = x +. 1 (C) x 1. 1, Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua điểm I(2; 1). 2, Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua đường thẳng x = -1. 3, Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua đường thẳng y = 2. 4, Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua đường thẳng y = x + 3. x2 y2  1 Bµi 3: Cho (E) 16 9. Tìm phương trình các đường cong (E1), (E2), (E3), (E4) sao cho. 1, (E1) đối xứng với (E) qua điểm I(4; 5). 2, (E2) đối xứng với (E) qua đường thẳng x = 5. 3, (E3) đối xứng với (E) qua đường thẳng y = -3. 4, (E4) đối xứng với (E) qua đường thẳng x – y = 0. III. KÕt luËn. + Nếu nhìn nhận bốn bài toán trên theo cách nhìn thông thường (đổi trục toạ độ) thì đó là 4 bài toán riêng biệt: Đối xứng qua gốc toạ độ, đối xứng qua trục hoành, đối xứng qua trục tung (xét trong hệ toạ độ mới). Xong nếu sử dụng tính chÊt trung ®iÓm th× bèn bµi to¸n trªn ®­îc xem nh­ lµ mét, nh­ vËy tÝnh chÊt trung điểm đã là phương pháp chung cho cả bốn bài toán đó, học sinh vận dụng dẽ dàng 11 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> và đạt hiệu quả tốt trong quá trình làm bài. Hơn nữa phương pháp trung điểm còn khắc phục được những khó khăn của phương pháp đổi trục toạ độ đối với các đường cong chưa là đồ thị của hàm số. + Trong quá trình giảng dạy ngoài việc đổi mới phương pháp giảng dạy, giáo viên cũng phải thường xuyên làm giàu thêm chi thức của mình thông qua các hoạt động chuyên đề, dự giờ v.v. Mỗi nét thông minh sáng tạo của học trò, những lời giải hay, những câu hỏi tưởng trừng ngớ ngẩn v.v… Tất cả những điều đó đều giúp người thày tự điều chỉnh phương pháp cũng như nội dung để kết quả giảng dạy ngµy mét cao h¬n. + Chuyên đề này tôi đã áp dụng giảng dạy trong nhiều năm, nhất là các em häc sinh líp 12, c¸c em tá ra rÊt hµo høng tiÕp thu – vËn dông tèt vµ gi¶i quyÕt cã hiệu quả các bài tập dạng này; Tuy nhiên tôi không bỏ qua việc giới thiệu phương pháp đổi trục toạ độ để kiến thức của các em hoàn chỉnh hơn ở mọi phương diện; qua đó các em cũng thấy được tính tư duy mềm dẻo và sáng tạo trong toán học là ®iÒu rÊt cÇn thiÕt vµ t¨ng thªm tÝnh say mª, t×m tßi, s¸ng t¹o trong häc tËp cña c¸c em. + Tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp đã đọc và góp ý cho chuyên đề này.. 12 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span>