Phân bậc hoạt động chứng minh Bất đẳng thức

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Phân bậc hoạt động chứng minh BĐT I.Chứng minh BĐT bằng phương pháp “ cân bằng bậc” : * Phương pháp : Nếu VT và VP của BĐT cần CM là 2 đa thức đẳng cấp nhưng khác bậc thì ta cần tìm cách biến đổi sao cho 2 vế của BĐT cần chứng minh có cïng bËc Bµi 1: cho a+b = 2 .CMR : a4 + b4  a3 + b3 (1) LG :. 1  2a. 4.  b 4  2a 3  b 3 .  2a 4  b  (a  b)(a 3  b 3 )  a 4  b 4  ab 3  a 3 b  0.  a (a 3  b 3 )  ba 3  b 3  0  (a  b)(a 3  b 3 )  0. (luôn đúng vì a - b và a3 - b3 cùng dấu )  đpcm Bµi 2: Cho a + b + c = 3. CMR: a 4  b 4  c 4  a 3  b 3  c 3 2. 2  3a  b  c  3a  b  c  3a  b  c  a  b  c a LG:  a  b a  b  b  c b  c  (c  a )c  a  0 (luôn đúng vì x  y x  y  0, x, y  R ) 4. 4. 3. 4. 3. 3. 3. 3. 3. 3. 3. 4. 4. 3. 4. 3.  b3  c3 . 3. 3. Bµi 3: Cho x, y  0 vµ x3 + y3 = x - y CMR: x2 + y2 < 1 (3) LG : V× x> 0 , y> 0  x3 + y3 > 0 mµ x3 + y3 = x - y nªn x - y > 0. 3  x  y x. 2.  y 2  x 3  y 3.  x 3  xy 2  x 2 y  y 2  x 3  y 3 2. y 7y3   y2 y 2  xy  x 2  y   (  x) 2   0 2  4 . (luôn đúng vì y > 0) Bài 4: Giả sử phương trình : x3 - x2 + ax + b = 0 (*) có 3 nghiệm phân biệt thực CMR : a2 + 3b > 0 (4) LG : Giả sử x1 , x2 , x3 là 3 nghiệm phân biệt của phương trình (*). Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> x 1  x 2  x 3  1   x 1 x 2  x 2 x 3  x 3 x 1  a x x x   b  1 2 3 ( 4) . 4  ( x x 1.  x 2 x 3  x 1 x 3 ) 2  3x 1 x 2 x 3  x 1 x 2  x 2 x 3  x 3 x 1   3x 1 x 2 x 3 x 1  x 2  x 3  2. 2.  ( x 1 x 2  x 2 x 3 ) 2  x 2 x 3  x 3 x 1   x 3 x 1  x 1 x 2.  0 2. 2. Lu«n cã : x 1 x 2  x 2 x 3 2  x 2 x 3  x 3 x 1 2  x 3 x 1  x 1 x 2   0* x 1 x 2  x 2 x 3  0  DÊu “=” x¶y ra  x 2 x 3  x 3 x 1  0  x 1  x 2  x 3  0 (tr¸i gi¶ thiÕt 3 nghiÖm x x  x x  0 1 2  3 1. phân biệt) dấu bằng không xảy ra (4) đúng . II.Kỹ thuật tách nghịch đảo khi sử dụng BĐT Cauchy: * Phương pháp : Tách phần nguyên theo mẫu số để khi áp dung BĐT Cauchy th× phÇn chøa biÕn bÞ triÖt tiªu . Bµi 1 : CMR:. a b   2, a , b  0 b a a b  0,  0 : b a. LG: ¸p dông B§T Cauchy cho. a b a b  2 . 2 b a b a. a b   a 2  b 2  a  b (v× ab > 0) b a a b Bµi 2: CMR:   2, ab  0 b a a b a b LG: vì .  1  , cùng dấu ,do đó ta có : b a b a a b a b Cosi a b    2 2 b a b a b a. DÊu “=” x¶y ra . Bµi 3: T×m min y  log x 1 3  x 2  log 3 x x 2  1 LG: Gsử hàm số được xác định. Khi đó vì log 3 x x 2  1 và log x 1 (3  x 2 ) cùng dÊu nªn : y  log x 1 3  x 2  log 3 x x 2  1 2. 2. 2. 2. 2. Lop10.com. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> = log x 1 2. 3  x   log x 2. 3 x 2. 2.  1  2 Cosi. log x. 3  x log x 2. 2. 1. 2. 3 x 2.  1  2. DÊu “=”x¶y ra  x =  1 . VËy Min y = 2. a2  2. Bµi 4: CMR:.  2, a  R a 2 1 a 2  2 (a 2  1)  1 1 Cosi 2   a  1  2 LG: 2 a 1 a 2 1 a 2 1 1 Bµi 5: CMR: a   3, a  b  0 b (a  b ) 1 1 LG: a   b  (a  b )  b (a  b ) b (a  b ). a 2  1.. 1 a 2 1.  2, a  R. Do a > b > 0  a - b > 0 nªn : Cosi 1 1 1  33 b(a  b)  3 (®pcm).  b  (a  b )  b (a  b ) b (a  b ) b (a  b ) a  b a 2  b2 Bµi 6 : CMR:  2 2 , a, b tho¶ m·n:  ab ab  1. a. LG: cã a > b  a - b > 0. a 2  b 2 a  b   2ab 2 Cosi 2  ab  2 a  b   2 2 (®pcm). ab ab ab ab 2. III. Phương pháp toạ độ : *Phương pháp : Sử dụng tính chất:     +) a  b  a  b +) Cho A, B, C lµ 3 ®iÓm bÊt kú ,ta cã: AB  AC  AB  AC AB  AC  BC. Chó ý : AB  AC  2AI ,I lµ trung ®iÓm cña BC Bµi 1: Cho ®iÓm A(2;3).T×m 2 ®iÓm BC trªn Ox sao cho BC = 6 vµ AB + AC nhá nhÊt? LG : Trong hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy ,gọi B (b ; 0) và C (c ; 0). Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>  AB  AB  (b  2) 2  9 AC  AC  (c  2) 2  9 BC  BC  (b  c) 2  b  c  6. Ta cã : AB  AC  AB  AC  2 AI , I lµ trung ®iÓm cña BC ; I(. bc ;0) 2. AI nhá nhÊt  AI  BC  I(2; 0) AI = 3 B(5; 0) vµ C(-1; 0) hoÆc B(-1;. 0), C(5; 0) VËy B(5; 0) vµ C(-1; 0) hoÆc B(-1; 0)vµ C(5; 0) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn bµi to¸n . Bµi 2 : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña : f ( x )  x 2  2x  2  x 2  2x  2 LG : ta cã f ( x )  x 2  2x  2  x 2  2x  2 . x  1. 2. 1 . x  1. 2. 1. §Æt A(1;-1), B(-1; 1) , M(x; 0)  AB  2 2 ; AM  ( x  1) 2  1 ; BM . x  1. 2. 1. ¸p dung B§T tam gi¸c ta cã: AM + BM  AB  x  12  1  x  12  1  2 2 DÊu “=” x¶y ra khi x = 0 .VËy Min f(x) = 2 2 . Bµi 3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña : A  x 2  2ax  2a 2  x 2  2bx  2b 2 ,a  b LG: Ta cã : A  x 2  2ax  2a 2  x 2  2bx  2b 2 = x  a 2  a 2  x  b 2  b 2 §Æt A(x-a; a) vµ B(x-b;-b)  AB  a  b;a  b  Ta cã OA  OB  x  a 2  a 2  x  b 2  b 2  AB  a  b 2  a  b 2 = 2a 2  b 2  VËy Min A = 2a 2  b 2 . Bµi 4: CMR: a 2  b 2  c 2  d 2  a  c 2  b 2  d 2  LG:   Trong hệ toạ độ Oxy chọn u  a; b ; v  c; d       u  v  uv 2  a 2  b 2  c 2  d 2  a  c   b 2  d 2 (®pcm) Bµi 5: CMR: a 2  ab  b 2  a 2  ac  c 2  b 2  bc  c 2. Lop10.com. (5).

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 2. 2. 2. b  3b 2 c  3c 2 c  3c 2    LG: Ta cã (5)   a     a     b    2 4 2 4 2 4     b 3b     c 3c      bc 3  , v     a  ;   uv    §Æt u   a  ; ; b  c      2  2 2 2 2 2        2. 2. 2. b 3b 2 c  3c 2      bc 3 2  u  v  u  v   a     a        b  c  2 4 2 4    2  4.  a 2  ab  b 2  a 2  ac  c 2  b 2  bc  c 2. (®pcm). Bµi 6: CMR: 4 cos 2 x cos 2 y  sin 2 x  y   4 sin 2 x sin 2 y  sin 2 ( x  y)  2   LG: đặt u  (2 cos cos y, sin( x  y)) ; v  (2 sin x sin y, sin( x  y))    u  v  (2 cos( x  y);2 sin( x  y))     Ta cã u  v  u  v  4 cos 2 x cos 2 y  sin 2 x  y   4 sin 2 x sin 2 y  sin 2 ( x  y)  2 (®pcm) IV.Sử dụng phương pháp quy nạp Bµi 1 : CMR nÕu a, b, c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c vu«ng víi c lµ c¹nh huyÒn thì với mọi số nguyên dương n ta đều có : a2n+ b2n  c2n (1) LG : với n = 1 ,(1) có dạng a2 + b2  c2 (BĐT đúng vì theo định ly Pitago thì: a2n+ b2n = c2n ) Giả sử rằng : a2n+ b2n  c2n đúng với mọi n nguyên dương và n  k ,ta cần CMR: a2(k+1)+ b2(k+1)  c2(k+1) . ThËt vËy a2(k+1)+ b2(k+1) = a2k.a2 + b2k.b2 < a2kc2 + b2kc2 = c2(a2k + b2k)  c2 .c2k = c2(k+1)VËy BĐT(1) được cm cho mọi số nguyên dương n Bài 2: CMR : với mọi số nguyên dương n > 1 ta có : 1 1 1 13   ...   n 1 n  2 2n 24. LG: Ký hiÖu vÕ tr¸i cña B§T lµ Sn . Víi n = 2 ,ta cã : Sn . 1 1 7 13 (đúng)    2  1 2.2 12 24. Giả sử BĐT đúng với 2 n  k ta chứng minh rằng nó đúng với n = k+1 ThËt vËy ta cã :. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 1 1 1   ...  (k  1)  1 (k  1)  2 2(k  1) 1 1 1 1 , từ đó ta có :    ...   k 2 k 3 2k  1 2k  2 1 1 1 1 S k 1  S k    =  0, khik  1 . 2k  1 2k  2 k  1 2(k  1)(2k  1) 13 Do đó Sk+1 > Sk > .Vậy BĐT được chứng minh cho mọi n >1 . 24 Sn . Bài 3 : CMR với mọi n nguyên dương ta đều có : 2n+2 > 2n +5 LG: Với n=1 có : 21+2 = 23 = 8 > 2.1+5 ,hay bất đẳng thức đúng . Giả sử BĐT đúng với n = k tức là : 2k+2 > 2k +5 ,ta chứng minh rằng nó đúng víi n = k+1 tøc lµ : 2k+1+2 > 2(k+1) +5 ThËt vËy ,theo gi¶ thiÕt ,ta cã : 2k+1+2 = 2. 2k+2 > 2(k +5) = 4k + 10 > 2k +7 = 2(k+1) +5 Vậy BĐT đúng với mọi số nguyên dương Bài 4 (BĐT Bec_nu_li): CMR với n nguyên dương và với mọi số thực -1, đều có : (1+)n1 + n . DÊu “=” x¶y ra  =0 hoÆc n=1 LG: n=1, R : (1)trở thành đẳng thức =0 , nZ: (1) trở thành đẳng thức Ta CM: (1+)n > 1+n (2) n2, nZ, >-1, 0 +) víi n=2: (1+)2 = 1 + 2 + 21+ 2 ; 0 , tức là BĐT (2)đúng với n=2 +)giả sử (2) đúng với n, ta cm đúng với n+1 ,tức là : (1+)n+1> 1+ (n+1) , -1, 0 ThËt vËy ,(1+)n+1 = (1+ )n (1+) > (1+n)(1+) = 1+ (n+1) + n2 > 1+(n+1)  (®pcm) V. Dùng phương pháp biến đổi tương đương: Bµi 1 : CMR : víi mäi a, b, c : a2+ b2 +1  ab + a + b LG : a2+ b2 +1  ab + a + b  2a2 + 2b2 +2  2ab + 2a +2b  a2 - 2ab + b2 + a2 -2a + 1 + b2 - 2b + 1  0. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>  (a+ b)2 + (a -1)2 + (b-1)2  0 (đúng với mọi a, b, c) Bµi 2 :cmr : víi mäi a, b, c : a2 + b2 + 4  ab + 2(a+b) LG: a2 + b2 + 4  ab + 2(a+b)  2a2 + 2b2 + 8  2ab + 4a + 4b  (a-b)2 + (a-b)2 + (b-2)2  0 (luôn đúng với mọi a,b ,c). 1 2 a + b2 + c2  ab - ac + 2bc 4 1 1 LG : a2 + b2 + c2  ab - ac + 2bc  a2 + b2 + c2 - ab + ac - 2bc  0 4 4 1  ( a - b + c)2  0 (hiÓn nhiªn) 2. Bµi 3: CMRvíi mäi a, b, c :. Bµi 4 : Cho a ,b  2 ,CMR: ab a+b LG: Viết lại BĐT đã cho dưới dạng : ab - a - b +1  1 a(b-1)- (b-1)  1 (a-1)(b-1) 0 (1) Do a,b  2 nên a-1  1, b - 1 1.Vậy (1) đúng bđt đã cho đúng DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi a = b= 2. VI.Sử dụng các BĐT đã biết . Bµi 1 : CMR: (a+b)(ab+1)  4ab ( a, b  0) LG : ¸p dông B§T Cauchy cho c¸c sè kh«ng ©m ,ta cã a+b  2 ab , ab + 1  2 ab  (a+b)(ab +1)  4ab (®pcm) Bµi 2: CM (a+b)(b+c)(c+a) 8abc (a, b, c  0) LG: a+b  2 ab  0 b+c  2 bc  0 c+a  2 ac  0 nh©n vÕ víi vÕ c¸c B§T trªn ta ®­îc: (a+b)(b+c)(c+a)  8abc (®pcm) . 1 1 1 Bµi 3 : Cmr: a  b  c      9 (a, b, c > 0) a b c LG: V× a,b,c > 0 nªn a  b  c   33 abc  0 1 1 1 1    33 0 a b c abc. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>  a  b  c      9 (®pcm) 1 a. 1 b. 1 c. Bµi 4 :CM : a2(1+b2) + b2 (1+ c2) + c2(1+ a2 )  6abc LG: Ta cã : a2(1+b2) + b2 (1+ c2) + c2(1+ a2 ) = a2 + a2b2 + b2 + b2c2 + c2 + c2a2 = (a2 + b2c2) + (b2 + a2c2) + (c2 + a2b2) áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có : (a2 + b2c2) 2 a 2 b 2 c 2 = 2abc b2 + a2c2  2 a 2 b 2 c 2 = 2abc (c2 + a2b2)  2 a 2 b 2 c 2 = 2abc  (®pcm). VII.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè Bµi 1 :T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè : f(x) = x2 + 2x -3 trªn  2;3 LG: XÐt hµm sè trªn  2;3,ta cã : x - -2 -1 3 + f(x) -3 -4 12 Tõ b¶ng biÕn thiªn ta cã ngay : max f(x) = 12 ; minf(x) = -4. -2x3 -2x3 2 Bµi 2: T×m max, min cña hµm sè : f(x) = cos x + 3sinx + 4 LG: thay cos2x = 1- sin2x ta ®­îc : y =f(x) = - sin2 x + 3sinx + 5 §Æt t= sinx ,-1 t  1 ,ta cã y= - t2 + 3t + 5 Bµi to¸n quy vÒ t×m max, min cña hµm sè y = - t2 + 3t + 5 , trªn  1;1. Có a = -1 <0 ,x0 = -(b/2a) = 3/2  hàm số y = f(t) đồng biến trên(- ; 3/2),suy ra hàm số đồng biến trên đoạn  1;1 x 1 + - -1 f(x) 7 1  max f(t) = f(1) = 7; min f(t) = f(-1) = 1 -1 t 1 -1 t 1. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>  2. Do đó max f(x) = 7  x    k 2 ,kZ  2. Minf(x) = 1  x    k 2, k  Z Bài 3: Gọi x1, x2, x3 là các nghiệm của phương trình : x3 - (2m + 3)x2 + (2m2 - m+ 9)x - 2m2 + 3m - 7= 0 (1) T×m min cña biÓu thøc : x12+ x22 + x32 + x1 x2 x3 LG : ta thấy ngay x= 1 là nghiệm của phương trình ,ta có : (1)  (x-1)(x2 - 2(m+1)x + 2m2 - 3m + 7) = 0 x  1 2 2  x  2m  1x  2m  3m  7  0. . Phương trình x2 - 2(m+1)x + 2m2 - 3m + 7 = 0 có nghiệm khi và chỉ khi : ’= (m + 1)2 - (2m2 - 3m + 7) = - m2 + 5m - 6  0  2 m  3 Khi đó (1) có 3 nghiệm x1, x2, x3 : x1 = 1; x2 , x3 là các nghiệm của phương tr×nh: x2 - 2(m+1)x + 2m2 - 3m + 7 = 0. Ta cã : A = x12+ x22 + x32 + x1 x2 x3 = x22 + x32 + x2 x3 +1 = (x2 + x3)2 - x2 x3+ 1 = 4(m + 1)2 - (2m2 - 3m + 7) + 1 = 2m2 + 11m - 2 Bµi to¸n quy vÒ t×m max, min cña hµm sè f(m) = 2m2 + 11m - 2 trªn ®o¹n 2;3 do đó ta dễ dàng tìm được max A = 49  m = 3 ; minA = 28  m=2. Bµi 4 : Tuú theo gi¸ trÞ cña tham sè a ,h·y t×m max min cña hµm sè : f(x) = cos2x - 2(a+1)sinx + a - 4 HD: thay cos2x = 1- 2sin2x ,ta ®­îc : f(x) = - 2sin2x - 2(a+1)sinx + a - 3 đặt t = sinx ,-1  t  1 , ta được F(t) = - 2t2 - 2(a+1)t + a - 3 a 1  a 1  ;  Ta có hàm số đồng biến trên   ;  vµ nghÞch biÕn trªn   . 2 . . 2. §/s: +) nÕu a  3 th× minf(x) = 3(a-1) ; maxf(x) = - a - 7 +)nÕu -3 < a < -1 : maxf(x) = a2/2 + 2a - 5/2 ; minf(x) = 3(a - 1) +) nÕu -1a < 1 th× minf(x) = -a - 7 ; maxf(x) = a2/2 + 2a - 5/2 +)nÕu a  1 th× maxf(x) = 3(a-1) ; minf(x) = -a - 7. Lop10.com. .

<span class='text_page_counter'>(10)</span> VIII. Phương pháp tam thức bậc hai : Bµi 1: T×m miÒn gi¸ trÞ cña y . 2x  1 x2  x  4. LG: y0  MGT cña biÓu thøc  y0x2 + (y0 - 2)x +4y0 + 1 = 0 (*) NÕu y0 = 0 th× x = 1/2 Nếu y0  0 thì để phương trình (*) có nghiệm ta có :  4  2 19  4  2 19  y0  15 15   4  2 19  4  2 19  Từ đó suy ra MGT của hàm số là:  ;  15 15   2 x cos   2 x  cos  Bµi 2: Cho y  víi  (0,) x 2  2 x cos   1. 0   = 15y02 -8y0 + 4 . LG: y0  MGT cña hµm sè  (y0 - cos)x2- 2(y0cos - 1)x + y0 - cos = 0 NÕu y0 = cos th× x = 0 NÕu y0  cos th× 0  ’ = - sin2(y02 - 1)  1  y  1.(®pcm) 3. 12 x ( x  a )  4 Bµi 3 : T×m max y   2  x  36  12 x ( x  a ) LG : §Æt t  2  (12 - t)x2 - 12ax - 36t = 0 cã nghiÖm x  36  0  ’=36a2 + 36t(12 - t)  6  36  a 2  t  6  36  a 2. . Từ đó suy ra max y  6  36  a 2 Bài 4: Tìm a, b để y . . 3/ 4. ax  b đạt max bằng 4 và min bằng -1. x2 1. LG: y0 MGT cña hµm sè  y0x2 - ax+ y0 - b = 0 (1) a  b  0 NÕu y0 = 0 th×  b a  0, x   a . Nếu y0  0 thì phương trình(1) phải có nghiệm .Khi đó 0   = -4y02 + 4by0+ a2 để max y = 4 và min y = - 1 ta phải có phương trình -4y02 + 4by0+ a2 = 0 phải có 2 nghiệm -1 và 4 . Khi đó a =  4 và b = 3 IX.Phương pháp xét dấu biểu thức trên từng khoảng giá trị của biến. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Bµi 1 : Cho A = x4 + x3 + x2 + x+ 1 . Cmr : A > 0 víi mäi gi¸ trÞ cña x. LG : x = 1 ,A = 5  1 > 0 (1)  x = 1 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña pt A = 0 A(x - 1)= (x4 + x3 + x2 + x+ 1)(x - 1) = x5 -1 Víi x = 1  x5 -1 = 0 Ta cã : x - 1 + x-1 0 + 5 x -1 0 + 5 x 1 + + A. x 1. Tõ b¶ng xÐt dÊu ta cã A > 0 x1 (2). Tõ (1),(2) suy ra A > 0 x. Bµi 2 : CMR: B = x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x+ 1 > 0  x  R. LG: Cã B(x -1) = x7 - 1 x 7 1 0B0 x 1 x 7 1 NÕu x < 1 th× x - 1 < 0 vµ x7 - 1 < 0  B  0B0 x 1. NÕu x >1 th× x- 1 > 0 vµ x7 - 1 > 0  B . Nếu x = 1 thì B = 7 > 0 (đúng) VËy B > 0  x  R.. X.Dùng Bđt để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: Bµi 1: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè : f (x)  3 x  1  4 5  x ; 1  x  5 . LG: ¸p dông B®t bunhiacopski cho 2 cÆp sè : (3 , 4) vµ  x  1, 5  x  ta ®­îc :. . f 2 (x)  3 x  1  4 5  x  f x   10.   3 2. 2.  4 2 x  1  5  x   100. x 1 5x 61  x 3 4 25 2 2  3 x 1  4 5  x  3 x 1  3 5  x. VËy maxf(x) = 10 khi. f x . 2. . .  9 x 1  5  x.  .   9x  1  5  x   36 2. VËy min f(x) = 6 khi x = 5. Lop10.com. .

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Bµi 2: T×m min ,max cña hµm sè : f x   3x  4 3  x 2 , 3  x  3 LG : ¸p dông B®t Bunhiacopski cho 2 cÆp sè : 3 , 4 vµ x , 3  x 2 ta ®­îc :. f x . 2. .   3  4 x 3  x   3x  3.  3x  4 3  x 2. 2. 2. 2. 2.  3  x 2  75  max f ( x )  5 3 khi x . 3 3 5. 2 Cã f x 2  3x  4 3  x 2   9x 2  3  x 2  27  min f ( x )  3 3 khi x  3 Bµi 3 : T×m max ,min cña hµm sè : f(x) = 3 sinx + 4 cosx + 2 , 0< x< 2 HD: cã f(x) = 3 sinx + 4 cosx + 2 , (0< x< 2)  (f(x) - 2) = 3 sinx + 4 cosx ¸p dông B®t Bunhiacopski cho : 3, 4 vµ sinx , cosx ta suy ra ®pcm 2. 2. XI. Dïng B®t Becnuli: Bµi 1: Cmr: (n+1)n  2.nn LG : ¸p dông B®t Becnuli víi  =. 1 ,ta cã : n. 1 n 1 )  nn(1 + n ) = 2.nn , sè nguyªn n  1.(®pcm) n n 3 Bµi 2 : Cmr : lg(n+1) > + lgn 10n. (n+1)n = n(1+. LG: tõ B®t trªn suy ra : (n+1)10n 210 . n10n > 1000n10n Logarit ho¸ 2 vÕ cña B®t trªn ta ®­îc : 3 + lgn.(®pcm). 10n 3n 1 1 1 Bµi 3 : Cmr : lgn!  (   ...   1) , trong đó n là số nguyên bất kỳ . 10 2 3 n 1. lg(n+1) >. LG : tõ B®t trªn suy ra : 3 + lg 1 10 3 lg 3 > + lg 2 10.2. lg 2 >. ...... lg n >. 3 + lg(n-1) 10(n  1). cộng n -1bất đẳng thức trên ta được:. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> lg n . 3 1 1 (1   ...  ) (1) 10 2 n 1. V× lg 1 = 0 nªn : lg(n!) = lg 2 + lg3 + ...+ lg n . nh­ng theo (1) th× : 3 10 3 1 lg 3  (1  ) 10 2 3 1 1 lg 4  (1   ) 10 2 3. lg 2 . ... lg n . 3 1 1 (1   ...  ) 10 2 n 1. Céng vÕ víi vÕ cña n - 1 B®t trªn ta ®­îc lg(n!) . 3 1 1    n  1.1  n  2   ...   n  (n  1)  10  2 n 1 . 3  1 1 1   n 1    ...    n  1  10   2 3 n 1  3n 1 1 1  lgn!  (   ...   1) (®pcm). 10 2 3 n 1. =. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(14)</span>