Chuyên đề Sự biến thiên của hàm số và ứng dụng

<span class='text_page_counter'>(1)</span>THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44. Sự biến thiên của hàm số và ứng dụng Mục lục Loại 1. Sự biến thiên của hàm số không chứa tham số .................................................................2 A. Tóm tắt lý thuyết ..............................................................................................................2 B. Một số ví dụ.......................................................................................................................3 C. Bài tập ............................................................................................................................. 12 D. Hướng dẫn và đáp số ...................................................................................................... 14 Loại 2. Sự biến thiên của hàm số chứa tham số ......................................................................... 18 A. Tóm tắt lý thuyết ............................................................................................................ 18 B. Một số ví dụ..................................................................................................................... 20 C. Bài tập ............................................................................................................................. 24 D. Hướng dẫn và đáp số ...................................................................................................... 25 Loại 3. Ứng dụng xét phương trình ........................................................................................... 28 A. Nguyên tắc chung ........................................................................................................... 28 B. Một số ví dụ..................................................................................................................... 29 C. Bài tập ............................................................................................................................. 39 D. Hướng dẫn và đáp số ...................................................................................................... 41. 1. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44. Loại 1. Sự biến thiên của hàm số không chứa tham số A. Tóm tắt lý thuyết * Định nghĩa: Cho f :  a;b    . +) f được gọi là đồng biến trên K nếu: x1 , x2   a;b  , x1  x 2  f  x1   f  x 2  . +) f được gọi là nghịch biến trên K nếu: x1 , x2   a;b  , x1  x 2  f  x1   f  x 2  . Nếu chỉ sử dụng định nghĩa thì ta sẽ gặp khó khăn trong nhiều bài toán xét tính đơn điệu của hàm số. Đạo hàm là công cụ hữu hiệu để xét tính đơn điệu của hàm số. * Định lý: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng  a;b  . Khi đó +) f '  x   0 x   a;b   f đồng biến trên  a;b  . +) f '  x   0 x   a;b   f nghịch biến trên  a;b  . +) f '  x   0 x   a;b   f không đổi trên  a;b  . Để xét tính đơn điệu của hàm số y  f  x  , ta làm như sau: +) Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số. +) Bước 2:. -) Tính f '  x  . -) Tìm nghiệm của phương trình f '  x   0 . -) Xét dấu của f '  x  (nếu cần).. +) Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số. +) Bước 4: Kết luận về sự biến thiên của hàm số.. 2. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44. B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Xét chiều biến thiên của hàm số f  x   x 3  3x 2  9x  2 . Giải +) TXÑ   ..  x  1 +) f '  x   3x 2  6x  9  3 x 2  2x  3 , f '  x   0  x2  2x  3  0   . x  3. . . +) Bảng biến thiên:. x. -1. -∞ +. f '(x). 0. 3 _. 0. +∞ + +∞. 7. f(x). -25 -∞. lim f  x    , lim f  x    .. x . x . +) Kết luận: f đồng biến trên  ;1 và  3;  , nghịch biến trên  1;3  . Chú ý: 1. Giới hạn tại vô cực của hàm đa thức: Xét đa thức bậc n. f  x   an xn  an 1xn 1  ...  a1x  a0 ( n  * , an  0 ).. Ta có.   neáu an  0 , lim f  x    x    neáu an  0.   neáu an    neáu an lim f  x    x    neáu an   neáu a  n.  0, n chaün  0, n leû  0, n chaün. ..  0, n leû. 3. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44. 2. Một số quy tắc xét dấu: a. Dấu của nhị thức bậc nhất: Xét g  x   ax  b ( a  0 ). Bảng sau cho ta quy tắc xét dấu của g  x  (quy tắc “phải cùng trái khác”):. x. _ b a. _∞ _. ag(x). +∞ +. 0. b. Dấu của tam thức bậc hai: Xét g  x   ax 2  bx  c ( a  0 ,   b 2  4ac ). Ta có ba trường hợp sau đây: TH1:   0 : ag  x   0 x . TH2:   0 : ag  x   0 x . Dấu “  ” xảy ra  x   b . 2a TH3:   0 : g  x  có hai nghiệm phân biệt x1  x 2 . Ta có  x  x1 ag  x   0  x1  x  x 2 , ag  x   0   .  x  x2. Bảng sau cho ta quy tắc xét dấu của g  x  trong trường hợp 3 (quy tắc “trong trái ngoài cùng”):. x ag(x). _∞. x2. x1 +. 0. _. 0. +∞ +. c. Dấu của đa thức: Tất cả các bài toán xét dấu đa thức đều có thể được quy về xét dấu của đa thức có dạng: k k k P  x   a  x  x1  1  x  x 2  2   x  xn  n ,. trong đó: 4. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44. -. a  0 là hệ số của lũy thừa bậc cao nhất của P  x  .. -. x1  x 2    xn là các nghiệm của P  x  ,. -. k 1 , …, k n là các số nguyên dương, k i được gọi là bội của nghiệm xi .. Ta có quy tắc sau đây về dấu của đa thức P  x  : -. Khi x lớn hơn nghiệm lớn nhất ( xn ) thì P  x  cùng dấu với a .. -. P  x  không đổi dấu khi x đi qua nghiệm bội lẻ và đổi dấu khi x đi qua nghiệm bội. chẵn. d. Hệ quả (của quy tắc xét dấu đa thức): Nếu một đa thức bậc n có n nghiệm phân biệt thì đa thức đó đổi dấu liên tiếp khi x đi qua các nghiệm. Ví dụ 2. Xét chiều biến thiên của hàm số f  x    x3  3x 2  3x  1 . Giải +) TXÑ   . 2. +) f '  x   3x2  6x  3  3  x  1  0 x . Dấu “  ” xảy ra  x  1 . +) Bảng biến thiên:. x. -∞ _. f '(x). +∞. 1 0. _. +∞ f(x) 0 -∞ lim f  x    ,. x . lim f  x    .. x . 5. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44. +) Kết luận: f nghịch biến trên  . Nhận xét: Trong ví dụ trên, ta thấy f '  x   0 x   và f '  x   0  x  1 , tuy nhiên f vẫn nghịch biến trên  . Tổng quát hơn, ta có: +) f '  x   0 x   a;b  , dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc  a;b  . f đồng biến trên  a;b  . +) f '  x   0 x   a;b  , dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc  a;b  . f đồng biến trên  a;b  . Ví dụ 3. Xét chiều biến thiên của hàm số f  x   3x4  4x 3  12x 2  24x  5 . Giải +) TXÑ   .. . . . . +) f '  x   12x 3  12x 2  24x  24  12 x 3  x 2  2x  2  12  x  1 x 2  2 . +) Bảng biến thiên:. x. 2. ∞ _. f '(x). 0. 2. 0. + 0 _ 0. +∞ + +∞. 16. f(x). -7+16 2 -7-16 2 lim f  x    .. x . .  . . .  . +) Kết luận: f nghịch biến trên ;  2 và 1; 2 , đồng biến trên  2;1 và. . 2; .. 6. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44. 2x  3 . 1  2x. Ví dụ 4. Xét chiều biến thiên của hàm số f  x   Giải. . +) TXÑ   \ 1 . 2 +) f '  x   . 7.  1 2x . 2.  2.  0 x   \ 1 .. +) Bảng biến thiên:. x. 1 2. _∞. +∞. _. f '(x). _ +∞ _1. f(x) _1 _∞ 3. 2 2x  3 lim f  x   lim  lim 1 x  1 , x  x  1  2x x   2 x. . lim. . x 1 2.  . . f  x    ,. lim. . x 1 2. . f  x    .. . * Kết luận: f nghịch biến trên ; 1 và 1 ; (nghịch biến trên từng khoảng xác định). 2 2 Chú ý: * Cách tính giới hạn tại vô cực của hàm phân thức hữu tỷ: chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất ở mẫu. Chẳng hạn:. lim. 3x 2  4x  7. x   x. 3.  3x  5. . 3 4  7 x x2 x3 lim x  1  3  5 x2 x3. . 0  0 (lũy thừa bậc cao nhất ở mẫu là x 3 ). 1. * Cách xác định các giới hạn một phía: lim. x  x 0. f x g x. với điều kiện f  x0   0 , g  x0   0 . 7. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44. +) a  x0 x   x0 ;a  : g  x  cùng dấu với f  x0  . +) a  x0 x   x0 ;a  : g  x  trái dấu với f  x0  . lim. x  x 0. Ví dụ 5. Xét chiều biến thiên của hàm số f  x  . g  x. f  x. lim. g  x. x  x 0.   ..   .. f  x   . g  x x  x 0. +) a  x0 x   a;x0  : g  x  cùng dấu với f  x0  . +) a  x0 x   a;x0  : g  x  trái dấu với f  x0  . f  x. lim. f  x   .  g x   x  x0 lim. x2  x  1 . x 1. Giải +) TXÑ   \ 1 . 2 +) f '  x   x  2x ..  x 12. +) Bảng biến thiên:. x. _∞. 0 + 0. f '(x). 1 _. 2 _. +∞. 0. +. +∞. +∞ 3. f(x) -1 _∞. _∞ 1. 1. x 1 x 1 x2  x  1 x   , lim f x  lim x   lim f  x   lim  lim   1 1 x  1 x  x  x  1  x  x  1  x. x. 8. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44. lim. . x 1 2. . f  x    ,. lim. . x 1 2. . f  x    .. +) Kết luận: f đồng biến trên  ;0  và  2;  , nghịch biến trên  0;1 và  1;2  . Ví dụ 6. Xét chiều biến thiên của hàm số f  x   1  x 2 . Giải +) TXÑ   -1;1 . +) f '  x  . x 1  x2. x   1;1 .. +) Bảng biến thiên. _∞ _ 1. x f '(x). 1. 0 +. 0. +∞. _. 1 f(x) 0. 0. * Kết luận: f đồng biến trên  1;0  , nghịch biến trên  0;1 . Ví dụ 7. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số f  x   1  x  x  1 . Giải * TXÑ   -1;1 . * f '  x  . 1 2 1 x. . 1 2 1 x.  1  x  1 x  2 1 x 2. x. . 1 x  1  x. . 1 x2. x   1;1 .. * Bảng biến thiên. 9. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44. x. _∞ _ 1. 1. 0. f '(x). +. 0. +∞. _. 2 f(x) 2. 2. * Kết luận: f đồng biến trên  1;0  , nghịch biến trên  0;1 . Nhận xét: Trong các ví dụ trên, việc xét dấu đạo hàm được thực hiện bằng các quy tắc xét dấu cơ bản (nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai, đa thức). Trong ví dụ sau, ta sẽ xét dấu của đạo hàm bằng cách giải một bất phương trình. Ví dụ 8. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y  2x  1  x2 Giải +) x  TXÑ  1  x 2  0  x   1;1 . Vậy TXÑ   1;1 .. +) y '  2 . x 1 x. 2. x   1;1 , ta có. . 2 1  x2  x 1 x. 2. , x   1;1  .. y '  0  2 1  x2  x  0  2 1  x2  x  x  0   2 2 4 1  x  x. . .  x 2 . 5. y'  0  x  2 . 5. +) Bảng biến thiên 10. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44. 2 x. _∞. -1. f '(x). 5 +. 1. +∞. 0 _ 5 2. f(x) -2. +) Kết luận: hàm đã cho đồng biến trên  1; 2  , nghịch biến trên  2 ;1  . 5   5 . 11. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44. C. Bài tập Bài 1. Xét chiều biến thiên các hàm số sau đây 1) y  2x 3  2x2  x  2 . 2) y   2 x 3  2x 2  16x  31 . 3. 3) y  x 3  3x 2  3x  5 . 4) y  1 x4  x3  x  5 . 2. 5) y  3x4  22x 3  51x 2  36x  1 . 6) y   4 x5  x3  8 . 5 7) y  2 x . 1 x 8) y  3x  3 . 2x  3 2 9) y   x  2x  4 . x 2. 10) y  1  1 . x x 2 11) y  23x . x 1. 12) y  x  1 . 3 x. 13) y  x  2  3  x . 14) y  x2  2x  3 . 15) y  x  2 . 16) y  x 2  2x . 17) y  4 x  2  4 5  x . 18) [ĐHA08] y  4 2x  2x  2 4 6  x  2 6  x . 19) y  x  3  3 3 x  3  4 4 x  3  1  x  3 3 1  x  4 4 1  x . 20) y  2 1  x  x  2  x . 12. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44. Bài 2. Chứng minh 1) y  x 2  9 đồng biến trên  3;  . 2) y  x . 4 nghịch biến trên các khoảng  2;0  ,  0;2  . x. 3) y . 3x nghịch biến trên mỗi khoảng xác định. 2x  1. 4) y . 2x2  3x đồng biến trên mỗi khoảng xác định. 2x  1. 5) y   x  x2  8 nghịch biến trên  . 6) y  x  cos2 x đồng biến trên  .. 13. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44. D. Hướng dẫn và đáp số 1) Hàm số nghịch biến trên  . 2) Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 4  và  2;  , đồng biến trên  4;2  . 3) Hàm số đồng biến trên  .. 2 . . 4) Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 1 và 1 ; 2 , đồng biến trên các khoảng 1; 1. 2. . và  2;  .. . . 2 . 5) Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 1 và  3;  , nghịch biến trên các khoảng 1 ; 2 2. và  3;  . 6) Hàm số đồng biến trên các khoảng  ;  23  và  23 ;   , nghịch biến trên   23 ; 23  .       Lưu ý: Trong bài tập này, đạo hàm không đổi dấu khi x đi qua 0 . 7) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định (nghịch biến trên các khoảng  ; 1 và.  1;   ). 8) Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định (đồng biến trên các khoảng.  ;  32 . và.  32 ;  ). 9) Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ;0  và  4;  , đồng biến trên các khoảng  0;2  và  2;4  . 10) +) TXÑ   \ 0;2 .. +) y ' . 4  x  1 x2 x  2. . . .. +) Bảng biến thiên: 14. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44. x. _∞ _. f '(x). 2. 1. 0 _. 0. +∞. +∞. +. lim y  0 , lim y   , lim y   ,. +. x  0. x . x  0. +∞ 0. f(x) 0. 0. lim y   , lim y  . x  2. x  2. _∞. _∞. +) Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ;0  và  0;1 , đồng biến trên các khoảng  1;2  và.  2;  . 11). . 3 1 x2. +) TXÑ   .. +) y ' .  x2  1. .. 2. +) Bảng biến thiên:. x. _∞. -1 _. f '(x). 0. 1 +. 0. +∞ _. 3 f(x). lim y  0 . x . 2 0. 0 _ 3 2. +) Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 1 và  1;  , đồng biến trên  1;1  . 12) +) TXÑ   0;   .. +) y '  x 1 . 6x x. +) Bảng biến thiên: 15. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44. x. _∞. 1. 0 _. f '(x). 0. +∞. lim y   ,. +. +∞. x  0. +∞. f(x). lim y  1 lim  x  1    . 3 x   x. 3 2. x . +) Hàm số nghịch biến trên  0;1 , đồng biến trên  1;  .. . . 2 . 13) Hàm số nghịch biến trên 2; 1 , đồng biến trên 1 ; 3 . 2. 13) Hàm số nghịch biến trên  ; 1 , đồng biến trên  1;   .. 15) Gợi ý: y  x  2 .  x  22.  y '  x  2 . Hàm số nghịch biến trên  ;2  , đồng biến x2. trên  2;  . 16) Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ;0  và  1;2  , đồng biến trên các khoảng  0;1 và.  2;  . 17) +) TXÑ   2;5  . .   ( x   2;5  ). y '  0  x  2  5  x  x  7 . +) y '   2 3 4 3  5 x     x 2 1 4 4. 1. 1.  3 1 4 2  3  4  x  2 3 7 x  2;    y '  0 , tương tự: x  7 ;5 2 2 3  1 4 2  4 3 3   5  x . .  .  . .  y'  0.. +) Bảng biến thiên: 16. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44. _∞. x. 2. f '(x). +. 7 2 0. 5. +∞. _. 4 24. f(x) 43. 43.  2. 2 . +) Hàm số nghịch đồng trên 2; 7 , nghịch biến trên 7 ;5 . Các câu 18) 19) 20) có cách giải tương tự câu 17) 18) Hàm số đồng biến trên  0;2  , nghịch biến trên  2;6  . 19) Hàm số đồng biến trên  3; 1 , nghịch biến trên  1;1  . 20) Hàm số nghịch biến trên  0;1 , đồng biến trên  1;2  .. 17. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44. Loại 2. Sự biến thiên của hàm số chứa tham số A. Tóm tắt lý thuyết Trong loại toán này, ta quan tâm đến hai bài toán sau đây 1. Bài toán 1. Số khoảng đơn điệu của hàm số * Hàm bậc ba: y  ax 3  bx 2  cx  d ( a  0 ). Ta có: y '  3ax 2  2bx  c , y ' là tam thức bậc hai có  '  b 2  3ac . Ký hiệu x1  x 2 là các nghiệm của y ' trong trường hợp y ' có hai nghiệm phân biệt. Ta có bảng sau: a. Sự biến thiên của y. .  Hai khoảng đồng biến là  ;x1  và  x2 ;  . . . . 0.  Một khoảng nghịch biến là  x1 ;x 2  .  Đồng biến trên   Hai khoảng nghịch biến là  ;x1  và  x2 ;  .. . . . 0.  Một khoảng đồng biến là  x1 ;x 2  .  Nghịch biến trên . * Hàm bậc bốn trùng phương: y  ax4  bx 2  c ( a  0 ).. . . Ta có: y '  4ax 3  2bx  4ax x 2  b . a. b. . 0. . . 2a. Sự biến thiên của y  y nghịch biến trên  ;0  , đồng biến trên  ;0  .. .  và  0;   .  Hai khoảng đồng biến là    ;0  và   ;   .  Hai khoảng đồng biến là  ;    và  0;   .  Hai khoảng nghịch biến là    ;0  và   ;   . b  Hai khoảng nghịch biến là ;   2a b 2a. . . * Hàm “. 0. b 2a. b 2a. b 2a. . b 2a. b 2a. b 2a.  y đồng biến trên  ;0  , nghịch biến trên  ;0  .. baäc nhaát ax  b ”: y  ( a , c , ad  bc  0 ). baäc nhaát cx  d 18. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44. Ta có y ' . a b c d.  cx  d .  2. ad  bc.  cx  d  2. không đổi dấu trên tập xác định. Do đó:. +) ad  bc  0. . y đồng biến trên từng khoảng xác định. +) ad  bc  0. . y nghịch biến trên từng khoảng xác định. 2. Bài toán 2. Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng. * Phương pháp 1: f đồng biến (nghịch biến) trên  a;b   f có ít nhất một khoảng đồng biến (nghịch biến) và  a;b  là tập con của một khoảng đồng biến (nghịch biến) nào đó. * Phương pháp 2: Giả sử f có đạo hàm không đồng nhất bằng 0 trên  a;b  . Khi đó +) f đồng biến trên  a;b   f '  x   0 x   a;b  . +) f nghịch biến trên  a;b   f '  x   0 x   a;b  .. 19. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44. B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Xét sự biến thiên của hàm số y  4x 3  mx . Giải +) TXÑ   . +) y '  12x2  m . * TH1: m  0  y '  0 x    hàm số đồng biến trên  . * TH2: m  0  y ' có hai nghiệm phân biệt x1    m , x2   m . 12 12 +) Bảng biến thiên. x. x1. -∞ +. y'. 0. +∞. x2 _. 0. +. lim y   , x . +∞. lim y   .. y(x1). x . y yx2 -∞. +) Kết luận:. . hàm số đồng biến trên ;   m. . 12.  và . .  m ;  , 12. . nghịch biến trên   m ;  m . 12. 12. Ví dụ 2. Tìm m để hàm số y   1 x 3  2x2   2m  1 x  3m  2 nghịch biến trên  . 3. Giải +) TXÑ   . +) y '   x 2  4x  2m  1 . y ' là tam thức bậc hai có hệ số của x 2 là 1  0 ,  '  2m  5 . Do đó: 20. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>