Giáo trình kinh tế đầu tư (dùng trong các trường cao đẳng và đại học)

<span class='text_page_counter'>(1)</span>HÌNH HỌC KHÔNG GIAN PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. Quan hệ song song 1. Hai đường thẳng song song * Hai đường thẳng được gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung. * Hai đường thẳng được gọi là chéo nhau nếu chúng không cùng nằm trong một mặt phẳng. * Định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng: Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó hoặc đồng quy hoặc đôi một song song. * Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó. * Ba đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện của một tứ diện đồng quy tại trung điểm G của mỗi đoạn. Điểm G đó còn được gọi là trọng tâm của tứ diện. * Một mặt phẳng được xác định nếu nó đi qua hai đường thẳng song song.. 2. Đường thẳng song song với mặt phẳng * Một đường thẳng và một mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung. * Một đường thẳng (không nằm trên mặt phẳng  P  ) song song với  P  khi và chỉ khi nó song song với một đường thẳng nằm trong  P  . * Nếu mặt phẳng  Q  chứa đường thẳng a , a song song với mặt phẳng  P  , thì giao tuyến của  P  và  Q  (nếu có) song song với a . * Hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó. * Cho hai đường thẳng a , b chéo nhau. Khi đó, luôn tồn tại duy nhất mặt phẳng  P  chứa a , song song với  P  .. 3. Hai mặt phẳng song song * Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung * Nếu mặt phẳng  P  chứa hai đường thẳng cắt nhau và song song với mặt phẳng  Q  thì. P. song song với  Q  .. * Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, tồn tại duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó. * Qua một điểm đường thẳng song song với một mặt phẳng, tồn tại duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó. 1 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> * Cho hai mặt phẳng song song với nhau. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau. * Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. * Định lý Ta lét: + Ba mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn tương ứng tỉ lệ. + Giả sử trên hai đường thẳng chéo nhau a và a' lần lượt lấy các điểm A , B , C và. A ' , B' , C' sao cho: AB BC CA   A 'B' B'C' C' A '. Khi đó ba đường AA ' , BB' , CC' lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là chúng cùng song song với một mặt phẳng.. II. Quan hệ vuông góc 1. Góc giữa hai đường thẳng. Hai đường thẳng vuông góc * Góc giữa hai đường thẳng 1 và  2 trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a1 và. b1 cùng đi qua một điểm lần lượt song song hoặc trùng với 1 và  2 .   * Gọi u1 , u 2 lần lượt là các véc-tơ chỉ phương của 1 ,  2 . Ta có    u ,u 1 2  1 , 1       180  u1 ,u 2 . .  . neáu. . neáu.  .  u1 ,u2   90 .   u  1 ,u2   90. * Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 .. 2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng * Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng ấy. * Đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng  P  khi và chỉ khi a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc  P  . * Định lý ba đường vuông góc: Cho đường thẳng a có hình chiếu lên mặt phẳng  P  là đường thẳng a' . Khi đó, một đường thẳng b nằm trong mặt phẳng  P  vuông góc với a khi và chỉ khi nó vuông góc với a' . * Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó lên mặt phẳng (nếu hình chiếu đó là một điểm thì xem góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng 90 ).. 3. Góc giữa hai mặt phẳng. Hai mặt phẳng vuông góc 2 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> * Góc giữa hai mặt phẳng được định nghĩa là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. * Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 90 . * Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. * Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.. 4. Khoảng cách * Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (hoặc một đường thẳng) là khoảng cách từ điểm đó đến hình chiếu của nó lên mặt phẳng (hoặc đường thẳng). * Khoảng cách từ đường thẳng a tới mặt phẳng  P  song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a lên  P  . * Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm nào đó trên mặt phẳng này tới mặt phẳng kia. * Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là đường thẳng cắt cả hai đường thẳng và vuông góc với hai đường thẳng đó. +) Khi hai đường thẳng vuông góc với nhau và chéo nhau thì ta thường tìm đường vuông góc chung như sau: Gọi  P  là mặt phẳng chứa đường thẳng thứ nhất và vuông góc với đường thẳng thứ hai tại điểm I . Đường vuông góc chung của chúng là đường thẳng đi qua I nằm trong  P  là vuông góc với đường thẳng thứ nhất. +) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b bằng -) Độ dài đường vuông góc chung. -) Khoảng cách từ một trong hai đường thẳng đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại. -) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng đó.. III. THỂ TÍCH 1. Công thức tính thể tích khối chóp V  1 Bh , trong đó: B là diện tích đáy, h là chiều cao. 3. 2. Công thức tính thể tích khối lăng trụ V  1 Bh , trong đó: B là diện tích đáy, h là chiều cao. 3. 3. Công thức tỷ số thể tích Công thức: Cho hình chóp tam giác S.ABC có A ' , B' , C' lần lượt thuộc SA , SB , SC (. A ' , B' , C' đều không trùng với S ). Khi đó ta có 3 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> VS.A 'B'C' SA ' SB' SC'  . . . VS.ABC SA SB SC. Chú ý: Công thức nói trên chỉ áp dụng cho khối chóp tam giác. Nếu khối chóp không phải là khối chóp tam giác thì cần chia khối chóp thành các khối chóp tam giác rồi áp dụng công thức nói trên cho từng khối chóp tam giác.. 4 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> PHẦN II. Chủ đề 1.. BÀI TẬP THEO CHỦ ĐỀ Khối chóp có cạnh bên vuông góc đáy. Bài 1. [TN2009] Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên.   120 , tính thể tích của khối chóp S.ABC theo SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết BAC a. Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC  a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60 .. 1) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông . 2) Tính thể tích hình chóp . Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc với đáy ABC và  SBC  hợp với đáy  ABC  một góc 60 . Tính thể tích hình chóp . Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc đáy ABCD và mặt bên  SCD  hợp với đáy một góc 60 .. 1) Tính thể tích hình chóp S.ABCD . 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SCD  . Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có SB  SC  BC  CA  a . Hai mặt.  ABC . và.  ASC . cùng vuông góc với  SBC  . Tính thể tích hình chóp. Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA  BC  a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với  ABC  một góc 30 . Tính thể tích hình chóp . Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy ABC biết SB  a , SC hợp với  SAB  một góc 30 và  SAC  hợp với  ABC  một góc 60 . Chứng minh rằng SC2  SB 2  AB 2  AC2 . Tính thể tích hình chóp. Bài 8. Cho tứ diện ABCD có AD   ABC  biết AC  AD  4 cm , AB  3 cm , BC  5 cm .. 1) Tính thể tích ABCD . 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  BCD  . Bài 9. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC  2a , góc.   120 , biết SA   ABC  và mặt  SBC  hợp với đáy một góc 45 . Tính thể tích khối BAC chóp S.ABC .. 5 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Bài 10.Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông biết SA   ABCD  , SC  a và SC hợp với đáy một góc 60 . Tính thể tích khối chóp. Bài 11.Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật biết rằng SA   ABCD  , SC hợp với đáy một góc 45 và AB  3a , BC  4a . Tính thể tích khối chóp.. Bài 12.Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A bằng. 60 và SA   ABCD  , biết rằng khoảng cách từ A đến cạnh SC  a . Tính thể tích khối chop S.ABCD . Bài 13.[ĐHA09] Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B biết AB = BC = a , AD = 2a ,. SA  (ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 60o Tính thể thích. khối chóp SABCD. Bài 14.[ĐHA08?]. Cho. hình. chóp. S.ABCD. có. đáy. ABCD. là. hình. thang,.   ABC   90 , AB  BC  a , AD  2a , SA vuông góc với đáy và SA=2a.Gọi M,N lần BAD lượt là trung điểm SA,SD.Chứng minh BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích khối chóp S.BCNM. Bài 15.Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy (ABC) và SA = h ,biết rằng tam giác ABC đều và mặt (SBC) hợp với đáy ABC một góc 30o .Tính thể tích khối chóp SABC Bài 16.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh B, AC  a 2 và SB  a 3 . Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính theo a thể tích khối chóp. S.ABC. Bài 17.Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với mặt (ABC). Đáy ABC là tam giác cân tại đỉnh A, độ dài đường trung tuyến AM  a . Mặt bên (SBC) tạo với đáy góc 450 và góc ^SBA=300 Tính thể tích của khối chóp S.ABC. Bài 18.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA  (ABC), góc ACB  60 0 BC  a SA  a 3 . Gọi M là trung điểm của SB. Cm (SAB)  (SBC). Tính thể. tích khối tứ diện MABC. Bài 19.Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA= a 3 và SA vuông góc với đáy.Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SB, AC Bài 20.Cho tam giác ABC vuông cân tại A và AB=a.Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mp (ABC) lấy điểm D sao cho CD=a.Mặt phẳng qua C vuông góc với BD cắt BD tại F và AD tại E.Tính thể tích khối tứ diện CDEF theo a Bài 21.Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy và Ab=a, AD=b,SA=c.Lấy các điểm B’,D’ theo thứ tự thuộc SB,SD sao cho AB’ vuông góc với. 6 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> SB,AD’vuông góc với SD.Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ Bài 22.Khối chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA vuông góc mp(ABC), SC = a. Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất. Bài 23.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy, góc ACB= 600, BC= a, SA = a 3 . Gọi M là trung điểm cạnh SB. Chứng minh (SAB)  (SBC). Tính thể tích khối tứ diện MABC. Bài 24.Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B. Biết SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). AB = a, BC = a 3 và SA = a. Một mặt phẳng qua A vuông góc SC tại H và cắt SB tại K. Tính thể tích khối chóp S.AHK theo a. Bài 25.Cho khối chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với (ABCD), SA=a.Gọi M là trung điểm SC a. Mp    đi qua AM và song song với BD chia khối chóp thành 2 phần.Tính thể tích của mỗi phần b. Tính góc tạo bởi mp (  ) và mp (ABCD) Bài 26.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là hình chữ nhật có AB = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy; cạnh bên SC hợp với đáy góc  và hợp với mặt bên (SAB) một góc  . a. Chứng minh SC 2 . a2 . cos 2  sin 2 . b. Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a,  và  . Bài 27.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD và cạnh SA vuông góc với mp(ABCD). Mặt phẳng (  ) qua AB cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại M, N và chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính tỉ số. SM SC. Bài 28.Đáy ABC của hình chóp SABC là tam giác vuông cân (BA=BC). Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài là a 3 . Cạnh bên SB tạo với một góc 600 . Tính diện tích toàn phần của hình chóp Bài 29.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có AB = a; AD = b; SA = b là chiều cao của hình chóp. M là điểm trên cạnh SA với SA = x ( 0 < x < b); mặt phẳng (MBC) cắt SD tại N. Tính thể tích của khối đa diện ABCDMN theo a, b và x ? Bài 30.Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều với AB=BC=CD=a và AD=2a.Hai mặt bên SAB và SAD vuông góc với đáy .Mp (SBD) tạo với mặt đáy một góc 450 a. Tính góc giữa hai mp (SCD) và (ABCD) b. Tính khoảng cách từ C đến mp (SBD) 7 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> c. Gọi M là trung điểm SB, mp (ADM) cắt SC tại N.Tính thể tích khối chóp SAMND. Chủ đề 2.. Khối chóp đều. Bài 31.Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng minh rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC.Tính thể tích chóp đều SABC Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a . a. Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều. b. Tính thể tích khối chóp SABCD. Bài 32.Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC. a. Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD. b. Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy ra thể tích hình chóp MABC Bài 33.Cho hình chóp đều SABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc 60o . Tính thể tích hình chóp. Bài 34.Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên là 45o. a. Tính độ dài chiều cao SH của chóp SABC . b. Tính thể tích hình chóp SABC Bài 35.Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một góc 60o. Tính thể tích hình chóp SABC. Bài 36.Cho chóp tam giác đều có đường cao h hợp với một mặt bên một góc 30o. Tính thể tích hình chóp. Bài 37.Cho hình chóp tam giác đều có đường cao h và mặt bên có góc ở đỉnh bằng 60o. Tính thể tích hình chóp. Bài 38.Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a và góc ASB  60 0 . a. Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp đều. b. Tính thể tích hình chóp. Bài 39.Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao h ,góc ở đỉnh của mặt bên bằng 60o. Tính thể tích hình chóp. Bài 40.Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45o và khoảng cách từ chân đường cao của chóp đến mặt bên bằng a. Tính thể tích hình chóp . Bài 41.Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng a hợp với đáy một góc 60o. Tính thề tích hình chóp. Bài 42.Cho hình chóp SABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.Tính cạnh của hình chóp này khi thể tích của nó bằng V . 9a 3 2 . 2. Bài 43.Cho khối chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a và đường cao bằng a/2. a. Tính sin của góc hợp bởi cạnh bên SC và mặt bên (SAB ). b. Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối chóp đã cho . 8 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Bài 44.Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích của khối chóp theo a. Bài 45.Cho hình chóp đều S.ABC có các cạnh bên SA  SB  SC  a . Góc giữa cạnh bên và đáy bằng 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a Bài 46.Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy và cạnh bên bằng a a. Tính thể tích khối chóp b. Cm mp (MNP) chia khối chóp S.ABCD thành 2 phần có thể tích bằng nhau Bài 47.Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB=a.Cạnh bên SA,AB,SC tạo với đáy một góc 600.Gọi D là giao điểm của SA với mp qua BC và vuông góc với SA a. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC b. Tính thể tích của khối chóp S.DBC Bài 48.Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc 600.Gọi M là trung điểm SC.Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD cắt SB tại E và cắt SD tại F.Tính thể tích khối chóp S.AEMF Bài 49.Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc ABC bằng 600. Chiều cao SO của hình chóp bằng. a 3 , trong đó O là giao điểm của hai đường chéo AC và 2. BD. Gọi M là trung điểm của AD, ( ) là mặt phẳng đi qua BM, song song với SA, cắt SC tại K. Tính thể tích hình chóp K.BCDM. Bài 50.Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng a . Cho M , N lần lượt là trung điểm các cạnh SA và SC và mặt phẳng (BMN) vuông góc với mặt phẳng (SAC). a. Tính thể tích hình chóp tam giác đều S.ABC. b. Tính thể tích hình chóp SBMN. Bài 51.Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = a, SA = a 2 , AS  mp(ABC). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lầ. lượt tại B’, C’, D’. Tính thể tích của khối chóp S.AB’C’D’. Bài 52.Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và đáy là.  . Gọi M là trung điểm của cạnh SC, mặt phẳng (MAB) cắt SD tại N. Tính theo a và  thể tích hình chóp S.ABMN. Bài 53.Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD. Một mặt phẳng (P) đi qua A, B và trung điểm M của cạnh SC. Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó. Bài 54.Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy AB = a và góc SAB =  . Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a và  . Bài 55.Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt phẳng (SAB) và (SBC) là  . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và  .. Chủ đề 3.. Khối chóp có mặt bên vuông góc đáy 9 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Bài 56.Cho hình chóp S.ABC có mặt bên (SBC) vuông góc với đáy, hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng lập với đáy một góc 450; đáy ABC là tam giác vuông cân tại A có AB = a. a. Chứng minh rằng hình chiếu của S trên mặt (ABC) là trung điểm của BC. b. Tính thể tích của hình chóp S.ABC theo a ? Bài 57.Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB  a , AC  a 3 , mặt bên SBC là tam giác cân tại S với SB  SC  2 a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC. Bài 58.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết SA  SB  2 a và hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) vuông góc với nhau. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Bài 59.Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, AB  a , BC  a 3 . Tam giác SAC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.Tính thể tích khối chóp S.ABC.. Chủ đề 4.. Khối chóp bất kì. Bài 60.Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB=5a, BC=6a,CA=7a.Các mặt bên SAB,SBC,SCA tạo với đáy một góc 600.Tính thể tích của khối chóp đó Bài 61.Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, AB=AC=5a,BC=6a và các mặt bên tạo với đáy một góc 600.Tính thể tích của khối chóp đó Bài 62.Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho  SAB , SBC   60 o . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh AHK vuông và tính VSABC? Bài 63.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a; CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.(K.A 2009) Bài 64.Cho hình chóp S.ABC. M là điểm trên SA, N là điểm trên SB sao cho. SM 1  MA 2. và. SN  2 . Mặt phẳng (P) qua MN và song song với SC chia khối chóp thành hai phần. Tìm tỉ MB. số thể tích của hai phần đó. Bài 65.Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi B', D’ lần lượt là trung điểm của SB, SD. Mặt phẳng (AB'D') cắt SC tại C'. Tìm tỉ số thể tích của hai khối chóp S.AB'C'D' và S.ABCD. Bài 66.Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trưng điểm của AB, AD và SC. Chứng minh mặt phẳng (MNP) chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.. 10 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Bài 67.Hình chóp S.ABC có các cạnh bên nghiêng đều với đáy một góc 600 , độ dài các cạnh đáy là CB  3, CA  4 , AB  5 . Tính thể tích V của hình chóp Bài 68.Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, cạnh đáy BC  a , góc BAC   . Các cạnh bên nghiêng với đáy một góc  . Tính thể tích hình chóp Bài 69.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, góc BAD  60 0 . SA  SC . a 5 , 2. SB = SD.Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Bài 70.Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, BC = a, SA =SB = SC =. a 3 2. và mặt bên SAB hợp với đáy một góc bằng 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.. Chủ đề 5.. Khối lăng trụ, khối hộp. Bài 71.Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a a. Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C b. Mặt phẳng đi qua A’B’ và trọng tâm tam giác ABC cắt AC,BC lần lượt tại E,F.Tính thể tích khối chóp C.A’B’FE Bài 72.Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a,BC=2a,AA’=a.lấy M trên cạnh AD sao cho AM=3MD a. Tính thể tích khối chóp M.AB’C b. Tính khoảng cách từ M đến mp (AB’C) Bài 73.Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông , AB=BC=a, cạnh beân AA’= a 2 . Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC. Tính theo a theå tích cuûa khoái laêng truï ABC.A’B’C’ Bài 74.Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC vuông tại A, AC = a, góc ACB bằng 600. Đường thẳng BC’ tạo với (AA’C’C) một góc 300. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. Bài 75.Đáy ABC của hình lăng trụ ABC.A'B'C' là tam giác đều cạnh a. Góc giữa cạnh bên hình lăng trụ và mặt đáy bằng 300 . Hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng đáy (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Tính thể tích hình lăng trụ. Bài 76.Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và.  = 600. Hình chiếu vuông mặt phẳng (ABC) bằng 600; tam giác ABC vuông tại C và BAC góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a. Bài 77.Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có A'.ABC là h.chóp tam giác đều cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA' = b. Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A'BC). Tính tan  và thể tích của khối chóp A'.BB'C'C.. 11 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Bài 78.cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A’ cách đều 3 điểm A,B,C và cạnh bên AA’ tạo với mp đáy một góc 600 a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ b. Tính thể tích của khối chóp A.BCC’B’ và khoảng cách từ A đấn mp (BCC’B’) c. Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Bài 79.Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.Gọi M,N lần lượt là trung điểm B’C’ và C’D’.Mp (AMN) chia khối lập phương thành 2 khối đa diện.Tính thể tích của hai khối đa diện đó Bài 80.Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.Gọi M là trung điểm A’B’, N là trung điểm BC a. Tính thể tích khối tứ diện ABMN b. Mp (DMN) chia khối lập phương thành hai khối đa diện .Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện đó Bài 81.Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác AB vuông cân có AB = AC = a. Gọi E là trung điểm của AB, F là hình chiếu vuông góc của E trên BC. Mặt phẳng (C’EF) chia lăng trụ thành hai phần.Tính tỉ số thể tích của hai phần đó ? Bài 82.Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Các điểm E và F lần lượt là trung điểm của C’B’ và C'D'. a. Dựng thiết diện của khối lập phương khi cắt bởi mp(AEF). b.Tính tỉ số thể tích hai phần của khối lập phương bị chia bởi mặt phẳng (AEF). Bài 83.Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có chiều cao bằng a hai đường thẳng AB’ và BC’ vuông góc với nhau. Tính thể tích hình lăng trụ đó theo a.. 12 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> PHẦN III.. HÌNH KHÔNG GIAN TRONG CÁC ĐỀ. THI ĐẠI HỌC Bài 1.. [ĐHA02] Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đỉnh S , có độ dài cạnh đáy bằng. a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh SB , SC . Tính theo a diện tích tam giác AMN , biết rằng mặt phẳng  AMN  vuông góc với mặt phẳng  SBC  .. Giải C'. D'. Ta thấy A 'BD cân tại A nên trung tuyến A 'I đồng. B'. A'. I  AC  BD .. Đặt. M. thời là đường cao. Như vậy A 'I  BD (1). Tương tự ta cũng chứng minh được MI  BD (2).. b. Từ (1), (2) suy ra góc giữa hai mặt phẳng (A 'BD) và D. C. a. I. A. a. Bài 2.. B. (MBD) chính là góc giữa hai đường thẳng A 'I và. MI .. [ĐHB02] Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng a .. 1). Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B và B1D .. 2). Gọi M , N , P lần lượt là các trung điểm các cạnh BB1 , CD , A1D1 . Tính góc giữa. các đường thẳng MP và C 1 N . [ĐHD02] Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng  ABC  ;. Bài 3.. AC  AD  4cm ; AB  3cm ; BC  5cm . Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng.  BCD  . Bài 4.. [ĐHA03] Cho hình lập phương ABCD.A 'B'C'D' . Tính số đo góc phẳng nhị diện. 1).  B, A 'C, D . Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxy cho hình hộp chữ nhật. 2). ABCD.A 'B'C'D' có A trùng với gốc của hệ tọa độ, B  a;0;0  , D  0;a;0  , A '  0;0;b  ( a0,. a). Tính. b  0 ).. thể. b) Xác định tỷ số. M. Gọi tích. khối. tứ. là. trung. diện. BDA 'M. điểm theo. của a. CC' .. và. b.. a để hai mặt phẳng  A 'BD  và  MBD  vuông góc với nhau. b. Lời giải. 13 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> C'. D'. Ta thấy A 'BD cân tại A nên trung tuyến A 'I đồng. B'. A'. I  AC  BD .. Đặt. thời là đường cao. Như vậy A 'I  BD (1).. M. Tương tự ta cũng chứng minh được MI  BD (2).. b. Từ (1), (2) suy ra góc giữa hai mặt phẳng (A 'BD) và D. C. a. A. Áp. (MBD) chính là góc giữa hai đường thẳng A 'I và. I. a. dụng. B. định. MI 2  A 'I 2 . MI .. lý. Pitago,. ta. tính. 2. a2 A 'I   b2 , 2 2. a2 b2  . 2 4. Thành thử mp(A 'BD)  mp(MBD). 2a 2 . được:. b2 A 'M  2a  , 4 2. .  A 'IM  90. . A 'M 2  A 'I 2  MI 2 .   a2 b2  b2  a2 a   b2      1.     2  4  2 4 b   . Bài 5.. [ĐHB03] Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A 'B'C'D' có đáy ABCD là một hình.   60o . Gọi M là trung điểm cạnh AA ' và N là trung điểm cạnh thoi cạnh a , góc BAD CC' . Chứng minh rằng bốn điểm B' , M , D , N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ. dài cạnh AA ' theo a để tứ giác B'MDN là hình vuông. Bài 6.. [ĐHD03] Cho hai mặt phẳng  P  và  Q  vuông góc với nhau, có giao tuyến là. đường thẳng  . Trên  lấy hai điểm A , B với AB  a . Trong mặt phẳng  P  lấy điểm C , trong mặt phẳng. Q. lấy điểm D sao cho AC , BD cùng vuông góc với  và. AC  BD  AB . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A. đến mặt phẳng  BCD  theo a . Bài 7.. [ĐHA04] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp tứ giác S.ABCD có. . . đáy là hình thoi, AC cắt BD tại gốc tọa độ O . Biết A  2;0;0  , B  0;1;0  , S 0;0;2 2 .. M. Gọi a). Tính. góc. và. là. trung. khoảng. cách. điểm giữa. hai. của đường. cạnh thẳng. SA. SC .. và. BM .. b) Giả sử mặt phẳng  ABM  cắt đường thẳng SD tại điểm N . Tính thể tích khối chóp S.ABMN .. Bài 8.. [ĐHB04] Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , góc giữa cạnh. bên và mặt đáy bằng  ( 0    90 ). Tính tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng  SAB  và.  ABCD . theo  . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và  . 14 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Bài 9.. [ĐHD04]. Bài 10. [ĐHB05] Bài 11. [ĐHA06] Cho hình trụ các đáy là hai hình tròn tâm O và O' , bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a . Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A , trên đường tròn đáy tâm O' lấy điểm B sao cho AB  2a . Tính thể tích của khối tứ diện OO'AB . Bài 12. [ĐHB06] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a , AD  a 2 , SA  a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) . Gọi M và N lần lượt là. trung điểm của AD và SC , I là giao điểm của BM và AC . Chứng minh rằng mặt phẳng.  SAC . vuông góc với mặt phẳng  SMB  .Tính thể tích của khối tứ diện ANIB .. Bài 13. [ĐHD06] (thể tích)Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA  2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) . Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC . Tính thể tích khối chóp A.BCNM . Bài 14. [ĐHA07] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Mặt bên SAD là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M , N , P lần lượt là. trung điểm của SB , BC , CD . Chứng minh AM  BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP . Lời giải. Lấy P , Q lần lượt là trung điểm của BC , AD .. S. * Ta có: MP là đường trung bình của BSC  MP / /SC (1). Hơn nữa: tứ giác APCQ là hình bình. M. hành A. B I. P. AP / /CQ. (2) . Từ (1), (2) suy ra. mp(SCQ) / /mp(MPA) (3).. Q D. N. C. . * SQ là trung tuyến của tam giác cân SAD  SQ  AD . Mặt khác: AD là giao tuyến của hai mặt phẳng vuông góc (SAD). và (ABCD) nên SQ  mp(ABCD) . Lại có. BN  mp(ABCD) . Từ đó suy ra BN  SQ (4). Lại có BCN  CDQ (c.g.c).   DCQ . CBN. . I  DN  CQ .. Đặt. . . .   180  DCQ   BNC   180  CBN   BNC   BCN   90  CIN. Ta. có. BN  CQ (5). Từ. (4), (5) suy ra: BN  mp(SCQ) (6). * Từ (3), (6) suy ra: BN  mp(MPA) . Hơn nữa: MA  mp(MPA) . Do đó: PN  MA (ĐPCM). Bài 15. [ĐHB07] Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA , M là trung điểm của AE , N là trung điểm 15 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> của BC . Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a ) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC . Bài 16. [ĐHD07] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình thang, trong đó.   BAD   90 , BA  BC  a , AD  2a . Giả sử SA vuông góc với đáy và SA  a 2 . ABC Chứng minh SCD là tam giác vuông và tính (theo a ) khoảng cách từ H đến mặt phẳng.  SCD  . Lời giải. Theo. S. giả. thiết:. SA  mp(ABCD) ,. lại. có. CD  mp(ABCD) . Do đó CD  SA (1). Lấy M là trung điểm của AD . Dễ thấy tứ giác ABCM là. a B. 2a M. A. a. C. hình vuông  CM  AB  a  AD  ACM vuông tại D. 2. C , nói cách khác: CD  AC (2).. Từ (1) (2) suy ra CD  mp(SAC) , lại có SC  mp(SAC) . Do đó: CD  SC (ĐPCM).. Bài 17. [ĐHA08] Cho lăng trụ ABC.A 'B'C' có độ dài các cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB  a , AC  a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A ' lên mặt phẳng  ABC  là trung điểm của BC . Tính theo a thể tích khối chóp A '.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA ' và B'C' .. Bài 18. [ĐHB08] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA  a ,. SB  a 3 và mặt phẳng  SAB  vuông góc với đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của. AB , BC . Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và DN . Bài 19. [ĐHD08] Cho lăng trụ đứng ABC.A 'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB  BC  a , cạnh bên AA '  a 2 . Gọi M là trung điểm của BC . Tính theo a thể tích. của khối lăng trụ ABC.A 'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B'C . Bài 20. [ĐHA09] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D , AB  AD  2a , CD  a , góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABCD  bằng 60 . Gọi I là. trung điểm của cạnh AD . Biết hai mặt phẳng  SBI  và  SCI  cùng vuông góc với mặt phẳng  ABCD  . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a . Bài 21. [ĐHB09] Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A 'B'C' có BB'  a , góc giữa đường.   60 . thẳng BB' và mặt phẳng  ABC  bằng 60 ; tam giác ABC vuông tại C và BAC 16 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Hình chiếu vuông góc của điểm B' lên mặt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Tính thể tích khối tứ diện A ' ABC theo a . ĐS:. 9a 3 . 208. Bài 22. [ĐHD09] Cho hình lăng trụ đứng ABC.A 'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại. B , AB  a , AA '  2a , A 'C  3a . Gọi M là trung điểm của A 'C' , I là giao điểm của AM và A 'C . Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng  IBC  . ĐS:. 4a 3 2a 5 , . 5 9. Bài 23. [ĐHA10] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD ; H là giao điểm của CN với DM . Biết SH vuông góc với mặt phẳng  ABCD  và SH  a 3 .Tính thể tích khối chóp S.CDMN và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a . Bài 24. [ĐHB10] Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A 'B'C' có AB  a , góc giữa hai mặt phẳng  A 'BC  và  ABC  bằng 60 . Gọi G là trọng tâm tam giác A 'BC . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a . Bài 25. [ĐHD10] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA  a ; hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng  ABCD  là điểm H thuộc đoạn AC ,. AH  AC . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC . Chứng minh M là trung điểm của 4. SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a .. Bài 26. [ĐHA11] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB  BC  2a ; hai mặt phẳng  SAB  và  SAC  cùng vuông góc với mặt phẳng  ABC  .. Gọi M là trung điểm của AB ; mặt phẳng qua SM song song với BC , cắt AC tại N . Biết góc giữa hai mặ phẳng  SAB  và  ABC  bẳng 60 . Tính thể tích khối chóp S.BCMN và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a . Bài 27. [ĐHB11] Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật. AB  a , AD  a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng  ABCD  trùng với giao điểm AC và BD . Góc giữa hai mặt phẳng  ADD1A1  và  ABCD  bằng 60 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng  A1BD  theo a . Lời giải.. 17 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> C1. D1. A1. B1. C. D. 60o I B. a. M a 3 A. Bài 28. [ĐHD11] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , BA  3a , BC  4a ; mặt phẳng.  SBC . vuông góc với mặt phẳng.  ABC  .. Biết SB  2a 3 và.   30 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SBC.  SAC . theo a .. 18 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(19)</span>