Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số

<span class='text_page_counter'>(1)</span>www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________. I- SỬ DỤNG TẬP GIÁ TRỊ: • Bài toán: Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện F ( x; y ) = 0 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của biểu thức P = G ( x; y ) .. • Phương pháp giải chung: Gọi T là tập giá trị của P, khi đó m ∈ T khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:  F ( x; y ) = 0 (1)  G x ; y m = ( )  • Sau đó tìm các giá trị của m để hệ (1) có nghiệm (thường là đưa về điều kiện có nghiệm của một phương trình bậc hai) rồi suy ra tập giá trị T của P, từ đó suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của biểu thức P = G ( x; y ) . • Một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1: (Đề thi đại học dự bị khối A năm 2006) Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn x 2 + xy + y2 ≤ 3 . Chứng minh rằng:. −4 3 − 3 ≤ x 2 − xy − 3 y 2 ≤ 4 3 − 3 Giải: Đặt A = x 2 + xy + y 2 và B = x 2 − xy − 3y 2 . Gọi T là tập giá trị của B, khi đó m ∈ T khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:  x 2 + xy + y 2 ≤ 3 (1)  2 2  x − xy − 3 y = m. • Nếu y = 0 thì A = x 2 ≤ 3 , lúc đó −4 3 − 3 < 0 ≤ m = x 2 ≤ 3 < 4 3 − 3 (đpcm). 2. y  3 y2  > 0 nên: • Nếu y ≠ 0 thì đặt x = ty , khi đó A = x + xy + y =  x +  + 2 4  m x 2 − xy − 3y 2 t 2 − t − 3 = = 2 . A x 2 + xy + y 2 t + t +1 2. 2. t2 − t − 3 ⇔ ( a − 1) t 2 + ( a + 1) t + a + 3 = 0 (2) . Đặt a = 2 t + t +1 2. Hệ (1) có nghiệm ⇔ Phương trình (2) có nghiệm ⇔ ∆ = ( a + 1) − 4 ( a − 1)( a + 3) ≥ 0. ⇔ Do đó:. −4 3 − 3 4 3 −3 ≤a≤ . 3 3. −4 3 − 3 m 4 3 − 3 ≤ ≤ , mặt khác 0 < A ≤ 3 nên −4 3 − 3 ≤ m ≤ 4 3 − 3 . 3 A 3. _______________________________________________________________________________ Lop12.net. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________. Vậy tập giá trị của P là T =  −4 3 − 3 ; 4 3 − 3 nên suy ra đpcm.   Ví dụ 2: (Đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 2005) Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x − 3 x + 1 = 3 y + 2 − y . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức K = x + y . Giải: ĐKXĐ: x ≥ −1 và y ≥ −2 . Gọi T là tập giá trị của K. Ta có m ∈ T khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:  x − 3 x + 1 = 3 y + 2 − y (1)   x + y = m Đặt u = x + 1 và v = y + 2 thì u ≥ 0, v ≥ 0 và hệ (1) trở thành:. m  u+v =  3 ( u + v ) = m 3  ⇔ ⇔ u, v là hai nghiệm của phương trình:  2 2  2   1 m 3 u v m + = +  uv =  − m − 3   2  9   m 1  m2 t 2 − t +  − m − 3  = 0 ⇔ 18t 2 − 6 mt + m 2 − 9m − 27 = 0 (2). 3 2 9  Do đó hệ (1) có nghiệm (x , y) sao cho x ≥ −1 và y ≥ −2 khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm không âm và điều kiện là:  2  ∆ = −9 m − 18m − 54 ≥ 0  m 9 + 3 21  ⇔ ≤ m ≤ 9 + 3 15 . S = ≥ 0 3 2   m 2 − 9m − 27 ≥0 P =  18  9 + 3 21  Do đó T =  ;9 + 3 15  . 2   9 + 3 21 Vậy giá trị nhỏ nhất của K là và giá trị lớn nhất của K là 9 + 3 15 . 2
. (. ). _______________________________________________________________________________ Lop12.net. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________. II- SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC:. • Phương pháp chung: Mấu chốt của phương pháp bất đẳng thức là phải dự đoán được biểu thức sẽ đạt giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất tại những giá trị nào của biến số để từ đó có những cách phân tích, đánh giá thích hợp. • Một số bất đẳng thức cần nhớ: x+y ≥ xy (với x ≥ 0; y ≥ 0 )  BĐT Cô-si: 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y .  BĐT Bunhiacopxki:. ( a1b1 + a2 b2 ). 2. (. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  BĐT về trị tuyệt đối:. )(. ≤ a12 + a22 b12 + b22. ). a1 a2 = . b1 b2. x − y ≤ x−y ≤ x + y n. x n + yn  x + y   BĐT ≥  (với n nguyên dương và x ≥ 0; y ≥ 0 ) 2  2  • Một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1: (Đề thi đại học dự bị khối A năm 2005) Cho hai số thực x, y dương thay đổi . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2. y  9   P = (1 + x )  1 +   1 +  . x   y   Giải: 3. x x x x • 1 + x = 1 + + + ≥ 4. 4   . 3 3 3 3 3. y y y y  y  • 1+ = 1+ + + ≥ 4. 4   . x 3x 3x 3x  3x  3. 2. 6.  3    3  9 3 3 3 9  • 1+ =1+ + + ≥ 4. 4  ⇒ 1 + ≥ 16. 4  .    y    y  y y y y y       _______________________________________________________________________________ Lop12.net. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________. 2. 6. 3 3  3  y  x y 9       ≥ 4.4.16. 4   .   .  Suy ra P = (1 + x )  1 +   1 +   = 256 . x   y    3   3 x   y  Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 256 khi x = 3 và y = 9 .. Ví dụ 2: (Đề thi đại học dự bị khối B năm 2006) Cho hai số thực x, y dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y ≥ 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất. 3x 2 + 4 2 + y3 của biểu thức A = + 2 . 4x y Giải:  1 y y 3x 1 2 x 1 4 1 y y 9 x 1 x+y + + 2 + y = + + + 2  2 + +  ≥ 2 . + + 2.3 3 2 . . = A= 4 x y 2 8 8 4 x 2 y 8 8 2 4 x y. x 1  =  4 x 9 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  x + y = 4 ⇔ x = y = 2 . Vậy Amin = khi x = y = 2. 2 1 y  2 = 8  y Ví dụ 3: (Đề thi đại học chính thức khối A năm 2006) Cho hai số thực x ≠ 0 và y ≠ 0 thay đổi thỏa mãn điều kiện ( x + y ) xy = x 2 + y 2 − xy . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =. 1 1 + . x 3 y3. Giải:  Cách 1: (Sử dụng bất đẳng thức) 1 1 1 1 1 Ta có: ( x + y ) xy = x 2 + y 2 − xy ⇔ + = 2 + 2 − . x y x xy y 1 1 Đặt a = , b = , ta được a + b = a2 + b2 − ab (1) . x y. (. ). A = a3 + b3 = ( a + b ) a2 + b2 − ab = ( a + b ). 2. 2. (1) ⇔ a + b = ( a + b ) − 3ab .. _______________________________________________________________________________ Lop12.net. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________. 2. 2. 2. (a + b) . 2 2 a+b a+b nên a + b = ( a + b ) − 3ab ≥ ( a + b ) − 3  = vì ab ≤    4  2   2  2. ⇒ (a + b) − 4(a + b) ≤ 0 ⇒ 0 ≤ a + b ≤ 4 . 2. Do đó A = ( a + b ) ≤ 16 .. 1 . 2. Vậy giá trị lớn nhất của A là 16 khi x = y =  Cách 2: (Sử dụng tập giá trị). (. ). 2 2 4 x + y) ( 1 1 ( x + y ) x − xy + y Ta có A = 3 + 3 = = x y x 3 y3 x 2 − xy + y 2. (. 2. ). 2.  x 2 + 2 xy + y 2  =  2 2   . − + x xy y  . x 2 + 2 xy + y 2 t 2 + 2t + 1 Xét biểu thức B = 2 . Đặt x = ty thì B = 2 . x − xy + y 2 t − t +1 • Nếu t = 0 thì x = 0 (trái giả thiết x ≠ 0 ) nên t ≠ 0 . 2. • Do ( x + y ) xy = x 2 + y 2 − xy ⇔ ( x + y ) xy = ( x + y ) − 3xy nên x + y = 0 ⇒ −3xy = 0 (trái giả thiết xy ≠ 0 ). Vậy x + y ≠ 0 nên t ≠ −1 . Gọi T là tập giá trị của B thì: t 2 + 2t + 1 có nghiệm t ≠ 0 , t ≠ −1 . m ∈ T ⇔ Phương trình m = 2 t − t +1 ⇔ Phương trình ( m − 1) t 2 − ( m + 2 ) t + m − 1 = 0 (*) có nghiệm t ≠ 0 , t ≠ −1 . • Nếu m = 1 thì phương trình (*) có nghiệm t = 0 (loại). ∆ ≥ 0  • Nếu m ≠ 1 thì phương trình (*) có nghiệm t ≠ 0 , t ≠ −1 ⇔  m − 1 ≠ 0 . 3m ≠ 0  ( m + 2 )2 − 4 ( m − 1)2 ≥ 0 0 < m ≤ 4  ⇔ m ≠ 1 ⇔ . m ≠ 1 m ≠ 0  Vì A = B 2 và tập giá trị của B là T = ( 0;4 ] \ {1} nên tập giá trị của A là T1 = ( 0;16 ] \ {1} . Vậy giá trị lớn nhất của A là 16.
. _______________________________________________________________________________ Lop12.net. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________. III- SỬ DỤNG HÌNH HỌC:. • Phương pháp chung: Phương pháp hình học thường được sử dụng khi giả thiết bài toán và biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất có dạng là phương trình của một đường thẳng, đường tròn, đường elip hoặc là khoảng cách giữa hai điểm v.v... • Một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1: (Đề thi đại học dự bị khối A năm 2004).  x − my = 2 − 4 m Gọi (x, y) là nghiệm của hệ phương trình  (m là tham số).  mx + y = 3m + 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = x 2 + y2 − 2 x khi m thay đổi. Giải: • Đường thẳng ( d1 ) : x − my − 2 + 4 m = 0 đi qua điểm cố định A(2 ; 4).. • Đường thẳng ( d2 ) : mx + y − 3m − 1 = 0 đi qua điểm cố định B(3 ; 1). • Đường thẳng ( d1 ) và ( d2 ) vuông góc với nhau. Do đó, gọi M(x , y) với (x, y) là nghiệm của hệ phương trình thì M chạy trên đường tròn 2. 2. 5  5 5  đường kính AB có phương trình (C1 ) :  x −  +  y −  = . 2  2 2  2. 2. Ta có Q = x 2 + y 2 − 2 x = ( x − 1) + y 2 − 1 ⇔ ( x − 1) + y 2 = Q + 1 . 2. Gọi đường tròn ( C2 ) : ( x − 1) + y2 = Q + 1 . Lúc đó. ( x − 1)2 + y2. chính là khoảng cách từ điểm N(1 ; 0) đến điểm M (hình vẽ).. y. Do đó NM lớn nhất khi và chỉ khi hai đường tròn (C1 ) A. và ( C2 ) tiếp xúc trong (hình vẽ). ⇔ NP + PM = NM. M. P. 2.  34 + 10  34 10 ⇔ + = Q + 1 ⇔ Q =   − 1. 2 2 2  . B N. x. 2.   Vậy Qm ax =  34 + 10  − 1 = 10 + 85 .   2  . _______________________________________________________________________________ Lop12.net. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________. Ví dụ 2: Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn 36 x 2 + 16 y 2 = 9 . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P = −2 x + y + 5 . Giải: Gọi T là tập giá trị của P và m ∈ T khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: 36 x 2 + 16 y 2 = 9 (1)   −2 x + y + 5 = m 2. 2. Ta có 36 x 2 + 16 y2 = 9 ⇔ ( 6 x ) + ( 4 y ) = 32 . Đặt X = 6 x, Y = 4 y thì hệ phương trình (1) trở thành:  X 2 + Y 2 = 9   4 X − 3Y + 12 m − 60 = 0. (2). Hệ (1) có nghiệm ⇔ Hệ (2) có nghiệm ⇔ Đường tròn ( C ) : X 2 + Y 2 = 9 và đường thẳng. ( d ) : 4 X − 3Y + 12m − 60 có điểm chung ⇔. 12 m − 60. ≤3⇔. 15 25 ≤m≤ . 4 4. 42 + 32 15 25  15 25  Vậy T =  ;  nên giá trị nhỏ nhất của P là và giá trị lớn nhất của P là . 4 4 4 4
. _______________________________________________________________________________ Lop12.net. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________. IV- SỬ DỤNG VECTƠ:. • Phương pháp chung: Phương pháp vectơ thường sử dụng khi biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất xuất hiện các biểu thức có dạng • Một số bất đẳng thức cần nhớ:









  a1 + a2 + ... + an ≤ a1 + a2 + ... + an




 (Đẳng thức xảy ra khi a1 ; a2 ;...; an cùng hướng.)





  a1.a2 ≤ a1 . a2


 (Đẳng thức xảy ra khi a1 ; a2 cùng hướng.). A2 + B 2 .. • Một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1: (Đề thi đại học chính thức khối B năm 2006) Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:. A=. ( x − 1)2 + y2 + ( x + 1)2 + y2 +. y−2.   Giải: Xét các vectơ a = (1 − x; y ) và b = ( x + 1; y ) . Ta có:     2 2 • a + b ≤ a + b ⇔ 4 + 4 y 2 ≤ ( x − 1) + y 2 + ( x + 1) + y2 . Do đó A ≥ 2 1 + y 2 + y − 2 = f ( y) .. • Với y ≥ 2 thì A ≥ 2 1+22 = 2 5 .. (1). • Với y < 2 thì f ( y) = 2 1 + y 2 + 2 − y . •. f '( y) =.  y ≥ 0 1 . − 1 = 0 ⇔ 2 y = 1 + y2 ⇔  2 ⇔y= 2 3 1 + y2  4 y = 1 + y. 2y. Bảng biến thiên:. 1 y f'(y). -∞ -. 3 0. 2 +. f(y) 2+ 3 _______________________________________________________________________________ Lop12.net. 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________. Dựa vào bảng biến thiên, ta có f ( y) ≥ 2 + 3 hay A ≥ 2 + 3 . Từ (1) và (2), ta có giá trị nhỏ nhất của A là 2 + 3 khi x = 0; y =. (2). 1 . 3. Ví dụ 2: (Đề thi thử đại học năm 2011 - báo Toán học và tuổi trẻ số 404/tháng 02/2011) Cho x, y là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn. 1 1 + ≤ 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất x y. của biểu thức: P = x 6 + 3y 4 + y6 + 3 x 4 ..   Giải: Xét các vectơ a = x 3 ; y 2 3 và b = y3 ; x 2 3 .. (. ). (.     Ta có: a + b ≥ a + b ⇔ x 6 + 3 y 4 + y6 + 3 x 4 ≥ hay P ≥. (. x 3 + y3. ). 2. (. + 3 x 2 + y2. ). 2. ) (x. 3. + y3. 2. ) +(. 3x 2 + 3y2. ). 2. .. .. 1 1 4 4 ≥ = 2. Mặt khác ( x + y )  +  ≥ 4 ⇒ x + y ≥ 1 1 2 x y + x y 3. 2. 3. x + y) ( x 3 + y3  x + y  22 2 2 2 3 3 ≥ = 2. ≥ và  ⇒ x + y ≥ 2.  2  = 2 và x + y ≥ 2 2 2  2    Suy ra P ≥ 22 + 3.22 = 4 . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 khi x = y = 1 ..
. _______________________________________________________________________________ Lop12.net. 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________. V- SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC:. • Phương pháp chung: đặt các biến theo các hàm số lượng giác để đưa biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất về biểu thức chứa các hàm số lượng giác. • Một số kiến thức cần nhớ:  nếu x 2 + y 2 = 1 thì đặt x = sin t và y = cos t .  nếu x + y = 1 thì đặt x = sin 2 t và y = cos2 t . • Một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1: (Đề thi đại học chính thức khối B năm 2008) Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x 2 + y 2 = 1 . Tìm giá trị lớn nhất và. (. 2 x 2 + 6 xy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =. ).. 1 + 2 xy + 2 y2. Giải:  Cách 1: (Sử dụng lượng giác) Vì x + y = 1 nên đặt x = sin t và y = cos t . Lúc đó: 2. 2. (. 2 sin 2 t + 6 sin t cos t P=. ). 2. 1 + 2sin t cos t + 2 cos t 2. ⇔ ( P − 6 ) sin 2t + ( P + 1) cos2t = 1 − 2 P (1) 2. 2. (1) có nghiệm ⇔ ( P − 6 ) + ( P + 1) ≥ (1 − 2 P ) ⇔ −6 ≤ P ≤ 3 Vậy giá trị lớn nhất của P là 3 và giá trị nhỏ nhất của P là -6.  Cách 2: (Sử dụng tập giá trị) Gọi T là tập giá trị của P, khi đó m ∈ T khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:  x 2 + y2 = 1  (1)  2 x 2 + 6 xy m =  2 1 + 2 xy + 2 y. (. ). • Nếu y = 0 thì x 2 = 1 nên m = 2. 2t 2 + 12t ⇔ ( m − 2 ) t 2 + 2 ( m − 6 ) t + 3m = 0 (2) • Nếu y ≠ 0 thì đặt x = ty , khi đó m = 2 t + 2t + 3 Hệ phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm.. _______________________________________________________________________________ 10 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________. 3 . 4 * Với m ≠ 2 thì phương trình (2) có nghiệm ⇔ ∆ ' = −2 m 2 − 6m + 36 ≥ 0 ⇔ −6 ≤ m ≤ 3. * Với m = 2 thì phương trình (2) có nghiệm t =. Vậy tập giá trị của P là đoạn [ −6 ; 3] nên Pmax = 3 và Pmin = −6 . Ví dụ 2: (Đề thi đại học chính thức khối D năm 2008). Cho hai số thực x, y không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của ( x − y )(1 − xy ) . biểu thức P = (1 + x )2 (1 + y )2 Giải:  Cách 1: (Sử dụng lượng giác)  π Đặt x = tanu, y = tanv với u, v ∈ 0;  .  2 (tan u − tan v)(1 − tan u tan v) sin(u − v)cos(u + v) 1 sin 2u − sin 2v P= = = 2 2 2 2 (1 + tan u) (1 + tan v) (sin u + cos u) (sin v + cos v) 2 (1 + sin 2u)(1 + sin 2v) 1 1 1  =  − .  2  1 + sin 2v 1 + sin 2u  π 1 1 1  1 khi u = và v = 0 ⇔ x = 1 và y = 0. −  = 4 2  1+ 0 1+1  4 π 1 1 1  1 Pmin =  −  = − khi u = 0 và v = ⇔ x = 0 và y = 1. 4 2  1+1 1+ 0  4. • Pmax = •.  Cách 2: (Sử dụng bất đẳng thức). Ta có x − y ≤ x + y = x + y và 1 − xy ≤ 1 + xy = 1 + xy nên:. P≤. ( x + y)(1 + xy). [( x + y) + (1 + xy)]2. ≤. 1 1 1 ⇔− ≤P≤ . 4 4 4. 1 khi x = 1, y = 0. 4 1 • Giá trị nhỏ nhất của P bằng − khi x = 0, y = 1. 4. • Giá trị lớn nhất của P bằng.
 _______________________________________________________________________________ 11 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________. VI- SỬ DỤNG ĐẠO HÀM:. • Phương pháp chung: từ giả thiết của bài toán, ta biến đổi biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất từ hai biến số x; y về một biến số nào đó (có thể là t = x + y hoặc t = xy hoặc t = x 2 + y 2 …) rồi dùng đạo hàm để khảo sát hàm số này. • Một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1: (Đề thi đại học chính thức khối B năm 2009) 3. Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn ( x + y ) + 4 xy ≥ 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của. (. ) (. ). biểu thức A = 3 x 4 + y 4 + x 2 y2 − 2 x 2 + y 2 + 1 . Giải: 2. 3. 2. Ta có ( x + y ) ≥ 4 xy nên từ giả thiết suy ra ( x + y ) + ( x + y ) ≥ 2 ⇒ x + y ≥ 1 . 2 3 3 A = 3 x 4 + y 4 + x 2 y2 − 2 x 2 + y2 + 1 = x 2 + y2 + x 4 + y4 − 2 x 2 + y2 + 1 2 2 2 2 3 3 ≥ x 2 + y 2 + x 2 + y 2 − 2 x 2 + y2 + 1. 2 4 2 9 Suy ra A ≥ x 2 + y 2 − 2 x 2 + y 2 + 1 . 4. (. ) (. (. ). (. (. 2. 2. ). (. ). (. ) (. ). ) ( ) ) ( ) 2. Đặt t = x + y , ta có x + y. 2. 2 x + y) ( 1 ≥ ≥ . Do đó. A≥. 9 2 1 t − 2t + 1 với t ≥ . 4 2. 2 2 1 9 2 Xét hàm số f ( t ) = t − 2t + 1 với t ≥ . 4 2 9 1 Ta có f ' ( t ) = t − 2 > 0 với mọi t ≥ , suy ra min f ( t ) = 1  2 2 ;+∞  2 . 1 9 f = .  2  16. . 9 1 khi x = y = . 16 2 Ví dụ 2: (Đề thi đại học chính thức khối D năm 2009). Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng. Cho hai số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1 . Tìm giá trị lớn nhất và. (. )(. ). giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 4 x 2 + 3 y 4 y2 + 3 x + 25 xy . _______________________________________________________________________________ 12 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________. Giải:  Cách 1: (Sử dụng đạo hàm) y = 1 − x  x, y ≥ 0 • Vì  do đó S = 16 x 4 − 32 x 3 + 18 x 2 − 2 x + 12 . nên suy ra  0 ≤ x ≤ 1 x + y = 1. • Xét hàm số f ( x ) = 16 x 4 − 32 x 3 + 18 x 2 − 2 x + 12 trên đoạn [0 ; 1] . 1  x =  2 • f ' ( x ) = 16.4 x 3 − 32.3x 2 + 18.2 x − 2 = 0 ⇔  (đều thuộc đoạn [0 ; 1]). 2± 3   x = 4 1 2− 3 2+ 3 x 1 0 2 4 4 191 25 191 f (x) 12 12 16 2 16 Dựa vào bảng giá trị, ta kết luận: 2+ 3 2− 3 2− 3 2+ 3 191 • Smin = khi ( x; y ) =  ; ;  hoặc ( x; y ) =   . 16 4 4 4 4     25 1 1 • Smax = khi ( x; y ) =  ;  . 12 2 2  Cách 2: (Sử dụng bất đẳng thức kết hợp với đạo hàm). (. ). Do x + y = 1 nên S = 16 x 2 y2 + 12 x 3 + y3 + 9 xy + 25xy 3 = 16 x 2 y 2 + 12 ( x + y ) − 3 xy ( x + y )  + 34 xy = 16 x 2 y 2 − 2 xy + 12 .   2 x + y) ( Ta có 0 ≤ xy ≤. 4. =. f ' ( t ) = 32t − 2 = 0 ⇔ t =. 1 . Xét hàm số f ( t ) = 16t 2 − 2t + 12 trên đoạn 4 1  1  191 và f   = ; 16  16  16.  1  25 Vậy m ax f ( t ) = f   = và min f ( t ) =  1  1 4 2  0;   0;   4.  1 0; 4  .  .  1  25 f   = ; f ( 0 ) = 12 . 4 2.  1  191 f = .  16  16.  4. _______________________________________________________________________________ 13 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________. •. •. x + y = 1 2− 3 2+ 3 2+ 3 2− 3 191  ; ; Smin = khi   .  hoặc ( x; y ) =  1 ⇔ ( x; y ) =  4 4 4 4 16 = xy      16 x + y = 1 25  1 1 Smax = khi  1 ⇔ ( x; y ) =  ;  . 12 2 2  xy = 4  Cách 3: (Sử dụng lượng giác). x + y = 1 • Vì  nên đặt  x, y ≥ 0.  x = sin 2 t  π với t ∈ 0;  .  2  2  y = cos t. 1 • Lúc đó S = 16sin 4 t cos4 t − 2sin 2 t cos2 t + 12 = sin 4 2t − sin 2 2t + 12 2 2. 1  191 191  =  sin 2 2t −  + ≥ . 4 16 16  1 1  π • Dấu “=” xảy ra sin 2 2t = ⇔ sin 2t = (vì t ∈ 0;  nên sin 2t > 0 ) 4 2  2 5π π  π ⇔t= hoặc t = (vì t ∈ 0;  ) 12 12  2 π 5π   1 − cos 1 − cos   − 4 3 6 = 4+ 3 6 = x = sin 2 t = x = sin 2 t =   π  2 2 2 2 ; t = 5π ⇒  ⇒ • t=  π 12 5π 12   + 1 cos 1 + cos  y = cos2 t =  y = cos2 t = 6 = 4− 3 6 = 4+ 3    2 2 2 2 x + y = 1 2− 3 2+ 3 2+ 3 2− 3 191  • Smin = ; khi  ; .  hoặc ( x; y ) =  1 ⇔ ( x; y ) =  4  16 4   4  xy = 16  4 1 1 25   1 S = sin 4 2t − sin 2 2t + 12 = sin 2 2t  sin 2 2t −  + 12 ≤ 1.  1 −  + 12 = . 2 2 12   2  π • Dấu “=” xảy ra sin 2 2t = 1 ⇔ sin 2t = 1 (vì t ∈ 0;  nên sin 2t > 0 )  2 π  π ⇔ t = (vì t ∈ 0;  ) 4  2. •. _______________________________________________________________________________ 14 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________. π 1  x = sin 2 = x + y = 1  25 π   1 1 4 2 • t= ⇒ khi  ⇒ Smax = 1 ⇔ ( x; y ) =  ;  . 12 4 2 2  xy = 4  y = cos2 π = 1  4 2 Ví dụ 3: (Đề thi cao đẳng năm 2008) Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn x 2 + y 2 = 2 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ. (. ). nhất của biểu thức M = 2 x 3 + y3 − 3 xy . Giải:  Cách 1: (Sử dụng bất đẳng thức và đạo hàm) 2. 2. Ta có x + y = 2 ⇔ ( x + y ). (. 2. 2 x + y) − 2 ( − 2 xy = 2 ⇔ xy = , do đó:. ). (. M = 2 x 3 + y3 − 3 xy = 2 ( x + y ) x 2 − xy + y 2 3. = − ( x + y) − 2. ). 2 − 3 xy = 2 ( x + y )( 2 − xy ) − 3xy. 3 ( x + y )2 + 6 ( x + y ) + 3 2. Mặt khác 2 = x + y. 2. 2 x + y) ( ≥ ⇒ −2 ≤ x + y ≤ 2 .. 2. 3 Xét hàm số f ( t ) = −t 3 − t 2 + 6t + 3 trên đoạn [ −2;2 ] . 2 t = 1 13 Ta có f ' ( t ) = −3t 2 − 3t + 6 = 0 ⇔  và f (1) = ; f ( 2 ) = 1; f ( −2 ) = −7 . 2  t = −2 13 1+ 3 1− 3 1− 3 1+ 3 khi x = ; y= hoặc x = ; y= . 2 2 2 2 2 • Giá trị nhỏ nhất của M là -7 khi x = y = −1 . • Giá trị lớn nhất của M là.  Cách 2: (Sử dụng lượng giác kết hợp đạo hàm). • Vì x 2 + y 2 = 2 nên đặt x = 2 sin t; y = 2 cos t với t ∈ [0 ; 2π ) . •. (. ). M = 2 x 3 + y3 − 3 xy = 4 2 ( sin t + cos t )(1 − sin t cos t ) − 6 sin t cos t .. u2 − 1  π • Đặt u = sin t + cos t = 2 sin  t +  với điều kiện u ∈  − 2; 2  thì sin t cos t = 4 2  3 2 nên M = −2 2u − 3u + 6 2u + 3 . _______________________________________________________________________________ 15 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________. • Xét hàm số f ( u ) = −2 2u3 − 3u2 + 6 2u + 3 trên đoạn  − 2; 2  . u = − 2 • f ' ( u ) = −6 2u 2 − 6u + 6 2 = 0 ⇔  1 . u=  2 •.  1  13 f − 2 = −7; f  = ; f  2 2. (. ). ( 2 ) = 1 nên ta có kết luận sau:.  1− 3 1+ 3 π  ; t x y = − = =   13 1 12 2 2 * Giá trị lớn nhất của M là khi u = ⇔ ⇔ 2  2 1+ 3 1− 3  t = 7π ;y = x =  12 2 2  3π ⇔ x = y = −1 . * Giá trị nhỏ nhất của M là -7 khi u = − 2 ⇔ t = − 4 Ví dụ 4: (Đề thi thử đại học năm 2011 - trường THPT chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng ). Cho hai số thực x, y dương thay đổi thỏa mãn x + y = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu x y thức T = + . 1− x 1− y Giải:  Cách 1: (Sử dụng đạo hàm). • Vì x + y = 1 nên suy ra y = 1 − x , do đó T = • Xét hàm số f ( x ) =. •. 2−x. f '( x ) = 2. (1 − x )3. x y x 1− x + = + . 1− x 1− y 1− x x. x 1− x + với 0 < x < 1 . 1− x x 1  1 − = − 2 x3  2 1 − x 2 x x +1.    +  2 . 1. (1 − x )3.  . − 3 2 x   1. 1 1 • Ta có f '   = 0 . Ta chứng minh x = là nghiệm duy nhất của f ' ( x ) . 2 2 1 1 1 1 1 1 • x > ⇒ 0 < 1− x < ⇒ − > 0 và − > 0 nên f ' ( x ) > 0 . 3 3 2 2 2 1− x 2 x 2 x 2 (1 − x ) _______________________________________________________________________________ 16 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________. •. 0< x<. 1 1 1 1 1 1 − < 0 nên f ' ( x ) < 0 . ⇒ 1− x > ⇒ − < 0 và 3 2 2 2 1− x 2 x 2 x3 2 (1 − x ). • Vậy x =. 1 là nghiệm duy nhất của f ' ( x ) (đpcm). 2. BBT:. x. 1 2 0. 0 -. f'(x). 1 +. f(x) 2 1 . 2  Cách 2: (Sử dụng bất đẳng thức kết hợp đạo hàm). Vậy giá trị nhỏ nhất của T là. 2 khi x = y =. • Đặt 1 − x = u > 0 và 1 − y = v > 0 . Lúc đó x + y = 1 trở thành u2 + v 2 = 1 và T= •. 2. 2. u + v = 1 ⇔ (u + v). • 1 = u2 + v2 ≥ •. (u + v) 2. 2. 1 − u2 1 − v 2  1  + = ( u + v )  − 1 . u v  uv . 2 u + v) −1 ( − 2uv = 1 ⇔ uv = .. 2. 2. ⇒u+v≤ 2.. ( u + v )2 = u2 + v2 + 2uv = 1 + 2uv > 1 ⇒ u + v > 1 .. −t 3 + 3t = f ( t ) với t ∈ 1; 2  . Đặt t = u + v thì T = 2 t −1 4 −t − 3 f ' (t ) = < 0, ∀t ∈ 1; 2  ⇒ f ( t ) ≥ f 2 = 2 . 2 2 t −1. (. (. ). (. Vậy giá trị nhỏ nhất của T là. ( ). 2 khi x = y =. 1 . 2. _______________________________________________________________________________ 17 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________.  Cách 3: (Sử dụng lượng giác kết hợp đạo hàm).  x = sin 2 t .  2  y = cos t cos2 t sin 2 t cos3 t + sin 3 t ( sin t + cos t )(1 − sin t cos t ) + = = . Khi đó T = sin t cos t sin t cos t sin t cos t  π  π Đặt a = sin t + cos t = 2 sin  t +  , vì t ∈  0;  nên 1 < a ≤ 2 . 4   2 − a3 + 3a a2 − 1 = f (a) . , do đó T = 2 Ta có sin t cos t = 2 a −1 −a4 − 3 f '(a) = < 0, ∀a ∈ 1; 2  ⇒ f ( a ) ≥ f 2 = 2 . 2 2 a −1 x + y = 1  π nên tồn tại t ∈  0;  sao cho Vì   2  x > 0; y > 0. (. (. ). Vậy giá trị nhỏ nhất của T là. ( ). 2 khi x = y =. 1 . 2. Ví dụ 5: (Đề thi thử đại học năm 2011 - trường THPT chuyên Quốc Học - Huế). Cho a, b là các số thực thay đổi ( a > 0 ) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2. T = ( a − b ) + ( ln a − b ). 2. Giải:  Cách 1: (Sử dụng đạo hàm) 2. 2. Xét hàm số f ( b ) = ( b − a ) + ( b − ln a ) với b ∈  . Ta có f ' ( b ) = 2 ( b − a ) + 2 ( b − ln a ) = 0 ⇔ b =. a + ln a . 2. BBT: x f'(x). -∞. a + lna 2 0 -. f(x) f(. a + lna ) 2. Dựa vào bảng biến thiên, ta có: +∞ +. 2.  a + ln a  ( a − ln a ) f ( b) ≥ f  = 2  2  Xét hàm số f ( a ) = a − ln a với a > 0 .. f '(a) = 1 −. 1 = 0 ⇔ a = 1. a. _______________________________________________________________________________ 18 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________. BBT:. a. 0. 1 0. -. f'(a) f (a). +∞ +. 1 Do đó f ( a ) ≥ 1, ∀a > 0 , nên. ( a − ln a )2 ≥ 12 2. 2. =. 1 1 1 . Vậy Tmin = khi a = 1; b = . 2 2 2.  Cách 2: (Sử dụng hình học). Xét điểm M ( b; b ) thuộc đường thẳng (d): y = x và điểm N ( a;ln a ) thuộc đồ thị (C) của hàm 2. 2. số y = ln x . Lúc đó MN 2 = ( a − b ) + ( ln a − b ) . Dựa vào đồ thị, ta thấy MN nhỏ nhất khi N là tiếp điểm y của tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng (d) f( x) = x (hình vẽ). h(x) = x-1 1 Do đ ó ' f x = = 1 ⇔ xN = 1 , suy ra yN = 0 . ( ) N M g( x) = ln( x) xN x Và M là hình chiếu vuông góc của N lên đường thẳng (d) N 1 1 1 nên M  ;  . Lúc này MN 2 = = Tmin . 2 2 2  Cách 3: (Sử dụng vectơ kết hợp đạo hàm)   Xét các vectơ u = ( a − b; b − ln a ) và v = (1;1) .    2 2 Ta có: u.v ≤ u . v ⇔ ( a − b ) .1 + ( b − ln a ) .1 ≤ ( a − b ) + ( b − ln a ) . 12 + 12 . 2. Suy ra T = ( a − b ) + ( ln a − b ). 2. 2 a − ln a ) ( ≥ .. 2. Xét hàm số f ( x ) = x − ln x , f ' ( x ) = 1 −. 1 = 0 ⇔ x = 1. x. BBT:. x. 0. f'(x) f (x). -. 1 0. +∞ +. 1 _______________________________________________________________________________ 19 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________. Do đó f ( x ) ≥ 1, ∀x > 0 , nên T ≥. 1 1 12 1 = . Vậy giá trị nhỏ nhất của T là khi a = 1; b = . 2 2 2 2. Ví dụ 6:. Cho x, y là các số thực dương thay đổi thỏa mãn x 3 + y3 ≤ 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x 2 + y 2 . Giải:. •. x 3 + y3 ≤ 2 ⇔ y 3 ≤ 2 − x 3 ⇔ y ≤ 3 2 − x 3 .. • Vì x, y dương nên x 3 + y3 ≤ 2 ⇒ 0 < x < 3 2 .. (. Do đó A = x 2 + y2 ≤ x 2 + 3 2 − x 3. (. Xét hàm số f ( x ) = x 2 + 3 2 − x 3. f '( x ) = 2x −. 2x. 2x2 3. 2−x. 3. =. (. 3 3. ). ). 2. 2. . với 0 < x < 3 2 .. 2 − x3 − x 2−x. ) = 0 ⇔  x = 0 3. 3.  2 − x = x. 3. ⇔ x = 1 (vì 0 < x < 3 2 ).. BBT: x f'(x). 0. 1 +. 0. -. 2. f(x). Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra A ≤ f ( x ) ≤ 2 . Vậy giá trị lớn nhất của A là 2 khi x = y = 1. Ví dụ 7:. Cho x, y là các số thực dương thay đổi thỏa mãn x + y = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 biểu thức A = x 2 + y 2 + 2 + 2 . x y Giải:. _______________________________________________________________________________ 20 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>