Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học. I/ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC. 1 2.  sin2a = 2sina.cosa  sina.cosa= sin2a. A/ Đường tròn lượng giác, giá trị lượng giác: .  cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2 sin2a. 2. .  tan2a =. . sin 0. 3. Công thức nhân ba:  sin3a = 3sina – 4sin3a  cos3a = 4cos3a – 3cosa. 0. cos. 3 2.  tan x . sin x cos x. 4.Công thức hạ bậc:.  cot x . . cos x sin x. . Bảng giá trị của các góc đặc biệt: 300. 00. Góc.  (. (0). GTLG. Sin. 6. 0. Cos. ). 1 2. 1. 3 2. 450 (. . 4. ). 2 2 2 2. 600.  (. 3. ). 900.  (. 3 2 1 2. B/ Các hệ thức Lượng Giác Cơ Bản:  sin 2   cos2   1   R .     tan .cot   1    k ,k  Z  2   1      1  tan 2      k,k  Z  2 cos  2   1   1  cotg2    k,k  Z  2 sin  Hệ quả:  sin2x = 1-cos2x ; cos2x = 1- sin2x  tanx=. 1 1 ; cot x  cot x tan x.  Sin4x + cos4x = 1 - 2sin2x.cos2x  Sin6x + cos6x = 1 - 3sin2x.cos2x C/ Giá Trị Các Cung Góc Liên Quan Đặc Biệt: “ Cos đối, Sin bù, Phụ chéo, tan cot lệch ” D/. Công thức lượng giác 1. Công thức cộng:  cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb  cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb  sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb  sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb  . tan a  tan b 1 tan a.tan b tan a  tan b tan(a + b) = 1 tan a.tan b tan(a – b). 2 tan a 1 tan 2 a. =. 2. Công thức nhân đôi:. 2. 1 0. . ). 1  cos 2a 2 1  cos 2a sin2a = 2 1  cos 2a tg2a = 1  cos 2a cos2a =. 5. Công thức tính sinx, cosx,tanx theo t=tan. 2t 1 t2 2t  tanx = 1 t2.  sinx =. 1 t2 1 t2 1 t2  cotx = 2t.  cosx =. 6. Công thức biến đổi tổng thành tích.  a b  ab  cos    2   2   a b  ab cos a  cos b  2sin   sin    2   2   a b  ab sin a  sin b  2sin   cos    2   2   a b  ab sin a  sin b  2 cos   sin    2   2  sin(a  b)  tan a  tan b  ( a , b   k , k  Z ) cos a.cos b 2 sin(a  b) cot a  cot b  ( a , b  k , k  Z ) sin a.sin b  sin(a  b) cot a  cot b  ( a , b  k , k  Z ) sin a.sin b   sin a  cos a  2 sin(a  )  2cos(a  ) 4 4   sin a  cos a  2 sin(a  )   2cos(a  ) 4 4   cos a  sin a  2cos(a  )   2 sin(a  ) 4 4.  cos a  cos b  2 cos        .  . x : 2. 7. Công thức biến đổi tích thành tổng. 1 cos(a  b)  cos(a  b) 2 1  sin a.sin b   cos(a  b)  cos(a  b)  2.  cos a.cos b . Lop12.net Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh. Trang 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học  sin a.cos b . 1 sin(a  b)  sin(a  b) 2.  sin b.cos a . 1 sin(a  b)  sin(a  b) 2. II/PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC : 1/ Phương trình lượng giác cơ bản: a ) cosu = cosv  u =  v + k2    . u  v  k 2  b) sinu = sinv   ,k   u    v  k 2  d) cotu = cotv  u = v + k ,k  . c) tanu = tanv  u = v + k ,k   sin   a  Chú ý: a/ Nếu cung α thoả    thì α gọi là arcsina cung có sin bằng a. Khi đó phương  2    2  x  arc sin a  k 2 trình sinx = a   k Z  x    arc sin a  k 2 cos   a b/ Nếu cung α thoả  thì α gọi là arccosa cung có cos bằng a. Khi đó phương trình 0      x  arccos a  k 2 cos x = a   k Z  x   arccos a  k 2  tan   a  c/ Nếu cung α thoả    thì α gọi là arctana cung có tan bằng a. Khi đó phương trình  2    2 tanx = a  x  arctan a  k , k  Z cot   a d/ Nếu cung α thoả  thì α gọi là arccota cung có cot bằng a. Khi đó phương trình 0     cotx = a  x  arc cot a  k , k  Z. Một số phương trình đặc biệt:.  sin x  0  x  k. .  sin x  1  x .  2.  k 2  sin x  1  x  .  2.  k 2.  k  cosx  1  x  k 2  cosx  1  x    k 2 2 2/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: a sin x  b cos x  c a b c sin x  cos x  Phương pháp giải: a sin x  b cos x  c  a 2  b2 a 2  b2 a 2  b2 a  sin   c a 2  b2  Đặt  đưa phương trình về dạng: cos( x  )  rồi tiếp tục giải. 2 b a  b2 cos    a 2  b2 Điều kiện có nghiệm a 2  b 2  c 2 3/Phương trình bậc 2 theo 1 hàm số lượng giác. Dạng: a. t2 + b.t + c = 0 trong đó t có thể là một trong các hàm sinx, cosx, tanx, cotx. Cách giải: Đặt t bằng hàm số lượng giác đã cho đưa về phương trình bậc 2 rồi giải tiếp. Chú ý: với t = sinx hoặc t = cosx thì có điều kiện t  1 .  cos x  0  x . 4/.Phương trình đẳng cấp bậc 2 theo sinx và cosx: * Dạng: a sin 2 x  b sin x.cos x  c cos 2 x  d (1) * Cách giải: Lop12.net Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh. Trang 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học TH1: Xét xem cosx = 0  x . . 2.  k có là nghiệm của (1) hay không ?. TH2: cosx ≠ 0 , chia cả 2 vế phương trình cho cos 2 x , sau đó thay. d  d (1  tan 2 x) đặt t  tan x cos 2 x. rồi đưa về phương trình bậc 2 theo biến t. 5/Phương trình bậc 2 đối xứng dạng: A  sin x  cos x   B  sin x.cos x   C  0 t 2 1 Cách giải: Đặt t   sin x  cos x  ;  2  t  2  sin x.cos x   . Đưa phương trình về 2  t 2 1  phương trình đại số theo t: At  B   C  0 2  . BÀI TẬP: I – Phương trình lựơng giác cơ bản : Bài 1 : Giải các phương trình sau 1. sin 2 x  cos 2 x  0 2. sin 3 x  2 cos3 x  0 3. 4 sin 2 x  1 4 . sin 2 x  sin 2 2 x  1 sin 4 x 1 5. cos 6 x. 6. sin 2x = 2cos x sin x.cot 5 x 1 7. cos 9 x 8. tan3 x  tan 5 x 9. ( 2cos x -1 )( sin x + cos x) =1 sin 2 x  2 cos x 10. 1  sin x.   1  3  ;   của phương trình sin x cos  cos x.sin  Bài 2 : Tìm tất cả các nghiệm x   8 8 2  2  II - Phương trình bậc hai, bậc 3 đối với một hàm số lương giác Bài 1 : Giải các phương trình sau 1. cos 2 x  3sin x  2 sin 6 x  cos6 x 1  tan 2 x 5. 4 2 2. 4 sin x  12 cos x  7 cos2 x  sin 2 x 4 3. 25sin 2 x  100 cos x  89 3 9 6. tan 2 x  4 4 4. sin 2 x  cos 2 x  sin 2 x cos 2 x cos x Bài 2 : Giải các phương trình với m = 0 ; m = 1/ 2 ; m = 1 1. cos 2x – ( 4m + 4) cos x +12 m -5 = 0 ( m là tham số ) 2. sin 2x – ( 2m -1) sin x + m 2-1 = 0 ( m là tham số ) Bài 3 : Giải các phương trình. 1) 2+cos2x = -5sinx 2) sin3x+2cos2x-2 = 0 x 2 3x 4) cosx = cos2( ) 4 3 5) tg2x + sin2x = cotgx 2. 3) 2+cosx = 2tg. 6) 2 + 3tgx – sin2x = 0 7). sin 5 x =1 5 sin x. (ĐH Đà Nẵng 97) (Học viện ngân hàng98) (ĐH hàng hải97) (ĐH Thương mại 99) (ĐH Thủy lợi 99) (ĐH Mỏ địa chất 97). 8) 3cos4x – 2cos2(3x) = 1 (ĐH Đà nẵng 98) 3 9) 2sin x + cos2x = sinx (ĐH Huế 98) 10)4(sin3x – cos2x) = 5(sinx – 1) (ĐH Luật99) 11)3(tgx + cotgx) = 2(2+sin2x) (ĐH Cần Thơ 99-D) Lop12.net Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh. Trang 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học 1 12)cho phương trình :sin4x + cos4x - sin2(2x) + m = 0 4. a.Giải phương trình khi m= 2 b.tìm m để phương trình có nghiệm (Trường Hàng không VN 97 13) 3cos6(2x) + sin4(2x) + cos4x = 0 (ĐH CT 99) 14) cos4x + 6sinx.cosx –1 = 0 ( ĐH QG TP.HCM 98) 15) 1 + 3tgx = 2sin2x (ĐH QGHN 2000-D) 3 16) 4cos x + 3 2 sin2x = 8cosx (ĐH SPHN 2000 B+D) x x  x 17) sin sinx - cos sin2x + 1 = 2cos2(  ) 2. 2. 3. 2. (ĐHSP TP.HCM 2000) 18). 1  sin 2 x  1  sin 2 x  4 cos x sin x. (ĐH luật HN 2000) (ĐH Y khoa HN 2000) (ĐH Y Hải phòng 2000). 19) sin4x = tgx 20) sin3x + sin2x = 5sinx 22) 2cos2x – 8cosx + 7 =. 1 cos x. (ĐH NNgữ HN 2000). sin 3 x sin 5 x  (ĐH Thủy lợi 2000) 3 5 24) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0,2  ) của phương trình 23). cos 3 x  sin 3 x ) = cos2x + 3 (KA-2002) 1  2 sin 2 x 2 25) cotgx – tgx + 4sin2x = (KB-2003) sin 2 x   3 26)sin4x + cos4x + cos( x  ).sin(3x - ) - = 0 4 4 2 III – Phương trình bậc nhất với sin x và cos x Bài 1 : Giải các phương trình sau 1. sin 3 x  3 cos3 x  2 4. 2 sin x (cos x  1)  3 cos 2 x 1 5. 3 sin 4 x  cos 4 x  sin x  3 cos x 2. sin 2 x  sin 2 x  2 6. 3 cos x  sin 2 x  3(cos 2 x  sin x ) 3. 2 sin17 x  3 cos5 x  sin 5 x  0 7. sin x  3 cos x  sin x  3 cos x  2 3sin 2 x Bài 2 : Cho y  2  cos 2 x 1. Giải phương trình khi y = 0 ; y = 1 ; y = 4 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y Bài 3 : Giải phương trình. 5(sinx +. 1) 3 sin2x + cos2x = 2 ( ĐH Huế 99) 2) 2cos2x + sin2x = 2 3) 3cos3x + 4sinx +. 6 =6 3 cos x  4 sin x  1. 4) sin2x – 3cos2x = 3(4sinx – 1) 5) cosx + 3 sinx = 2cos2x.  2 6  ,  thoả phương trình  5 7  cos7x - 3 sin7x= – 2 7) cos7x.cos5x – 2 sin2x = 1 –. 6) Tìm x  . sin7x.sin5x. Lop12.net Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh. Trang 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học 15) 2cos3 x + cos 2x + sinx = 0 8) 2cosx(sinx – 1) = 3 cos2x. 16) 4(sin 4 x  cos 4 x)  3 sin 4 x  2 9) 3sinx – 3 cos3x = 4sin3x – 1   10) 3 sin(x – ) + sin (x + ) = 2sin2006x 3. 6. 11) 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8 12) sin2x + 2cos2x = 1+ sinx – 4cosx 13) 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4 14) (sin 2 x  3 cos 2 x) 2  5  cos(2 x   ). 1 sin4x 2 18) tgx –3cotgx = 4(sin x+ 3 cosx). 17) 1+ sin32x + cos32x =. 3 3 19) sin x  cos  sin x  cos x  1 20) sin 4 ( x  )  cos 4 x . 4. 4. 6. IV – Phương trình thuần nhất bậc hai ( Đẳng cấp bậc hai ) đối với sin x và cos x Bài 1 : Giải các phương trình  1) 2 sin 2 2 x  2 3 sin 2 x cos 2 x  3 6) 8 cos3 ( x  )  cos3 x 3 1 2) 4 sin x  6 cos x  cos x 3 1  7) 8 cos x  3 3) sin 3 x  2 cos x sin x cos x 2 2  4) 4 sin x  3 3 sin 2 x  2 cos x  4 8) 2 sin 3 ( x  )  2 sin x 3 3 4 5) cos x  sin x  sin x  cos x 9) sin 3 x  cos3 x  2 cos x  0 Bài 2 : Giải phương trình : 1 8) cos3x – 4sin3x – 3cosx.sin2x + sinx = 0 1) 3 sinx+cosx = (ĐH An ninh 98) (ĐH NT 96) cos x 2 2 9) 3 cos 4 x  4 sin 2 x. cos 2 x  sin 4 x  0 2) sin x – 3cos x + 2sin2x = 2 cos 2 x 1 3)sin3x + cos3x = sinx – cosx  sin 2 x  sin 2 x 10) cotg x – 1= 3 4) 2cos x = sin3x (HV KT Quân sự 97) 1  tgx 2. 5) sin2x(tgx + 1) = 3sinx(cosx – sinx) + 3 6) sinx – 4sin3x + cosx = 0 (ĐH Y Khoa HN 99) 7) sinxsin2x + sin3x = 6cos3x. 11)sin3x + cos3x + 2cosx = 0 5 sin 4 x. cos x 2 cos 2 x 2 2 13) tgx. sin x  2 sin x  3(cos 2 x  sin x. cos x). 12) 6 sin x  2 cos 3 x . V – Phương trình đối xứng với sin x và cos x Bài 1 : Giải các phương trình 1 . 12(sin x  cos x )  4 sin x cos x  12  0 2 . sin 2 x  5(sin x  cos x )  1  0 3 . 5(1  sin 2 x )  11(sin x  cos x )  7  0 1 4 . sin 2 x  (sin x  cos x )   0 2 5 . 5(1  sin 2 x )  16(sin x  cos x )  3  0 6. 2(sin 3 x  cos3 x )  (sin x  cos x )  sin 2 x  0. 1 1 7 . (sin x  cos x  1)(sin 2 x  )  2 2 8 . sin x  cos x  4 sin 2 x  1. 9 . sin x  cos x  sin 2 x  0. 10 . 2(sin x  cos x )  tanx  cot x 11 . cot x  tan x  sin x  cos x 2 sin 2 x  1 sin x  cos x  12 . 2 sin 2 x  1 sin x  cos x  1 Bài 2 : Cho phương trình m( sin x+ cos x) + sin x cos x +1 = 0 1. Giải phương trình với m = - 2 2. Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất hàm số y = 2( sin x – cos x) + 3sin 2x -1. Bài tập 4: Lop12.net Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh. Trang 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học. 1) (1 + cosx)(1 + sinx) =2 (ĐH An ninh 98-D) 2) cotgx – tgx = sinx –cosx (ĐH Ngoại ngữ HN 97) 3) sin x  cos x  2 sin 2 x = 1 (ĐH An ninh 98-A) 3(1  sin x)  x  8 cos 2 (  ) = 0 1) 3tg3x – tgx + 2 cos x. 4. 2. (Kiến trúc HN 98) 2 3 4 2) sinx+ sin x+sin x+sin x = cosx+cos2x+cos3x+cos4x 3) sin3x+ cos3x = 1 4) sin3x+ cos3x + sin2x(sinx + cosx) = 1 5) 1 + sin3x+ cos3x =. 3 sin2x 2. (ĐH GT VT 99). 6) cos2x +5 = 2(2-cosx)(sinx-cosx) (ĐH Công đoàn 97) 7) Cho phương trình :sinx + cosx = m+sin2x a.Giải khi m= -1 b.Ttìm m để phương trình có nghiệm 3 10) sin x+ cos3x = sin2x + sinx + cosx ( ĐH Cảnh sát ND 2000-A) 11) sinx.cosx + 2sinx + 2cosx = 2 (ĐH Huế 2000-D) 12) 2sinx+cotgx = 2sin2x + 1 (ĐH QGHN 200-A) 3 3 13) 1 + sin x- cos x = sin2x VI – Phương trình lượng giác khác A- phương trình giải bằng cách dặt ẩn phụ Bài 1 : Giải các phương trình 1 1  0 1. cot 2 x  sin x B- Sử dụng công thức hạ bậc Bài 2 : Giải các phương trình 1. sin 2 x  sin 2 3 x  cos 2 2 x  cos 2 4 x 3 2. sin 2 x  sin 2 2 x  sin 2 3 x  2 C – Phương trình biến đổi về tích Bài 3 : Giải phương trình 1 . cos x  cos 2 x  cos 3 x  cos 4 x  0 2. 1  sin x  cos 3 x  cos x  sin 2 x  cos 2 x 3. 2 cos3 x  cos 2 x  sin x  0 4 . cos x  cos 3 x  2 cos 5 x  0 5 . cos3 x  sin 3 x  sin 2 x  sin x  cos x 6 . sin 2 x  cos3 x  sin x  0. 2.. 1 2 2 5 tan x   0 2 cos x 2. 3. sin 2 x  sin 2 2 x  sin 2 3 x  0 17 . sin 8 x  cos8 x  cos 2 2 x 16 1  sin x 1  cos x 3 8 . sin x  cos3 x  sin x  cos x cos x cos 5 x   8sin x sin 3 x 9. cos 3 x cos x 10. sin x( 1+ cos x) = 1 + cos x + cos 2 x. 7. tan 2 x . D- Phương trình lượng giác có điều kiện Bài 1 : Giải các phương trình sau 3 1  1. 8cos x  sin x sin x. 2. 1  cot g 2 x . 1  cos 2 x sin 2 2 x. Lop12.net Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh. Trang 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học sin 2 x  cos 2 x cos 2 x(1  cot x)  3 4 3. 4.  cos 4 x  3cos x    tan(  x)tan(  x) 2 sin( x  ) 4 4 4 cos x  2sin x cos x  3 5. 2 cos 2 x  sin x  1 Bài 2: Giải các phương trình 1. tan 3x= tan 5x 3 sin( x  ) 2. tan2xtan7x=1 4  cos 2 x 5. sin 4x   1 3. sin(  2 x) cos( x  ) co s 6x 2 4 sin x cot 5 x 6. cos 3 x.tan5 x  sin 7 x 1 4. cos 9 x Bài 3 : Giải các phương trình 4. 1.. 4. sin x  sin 2 x  sin 3 x  3 cos x  cos 2 x  cos 3 x 1  2sin 2 x  3 2 sin x  sin 2 x 1 2. 2sin x cos x  1 sin 3 x  cos3 x  cos 2 x 3. 2 cos x  sin x  1 1  4. 2 2 sin( x  )  4 sin x cos x. 1 2(cos x  sin x)  tanx  cot 2 x cot x  1 2 6. 3tan3 x  cot 2 x  2tanx  sin 4 x 1 1  sin x  7. cos x  cos x sin x 1 1  sin 2 x  2 8. cos 2 x  2 cos x sin x. 5.. Bài 4:.   a) Tìm các nghiệm x   ;3  của phương 2  5 7 trình sin(2 x  )  3cos( x  )  1  2sin x 2 2 b) Tìm các nghiệm x   0; 2  của phương. trình 5(sin x . cos 3 x  sin 3 x )  cos 2 x  3 1  2sin 2 x. c) Tìm các nghiệm thoã mãn điều kiện x  3 x x   của ph tr: sin  cos  1  sin x 2 2 4 2 2 d) Tìm các nghiệm thoã mãn x  2 của ph tr: 1 (cos 5 x  cos 7 x)  cos 2 2 x  sin 2 3 x  0 2. Phương trình lượng giác có chứa tham số Khi đặt ẩn phụ t = f ( x) ta cần chú ý các yêu cầu sau : * Tìm điều kiện của ẩn phụ t : Thường dùng các cách sau : Cách 1 : Coi t là tham số tìm t để phương trình f(x) = t có nghiệm với ẩn x Cách 2 : Tìm miền giá trị của hàm số f (x) Cách 3 : áp dụng bất đẳng thức * Với x  D thì t phải thoã mãn điều kiện gì ? Giả sử t  T * Với mỗi t  T thì phương trình f(x) = t có mấy nghiệm ẩn x Bài toán 1: Cho phương trình lượng giác f ( x , m) = 0 . Tìm m để phương trình có nghiệm x D Xác định m để các phương trình sau :    1. Cos 2x – 3 cos x +m = 0 có nghiệm x    ;   3 2   2. m cos 2x + sin 2x = 2 có nghiệm x   0 ;   2 Lop12.net Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh. Trang 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học   3. m( sin x+ cos x -1 ) = 1 + 2sin x cos x có nghiệm x   0 ;   2 4. ( m-1 ) ( sin x – cos x ) –( m+ 2) sin 2x = 0   5. m cos 2 2x – 4 sin x cos x + m -2 =0 có nghiệm x   0 ;   4 4tanx   6. cos 4x = 2 m có nghiệm x   0 ;  2 1  tan x  2   7. m( sin x+ cos x -1 ) = 1 + 2sin x cos x có nghiệm x   0 ;   2   8. Cos 2x = m cos 2x 1  tanx có nghiệm 0;   3 2 2 9. tan x + cot x + m( tan x+ cot x) +m = 0 có nghiệm 10. 2 sin x cos 2x sin 3x – 2m + 3 cos 2x = 0 có nghiệm Bài toán 2 : Cho phương trình lượng giác f ( x , m) = 0. Tìm m để phương trình có n nghiệm xD Tìm m để các phương trình sau thoã mãn :   1. m cos 2x- 4( m-2) cos x +2m -1 = 0 có dúng hai nghiệm phân biệt x   ;   2 2 3 2. m sin2 x – 3 sin x cos x – m -1 = 0 có đúng ba nghiệm phân biệt x x   0;   2  3. m( sin x – cos x ) + 2 sin x cosx = m có đúng hai nghiệm x   0;  . 4. ( 1- m) tan 2 x -. 2    1  3m  0 có nhiều hơn một nghiệm x   0;  cos x  2. . 5. (2sin x-1)( cos 2x + m sin x+m+1) = 3- 4cos 2x có đúng hai nghiệm x  0;   2 . 6. cos 3x – cos 2x + m cos x – 1 = 0 có đúng bảy nghiệm x   0;   2 7. sin 3x – m cos 2x – ( m+1) sin x + m = 0 có đúng tám nghiệm x   0;3  . 8. 4 sin 2x + m cos x = cos 3x có đúng ba nghiệm x   ;3   6  VII Phương trình lượng giác đặc biệt 1.Phương pháp tổng bình phương. A  0 2 2 A  B  0   Sử dụng B  0 1) 4 cos 2 x  3tg 2 x  4 3 cos x  2 3tgx  4  0 2 2) x  2 x sin x  2 cos x  2  0 3) cos2x– cos6x +4(3sinx -4sin3x + 1) = 0 4) y 2  4 y  5  sin 2 x. 2. Phương pháp đánh giá Cách giải: Cho phương trình f(x) = g(x) Nếu có số thực a sao cho f ( x )  a  g ( x ) thì  f ( x)  a f ( x)  g ( x)    g ( x)  a. Lop12.net Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh. Trang 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 1) 2 cos x. Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học 1  cos x  2) cosx + cos 2 x  2 cos x. 3) ln(sin2x) – 1+ sin3x = 0 ( ĐH Huế 99-A) 4) sin3x(cosx –2sin3x) + cos3x(1+sinx –2cos3x) = 0 ( ĐH kiến trúc HN97). PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. (Tổng hợp luyện thi đại học) 2 2 1/ cos 3x.cos2x – cos x = 0 2/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0   3 3/ cos4x + sin4x + cos  x  . sin  3x   - = 0 4/ 5sinx – 2 = 3(1 – sinx)tan2x . 4. . 4. 2. cos 2 x 1  sin 2 x  sin2x. 1  tan x 2 x  x 8/ sin 2   . tan 2 x  cos 2  0 2 2 4. 5/ (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx. 7/ cotx – tanx + 4sin2x =. 6/ cotx – 1 =. 2 sin 2 x. cos 3 x  sin 3 x  9/ 5 sin x    cos 2 x  3 với 0 < x < 2  10/ sin23x – cos24x = sin25x – cos26x 1  2 sin 2 x . . 11/ cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 với 0  x  14 12/ cosx + cos2x + cos3x = sinx + sin2x + sin3x 13/ 3. sin 2 x  2 2 . sin 2 x  6  2 . . 14/ cos3x + sin7x = 2. sin 2   4. 5x  2 9x   2 cos 2  2. 15/ sin3x + sinx.cosx = 1 – cos3x. 16/ 2 + cos2x = 2tanx. 17/ sinx.cosx + cos2x =. 3x    x     3. sin     2 4  4 2. 2 1 2. 18/ sin . 19/ sin3x + cos2x =2 ( sin2x.cosx – 1). 20/ 4cosx – 2cos2x – cos2x – cos4x = 0. 21/. 22/ cosx + sin2x = 0 24/ (5sinx – 2)cos2x = 3(1 – sinx)sin2x. sin x  2 1 1  cos 2 x. 23/ 2(cos4x – sin4x) + cos4x – cos2x = 0 25/ (2sinx – 1)(2cosx + sinx) = sin2x – cosx. 26/ cos3x + 2cos2x = 1 – 2sinxsin2x.    27/ cos x    cos x    cos x  . 28/ sin3x + cos3x = sinx – cosx.  29/ 2. sin 2  x    2. sin 2 x  tan x. 30/ 4cos2x – 2cos22x = 1 + cos4x. . sin x  sin 2 x  3 cos x  cos 2 x cos 6 x  sin 6 x 13  tan 2 x 36/ cos 2 x  sin 2 x 8. 38/ 3 – tanx(tanx + 2sinx) + 6cosx = 0 40/ 3cos4x – 8cos6x + 2cos2x + 3 = 0. 6. . . 4. 4. 1 2. 31/ cos3x.sìnx – cos4x.sinx = sin 3x  1  cos x .. 32/ (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 3) = 4sin2x – 1 34/. 3. . 33/ cosx.cos7x = cos3x.cos5x 35/ sinx + sin2x + sin3x = 0. 37/ cos2x.sin4x + cos 2x = 2cosx(sinx + cosx) – 1. 39/ cos2x + cosx(2tan2x – 1) = 2 x  (2  3 ) cos x  2 sin 2    2 4= 1 41/ 2 cos x  1. Lop12.net Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh. Trang 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học cos x(cos x  1) 2 cos 4 x  2(1  sin x) 42/ 43/ cotx = tanx + sin x  cos x sin 2 x 4 4 sin x  cos x 1 1 (2  sin 2 2 x) sin 3 x  cot 2 x  44/ 45/ tan 4 x  1  5. sin 2 x 2 8. sin 2 x cos 4 x x 46/ tanx + cosx – cos2x = sinx(1 + tanx.tan ) 47/ sin(  . cos x)  1 2 48/ cos3x – sìnx = 3 (cos2x - sin3x) 49/ 2cos2x - sin2x + sinx – cosx = 0 2. 50/ sin3x + cos2x = 1 + sinx.cos2x 52/ cos2x + 5sinx + 2 = 0 54/ 8.sin2x + cosx = 3 .sinx + cosx 56/ 1 + cosx – cos2x = sinx + sin2x. 51/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 53/ cos2x.sin2x + cos2x = 2(sinx + cosx)cosx – 1 55/ 3cos2x + 4cos3x – cos3x = 0 57/ sin4x.sin2x + sin9x.sin3x = cos2x. 58/ 1  sin x  cos x  0. 59/ 3 cos x 1  sin x  cos 2 x  2 sin x . sin x  1 1 1  7  61/ sin x   3   4 sin  4  x    sin  x   2 . 2. x  x 60/  sin  cos   3. cos x  2 2  2. . . 2(cos 6 x  sin 6 x)  sin x cos x. 2. 0. 62/ 2sin22x + sin7x – 1 = sinx. 63/. x 64/ cotx + sinx 1  tan x. tan   4. 65/ cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0. 2. . 2  2 sin x. Đề thi đại học và cao đẳng từ năm 2002 đến nay: Giải phương trình . 1/ (Dự bị 1 khối D 2006) : cos3 x  sin3 x  2sin2 x  1 . 2/ (Dự bị 2 khối B 2006) : 4x  2x  1  2  2x  1 sin  2x  y  1  2  0 . 3/ (Dự bị 2 khối B 2007) : cos 2x  1  2 cos x  sin x  cos x   0 .. 4/ (Dự bị 2 khối D 2006) : 4sin3 x  4sin2 x  3sin 2x  6 cos x  0 .. . . . . 5/ (Dự bị 1 khối B 2006) : 2sin2 x  1 tan2 2x  3 cos2 x  1  0 .  . . 6/ (Dự bị 2 khối A 2006) : 2sin  2x    4sin x  1  0 . 6 . 23 2 . 8 8/ (Dự bị 1 khối A 2005) :Tìm nghiệm trên khoảng  0;   của phương trình :. 7/ (Dự bị 1 khối A 2006) : cos3x.cos3 x  sin 3x.sin3 x . x 3    3 cos 2x  1  2 cos2  x   2 4     9/ (Dự bị 2 khối A 2005) : 2 2 cos3  x    3cos x  sin x  0 4  10/ (Dự bị 1 khối B 2005) : sin x.cos 2x  cos2 x tan2 x  1  2sin3 x  0 . 4sin2. . . cos 2x  1   .   cos2 x sin x  3   2. 12/ (Dự bị 1 khối D 2005) : tan   x    2  1  cos x. 11/ (Dự bị 2 khối B 2005) : tan   x   3tan2 x  2. Lop12.net Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh. Trang 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học. 13/ (Dự bị 2 khối D 2005) : sin 2x  cos 2x  3sin x  cos x  2  0 .. 3x  5x   x     cos     2 cos . 2  2 4 2 4 15/ (Dự bị 2 khối A 2007) : 2 cos2 x  2 3 sin x.cos x  1  3 sin x  3 cos x .. 14/ (Dự bị 1 khối B 2007) : sin . . . 1 1   2 cot 2x . 2sin x sin 2x 17/(CĐ Khối A+B+D: 2008) : sin 3x  3 cos x  2sin 2x . 18/(ĐH K-D-2008): 2sin x 1  cos 2x   sin 2x  1  2 cos x . 19/(ĐH K-B-2008): sin3 x  3 cos3 x  sin x.cos2 x  3 sin2 x.cos x .. 16/ (Dự bị 1 khối A 2007) : sin 2x  sin x . 20/(ĐH K-A-2008):. 1  sin x. 1.  7   4sin   x. 3     4  sin  x   2  . 21/ (ĐH KB-2007) 2sin 2 2x  sin 7x  1  sin x . 2 x x  22/( ĐH KD-2007)  sin  cos   3 cos x  2 . 2 2  23/(ĐH KA-2007) 1  sin 2 x cos x  1  cos 2 x sin x  1  sin 2x .. . . . . cos 2x 1  sin 2 x  .sin 2x 1  tgx 2 2 25/( ĐH KB-2003) cot gx  tgx  4 sin 2 x  sin 2 x x  x  26/( ĐH KD-2003) sin 2    .tg 2 x  cos 2  0 2 2 4 cos 3 x  sin 3 x   27/(ĐH KA-2002). 5 sin x    cos 2 x  3 ; với x  (0;2 ) . 1  2 sin 2 x   28/(ĐH KB-2002) sin 2 3x  cos 2 4x  sin 2 5x  cos 2 6x. 24/(ĐH KA-2003) cot gx  1 . 29/(ĐH KD-2002) cos3x - 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 ; x  0;14. 30/(ĐH KA-2005) cos 2 3x.cos 2x  cos 2 x  0 . 31/( ĐH KA-2004 ) Cho tam giác ABC không tù thoả điều kiện : cos 2A  2 2 cos B  2 2 cos C  3 . Tính ba góc của tam giác ABC . 32/( ĐH KB-2004) 5sin x  2  3 1  sin x  tg 2 x 33/( ĐH KD-2004)  2 cos x  1 2sin x  cos x   sin 2x  sin x 34/(ĐH KB-2005) 1  sin x  cos x  cos 2 x  sin 2 x  0  . .  3.  . 35/(ĐH KD-2005) cos 4 x  sin 4 x  cos  x   .sin  3x     0 4 4 2.  . . . x. 36/( ĐH KB-2006) cot gx  sin x  1  tgx.tg   4. 2 37/( ĐH KD-2006) cos 3x  cos 2x  cos x  1  0 6 6 2 cos x  sin x  sin x.cos x. 38/(ĐH KA-2006). . . 2  2sin x.  0.. Lop12.net Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh. Trang 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học (1  2sin x).cos x  3 39/(ĐH KA-2009) (1  2sin x)(1  sin x). 40/(ĐH KB-2009) sinx  cosx.sìn2x  3 cos 3x  2(cos 4 x  sin 3 x) 41/(ĐH KD-2009) 3 cos 5 x  2sin 3x.cos 2 x  sin x  0   (1  sin x  cos 2x) sin  x   1 4  42/(ĐH KA-2010)  cos x 1  tan x 2 43/(ĐH KB-2010) (sin2x + cos2x)cosx + 2 cos2x – sinx = 0 44/(ĐH KD-2010) sin2x - cos2x + 3 sinx – cosx -1 = 0 5x 3x 45/(CĐ KA,B,D-2010) 4sin cos  2(8sin x  1) cos x  5 2 2. 1  sin 2 x  cos 2 x  2 sin x sin 2 x . 1  cot 2 x 47/(ĐH KB-2011) sin2xcosx + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx.. 46/(ĐH KA-2011). 48/(ĐH KD-2011). sin2x + 2cosx - sinx-1 0 tanx + 3. Lop12.net Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh. Trang 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học. Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Lop12.net. Trang 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span>