Giáo án ôn tập Ngữ văn 8 - Tuần 30+31+32

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chương 8. Số phức Download tài li u h c t p t i : Bài 8.1 :. om. 1. Mối quan hệ z = z đúng nếu và chỉ nếu z là số thực ;. 2. Với bất kì số phức z quan hệ z = z là đúng ;. 5. z1 .z2 = z1 .z2 (liên hợp của một tích bằng tích các liên hợp) ; . z1 z2. ‹. =. z1 , z2 , 0 (liên hợp của một thương bằng thương các liên hợp) ; z2. z+2 z−z và ℑ(z) = . 2 2i 5 + 5i 20 1. Tính z = + ; 3 − 4i 4 + 3i. tra. 7.. ng. 6. Với bất kì số phức z , 0, có z−1 = (z)−1 ;. ao. 8. ℜ(z) = Bài 8.2 :. tb. 4. z1 + z2 = z1 + z2 (liên hợp của một tổng bằng tổng các liên hợp) ;. .c. 3. Với bất kì số phức z, số phức z.z ∈ R là một số thực không âm ;. 2. Giả sử z1 , z2 ∈ C. Chứng minh rằng số E = z1 .z2 + z1 .z2 là một số thực.. ://. Bài 8.3 : Chứng minh các khẳng định sau :. ht tp. 1. −|z| ≤ ℜ(z) ≤ |z| và −|z| ≤ ℑ(z) ≤ |z| ; 2. |z| = | − z| = |z| ; 3. z.z = |z|2 ;. 4. |z1 .z2 | = |z1 |.|z2 | (môđun của một tích bằng tích các môđun) ; 5. |z1 | − |z2 | ≤ |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | ; 6. |z−1 | = |z|−1 , z , 0 ; 7.. z1 |z1 | = , z2 , 0 (môđun của một thương bằng thương các môđun) ; z2 |z2 |. 8. |z1 | − |z2 | ≤ |z1 − z2 | ≤ |z1 | + |z2 |. Bài 8.4 : Chứng minh rằng. |z1 + z2 |2 + |z1 − z2 |2 = 2(|z1 |2 + |z2 |2 ) với mọi số phức z1 , z2 . Bài 8.5 : Chứng minh rằng nếu |z1 | = |z2 | = 1 và z1 .z2 , −1, thì Bài 8.6 : Giải sử a là một số thực dương và. z1 + z2 là số thực. 1 + z1 z2. §. ª. 1 Ma = z ∈ C : z + =a . z ∗. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của |z| khi z ∈ Ma .. Lop12.net 167.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Download tài li u h c t p t i : . Bài 8.7 : Chứng minh rằng với bất kì số phức z, có. 1 |z + 1| ≥ √ hoặc |z2 + 1| ≥ 1. 2 Bài 8.8 : Chứng minh rằng :. r. r. 7 ≤ |1 + z| + |1 − z + z2 | ≤ 3 2. 7 6. với mọi số phức mà |z| = 1. Bài 8.9 : Xét tập. H = {z ∈ C : z = x − 1 + xi, x ∈ R}. Chứng minh rằng có duy nhất số z ∈ H sao cho |z| ≤ |w| với mọi w ∈ H. Bài 8.10 : Giả sử x, y, z là các số phức phân biệt sao cho. om. y = tx + (1 − t)z, t ∈ (0; 1).. Bài 8.11 : Giải phương trình trên tập số phức. |z| − |y| |z| − |x| |y| − |x| ≥ ≥ . |z − y| |z − x| |y − x|. tb. z2 − 8(1 − i)z + 63 − 16i = 0.. .c. Chứng minh rằng. tra. Bài 8.13 : Giả sử a, b, c là các số phức khác không với |a| = |b| = |c|.. ng. Bài 8.12 : Giả sử p, q là các số phức với q , 0. Chứng minh rằng nếu các nghiệm của phương trình bậc hai x2 + px + q2 = 0 có cùng p môđun, thì là một số thực. q. 1. Chứng minh rằng nếu các nghiệm của phương trình az2 + bz + c = 0 có môđun bằng 1, thì b2 = ac.. ao. 2. Nếu mỗi phương trình. az2 + bz + c = 0 và bz2 + cz + a = 0. ://. có một nghiệm có môđun bằng 1, thì |a − b| = |b − c| = |c − a|.. ht tp. Bài 8.14 : Giải các phương trình sau trong C : 1. z2 + z + 1 = 0 ;. 2. z3 + 1 = 0.. Bài 8.15 : Tìm các số thực x, y thỏa mãn mỗi trường hợp sau : 1. (1 − 2i)x + (1 + 2i)y = 1 + i ; x−3 y−3 2. + =i; 3+i 3−i. 3. (4 − 3i)x2 + (3 + 2i)xy = 4y2 −. 1 2 x + (3xy − 2y2 )i. 2. Bài 8.16 : Tính : 1. (2 − i)(−3 + 2i)(5 − 4i) ;. ‚. 4.. 2. (2 − 4i)(5 + 2i) + (3 + 4i)(−6 − i) ; 3.. . 1+i 1−i. ‹16. . +. 1−i 1+i. ‹8. ;. 5.. √ Œ6 ‚ √ Œ6 −1 + i 3 1−i 7 + ; 2 2. 3 + 7i 5 − 8i + . 2 + 3i 2 − 3i. Bài 8.17 : Tính : 1. i2000 + i1999 + i201 + i82 + i47 ;. 3. i1 .i2 .i3 . . . i2000 ;. 2. En = 1 + i + i2 + · · · + in , với n ≥ 1 ;. 4. i−5 + (−i)7 + (−i)13 + i−100 + (−i)94 .. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Lop12.net. Trang 168.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 8.18 : Giải phương trình trong C : 1. z2 = i ;. √ 1 2 3. z = − i . 2 2. 2. z2 = −i ;. Bài 8.19 : Tìm tất cả các số phức z , 0 sao cho z +. 2. 1 ∈ R. z. Bài 8.20 : Chứng minh rằng : √ √ 1. E1 = (2 + i 5)7 + (2 − i 5)7 ∈ R ;. 2. E2 =. . 19 + 7i 9−i. ‹n. . +. 20 + 5i 7 + 6i. ‹n. ∈ R.. Bài 8.21 : Chứng minh các đẳng thức sau : 1. |z1 + z2 |2 + |z2 + z3 |2 + |z3 + z1 |2 = |z1 |2 + |z2 |2 + |z3 |2 + |z1 + z2 + z3 |2 ; 2. |1 + z1 z2 |2 + |z1 − z2 |2 = (1 + |z1 |2 )(1 + |z2 |)2 ;. om. 3. |1 − z1 z2 |2 − |z1 − z2 |2 = (1 − |z1 |2 )(1 − |z2 |)2 ; Bài 8.22 : Giả sử z ∈ C∗ sao cho z3 +. 1 1 ≤ 2. Chứng minh rằng z + ≤ 2. z3 z. 2. 4z2 + 8|z|2 = 8 ;. Bài 8.24 : Xét số phức z ∈ C với ℜ(z) > 1. Chứng minh rằng. 3. z3 = z.. ng. 1. |z| = 1 và |z2 + z2 | = 1 ;. tb. Bài 8.23 : Tìm tất cả các số phức z sao cho :. .c. 4. |z1 + z2 + z3 |2 + | − z1 + z2 + z3 |2 + |z1 − z2 + z3 |2 + |z1 + z2 − z3 |2 = 4(|z1 |2 + |z2 |2 + |z3 |2 ).. tra. 1 1 1 − < . z 2 2. ao. √ 1 3 Bài 8.25 : Giả sử a, b, c là các số thực và ω = − + i . Tính 2 2. ht tp. Bài 8.26 : Giải các phương trình :. ://. (a + bω + cω2 )(a + bω2 + cω).. 1. |z| − 2z = 3 − 4i ;. 4. iz2 + (1 + 2i)z + 1 = 0 ;. 2. |z| + z = 3 + 4i ;. 5. z4 + 6(1 + i)z2 + 5 + 6i = 0 ;. 3. z3 = 2 + 11i, ở đây z = x + yi và x, y ∈ Z ;. 6. (1 + i)z2 + 2 + 11i = 0.. Bài 8.27 : Tìm tất cả các số thực m sao cho phương trình z3 + (3 + i)z2 − 3z − (m + i) = 0 có ít nhất một nghiệm thực. Bài 8.28 : Tìm tất cả các số phức z sao cho z′ = (z − 1)(z + i) là một số thực. Bài 8.29 : Tìm tất cả các số phức z sao cho |z| =. 1 . z. Bài 8.30 : Giả sử z1 , z2 ∈ C là các số phức sao cho |z1 + z2 | = Bài 8.31 : Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho ‚. √. 3 và |z1 | = |z2 | = 1. Tính |z1 − z2 |.. √ Œn ‚ √ Œn −1 + i 3 −1 − i 3 + = 2. 2 2. Lop12.net Download tài li u h c t p t i : . Trang 169.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 8.32 : Giả sử n > 2 là một số nguyên. Tìm các nghiệm của phương trình zn−1 = iz. Bài 8.33 : Giả sử z1 , z2 , z3 là các số phức với |z1 | = |z2 | = |z3 | = R > 0. Chứng minh rằng |z1 − z2 |.|z2 − z3 | + |z3 − z1 |.|z1 − z2 | + |z2 − z3 |.|z3 − z1 | ≤ 9R2 . v(u − z) Bài 8.34 : Giả sử u, v, w, z là các số phức sao cho |u| < 1, |v| = 1 và w = . Chứng minh rằng |w| ≤ 1 nếu và chỉ nếu |z| ≤ 1. u.z − 1 Bài 8.35 : Giả sử z1 , z2 , z3 là các số phức sao cho z1 + z2 + z3 = 0 và |z1 | = |z2 | = |z3 | = 1.. om. Chứng minh rằng z21 + z22 + z23 = 0.. |z1 | = |z2 | = · · · = |zn | = r > 0. Chứng minh rằng số. .c. Bài 8.36 : Xét các số phức z1 , z2 , . . . , zn với. là số thực.. ng. tb. (z1 + z2 )(z2 + z3 ) · · · (zn−1 + zn )(zn + z1 ) z1 .z2 · · · zn. E=. tra. Bài 8.37 : Giả sử z1 , z2 , z3 là các số phức khác nhau sao cho. |z1 | = |z2 | = |z3 > 0.|. ao. Nếu z1 + z2 z3 , z2 + z1 z3 và z3 + z1 z2 là các số thực, chứng minh rằng z1 z2 z3 = 1. Bài 8.38 : Giả sử x1 và x2 là các nghiệm của phương trình x2 − x + 1 = 0. Tính 2. x1999 + x1999 ; 1 2. 3. xn1 + xn2 , với n ∈ N.. ://. 1. x2000 + x2000 ; 1 2. 1. x4 + 16 ;. ht tp. Bài 8.39 : Phân tích thành tích các nhị thức bậc nhất các đa thưc sau : 2. x3 − 27 ;. 3. x3 + 8 ;. 4. x4 + x2 + 1.. Bài 8.40 : Tìm tất cả các phương trình bậc hai với hệ số thực có một nghiệm là : 1. (2 + i)(3 − i) ;. 2.. 5+i ; 2−i. 3. i51 + 2i80 + 3i45 + 4i38 .. Bài 8.41 (Bất đẳng thức Hlawka) : Chứng minh bất đẳng thức sau |z1 + z2 | + |z2 + z3 | + |z3 + z1 | ≤ |z1 | + |z2 | + |z3 | + |z1 + z2 + z3 | đúng với mọi số phức z1 , z2 , z3 . Bài 8.42 : Biểu diễn hình học của các số phức sau : z1 = 3 + i ; z2 = −4 + 2i ; z3 = −5 − 4i ; z4 = 5 − i ; z5 = 1 ; z6 = −3i ; z7 = 2i ; z8 = −4.. Bài 8.43 : Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn mỗi số phức z thỏa mãn các trường hợp dưới đây : 1. |z − 2| = 3 ;. 3. |z − 1 + 2i| > 3 ;. 2. |z + i| < 1 ;. 4. |z − 2| − |z + 2| < 2 ;. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Lop12.net. Trang 170.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1+z ∈R; z √ √ √ 9. | x2 + 4 + i y − 4| = 10, với z = x + yi ;. 5. 0 < ℜ(iz) < 1 ;. 8.. 6. −1 < ℑ(z) < 1 ; 7. ℜ. . z−2 z−1. ‹. 10. z +. =0;. 1 = 2. z. Bài 8.44 : Biểu diễn lượng giác của các số phức sau và xác định argument của chúng : 1. z1 = −1 − i ;. √ 3. z3 = −1 + i 3 ;. 2. z2 = 2 + 2i ;. √ 4. z4 = 1 − i 3.. Bài 8.45 : Biểu diễn lượng giác của các số phức sau và xác định argument của chúng : 1. z1 = 2i ;. 2. z2 = −1 ;. 3. z3 = 2 ;. 4. z4 = −3i.. z = 1 + cos a + i sin a, a ∈ (0; 2π). z z + = 1. z z. .c. Bài 8.47 : Tìm tất cả các số phức z sao cho |z| = 1 và. om. Bài 8.46 : Tìm biểu diễn lượng giác của số phức. tb. Bài 8.48 : Tính (1 + i)1000 .. ng. Bài 8.49 : Chứng minh rằng. ao. tra. sin 5t = 16 sin5 t − 20 sin3 t + 5 sin t; cos 5t = 16 cos5 t − 20 cos3 t + 5 cos t. √ (1 − i)10 ( 3 + i)5 √ Bài 8.50 : Tính z = . (−1 − i 3)10 Bài 8.51 : Tính :. ://. 1. (1 − cos a + i sin a)n với a ∈ [0; 2π) và n ∈ N ;. 2. zn +. 1 1 √ , nếu z + = 3. n z z. ht tp. Bài 8.52 : Giả sử z1 , z2 , z3 là các số phức sao cho. |z1 | = |z2 | = |z3 | = r > 0. và z1 + z2 + z3 , 0. Chứng minh rằng. z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 = r. z1 + z2 + z3. Bài 8.53 : Giả sử z1 , z2 là các số phức sao cho |z1 | = |z2 | = r > 0. Chứng minh rằng. . Bài 8.54 : Giả sử z1 , z2 , z3 là các số phức sao cho. z1 + z2 r2 + z1 z2. ‹2. . +. z1 − z2 r2 − z1 z2. ‹2. ≥. 1 . r2. |z1 | = |z2 | = |z3 | = 1 và. z21 z2 z2 + 2 + 3 + 1 = 0. z2 z3 z3 z1 z1 z2. Chứng minh rằng |z1 + z2 + z3 |{1; 2}. Bài 8.55 : Giả sử z1 , z2 là các số phức sao cho |z1 | = |z2 | = 1. Chứng minh rằng |z1 + 1| + |z2 + 1| + |z1 z2 + 1| ≥ 2.. Lop12.net Download tài li u h c t p t i : . Trang 171.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 8.56 : Giả sử n > 0 là một số nguyên và z là số phức sao cho |z| = 1. Chứng minh rằng n|1 + z| + |1 + z2 | + |1 + z3 | + · · · + |1 + z2n | + |1 + z2n+1 | ≥ 2n. Bài 8.57 : Dùng công thức khai triển Newton (1 + i)19 và công thức Moa-vrơ để tính 0 2 4 16 18 C19 − C19 + C19 − · · · + C19 − C19 .. Bài 8.58 (CĐ10) : Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (2 − 3i)z + (4 + i)z = −(1 + 3i)2 . Tìm phần thực và phần ảo của z. Bài 8.59 (CĐ10) : Giải phương trình z2 − (1 + i)z + 6 + 3i = 0 trên tập hợp các số phức.. om. Bài 8.60 (A09) : Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 + 2z + 10 = 0. Tính giá trị của biểu thức A = |z1 |2 + |z2 |2 . √ √ Bài 8.61 (A10) : Tìm phần ảo của số phức z, biết z = ( 2 + i)2 (1 − 2i). √ (1 − 3i)3 Bài 8.62 (A10) : Cho số phức z thỏa mãn z = . Tìm môđun của số phức z + iz. 1−i √ Bài 8.63 (B09) : Tìm số phức z thỏa mãn |z − (2 + i)| = 10 và z.z = 25. Bài 8.64 (B10) : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn :. .c. |z − i| = |(1 + i)z| .. ht tp. ://. ao. tra. ng. tb. Bài 8.65 (D09) : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện |z − (3 − 4i)| = 2. √ Bài 8.66 (D10) : Tìm số phức z thỏa mãn : |z| = 2 và z2 là số thuần ảo.. Download tài li u h c t p t i : . TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Lop12.net. Trang 172.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>