Bài tập Hình hoc Oxyz

<span class='text_page_counter'>(1)</span>1)Trong không gian Oxyz , cho A(1,2,4) , (P) x+y-z+1=0 và đường thẳng (d) x=2+t,y=1-t,z=1-3t , Lập phương trình đường thẳng nằm trong (P) , vuông góc với (d) và khoảng cách từ A đến đường thẳng đó bằng 3 2 Giải : Gọi (D) là đường thẳng cần tìm , theo gt ta có aD=[ad,nP]=(-4,2,-2)//(2,-1,1) Gọi H là hình chiếu của A lên (D) => d(A,(D))=AH= 3 2 Khi đó H thuộc giao tuyến của (P) và (Q) , Q là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với (D) (Q) : 2(x-1)-(y-2)+(z-4)=0  2x-y+z-4=0 => H(1,t,2+t) => (t-2)2+(t-2)2=18  t=5 , t=-1 => H(1,5,7) , H(1,-1,1) Có hai đường thẳng : (D1) x=1+2t,y=5-t, z=7+t , (D2): x=1+2t,y=-1-t,z=1+t x y  1 z  2 Viết 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho: (P): 2x  y  2z  2 = 0; (d):   1 2 1 phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d) và tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ nhất . Giải : Gọi n(a,b,c) là VTPT của (Q) , -a+2b+c=0 =>c=a-2b | 2a  b  2c | Gọi x là góc của hai mặt phẳng (P) (Q) , cosx = 3 a 2  b2  c2 | 2a  2c | b=0=> c=a => cosx = =0 3 a2  c2 1 b=1 => c=a-2 => cosx= >0 2 2a  4a+5 x nhỏ nhất  a=1 , b=1,c=-2 => (Q) x+y-2z-5=0 x 1 y z  2   . Viết phương trình mặt phẳng   chứa 3) Cho điểm A  2;5;3 và đường thẳng d : 2 1 2 d sao cho khoảng cách từ A đến   lớn nhất.. Giải : Gọi K là hình chiếu của A trên d  K cố định; Gọi   là mặt phẳng bất kỳ chứa d và H là hình chiếu của A trên   . Trong tam giác vuông AHK ta có AH  AK . Vậy AH max  AK    là mặt phẳng qua K và vuông góc với AK.   là mặt phẳng qua K và vuông góc với AK    : x  4 y  z  3  0 4). Cho. mặt. phẳng.  P  : x  2 y  2z 1  0. và. các. đường. thẳng. d1 :. x 1 y  3 z   , 2 3 2. x 5 y z 5   . Tìm điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho MN song song với (P) và đường thẳng 6 4 5 MN cách (P) một khoảng bằng 2. d2 :. Giải : Gọi M 1  2t ;3  3t ; 2t  , N  5  6t '; 4t '; 5  5t '. d  M ;  P    2  2t  1  1  t  0; t  1.  Trường hợp 1: t  0  M 1;3;0  , MN   6t ' 4; 4t ' 3; 5t ' 5      MN  nP  MN .nP  0  t '  0  N  5;0; 5  Trường hợp 2: t  1  M  3;0; 2  , N  1; 4;0 . 5) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> d1 :. x  4 y 1 z  5 x2 y3 z   d2 :   3 1 2 1 3 1. Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2 Giải Giả sử một mặt cầu S(I, R) tiếp xúc với hai đương thẳng d1, d2 tại hai điểm A và B khi đó ta luôn có IA + IB ≥ AB và AB ≥ d  d1 , d 2  dấu bằng xảy ra khi I là trung điểm AB và AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d1, d2     AB  u Ta tìm A, B :    Ad1, Bd2 nên: A(3 + 4t; 1- t; -5-2t), B(2 + t’; -3 + 3t’; t’)  AB (….)…  AB  u '  A(1; 2; -3) và B(3; 0; 1)  I(2; 1; -1) Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; -1) và bán kính R= 6 Nên có phương trình là:  x  2   ( y  1) 2  ( z  1) 2  6 2. 6)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương trình : d : y2 x2 z5 x  z vµ d’ :  y 3 . Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua d và tạo với d’ 1 2 1 mét gãc 300 Giải : .Đường thẳng d đi qua điểm M (0;2;0) và có vectơ chỉ phương u (1;1;1) Đường thẳng d’ đi qua điểm M ' (2;3;5) và có vectơ chỉ phương u '(2; 1;1) . Mp ( ) ph¶i ®i qua ®iÓm M vµ cã vect¬ ph¸p tuyÕn n vu«ng gãc víi u vµ cos(n; u ' )  cos 600 . 1 . Bëi vËy nÕu 2. đặt n  ( A; B; C ) thì ta phải có :. A  B  C  0  B  A  C B  A  C     1  2  2A  B  C 2 2 2 2  2 3 A  6 A  ( A  C )  C  2 A  AC  C  0   2 2 2 2  6 A  B C Ta cã 2 A2  AC  C 2  0  ( A  C )(2 A  C )  0 . VËy A  C hoÆc 2 A  C . Nếu A  C ,ta có thể chọn A=C=1, khi đó B  2 , tức là n  (1;2;1) và mp ( ) có phương trình. x  2( y  2)  z  0 hay x  2 y  z  4  0 Nếu 2 A  C ta có thể chọn A  1, C  2 , khi đó B  1 , tức là n  (1;1;2) và mp ( ) có phương trình. x  ( y  2)  2 z  0 hay x  y  2 z  2  0 7) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mp(P) : x – 2y + z – 2 = 0 và hai  x  1  2t x 1 3  y z  2    đường thẳng : (d) và (d’)  y  2  t 1 1 2 z  1  t  Viết phương trình tham số của đường thẳng (  ) nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng (d) và (d’) Giải Mặt phẳng (P) cắt (d) tại điểm A(10 ; 14 ; 20) và cắt (d’) tại điểm B(9 ; 6 ; 5) Đường thẳng ∆ cần tìm đi qua A, B nên có phương trình : x  9  t   y  6  8t z  5  15t . Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> x  3  t  d 2 :  y  7  2t z  1 t . x2 z 3  y 1  Cho hai đường thẳng có phương trình: d1 : 3 2. 8). Viết phương trình đường thẳng cắt d1 và d2 đồng thời đi qua điểm M(3;10;1). Giải :. Gọi đường thẳng cần tìm là d và đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại điểm A(2+3a;-1+a;-3+2a) và B(3+b;7-2b;1-b).   MA  k MB Do đường thẳng d đi qua M(3;10;1)=>   MA   3a  1; a  11; 4  2a  , MB   b; 2b  3; b . 3a  1  kb 3a  kb  1 a  1     a  11  2kb  3k  a  3k  2kb  11  k  2 4  2a  kb 2a  kb  4 b  1     => MA   2; 10; 2   x  3  2t  Phương trình đường thẳng AB là:  y  10  10t  z  1  2t  x  t 9) Trong Không gian với hệ tọa độ Oxyz.Cho đường thẳng  :  y  2t z  1 . và điểm A(1, 0 ,  1). Tìm tọa độ các điểm E và F thuộc đường thẳng  để tam giác AEF là tam giác đều. . . . . . . Gải + Đường thẳng  đi qua M 0 (0 , 0 ,1) và có vtcp u (1, 2 , 0) ; M 0 A  (1,0 ,2) ;  M 0 A , u   ( 4 ,  2 , 2) .   M 0 A , u    . + Khoảng cách từ A đến  là AH = d ( A , ) . . . . u. . 2 6 5. 2 4 2 4 2  .Vậy E , F thuộc mặt cầu tâm A , BK R = 3 5 5 x  t  y  2t  và đường thẳng  , nên tọa độ E , F là nghiệm của hệ :  z  1  ( x  1) 2  y 2  ( z  1) 2  32  5. + Tam giác AEF đều  AE  AF  AH ..  1 2 2 x  5  1 2 2 24 2  t = suy ra tọa độ E và F là :  y  5 5  z  1  . .  1 2 2 x  5  24 2  y  5  z  1  . 10, Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;-1;1) x y 1 z x y 1 z  4   và hai đường thẳng (d ) :  và (d ') :  1 2 3 1 2 5 Chứng minh: điểm M, (d), (d’) cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó. Giải : Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>  *(d) đi qua M1 (0; 1;0) và có vtcp u1  (1; 2; 3)  (d’) đi qua M 2 (0;1; 4) và có vtcp u 2  (1; 2;5)     *Ta có u1 ; u 2   (4; 8; 4)  O , M1M 2  (0; 2; 4)    Xét u1 ; u 2  .M1M 2  16  14  0  (d) và (d’) đồng phẳng .  *Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d) và (d’) => (P) có vtpt n  (1; 2; 1) và đi qua M1 nên có phương trình x  2y  z  2  0 *Dễ thấy điểm M(1;-1;1) thuộc mf(P) , từ đó ta có đpcm 11. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho P  : x  2 y  z  5  0 và đường thẳng x3  y  1  z  3 , điểm A( -2; 3; 4). Gọi  là đường thẳng nằm trên (P) đi qua giao điểm của ( 2 d) và (P) đồng thời vuông góc với d. Tìm trên  điểm M sao cho khoảng cách AM ngắn nhất. (d ) :.  x  2t  3  Giải : Chuyển phương trình d về dạng tham số ta được:  y  t  1 z  t  3  Gọi I là giao điểm của (d) và (P)  I 2t  3; t  1; t  3. Do I  P   2t  3  2(t  1)  (t  3)  5  0  t  1  I  1;0;4  * (d) có vectơ chỉ phương là a (2;1;1) , mp( P) có vectơ pháp tuyến là n1;2;1.  .  a, n   3;3;3 . Gọi u là vectơ chỉ phương của   u 1;1;1 M    M  1  u; u;4  u  ,  AM1  u; u  3; u . x  1  u  . Vì   : y  u z  4  u . AM ngắn nhất  AM    AM  u  AM.u  0  1(1  u)  1(u  3)  1.u  0 4   7 4 16  ; ;   u  . Vậy M 3  3 3 3 12) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; -1), B(7; -2; 3) và đường thẳng d có phương trình.  x  2  3t .   y  2t (t  R)  z  4  2t . Tìm trên d những điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B là. nhỏ nhất. Giải M(2+ 3t; - 2t; 4+ 2t)  d , AB//d. Gọi A’ đối xứng với A qua d => MA’= MA => MA+ MB = MA’ + MB  A’B (MA+ MB)min = A’B, khi A’, M, B thẳng hàng => MA = MA’ = MB MA=MB <=> M(2 ; 0 ; 4) 13) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có phương trình x 1 y z 1   . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới 2 1 3 (P) lµ lín nhÊt. Giải : Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó khoảng cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H đến (P). Gi¶ sö ®iÓm I lµ h×nh chiÕu cña H lªn (P), ta cã AH  HI => HI lín nhÊt khi A  I VËy (P) cÇn t×m lµ mÆt ph¼ng ®i qua A vµ nhËn AH lµm vÐc t¬ ph¸p tuyÕn. H  d  H (1  2t ; t ;1  3t ) v× H lµ h×nh chiÕu cña A trªn d nªn AH  d  AH .u  0 (u  (2;1;3) lµ vÐc tơ chỉ phương của d)  H (3;1;4)  AH (7;1;5) Vậy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>  7x + y -5z -77 = 0. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>