Ôn thi đại học: Mũ - Logarit (GV: Nguyễn Duy Tình)

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Nguyễn Duy Tình – Ôn thi đại học: Mũ - logarit. PhÇn A. KiÕn thøc c¬ b¶n I. §Þnh nghÜa luü thõa vµ c¨n . Với n nguyên dương, căn bậc n của số thực a là số thực b sao cho bn = a. . Với n nguyên dương lẻ và a là số thực bất kì, chỉ có một căn bậc n của a, kí hiệu là n a . Với n nguyên dương chẵn và a là số thực dương, có đúng hai căn bậc n của a là hai số đối nhau; căn có giá trị dương kí hiệu là n a , căn có giá trị âm kí hiệu là - n a . . Sè ©m kh«ng cã c¨n bËc ch½n.  Sè mò  C¬ sè a Luü thõa a a R   n N* a   a n  a . a... a nthuaso.  0. a0 a0.   n(n  N *) m (m  Z , n  N * ) n   lim rn (rn  Q, n  N * ). . a  = a0=1. a   a n . a>0. . a a. a>0. m n. 1 an.  n am. a   lim a rn. II. TÝnh chÊt cña luü thõa .Giả thiết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa. am  a m  n ; (am)n = amn am.an = am+n; n a n an a n n n (a.b) = a .b ;    n b b III. TÝnh chÊt cña l«garit Giả thiết mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa. a log a b  b ; . loga1 = 0; logaa = 1; logaab = b. b . loga(bc) = logab + logac; log a    log a b  log a c ; logabn = nlogab. c   . log b c . log a c log a b. hay logab.logbc=logac.. 22 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Nguyễn Duy Tình – Ôn thi đại học: Mũ - logarit. IV. Hµm sè mò y=ax(a>0,a≠1) a>1 . y’>0 víi mäi x  R . Hàm số đồng biến trên R x x . lim a   ; lim a  0. 0<a<1 . y’>0 víi mäi x  R . Hµm sè nghÞch biÕn trªn R x x . lim a  0 ; lim a  . . B¶ng biÕn thiªn. . B¶ng biÕn thiªn. x  . x  . x. x. +. -. y=ax. x . x  . +. -. y=ax. +. 0 0 y. . §å thÞ y. 1. x. 0 1. x. 0. 23 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Nguyễn Duy Tình – Ôn thi đại học: Mũ - logarit. V. Hµm sè logarit y = logax (a > 0 vµ a ≠ 1) 0<a<1 . y’<0 víi mäi x  0;  . Hs nghÞch biÕn trªn 0; . a>1 . y’>0 víi mäi x  0;  . Hs đồng biến trên 0;  lim log a x  . lim log a x  . . x. . x. x 0 . x 0 . lim log a x  . lim log a x  . . B¶ng biÕn thiªn. . B¶ng biÕn thiªn. 0. x. + +. y=logax. x. +. 0. y=logax + . -. - . §å thÞ . §å thÞ. y. y 0. 1. x. 0. x 1. PhÇn B. Phương trình Mũ – Logarit (phương trình – bất phương trình – hệ phương trình) A. Phương trình mũ: I. Phương trình mũ cơ bản: * m  0 : ptvn * m  0:. a f ( x)  m. §K: 0  a  1. TH1: NÕu m = an th× ta cã:. a f  x  an  f  x   n. TH2: NÕu m  a n th× ta cã:. a f  x   m  f  x   log a m. II. Các dạng phương trình và phương pháp giải. 24 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Nguyễn Duy Tình – Ôn thi đại học: Mũ - logarit f  x g x 1. Phương pháp đưa về cùng cơ số:. a. a.  f  x  g  x. VÝ dô vµ bµi tËp:. 4 x  82 x3 3x 1  182 x.22 x.3x 1 (0, 4) x 1   6, 25 . 6 x 5. 2 x.3.3x  2.5 x 1  4000 x 2. 3 .5  225 x. . 5  x 3x. 2.  7.2 x  3.9. .  9. 3  0. B. Phương trình Logarit I. Phương trình logarit cơ bản: C. Bất phương trình mũ D. Bất phương trình logarit E. Hệ phương trình mũ – logarit F. Một số phương pháp hay giải phương trình – bất phương trình mũ logarit: 1. Biến đổi thành tích: 2. 2. VD1: gi¶i pt 2 x  x  4.2 x  x  2 2 x  4  0 NX: tuy rằng cùng cơ số 2 nhưng không thể bđ để đặt ẩn phụ theo cơ số 2 được. Nên ta nhóm thành phương trình tích:. 2. x2  x. . . 1 . 2 2x  4  0. VD2: gi¶i pt 2log 9 x   log 3 x. log 3 ( 2 x  1  1) NX: tuy rằng cùng cơ số 3 nhưng không thể bđ để đặt ẩn phụ theo cơ số 3 được. Nên ta nhóm thành phương trình tích: 2. log. 3. x  2 log 3. . . 2 x  1  1 . log 3 x  0. TQ: Trong trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi và đặt ẩn phụ được thì ta biến đổi thành tích II. §Æt Èn phô nh­ng hÖ sè vÈn cßn chøa Èn VD1: Giải pt 9 x  2( x  2)3 x  2 x  5  0 . Đặt t = 3x, khi đó ta có. t 2  2 x  2t  2 x  5  0  t  1, t  5  2 x. NX: - ta thấy pt vừa có ẩn trên mũ vừa có ở hệ số, nên phần nhiều hs không mạnh dạn đặt ẩn phụ (mặc dù nhìn qua pt có dạng đặt t = 3x) - pp này chỉ sử dụng được khi phương trình có nghiệm t tương đối đơn giản và dể tính (  là một số chính phương) VD2: gi¶i pt. log. 2 3. ( x  1)   x  5 log  x  1  2 x  6  0 . §Æt t = log3(x+1), ta cã 3. t   x  5t  2 x  6  0  t  2, t  3  x .Từ đó ta có nghiệm x = 8 và x = 2. 2. III. Phương pháp hàm số C¸c tÝnh chÊt: TÝnh chÊt 1: NÕu hµm f t¨ng (gi¶m) trong kho¶ng (a; b) th× pt f(x) = k cã kh«ng qu¸ mét nghiÖm trong kho¶ng (a; b) TÝnh chÊt 2: NÕu hµm f t¨ng (gi¶m) trong kho¶ng (a; b) th× víi mäi u, v thuéc (a; b) ta cã f (u )  f v   u  v TÝnh chÊt 3: NÕu hµm f t¨ng vµ hµm g lµ hµm h»ng hoÆc hµm gi¶m trong (a; b) th× pt f(x) = g(x) cã nhiÒu nhÊt mét nghiÖm trong (a ;b). §L lagrange: Cho hµm sè F(x) liªn tôc trªn a; b vµ F’(x) tån t¹i trªn (a;b) th× lu«n c  a; b  :. F ' c  . -. F b   F a  . ba. ¸p dông vµo gi¶i pt: nÕu cã F(b) – F(a) = 0 th× c  a; b  : F ' c   0  pt..F '  x   0 cã nghiÖm thuéc (a; b) §L R«n: NÕu hµm sè y = f(x) låi hoÆc lâm trªn miÒn D th× pt f(x) = 0 sÏ kh«ng cã qu¸ 2 nghiÖm thuéc D. áp dụng: vì trong chương trình THPT không trình bày ĐL Rôn nên để s/d ta làm như sau: CM đồ thị lồi hoặc lõm trên (a;b). 25 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Nguyễn Duy Tình – Ôn thi đại học: Mũ - logarit -. NÕu lâm th× cm. lim y  0, lim y  0 xa . NÕu låi th× cm. lim y  0, lim y  0 xa . -. x b . x b . KL: pt cã kh«ng qu¸ 2 nghiÖm thuéc (a;b) Lưu ý: a. Nếu áp dụng để giải pt thì ta phải nhẩm được 2 nghiệm ( thường là dễ nhẩm ) khi đó mới hoàn thành, cßn míi nhÈm ®­îc 1 nghiÖm th× ch­a KL pt cã nghiÖm duy nhÊt ( v× §L chØ kl pt cã kh«ng qu¸ 2 nghiÖm thuéc (a;b)) b. Nếu áp dụng để CM pt có 2 nghiệm thì trong trường hợp đồ thị lõm ta phải chỉ ra được ít nhất một giá trị x0 thuéc (a;b) sao cho f(x0) < 0 ( cßn khi låi th× f(x0) > 0 ). x  2.3 log 2 x  3. VD1: gi¶i pt HD:. pt  2.3 log 2 x  3  x. ta cã VT lµ hµm ®b cßn VP lµ hµm nb suy ra pt cã nghiÖm duy nhÊt x=1. VD2: giải pt 6  2  5  3 . PT tương đương 6 x  5 x  3 x  2 x , giả sử pt có nghiệm là x. . . x. . x. x. . khi đó:. . 6 5  3 2  xÐt hµm sè f t   t  1  t  , víi t > 0. Ta nhËn thÊy f(5) = f(2) nªn theo ®l lagrange tån t¹i c  2;5 sao cho:. . f ' c   0   c  1.  1. .  c  1  0    0,   1 , thö l¹i ta thÊy x = 0, x = 1 lµ nghiÖm cña pt.. NX: pt có 4 cơ số khác nhau nhưng không bđ về cùng cơ số để đặt ẩn phụ, nên ta s/d pp trên. ( ta có thể bđ pt thành 6 x  3x  5x  2 x ) VD3: gi¶i pt  2 x. 2. x.  2 x 1  ( x  1) 2 . Viết lại pt dưới dạng 2 x 1  x  1  2 x. 2. x. f t   2 t  t là hàm đồng biến trên R ( s/d đạo hàm ). Vậy pt viết lại dưới dạng f  x  1  f x 2  x  x  1  x 2  x  x  1. .  x 2  x , xÐt hµm sè. . NX: - pt võa cã Èn trªn mò võa cã ë hÖ sè nh­ng kh«ng s/d ®­îc pp §Æt Èn phô nh­ng hÖ sè vÈn cßn chøa Èn nªn ta dïng pp trªn ( s/d tc 2). - §Ó s/d pp nµy ta b® pt vÒ d¹ng f (u )  f v   u  v ( chó ý ph¶i xÐt f lµ hµm ®b hoÆc nb ) VD4: Giải pt 3 x  2 x  3 x  2 . Dễ dàng ta nhÉm ®­îc 2 nghiÖm : 0 vµ 1. Ta CM kh«ng cã nghiÖm nµo kh¸c. xÐt hµm sè f  x   3 x  2 x  3 x  2  f ' '  x   3 x ln 2 3  2 x ln 2 2  0  hs lâm, suy ra pt cã kh«ng qu¸ 2 nghiÖm y  x e  2007  2 y  1 có đúng 2 nghiệm thoã mãn đk x> 0, y > 0. VD5: CMR hÖ   x e y  2007  2  x 1  HD: s/d tính chất 2 để chỉ ra x = y khi đó xét hàm số f  x   e x  NÕu x < -1 th× f  x   e 1  2007  0 suy ra hpt v« nghiÖm. Nếu x > 1 s/d đl Rôn và chỉ ra với x0 = 2 thì f(2) < 0 để suy ra đpcm.  . VD6: Cho a  b  0 CM  2 a . b. x x2 1.  2007 .. a. 1  1     2 b  b  ( D – 2007) a  2  2  . 26 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Nguyễn Duy Tình – Ôn thi đại học: Mũ - logarit. 1  1    ln 2 a  a  ln 2 b  b  1  1  2  2     HD: B§T  b ln 2 a  a   a ln 2 b  b   . XÐt hµm sè   a b 2  2    1   ln 2 x  x  2  f x    víi x > 0 x Suy ra f’(x) < 0 với mọi x > 0, nên hàm số nghịch biến do đó với a  b  0 ta có f (a )  f b  ( đpcm) IV. Một số bài toán (đặc biệt là các bài về logarit) ta thường phải đặt ẩn phụ đưa về pt – hệ pt - bpt mũ rồi s/d các pp trªn. 1.D¹ng 1: kh¸c c¬ sè: VD1: Giải pt log 7 x  log 3 ( x  2) . Đặt t = log 7 x  x  7 t khi đó pt trở thành: t. t  7 1    2.  t  log 3 ( 7  2)  3  7  2  1    3  3  t. t. t. 2. D¹ng 2: Kh¸c c¬ sè vµ biÓu thøc trong dÊu log phøc t¹p VD1: gi¶i pt log 4 6 ( x 2  2 x  2)  2 log 5 x 2  2 x  3. . . §Æt t = x2 – 2x – 3 ta cã pt log 6 t  1  log 5 t. . VD2: gi¶i pt log 2 x  3 3. D¹ng 3:. log 6 x. . a logb  x  c   x. t. 3  log 6 x . Đặt t  log 6 x , pt tương đương 6  3  2  3     1 2 t. t. t. t. ( ®k: b = a + c ) t. t. 4 1 VD1: gi¶i pt 4  x . §Æt t  log 7  x  3  7  x  3 , pt trë thµnh 4  7  3     3.   1 7 7 log 3  x  5  log 3 t 1 VD2: Gi¶i pt 2  x  4 . Đặt t = x+4 suy ra pt tương đương 2 t log 3  x 1 log 3  x 1 VD3: Gi¶i pt 4   x  12  x  0 ¸p dông PP II vµ d¹ng nµy. log 7  x 3 . 4. D¹ng 4: s. ax  b. t. t. t.  c log s dx  e   x   , víi d  ac   , e  bc  . Pp: đặt ay  b  log s (dx  e) rồi chuyển thành hệ 2 pt, lấy pt1 trừ pt2 ta được s ax b  acx  s ay b  acy . Xét. f t   s at b  act. VD: Giải pt 7 x 1  6 log 7 (6 x  5)  1 . Đặt y  1  log 7 6 x  5 . Khi đó pt được chuyển thành hệ. 7 x 1  6 y  5 7 x 1  6 y  1  1   y 1  7 x 1  6 x  7 y 1  6 y . XÐt hµm sè f t   7 t 1  6t suy ra x=y, khi  7  6 x  5  y  1  log 7 6 x  5 đó ta có 7 x 1  6 x  5  0 . Xét hàm số g  x   7 x 1  6 x  5 áp dụng PP định lí Rôn và nhẩm nghiệm ta t×m ®­îc 2 nghiÖm cña pt: x = 1, x = 2. 5. D¹ng 5: §Æt Èn phô chuyÓn vÒ thµnh hÖ. 2x 18  x 1 x 1 x 2  1 2  2 2  21 x  2 8 1 18  1 x  x 1 HD: Viết PT dưới dạng x 1 , đặt u  2 x 1  1, v  21 x  1.u , v  0 . 1 x 2 1 2  2 2  2  2 18 8 1    Nhận xét u.v = u + v. Từ đó ta có hệ:  u v u  v u.v  u  v VD: Gi¶i PT:. 8. . Bài tập. 27 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Nguyễn Duy Tình – Ôn thi đại học: Mũ - logarit e. (x. Bài 1: Giải phương trình:. (x 2  2x  2). 4x. 2. 2.  x  1)x. 2. 1. 1. x  x 2 ) x 2  1. f. (. g.. 1. Bài 2:Giải phương trình:.  4.32x 5  27  0 (2  3)x  (2  3)x  4  0. a. 3. 4x 8. 5)x  16(3  5)x  2 x 3. e. (3 . b. 2. 2x  6.  2 x 7  17  0 x. c. x. f. (7  4 3)  3(2  3)  2  0. l.. ( 2 3)x  ( 2 3)x  4 x. x. 1 h. 2.4 x. x. g. 3.16  2.8  5.36 Bài 3:Giải phương trình: 1. 2. 3. 4. 5. 6.. 1  6x. . 1 9x. 2. 2 x 5 x  6  21 x  2.2 6 5 x  1 3x  x  4  0 22x 1  32x  52x 1  2 x  3x 1  5x 2. 16. 3 x  8 x  4 x  7 x 17. 9 x  15 x  10 x  14 x. 3 2 x 3  (3 x  10)3 x  2  3  x  0 2. x. 18. 8  x.2 x  2 3 x  x  0.  2 x 1  ( x  1) 2. 7..  2x. 8. 9.. 4x. 6 x  2 x  5x  3x. 10.. 3.8  4.12  18  2.27  0. 2.  12  0. 13. 5 x  6  x 14. 2.2  x  2 x  1  0 15. 2 x  3 x  5 x  0. 3x  4 x  5 x x 2  (3  2 x )x  2(1  2 x )  0 2. 3x 3 2 x. 2 i. 8 x. 3 x  2.  4x. x. 2. 6 x 5. x.  4 2x x. 2. 3 x 7. . . 19. x.2 x  x3  x   2 2 x  1. 1. 20. 5 2 x 1  5 3 x  x  1  0. x. x 2. 21. 3 x. 11. 1  8  3 x. 2. 2 x.  3 2 x 3  1  x  2. 2. x. 12. 15 2  1  4 x. 22. 4 x  7 x  9 x  2. Bài 4:Giải các hệ phương trình: 1.. 2.. 3.. 4 x  y  128 a.  3x 2y 3 1 5. 4.. 5x  y  125 b.  (x  y)2 1 1 4 32x  2 y  77 b.  x y 3  2  7. 5.. 2 x  2 y  12 d.  x  y  5 x y  x y 2 2 m  m 4  m  m e . xy xy  3 2 n  n 6  n  n. víi m, n > 1.. (m  2).2 x  m.2  x  m  0 . b . m.3x  m.3 x  8 Bài 6: Tìm m để phương trình có nghiệm: (m  4).9 x  2(m  2).3x  m  1  0 Bài 5: Giải và biện luận phương trình: a .. 28 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Nguyễn Duy Tình – Ôn thi đại học: Mũ - logarit 6 x x  9 3 2. Bài 7: Giải các bất phương trình sau: a. 2. b.. 2. 1 2x 1. . 1 3x 2 1. c. 1  5. x2 x.  25. d.. x. (x  x  1)  1 e. (x. 2.  2x. x 1 x  3) 1. 1. f. (x. 2.  1)x. 2.  2x.  x2  1. 3. Bài 8: Giải các bất phương trình sau: a. 3. x. d. 5.  9.3 x  10  0. 2 x. 55. x 1. 5. b. 5.4 x. 1.  2.25x  7.10 x  0. c. x 1. 3.  10 x  5x  25 21x  1  2 x 0 2x  1. e. 25.2. Bài 9: Giải bất phương trình sau: Bài 10: Cho bất phương trình:. x. x. 1  1 1  3x . 9 x  3x  2  3x  9. f.. 16 . 9 b. Định m để bất phương trình thỏa x  R .. 4 x 1  m.(2 x  1)  0 a. Giải bất phương trình khi m= 2. 1.  1 x  1 x Bài 11: a. Giải bất phương trình:    9.   3 3. 2.  12. (*). 2x 2   m  2  x  2  3m  0. b.Định m để mọi nghiệm của (*) đều là nghiệm của bất phương trình: Bài 12: Giải các phương trình: a. c.. log5 x  log5  x  6   log5  x  2 . . . log x 2x 2  5x  4  2. d. lg(x. 2. b.. log5 x  log25 x  log 0,2 3.  2x  3)  lg. 1 .lg(5x  4)  lg x  1  2  lg 0,18 2. x3 0 x 1. e.. Bài 13: Giải các phương trình sau: a.. 1 2  1 4  lg x 2  lg x. b. log 2 x . 10 log2 x  6  0. c.. log 0,04 x  1  log 0,2 x  3  1 d. 3log x 16  4 log16 x  2 log 2 x e. log. x2. f. lg(lg x)  lg(lg x. 16  log2x 64  3. 3.  2)  0. g. ln x  4 ln x  3  0 Bài 14: Giải các phương trình sau: 2. c.. 1  x a. log3  log 9 x   9   2x 2   x x b. log 2 4.3  6  log 2 9  6  1. . . . . . . . log2 4 x 1  4 .log2 4 x  1  log. . d. lg.  6.5. x. 1 2. 1 8. .  25.20 x  x  lg25 29. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Nguyễn Duy Tình – Ôn thi đại học: Mũ - logarit e.. . 2  lg2  1  lg 5 f. x  lg.  .  1  lg 51. x. x. 5. g. 5. . h..  4  5   x lg2  lg3.  50  x lg5. log32 x. Bài 15: Giải các phương trình: a. x  lg. x. 2. .  x  6  4  lg  x  2 . b. log3.  x  2  log32  x  1  4  x  1 log3  x  1  16  0 e. log x  ( x  4) log x  x  3  0 c.. 2. 2. 2. g. 6 x  3 log 6 5 x  1  2 x  1 i. 2 log. 7. x. 2. . .  x  3  log 6 x 2  x  4. lg2 x  lg x2. x 1. i. 3. x. lg x. d. 2.  x 1. 3.  x log3 x  162.  x  1  log5  2x  1  2. log5  x 3 . x. f. log 4 6 ( x 2  2 x  2)  2 log. 5. x. 2. .  2x  3. . Bài 15: Giải các hệ phương trình:. . . lg x 2  y 2  1  3lg2 c.  lg  x  y   lg  x  y   lg3. lg x  lg y  1 a.  2 2 x  y  29. log3 x  log3 y  1  log3 2 b.  x  y  5. log 4 x  log2 y  0 d.  2 2 x  5y  4  0.  xy log x xy  log y x 2 4 y x  32 e.  f.  2 log x log3  x  y   1  log3  x  y  y y  4y  3. Bài 16: Giải và biện luận các phương trình: a.. c.. lg  mx 2   2m  3  x  m  3  lg  2  x  logsin x 2.logsin2 x a  1. Bµi 17 a.. b.. 3. . . b.. lg  ax  2 lg  x  1. Bài 18: Tìm a để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.. x. 2 log32 x  log3 x  a  0. Bài 19: Giải bất phương trình:. . . log8 x 2  4x  3  1. b.. log3 x  log3 x  3  0. c.. log 1  log 4 x 2  5   0  . . 3. d.. . . . log x  log9 3x  9   1   g. log x 2.log 2x 2.log 2 4x  1 4x  6 0 h. log 1 x 3 f.. . . log 1 x 2  6x  8  2 log5  x  4   0. i.. log2  x  3   1  log2  x  1. j.. 2 log8 (x  2)  log 1 (x  3) . 5. e.. 2. a 4 1 2a  x. log. 3. a.. a.log2a. d.. : Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất:. log3 x 2  4ax  log 1  2x  2a  1  0. log3 a  log x a  log x a. 5 log 1 x   log x 3 2 3. 8. 2 3 30. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Nguyễn Duy Tình – Ôn thi đại học: Mũ - logarit.   k. log3  log 1 x   0    2  l. log5 3x  4.log x 5  1 m. log3 n.. x 2  4x  3 x2  x  5. 0. log 1 x  log3 x  1 2. .  2 5   x  x  1  0 2   x2 1. q.. log. r.. x 1   log x 6  log2 0 x  2   3. s.. log22 x  log2 x  0. t.. log x 2.log x 2 . 3x. 16. . 1 log2 x  6. o.. log2x x 2  5x  6  1. u.. p.. log3x x2  3  x   1. log32 x  4 log3 x  9  2 log3 x  3. v.. log21 x  4 log2 x  2 4  log16 x 4. . . 2. Bài 20: Giải bất phương trình:a.. c.. . x. . . log2 2  1 .log 1 2. x 1. 2. 6 log6 x  x log6 x  12. .  2  2. d.. b.. 3. x 2log2 2x log2 x . . . 1 x. 2. . log5 x 2  4x  11  log11 x 2  4x  11 2  5x  3x 2. 2. . 3. 0. Bài 21: Giải hệ bất phương trình:. .  x2  4 0 2 a.   x  16x  64 lg x  7  lg(x  5)  2 lg2 . . . .  x  1 lg2  lg 2 x 1  1  lg 7.2 x  12 b.  c. log x  x  2   2. log2x  2  y   0  log 4y  2x  2   0. Bài 22: Giải và biện luận các bất phương trình( 0  a a.. x loga x 1  a 2 x. b.. log2a. 1 x 1 1  loga x. c..  1 ): 1 2  1 5  loga x 1  loga x. d.. 1 log x 100  loga 100  0 2. . . . . Bài 23: Cho bất phương trình: log a x 2  x  2  log a  x 2  2x  3 thỏa mãn với:. x. phương trình.. 9 . Gi¶i bÊt 4. lg2 x  m lg x  m  3  0. Bài 24: Tìm m để hệ bất phương trình có nghiệm: . Bài 26: Giải và biện luận bất phương trình: x  1 Bài 25: Cho bất phương trình: x 2   m  3  x  3m   x  m  log 1 x log 1  8a  x  2 1  x 2. a. b.. a. . . . . Giải bất phương trình khi m = 2. Giải và biện luận bất phương trình. Một số phương pháp hay giải phương trình – bất phương trình mũ logarit:. 31 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Nguyễn Duy Tình – Ôn thi đại học: Mũ - logarit 1. Biến đổi thành tích: 2. 2. VD1: gi¶i pt 2 x  x  4.2 x  x  2 2 x  4  0 NX: tuy rằng cùng cơ số 2 nhưng không thể bđ để đặt ẩn phụ theo cơ số 2 được. Nên ta nhóm thành phương trình tích:. 2. x2  x. . . 1 . 2 2x  4  0. VD2: gi¶i pt 2log 9 x   log 3 x. log 3 ( 2 x  1  1) NX: tuy rằng cùng cơ số 3 nhưng không thể bđ để đặt ẩn phụ theo cơ số 3 được. Nên ta nhóm thành phương trình tích: 2. log. 3. x  2 log 3. . . 2 x  1  1 . log 3 x  0. TQ: Trong trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi và đặt ẩn phụ được thì ta biến đổi thành tích II. §Æt Èn phô nh­ng hÖ sè vÈn cßn chøa Èn VD1: Giải pt 9 x  2( x  2)3 x  2 x  5  0 . Đặt t = 3x, khi đó ta có. t 2  2 x  2t  2 x  5  0  t  1, t  5  2 x. NX: - ta thấy pt vừa có ẩn trên mũ vừa có ở hệ số, nên phần nhiều hs không mạnh dạn đặt ẩn phụ (mặc dù nhìn qua pt có dạng đặt t = 3x) - pp này chỉ sử dụng được khi phương trình có nghiệm t tương đối đơn giản và dể tính (  là một số chính phương). log. VD2: gi¶i pt. 2 3. ( x  1)   x  5 log  x  1  2 x  6  0 . §Æt t = log3(x+1), ta cã 3. t   x  5t  2 x  6  0  t  2, t  3  x .Từ đó ta có nghiệm x = 8 và x = 2. 2. III. Phương pháp hàm số C¸c tÝnh chÊt: TÝnh chÊt 1: NÕu hµm f t¨ng (gi¶m) trong kho¶ng (a; b) th× pt f(x) = k cã kh«ng qu¸ mét nghiÖm trong kho¶ng (a; b) TÝnh chÊt 2: NÕu hµm f t¨ng (gi¶m) trong kho¶ng (a; b) th× víi mäi u, v thuéc (a; b) ta cã f (u )  f v   u  v TÝnh chÊt 3: NÕu hµm f t¨ng vµ hµm g lµ hµm h»ng hoÆc hµm gi¶m trong (a; b) th× pt f(x) = g(x) cã nhiÒu nhÊt mét nghiÖm trong (a ;b). §L lagrange: Cho hµm sè F(x) liªn tôc trªn a; b vµ F’(x) tån t¹i trªn (a;b) th× lu«n c  a; b  :. F ' c  . -. F b   F a  . ba. ¸p dông vµo gi¶i pt: nÕu cã F(b) – F(a) = 0 th× c  a; b  : F ' c   0  pt..F '  x   0 cã nghiÖm thuéc (a; b) §L R«n: NÕu hµm sè y = f(x) låi hoÆc lâm trªn miÒn D th× pt f(x) = 0 sÏ kh«ng cã qu¸ 2 nghiÖm thuéc D. áp dụng: vì trong chương trình THPT không trình bày ĐL Rôn nên để s/d ta làm như sau: CM đồ thị lồi hoặc lõm trên (a;b) NÕu lâm th× cm lim y  0, lim y  0 . NÕu låi th× cm lim y  0, lim y  0 xa . -. xa . x b . x b . KL: pt cã kh«ng qu¸ 2 nghiÖm thuéc (a;b) Lưu ý: a. Nếu áp dụng để giải pt thì ta phải nhẩm được 2 nghiệm ( thường là dễ nhẩm ) khi đó mới hoàn thành, cßn míi nhÈm ®­îc 1 nghiÖm th× ch­a KL pt cã nghiÖm duy nhÊt ( v× §L chØ kl pt cã kh«ng qu¸ 2 nghiÖm thuéc (a;b)) b. Nếu áp dụng để CM pt có 2 nghiệm thì trong trường hợp đồ thị lõm ta phải chỉ ra được ít nhất một giá trị x0 thuéc (a;b) sao cho f(x0) < 0 ( cßn khi låi th× f(x0) > 0 ) VD1: gi¶i pt HD:. x  2.3 log 2 x  3. pt  2.3 log 2 x  3  x. ta cã VT lµ hµm ®b cßn VP lµ hµm nb suy ra pt cã nghiÖm duy nhÊt x=1. VD2: giải pt 6  2  5  3 . PT tương đương 6 x  5 x  3 x  2 x , giả sử pt có nghiệm là x. . . x. . x. x. . khi đó:. . 6 5  3 2  xÐt hµm sè f t   t  1  t  , víi t > 0. Ta nhËn thÊy f(5) = f(2) nªn theo ®l lagrange tån t¹i c  2;5 sao cho:. . f ' c   0   c  1.  1. .  c  1  0    0,   1 , thö l¹i ta thÊy x = 0, x = 1 lµ nghiÖm cña pt.. 32 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Nguyễn Duy Tình – Ôn thi đại học: Mũ - logarit NX: pt có 4 cơ số khác nhau nhưng không bđ về cùng cơ số để đặt ẩn phụ, nên ta s/d pp trên. ( ta có thể bđ pt thành 6 x  3x  5x  2 x ) VD3: gi¶i pt  2 x. 2. x.  2 x 1  ( x  1) 2 . Viết lại pt dưới dạng 2 x 1  x  1  2 x. 2. x. f t   2 t  t là hàm đồng biến trên R ( s/d đạo hàm ). Vậy pt viết lại dưới dạng f  x  1  f x 2  x  x  1  x 2  x  x  1. .  x 2  x , xÐt hµm sè. . NX: - pt võa cã Èn trªn mò võa cã ë hÖ sè nh­ng kh«ng s/d ®­îc pp §Æt Èn phô nh­ng hÖ sè vÈn cßn chøa Èn nªn ta dïng pp trªn ( s/d tc 2). - §Ó s/d pp nµy ta b® pt vÒ d¹ng f (u )  f v   u  v ( chó ý ph¶i xÐt f lµ hµm ®b hoÆc nb ) VD4: Giải pt 3 x  2 x  3 x  2 . Dễ dàng ta nhÉm ®­îc 2 nghiÖm : 0 vµ 1. Ta CM kh«ng cã nghiÖm nµo kh¸c. xÐt hµm sè f  x   3 x  2 x  3 x  2  f ' '  x   3 x ln 2 3  2 x ln 2 2  0  hs lâm, suy ra pt cã kh«ng qu¸ 2 nghiÖm y  x e  2007  2 y  1 có đúng 2 nghiệm thoã mãn đk x> 0, y > 0. VD5: CMR hÖ   x e y  2007  2  x 1  HD: s/d tính chất 2 để chỉ ra x = y khi đó xét hàm số f  x   e x  NÕu x < -1 th× f  x   e 1  2007  0 suy ra hpt v« nghiÖm. Nếu x > 1 s/d đl Rôn và chỉ ra với x0 = 2 thì f(2) < 0 để suy ra đpcm b. x x2 1.  2007 .. a. 1  1    VD6: Cho a  b  0 CM  2 a  a    2 b  b  ( D – 2007) 2  2    1  1    ln 2 a  a  ln 2 b  b  1  1  2  2     HD: B§T  b ln 2 a  a   a ln 2 b  b   . XÐt hµm sè   a b 2  2    1   ln 2 x  x  2  f x    víi x > 0 x Suy ra f’(x) < 0 với mọi x > 0, nên hàm số nghịch biến do đó với a  b  0 ta có f (a )  f b  ( đpcm) IV. Một số bài toán (đặc biệt là các bài về logarit) ta thường phải đặt ẩn phụ đưa về pt – hệ pt - bpt mũ rồi s/d các pp trªn. 1.D¹ng 1: kh¸c c¬ sè: VD1: Giải pt log 7 x  log 3 ( x  2) . Đặt t = log 7 x  x  7 t khi đó pt trở thành: t. t  7 1    2.  t  log 3 ( 7  2)  3  7  2  1    3  3  t. t. t. 2. D¹ng 2: Kh¸c c¬ sè vµ biÓu thøc trong dÊu log phøc t¹p VD1: gi¶i pt log 4 6 ( x 2  2 x  2)  2 log 5 x 2  2 x  3. . §Æt t = x2 – 2x – 3 ta cã pt log 6 t  1  log 5 t. . VD2: gi¶i pt log 2 x  3 3. D¹ng 3:. log 6 x. . a logb  x  c   x.  t. 3  log 6 x . Đặt t  log 6 x , pt tương đương 6  3  2  3     1 2 t. t. t. t. ( ®k: b = a + c ). 33 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Nguyễn Duy Tình – Ôn thi đại học: Mũ - logarit log  x 3  VD1: gi¶i pt 4 7  x . §Æt t  log 7  x  3  7 t  x  3 , pt trë thµnh t. t. 4 1 4 t  7 t  3     3.   1 7 7 log 3  x  5  VD2: Gi¶i pt 2  x  4 . Đặt t = x+4 suy ra pt tương đương 2 log3 t 1  t log  x 1 VD3: Gi¶i pt 4 3   x  12 log3  x 1  x  0 ¸p dông PP II vµ d¹ng nµy. 4. D¹ng 4: s. ax  b.  c log s dx  e   x   , víi d  ac   , e  bc  . Pp: đặt ay  b  log s (dx  e) rồi chuyển thành hệ 2 pt, lấy pt1 trừ pt2 ta được s ax b  acx  s ay b  acy . Xét. f t   s at b  act. VD: Giải pt 7 x 1  6 log 7 (6 x  5)  1 . Đặt y  1  log 7 6 x  5 . Khi đó pt được chuyển thành hệ. 7 x 1  6 y  5 7 x 1  6 y  1  1   y 1  7 x 1  6 x  7 y 1  6 y . XÐt hµm sè f t   7 t 1  6t suy ra x=y, khi  7  6 x  5  y  1  log 7 6 x  5 đó ta có 7 x 1  6 x  5  0 . Xét hàm số g  x   7 x 1  6 x  5 áp dụng PP định lí Rôn và nhẩm nghiệm ta t×m ®­îc 2 nghiÖm cña pt: x = 1, x = 2. 5. D¹ng 5: §Æt Èn phô chuyÓn vÒ thµnh hÖ. 2x 18  x 1 x 1 x 2  1 2  2 2  21 x  2 8 1 18  1 x  x 1 HD: Viết PT dưới dạng x 1 , đặt u  2 x 1  1, v  21 x  1.u , v  0 .Nhận xét u.v 1 x 2 1 2  2 2  2  2 18 8 1    = u + v. Từ đó ta có hệ:  u v u  v u.v  u  v VD: Gi¶i PT:. 8. . 34 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span>