Khảo sát chất lượng lớp 12 trung học phổ thông năm học 2015 - 2016 môn thi: Vật lí thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Nguyễn Sỹ An – Chuyên đề PT – HPT – BPT. Chuyên đề phương trình, Bất phương trình Phần I. Phương trình có chứa căn thức A. Một số phương pháp giải I.Phương pháp biến đổi tương đương 1.Kiến thức cơ bản . a. f  x  = g(x)  . g(x)  0. f(x) = g(x). 2. f (x)  0,(g(x)  0). b. f (x)  g(x)  .  f (x)  g(x) . 2.  Chú ý : Các trường hợp khác ta phải tìm điều kiện trước khi biến đổi. 2.Ví dụ minh hoạ  Ví dụ1: Giải phương trình sau: x2  x 1  2  x (1). 2 x  0  x  2   x 1  2 2  x  x  1  ( x  2)  x  1  Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 3x  4  2 x 1  x  3 (2) . Pt (1)  . 3 x  4  0  1 ĐK :  2 x 1  0  x  2  x  3  0 . Pt (2)  3x  4  2 x 1  x  3  3x  4  ( 2 x 1  x  3)2  x  2 1 2  (2 x  1)( x  3)  1  2 x  5 x  4  0    x  (do x = -2 loại) 1  x 2  2  Ví dụ 3: Giải phương trình sau: 2(1  x) x 2  2 x 1  x 2  2 x 1 (3) Pt(3)  ( x2  2 x 1  2 x)(2  x2  2 x 1)  0  x2  2 x 1  2 x  0 (*) hoặc 1 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Nguyễn Sỹ An – Chuyên đề PT – HPT – BPT. x2  2 x 1  2 (**) Giải phương trình (*) ta có phương trình vô nghiệm Giải phương trình(**) ta được nghiệm của phương trình là x  1  6 Vậy nghiệm của phương trình(3)là : x  1  6  Ví dụ 4: Giải phương trình sau: x( x 1)  x( x  2)  2 x 2 (4)  x 1  x( x  1)  0   x0 ĐK    x( x  2)  0  x  2. Ta xét theo 3 trường hợp như sau: +)Trường hợp 1: Nếu x  1 thì pt(4) trở thành. x 1  x  2  2 x . . . 2. x 1  x  2  4x  2 x 2  x  2  2x 1. 9 (t/m). 8 +)Trường hợp 2: Nếu x  2 thì pt(4) trở thành  4(x 2  x  2)  (2x  1)2  x . 1  x  x  2  2 x . . . 2. 1  x   x  2  4x  2 x 2  x  2  2x  1.  4(x 2  x  2)  (2x  1)2  x . 9 (loại). 8. +)Trường hợp 3: Nếu x = 0 pt(4) luôn thỏa mãn 9 Vậy nghiệm của pt(4) là x = 0 , x  . 8 II) Phương pháp đặt ẩn phụ 1.Dạng1: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình không chứa ẩn ban đầu  Nếu có f(x) và f(x), đặt t = f (x)  Nếu có. f (x), g(x) mà f (x). g(x)  a(h / s) thì đặt a t  f (x)  g(x)  t  Nếu có f (x)  g(x), f (x)g(x),f (x)  g(x)  a đặt t  f (x)  g(x)    Nếu có a 2  x 2 đặt x  a sin t,   t  2 2 a   (   t  , t  0)  Nếu có x 2  a 2 đặt x  sin t 2 2 * Bài tập áp dụng : 2 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Nguyễn Sỹ An – Chuyên đề PT – HPT – BPT. Bài1: Gpt 2(x2- 2x) + x 2  2x  3  6  0 đặt t = x 2  2x  3  0 Bài2: Gpt 5( 3x  2  x 1)  4x  9  2 3x 2  5x  2 đ/k x ≥ 1 , đặt t = 3x  2  x 1 đ/k t ≥ 1dẫn tới pt t2-5t+6=0 Bài3:Gpt: 1  x 2  4x 3  3x đ/k -1 ≤ x ≤ 1 đặt x = cost t   0,   PT trở thành  1  cos 2 t  4cos3 t  3cos t  sin t  cos3t  cos3t  cos(  t) 2  5 3 t , , 8 8 4.  2 2 5  2  2  x1  cos  , x 2  cos  , 8 2 8 2 3 2 x 3  cos   4 2 Bài4: Gpt: 2 (1  x)2  3 1  x 2  (1  x)2  0 (4) Do x  1 không là nghiệm của phương trình (4) nên ta chia cả 2 vế của PT(4) cho 1  x 2 1 x 1 x 1 x   3  0 (5) đặt Pt  2 t (t  0) 1 x 1 x 1 x  t 1 1 2 Pt(5) tt 2t   3  0  2t  3t  1  0   1 t  t  2 1 x 35 Bài5: Gpt : x  2 đ/k x > 1 đặt x   cos t x 1 12  t  (0. )  x 2 1  tan t 2 1 1/ cos t 35 1 1 35 Pt       cos t sin t / cos t 12 cos t sin t 12  12(sin t  cos t)  35sin t cos t 7 Đặt u  sin t  cos t  u  (1; 2)  35u 2  24u  35  0  t  5 1 35  1 5  5  1  cos t  sin t  12  x     cos t 3   3  1 25  1   1 5 x  5  cos t sin t 12  cos t 4  4. 3 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Nguyễn Sỹ An – Chuyên đề PT – HPT – BPT. 2. Dạng2: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình còn chứa ẩn ban đầu **Bài tập áp dụng : Bài1: Gpt : x 2 1  2x x 2  2x (1) x  2 ĐK :  Đặt t  x 2  2x  0 x  0 Khi đó pt(1)tt x2 -2tx-1 = 0 ,  ' = t2+1 = (x-1)2 →x = t±(x-1) khi và chỉ khi  x 2  2x  1  x 2  2x  1  0  x  x 2  2x  (x  1) x  1 5      2x 1  0    x  1/ 2   x  x 2  2x  (x  1)   x 2  2x  (2x  1)2  3x 2  2x  1  0  x  1  5    . Bài2: Gpt : (4x-1) 4x 2  1  8x2+2x+1 1  t 1  2 ( t  loại do t  1 )  đặt t = 4x  1 ≥ 1 ,pttt : 2  t  2x  1  1 1  x  x  2  với t =2x-1  4x  1  2x 1   2 2  PTvô nghiệm 4x 2  1  (2x  1)2  x  0 . 2t2-(4x-1)t+2x-1=0. 2. 3. Dạng3: Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình  u  m a  f (x) u m  vn  a  b  m a  f (x)  n b  f (x)  c     u  v  c  v  n b  f (x) Trong đó m và n nguyên dương lớn hơn hoặc bằng 2 ***Bài tập áp dụng : Bài1: Gpt: 3 1  x  3 1  x  2 u  3 1  x u  v  2 Đặt  PT   3 3 3 u  v  2  v  1  x Bài2:Gpt:. 3. 2  x  1  x 1. u  3 2  x Đặt   v  x  1.  u0 x2  u 3  v 2  1    u 1   x 1 Pt   u  v  1    u  2  x  10. III) Phương pháp đánh giá. 4 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Nguyễn Sỹ An – Chuyên đề PT – HPT – BPT. 1) Kiến thức cơ bản:. f (x)  0  1) f2(x) + g2(x) + h2(x) = 0  g(x)  0  h(x)  0  f (x)  g(x)  k f (x)  m  2)  f (x)  m ;g(x)  n   ( trong đó k là hằng số)   g(x)  n  mn  k  f (x)  g(x)  f (x)  k 3)  (trong đó k là hằng số)   f (x)  k;g(x)  k g(x)  k. 2) Bài tập áp dụng : Bài1:Gpt: 4x2 + 3x +3 = 4x x  3  2 2x 1 đ/k x ≥ 1/2 . Phương trình tương đương  x  3  2x. (2x  x  3)  (1  2x 1)2  0   2.  2x  1  1.  x  1 (t/m).. Bài2: Gpt: 3x 2  6x  7  5x 2  10x  14 = 4 – 2x – x2 Ta có VT = 3(x  1)2  4  5(x  1)2  9  4  9  5 VP = 4 - 2x- x2 = 5 – (x+1)2 ≤ 5  VT  5  x  1 Vậy phương trình chỉ thỏa mãn khi và chỉ khi   VP  5 x2 1 Bài 3:Gpt: 5x 3  3x 2  3x  2   3x  . (1) 2 2 2 ĐK : 5x3 + 3x2 +3x + 2  0   x 2  x  1  5x  2   0  x  . 5 BĐTCôsi x 2  6x 1 x 2 1   3x  . Ta có 5x 3  3x 2  3x  2   x 2  x  1  5x  2   2 2 2 x  1  Do đó pt (1)  x2 + x + 1 = 5x – 2   (thoả mãn).  x  3 IV) Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số : 1) Cơ sở lý thuyết Dùng tính đơn điệu của hàm số để khẳng định số nghiệm phương trình 2) Bài tập áp dụng Bài1:Gpt : x 5  x 3  1  3x  4  0 . 5 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Nguyễn Sỹ An – Chuyên đề PT – HPT – BPT. 1 ĐK : x  . 3. 1  Xét hàm số f(x) = x 5  x 3  1  3x  4 trên tập D   ;  . 3 . Ta có. f ' (x)  5x 4  3x 2 . . 3  0 với x  D  h/s f(x) đồng biến 2 1  3x. trên tập xác định D. Mặt khác với x = -1 thì f (-1) = 0. Vậy pt có nghiệm duy nhất là x = - 1. Bài2 : Gpt : 3  x  x 2  2  x  x 2  1 . Pt  3  x  x 2  2  x  x 2  1 (*) Đặt t = x2- x đ/k ( -3≤ t ≤2) PT(*) trở thành 3  t  1  2  t (**) Xét h/s f(t) =. 3  t trên tập D =  3; 2 . Ta có f ' (t) . 1  0 với x   3;2  2 3 t.  h/s f(t) đồng biến trên tập xác định D.. Mặt khác h/s g(t) = 1+ 2  t  g ' (t)  . 1  0 với x   3;2   h/s g(t) 2 2t. nghịch biến trên tập D. ta thấy với t = 1 thì f(1) = g(1) = 2 Do vậy Pt (**) có nghiệm duy nhất t =1 . 1 5 . 2 Bài 3 :Chứng minh rằng với mọi m > 0, phương trình sau luôn có 2 nghiệm thực phân x 2  2x  8  m(x  2) (1) ( Khối B – 2007). biệt ĐK x  2 x2  Pt (1)   x  2   x 3  6x 2  32  m   0   3 2  x  6x  32  m  0 Ta c/m phương trình x 3  6x 2  32  m (2) có nghiệm x 0   2;   với m  0 Xét hàm số f(x) = x3 + 6x2 -32 với x  2 . Ta có f ' (x)  3x 2  12x  0 với x  2 h/s f(x) đồng biến trên  2;  . Bảng biến thiên x 2  + f ' (x) f(x) . Với t = 1 thì x2- x = 1  x 2  x 1  0  x . 6 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Nguyễn Sỹ An – Chuyên đề PT – HPT – BPT. 0 Dựa vào bảng biến thiên ta có với m  0 Pt(1) luôn có một nghiệm x 0   2;   . Vậy Pt(1) luôn có 2 nghiệm thực phân biệt. Phần 2 . Bất phương trình có chứa căn thức I)Phương pháp biến đổi tương đương : 1) Kiến thức cơ bản : 1). 2). g(x)  0. f (x)  g(x)  . 0  f (x)  g (x)  g(x)  0  f (x)  0 f (x)  g(x)    g(x)  0  f (x)  g 2 (x) . 2) Bài tập áp dụng: Bài1: gbpt 2 x 2  6 x  1  x  2  0 tương đương với đương với. 2. 2 x 2  6 x  1  x  2 tương.  x  2  0  2  3 7  3 7  2 x  6 x  1  0 x    ,   2   3,   x20   2      x  3 2 x 2  6 x  1  ( x  2) 2  1  2  x  0 x  0 Bài3: gbpt: điều kiện   2 0  x  1 1  4 x  0  2 1  3 x  0 1 1 1) Với -  x  0 bpt tương đương 1  4 x 2  1  3x   -  x0 2 2 2 2 1  4 x  (1  3 x) 1  1  4x2 0 x. 2) Với 0<x . 1 2. bpt tương đương. Vậy nghiệm của bpt là. 1  3 x  0  2 1 1  4 x  0 2 1  4 x  1  3x    0<x  2 2 2 1  4 x  (1  3 x) 1  3 x  0.  1   1  2 ,0    0, 2 . 7 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Nguyễn Sỹ An – Chuyên đề PT – HPT – BPT. II)Phương pháp đặt ẩn phụ 1) Dạng1: Đặt ẩn phụ hợp lý dẫn tới bất phương trình đại số quen thuộc Bài1 : Gbpt: x 2  2 x 2  3x  11  3x  4 đặt t = x 2  3x  11  0 dẫn tới bpt t2+2t-15 ≤ 0 suy ra 0 ≤ t ≤ 3 suy ra x 2  3x  11  3 suy ra x2 -3x+11 ≤ 9 suy ra nghiệm của bpt 1≤x≤2 Bài2. Gbpt 1 3x x2 3x   1  1    1 đặt t = 2 2 2 1 x 1 x 1 x 1  x2. x 1  x2. có bất phương. t2-3t+2 > 0 suy ra t > 2 hoặc t < 1.  x  2 1  x 2 0  x  1 2 1) xét bpt >2   2   x 1 2 2 5 1  x  0 1 x 5 x  4  1  x  0  x  1  x 2 1 x     x  0  1  x  2) xét bpt <1 5 1  x 2  0 1  x2  x 2  4(1  x 2 )  1   3   nghiệm của bpt là   1,    ,1 5  5   5 1  2x  4 Bài3: Gbpt: 5 x  2x 2 x 1 điều kiện x > 0 đặt t = x  ≥ 2 2 x x. dẫn tới bất phương trình bậc hai: 2t2 – 5t + 2 > 0 có nghiệm t > 2 khi và chỉ khi x. 1 2 x. >2  x  4 x  1  0  Pt có nghiệm. 3 3 x  (0,  2)  (  2, ) 2 2. Bài4: Gbpt. x 1. 2. x 1 x. 3. x x 1 Đặt t  0 x PT dẫn tới t2 -2t -3 >0 có nghiệm t≥ 3 1 Cho ta tập nghiệm của bpt là  0,   8. 2.Dạng2 : đặt ẩn phụ t dẫn bpt xem t là ẩn ,x là tham số,hoặc bpt xem x là ẩn, t là tham số. 8 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Nguyễn Sỹ An – Chuyên đề PT – HPT – BPT. Bài tập:Gbpt: x2-1  2 x x 2  2 x Đặt t = x 2  2 x  0 dẫn tới bpt: x2-2tx-1≤ 0 Ta có  '  t 2  1  (x  1)2 . PT dẫn tới ( khi và chỉ khi. x 2  2 x  1)( x 2  2 x  2 x  1  0. 1  2 x  1  0 x   2   x 2  2x  2x  1  0  x 2  2x  0   x0 x0   x 2  2 x  (2 x  1) 2    x  2 3.Dạng3: Đặt 2 ẩn phụ dẫn tới một hệ. Bài1: gbpt 2 x 2  6 x  8  x  x  2 điều kiện x ≥ 0 biến đổi u  2 x  1  0 2( x  2) 2  2(2 x  1)  x  2  2 x  1 đặt   2u 2  2v 2  u  v v  x  2. u  v  0  2 uv 2 2 2u  2v  (u  v) x  2  0 2x  1  x  2   2  x  1, x  5 x  6x  5  0 1 Vậy để u  v  x   ,  x  1, x  5 2  u  x  0 Bài2:gbpt 2 x 2  6 x  8  x  x  2 đặt  bất phương trình có v  x  2 . Trường hợp u = v. dạng u  v  0 u  v  0 2u 2  2v 2  u  v   2  uv0 2 2 2u  2v  u  v (u  v)  0. x  2  0   x  x  2 . x  2 x4  2 x  5 x  4  0 . III)Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Cơ sở lý thuyết: dựa vào bảng biến thiên của hàm số phát hiẹn miền nghiệm cuả bất phương trình Bài tập áp dụng Bài1: gbpt: x  9  2 x  4  5 d / k x  2 xét hàm số f(x) = x  9  2 x  4 trên tập x ≥ -2 Có đạo hàm luôn dương với mọi x thuộc tập xác định suy ra hàm số luôn đồng biến lại có f(0) = 5 9 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Nguyễn Sỹ An – Chuyên đề PT – HPT – BPT. vậy nghiệm của bpt là x > 0 Bài2: gbpt: x 2  2 x  3  x 2 6 x  11  3  x  x  1 dk 1  x  3 2 2 Tương đương x  2 x  3  x  1  x  6 x  11  3  x ( x  1) 2  2  x  1  (3  x) 2  2  3  x. Xét hàm số f(t) = t  2  t Trên 1,3 có f’(t)hàm số đồng biến trên tập xác định vậy ta có f(x-1)>f(3-x) khi và chỉ khi x-1>3-x cho ta x>2 vậy nghiệm của bất phương trình là 2<x≤3 Bài3: gbpt: 2x+ x  x  7  2 x 2  7 x  35 d / k x  0 xét hàm số trên tập xác định x≥ 0 F(x) = 2 x  x  x  7  2 x 2  7 x co f , ( x)  2 . 1 2 x. . 1 2x  7  0 2 x | 7 x2  7x.   29  2  Hàm số đồng b iến trên tập xác định vì vậy f(x) < 35 = f     vậy nghiệm bpt 0< x   12    29 2  <       12  . IV) Phương pháp sử dụng giá trị lớn nhất nhỏ nhất hàm số Kiến thức cơ bản Lập bảng biến thiên từ đó có kết quả của bài toán Bài tập áp dụng Bài1 Tìm m để bpt sau có nghiệm: mx - x  3  m  1 đặt t = x  3 t ≥ 0 ta có m( t2+2) ≤ t+1 tương đương với f , (t ) . t 1 t 1  m xét hàm số f(t) = 2 2 t 2 t 2. trên tập t≥ 0 có.  t 2  2t  2 , f (t) = 0 khi t = 1  3 (t 2  2) 2. Ta có bảng biến thiên t f’. -1 . 3. -1  3 0. f ( t ). -. 0 -1 . Nhìn vào bảng biến thiên để bất phương trình có nghiệm thì m ≤. +. 3. 3 1 4. 10 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Nguyễn Sỹ An – Chuyên đề PT – HPT – BPT. V) Phương pháp đồ thị : Kiến thức cơ bản : dùng đẻ giải các bài toán tìm tham số để bất phương trình có nghiệm thực hiện các bước sau : *) sử dụng các phép biến đổi tương đương đưa bất phương tình đã cho về một hệ *) xét trên hệ trục tọa độ Oxm +) Biểu diễn các điểm M(x,m) thỏa mãn các bất phương trình trong hệ ,giả sử các tập đó là X1,X2,.. +) Xác định X= X1 ∩ X2 ∩… +) Chiếu vuông góc tập X lên trục m ,giả sử là Im *) Khi đó: +) Để hệ vô nghiệm khi m  Im +) Để hệ có nghiệm khi m € Im +) Để hệ có nghiệm duy nhất khi đường thẳng m =  giao với tập X đúng một điểm duy nhất Bài tập áp dụng: Bài1: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm 1  x 2  m  x đặt y = 1  x 2  0 khi x 2  y 2  1. đó bất phương trình tương đương với một hệ . (2).  x  y  m  0 (3). Các điẻm thỏa mãn (2) ký hiệu là X1 là tập hợp các điểm mằn nửa trên của đường tròn tam O bán kính R=1 các điểm thỏa mãn (3) ký hiệu là X2 là tập hợp các điểm nằm phía trên của đưòng thẳng x + y = m lấy với y ≥ 0 Vậy để bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi X 1  X 2  0 khi m  2 Bài2: Tìm m để bất phương trình sau đúng mọi x thuộc – 4 ≤ x ≤ 6 (4  x)(6  x)  x2 - 2x +m đặt y = (4  x)(6  x) ≥ 0 suy ra y2 = 24 + 2x – x2 Tương đương với ( x -1 )2 +y2 = 25 như vậy vế trái của bất phương trình là nửa trên của đường tròn tâm I(1,0) bán kính R = 5 , còn vế phải của bất phương trình y = x2 y nghiệm đúng – 2x + m là một pảabol có đỉnh nằm trên đường thẳng x = 1 để bài toán với mọi x thuộc – 4 ≤ x ≤ 6 thì pảa bol luôn nằm phía trên nửa đường tròn và đỉnh của pảabol tiếp xúc với đường tròn tại điểm M(1,5) tức là 5 = m0 – 1 suy ra m0 = 6 M(1,5) 11 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Nguyễn Sỹ An – Chuyên đề PT – HPT – BPT. vậy giá trị m cần tìm là m ≥ 6 x. 1. VI) Phương pháp điều kiện cần và đủ Cơ sở lý thuyết : dựa vào đặc điểm của bất phương trình ta có thể Suy ra đặc điểm của nghiệm của bất phương trình từ đó suy ra Giá trị tham số m , điều kiện đủ với m tìm được thay vào bẩt phương trình ,giá trị m thỏa mãn điều kiện của bài toán là giá trị cần tìm Bài tập áp dụng Bài toán1: Tìm m để bất phương trình có nghiệm duy nhất x 2  2m  mx 2 (1) Điều kiện cần : giả sử (1) có nghiệm là x0 thì – x0 cũng là nghiệm , do đó muốn có nghiệm duy nhất thì phải có x0 = - x0 suy ra x0= 0 thay vào (1) ta có m = 0 Điều kiện đủ : với m = 0 thay vào bất phương trình ta có ngay nghiệm duy nhất x = 0 ,vậy m = 0 là giá trị cần tìm Bài toán2: Tìm m để bất phương trình (2  x)(4  x)  x 2  2 x  m (1) nghiệm đúng với mọi x   2,4. Điều kiện cần: để bất phương trình đúng mọi x   2,4 thì x = 1 cũng là nghiệm thay vào (1) ta có m≥ 4 Điều kiện đủ : với m ≥ 4 khi đó áp dụng bất đẳng thức Cô si vế trái ta có Vế trái = (2  x)(4  x) . 2 x4 x 3 2. vế phải x2 – 2x + m = (x-1)2+ m – 1 ≥ 3 suy ra vế phải. ≤ vế trái , vậy với m ≥ 4 là giá trị cần tìm VII) Phương pháp đánh giá: Đó là các bài toán giải thông thường gặp khó khăn .nếu để ý đặc điểm của bài toán và kết hợp với mọt số bất đẳng thức cơ bản ta có thể suy ngay ra nghiệm của bài toán Bài toán áp dụng : giải bất phương trình sau Ta có điều kiện. x  x2 1  x  x2 1  2. x 2  1  0  2 x  x  1  0  x  1  2  x  x  1  0. Khi đó x  x 2  1  x  x 2  1  2 x  x 2  1 . x  x 2  1  2 trình có nghiệm khi và chỉ khi Vế trái = 2 khi và chỉ khi. vậy bát phương. x  x2 1  x  x2 1  x  1. vậy x = 1 là nghiệm của bất phương trình. 12 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Nguyễn Sỹ An – Chuyên đề PT – HPT – BPT. 13 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span>