Các quy tắc tính đạo hàm

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Hoàng Trung Các quy tắc tính đạo hàm I.. KiÕn thøc c¬ b¶n 1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp. (Ký hiệu U=U(x)) (C lµ h»ng sè) C  =0. x  =1. x  =n.x n. (kx)’=k (k lµ h»ng sè ) n-1. U  =n.U. (n  N, n  2). n. n-1. U .   U 1 (x  0) 1 1     2 (U  0)    2 U U x x  U 1 (x>0) (U  0) U  ( x ) = 2 U 2 x 2. Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U=U(x), V=V(x))..  . . U  V .  U  V.   U  U.V  U.V    V2 V. . UV .  UV  UV  1 1    2 V V. (k.U)  k.U. 3. §¹o hµm cña mét sè hµm sè lượng giác (sinx)’=cosx (sinu)’=(cosu)u’ (cosx)’=-sinx 1 u' 1 t anx   2 t anu   2 cot x    2 cos x cos u sin x 4. §¹o hµm cña hµm sè hîp: g(x) = f[U(x)]. g ' x = f 'u . U x 5. Vi phân của hàm số df(x) = f ’(x)dx hay dy = y ’ dx 6. Đạo hàm cấp cao của hàm số Đạo hàm cấp 2 : f "(x) = f(x)''. (k lµ h»ng sè). (cosu)’=(-sinu)u’ u' cot u    2 sin u. Đạo hàm cấp n : f n (x) =  f(x)n-1  ' II. Kü n¨ng c¬ b¶n Vận dụng thành thạo các công thức, quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số. Tính được đạo hàm hàm số hợp. Bài toán 1 :Viết PTTT với đồ thị ( C ) tại điểm M0(x0;y0) thuộc ( C ) @ PTTT coù daïng (d) : y – y0 = f’(x0) (x – x0) @ Tìm x0 , y0 , f’(x0) theo sơ đồ : x0  y0  f’(x0) f’(x0)  x0  y0. @Theá vaøo tìm (d) Bài toán 2 : Viết PTTT với đồ thị ( C ) đi qua điểm A(xA;yA) @ Pt dường thẳng (d) đi qua điểmA và có hệ số góc k là : (d) : y – yA = k (x – xA) @ (d) tiếp xúc với ( C ) f (x)  g(x) ( đối với hàm đa thức )  f '( x )  g '( x )   phöông trình hoành độ điểm chung của( C) và (d) có nghiệm kép (đối với hàm phân thức) . @ Giaûi heä tìm k  x0  y0  (d) Bài toán 1: Tính đạo hàm bằng công thức Tính đạo hàm của các hàm số sau (hàm đa thức,phân thức,căn thức) 1. Lop11.com. Hoàng Trung.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Hoàng Trung x 3 2 6. y  ( x 2  5) 3. 2. y  2 x 5 . 1. y  x 3  2 x  1 5. y  5 x 2 (3x  1). 9. y  ( x  1)( x  2) 2 ( x  3) 3 10. y . 3x 2  2 x  1 2x  3. 22) y  x 2 3 x 2. 2x 2  6x  5 2x y  11. 2x  4 x2 1. 14. y  x  1  x  2. 13. y  x  6 x  7 2. 17. y . 2 x2 7. y  ( x 2  1)(5  3x 2 ). 3. y  10 x 4 . 18) y = 23) y . 1/ y= x 1  x 2. 3x - 2 2 x - x+ 2. (x  2)2 (x  1)3 (x  3)4. 2/ y=. 8. y  x ( 2 x  1)(3x  2). 12. y . 5x  3 x  x 1 2. 19) y . a 3. . x2. 3/. y=. b x3 x. 2. 4/. 1 x. 2 3. 21) y  (a 3  b 3 ) 2. 20) y  3 a  bx3. 26) y  1  x. 25) y  x 2  3x  2 1 x. x 2  2x  3 2x  1. 16. y . 15. y  ( x  1) x  x  1 2. 24) y  (x 7  x)2. x (x2- x +1). 4. y  ( x 3  2)( x  1). 27) y  1. 1 x. y= (2x+3)10. x x. 5/ y= (x2+3x-2)20. x2. 6/y=. (a lµ h»ng sè) x2  a2 Tính đạo hàm của các hàm số sau (hàm lượng giác) 28) y  3 sin 2 x. sin 3x sin x  cos x sin x  cos x x 37) y - 1  cos 2 2. 33) y . 41) y = cos ( x3 ) 465) y  sin 2 (cos3x). 29) y  (1  cot x ) 2. 30) y  cos x. sin 2 x. 1  sin x x 32) y  sin 4 2  sin x 2 cos x 4 36) y    cot x 3sin3 x 3. 31) y -.  34) y  cot 3 (2x  ) 35) y  2  tan 2 x 4 1 38) y  39) y  sin(2 x  1) (1  sin 2 2 x ) 2. 42) y= 5sinx-3cosx 47) y  x sin x. 1  tan x. Tính đạo hàm của các hàm số. y. 44) y  cot 3 1  x 2. 43) y = x.cotx 48) y  sin x  x x. ax  b cx  d. sin x. y. y. áp dụng để tính nhanh đạo hàm của các hàm số sau:. 40) y = sin 4 p - 3x. 49) y  tan. x 1 2. ax 2  bx  c dx  e. 3x  4  2x  1. y. ax 2  bx  c mx 2  nx  p.  x2  x  2 2x  1. b) y  2x  x2 ;. x4. 50) y  1  2 tan x y. 1)Tính đạo hàm câp n của hàm số 1 1 1 a) y  2 b) y  c) y  d) y  sin 2 x x(1  x) x  1 x  3x  2 2) CMR mỗi hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức tương ứng đã cho a) y  x  3 ; 2y '2  (y  1)y". 45) y= sin(sinx). y. x 2  3x  4 2x 2  x  3. e) y=sinax (a laø haèng soá). y3 y" 1  0. c) y  A sin(t  )  Bcos(t  ); y" 2 y  0 (ở đó A,B, ,  là những hằng số) 3)Cho (C) là đồ thị của hàm số y  f ( x)  x 3  2 x 2  x  1 . a. Giải bất phương trình f '( x)  0 . b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M (1; 1) 4)Cho hàm số f x   x 2  3 x  1 . a. Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của hàm số trên tại x0  2 .. b. Viết phương trình tiếp tuyến của parabol f x   x 2  3 x  1 tại điểm có hoành độ bằng 2. 5)Gọi (C) là đồ thị của hàm số: y . x2  2 . Viết pttt của (C) biết nó song song với đường thẳng 3x – y – 1 = 0. x. 2. Lop11.com. Hoàng Trung.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Hoàng Trung 6) Cho hàm số y = f( x) = x4 – 2x2 + 2 có đồ thị là đường cong (C) a/ Tính f ’(2). b/ Viết phương trình tiếp tuyến d của đường cong (C) tại điểm M ( 0 ; 2). c/ Tìm x sao cho f ’(x) < 24. 7)Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = x3 - 1 trên A . b) y = 1 trên ; 2   2;   x+ 2. x2. c) y = f ( x) = x taûi x0 = 8 d) y = f( x) = - 4x + 3 taûi x0 = 1. 3 8) Cho hàm số: y = f(x) = x -3x+5 có đồ thị (C). a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm thuộc đồ thị có hoành độ x=-2. b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0;-11).8) 9)Cho y  x 4  x . Tìm phương trình tiêp tuyến của đồ thị (C) vuông góc với đường thẳng  : x+5y = 0 3. 2 9) Cho hàm số y  f x   x  2 x  3 có đồ thị là (C). x 1. a) Giải bất phương trình y’ > 2. b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng 5x – y + 12 = 0. 10) Cho hàm số f ( x)  x 3  x 2  2 (1) a) Tìm x sao cho f '( x)  0 . b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm có hoành độ x= -1. 11) Cho hàm hàm số y  1  x  x 2 . Tìm phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số trên tại điểm có hoành độ 1 x0  2 12) Tìm vi phaân cuûa haøm soá sau: a) y  x a b. b) y  (x  4x  1)(x  x ) 2. 2. 2. c) y  tan x. d) y  2. . 1 cosx. e) y  cos x2 1 x. 13) Giaûi phöông trình f’(x) = 0 bieát raèng : f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x 14) Cho y  x3  3x 2  2 . Tìm x để: a) y’> 0 b) y’< 0. 15) Cho haøm soá f(x)  1  x. Tính : f(3)  (x  3)f '(3) 16) Cho hàm số f(x) = 2x4 – 2x3 – 1 (1) a. Tìm x để f’(x) = 0 b)Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm có hoành độ xo = 2 5 17)Tính f '(1) nếu f ( x)  x  x 4  x 2  1 x2 1 g ( x )  và .Biết rằng hai hàm số này có đạo hàm trên A . x2  1 x2  1 CMR với mọi x  A , ta có f’(x)=g’(x) 19)Tìm đạo hàm các hàm số sau tại điểm x0 a) y  7  x  x 2 , x0  1 b) y  x 3  2 x  1, x0  2 20)Viết phương trình tiếp tuyến của (C ): y=x3-3x+7 a/T¹i ®iÓm A(1;5) b/ Song song víi ®­êng y=6x+1 3 21) Viết phương trình tiếp tuyến của (c ) y=x -3x2 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y= 1 x. 18)Cho hai hàm số f ( x) . 3. 22) Cho đường cong (c)): y= x  1 . Tìm toạ độ giao điểm của các tiếp tuyến của (c) với trục ox. Biết tiếp tuyến đó x3 song song víi ®­êng th¼ng y =-x+1. 1 3. 23) Cho hàm số: y= x 3  3 x 2  2 mx  1 .Tìm m để b/ y' 0 x  R d/ y' >0 x >0. a/ y' là bình phương của một nhị thức c/ y' <0 x  (0;1) 24) : Tính đạo hàm các hàm số sau. 3. Lop11.com. Hoàng Trung.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Hoàng Trung 1 a) y= x+1+ x2 c) y= tan(sinx). f) y= h) y=. 2 x 1  x 1. b) y=. sin x 1  cos x. 1. g) y= cos3x .cos2x. x  2 2. d) y= cot x  2. i) y=. sinx - cosx sinx + cosx. 1 1 1 1 1 1    cos x 2 2 2 2 2 2 25) : Định a sao cho f(x) = cos2x - a sin2 x + 2cos2x không phụ thuộc x 3 cos 5 x 2 26) a) Giải phương trình y’=0 với y= sin 5 x   sin 3 x 5 5 3 cost - tsint . Tính f’(  ) b) Cho f(t) = sint - tcost 27) a) Cho y = x cos2x . Tính đạo hàm cấp hai cuả hàm số 1 n! n b) Cho y= . Chứng minh y  = 1 x 1- x n+1. e) y= sin 32x –cos2 3x. k) y=. n 2n c) Chứng minh : y  = -1 22n.y với y = sin2x. d) Chứng tỏ hàm y = acosx+bsinx thỏa hệ thức y’’ + y = 0 28) Cho hàm số f(x)= x3 -2x2 + mx -3. Tìm m để : a) f’(x) bằng bình phương một nhị thức ; b) f '( x )  0 với mọi x ; c) f’(x) <0 với mọi x  (0; 2); d) f’(x) >0 với mọi x > 0 . 29) Cho hàm số y= x3 -3x +1 a) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm x=2; b) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 45x - y + 54=0 ; 1 c) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y= - x + 1 9 2 d) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến đi qua điểm M( ; 1 ) 3. 4. Lop11.com. Hoàng Trung.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>