tính đơn điệu của hàm số rất hay đây

Bài 2. Tính đơn điệu của hàm số
BÀI 2. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1.y=fxab⇔ƒ′x≥∀x∈abƒ′x=
∈ab
2.y=fxab⇔ƒ′x≤∀x∈abƒ′x=
∈ab
Chú ý:  !"#$%&'(1. 2.)*
+,-./0%1ƒ′x=∈ab
CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA
Bài 1. !m
( ) ( )
2
3 4 2 5 6
5
mx m x m
y
x
+ + − −
=
+
785+∞
Giải: 9*785+∞⇔
( )
2
2
2 :
 5
5
mx mx
y x

x
+ +
′
= ≤ ∀ ≥
+

⇔
( )
2 2
2 :  2 : 5mx mx m x x x
+ + ≤ ⇔ + ≤ − ∀ ≥
 ⇔
( )
2
:
5
2
u x m x
x x
−
= ≥ ∀ ≥
+

( )
5
;
x
u x m
≥
⇔ ≥

<.=
( )
( )
2 2
: 2 2
 5
 2 
x
u x x
x x
+
′
= > ∀ ≥
+

⇒ux785+∞⇒
( )
( )
5
:
; 5
6
x
m u x u
≥
−
≤ = =
Bài 2. !m
( ) ( )
6 2

5
5 6 >
6
y x m x m x
−
= + − + + −
76
Giải. 9*?76⇔
( ) ( )
( )
2
2 5 6  6y x m x m x
′
= − + − + + ≥ ∀ ∈
5
@
( )
y x
′
A7(x=B*x=675⇔y′≥∀x∈86C
⇔
( )
[ ]
2
2 5 2 6 6m x x x x+ ≥ + − ∀ ∈
⇔
( )
[ ]
2
2 6

6
2 5
x x
g x m x
x
+ −
= ≤ ∀ ∈
+

[ ]
( )
6
;<D
x
g x m
∈
⇔ ≤
<.=
( )
( )
[ ]
2
2
2 2 E
 6
2 5
x x
g x x
x
+ +

′
= > ∀ ∈
+
⇒gx786C⇒
[ ]
( ) ( )
6
52
;<D 6
:
x
m g x g
∈
≥ = =
Bài 3. !m
( ) ( )
6 2
5
5 6 2
6 6
m
y x m x m x= − − + − +
7
[
)
2+∞
5
Chương I. Hàm số – Trần Phương
Giải: 9*?
[

)
2+∞
⇔
( ) ( )
2
2 5 6 2  2y mx m x m x
′
= − − + − ≥ ∀ ≥
5
⇔
( )
2
5 2 2 3 2m x x x
 
− + ≥ − + ∀ ≥
 
⇔
( )
( )
2
2 3
2
5 2
x
g x m x
x
− +
= ≤ ∀ ≥
− +


<.=
( )
( )
2
2 2
2 3 6

 2 6
x x
g x
x x
− +
′
= =
− +
5
2
6 3
6 3
x x
x x

= = −
⇔

= = +


F
( )

A 
x
g x
→∞
=

GHH⇒
( )
( )
2
2
;<D 2
6
x
g x g m
≥
= = ≤

Bài 4.
( )
( ) ( )
6 2 2
2 : : 2 5 2 6y x mx m m x m m= − − − + + − −

[
)
2+∞
Giải: 9*?7
[
)

2+∞
( )
2 2
6 2 2 : :  2y x mx m m x
′
⇔ = − − − + ≥ ∀ ≥
<.
( )
2
: 6 6m m
′
= − +V
(
)
2
6 6
: 
2 >
m
 
= − + >
 
 
7
y
′
=
.21
5 2
x x<

HIgx≥. 01JA*=
<.
( )
y x
′
≥
K
2x∀ ≥
⇔
[
)
2 G+∞ ⊂

( )
( )
2
5 2

4
5
4
2
2 6 2 6 2 6 4  5
2
3
2
2 6
m
x x y m m m
S m

m
′
∆ >


− ≤ ≤


′
⇔ < ≤ ⇔ = − + + ≥ ⇔ ⇔ − ≤ ≤




<
= <


Bài 5. !m
( )
2
2 5 5x m x m
y
x m
+ − + +
=
−
7
( )
5+∞

Giải: 9*7
( )
5+∞
⇔
( )
2 2
2
2 > 2 5
 5
x mx m m
y x
x m
− + − −
′
= ≥ ∀ >
−
⇔
( )
( )
2 2
 5
2 > 2 5  5
5

g x x
g x x mx m m x
m
x m



≥ ∀ >
= − + − − ≥ ∀ >
 
⇔
 
≤
− ≠
 


Cách 1:Phương pháp tam thức bậc 2
<.=
( )
2
2 5 m
′
∆ = + ≥
,<g
x
=.21
5 2
x x≤

HIgx≥. 01JA*=
<.gx≥K∀x∈5+∞⇔
( )
5 G+∞ ⊂

( )
( )

2
5 2
5
5 
5 2 5 2 3 5  6 2 2
6 2 2
6 2 2
2 5
2
m
m
x x g m m m
m
S
m
′
≤
≤ ∆ ≥





⇔ ≤ ≤ ⇔ = − + ≥ ⇔ ⇔ ≤ −
≤ −






≥ +
= − ≤



2
5
x
2
x
5
x
2
x
x2 LM N
Bài 2. Tính đơn điệu của hàm số
Cách 2:Phương pháp hàm số
<.=g′
x
=>
x
−m≥>
x
−5O∀
x
O5⇒gx785+∞
@.
( )
( )
( )

2
5
5 3 5 
6 2 2
; 
5 6 2 2
6 2 2
5
5
5
x
g m m
m
g x
m
m
m
m
m
≥



= − + ≥
≤ −

≥
  

⇔ ⇔ ⇔ ≤ −

⇔
  
≥ +

≤
  

≤
≤


Bài 6. !m
( ) ( )
2
> 4  2 6 6 5y m x m x m m= − + − + − +
P
x∀ ∈¡
Giải:Q7R*)
( )
4 >  2 6 y m x m x
′
⇔ = − + − ≤ ∀ ∈¡
( ) ( )
[ ]
4 > 2 6  5F5g u m u m u⇔ = − + − ≤ ∀ ∈ −
@
( )
[ ]
 5F5y g u u= ∈ −
A*

S7,
( )
( )
5 3 E 
>
5
6
5 2 2 
g m
m
g m
 − = − ≤

⇔ ⇔ ≤ ≤

= − + ≤


Bài 7. !m*
5 5
  2  6
> T
y mx x x x= + + +
?BUV
x ∈¡
Giải: Q7R*)
5 5
  2 6 
2 6
y m x x x x

′
⇔ = + + + ≥ ∀ ∈¡
⇔
( ) ( )
2 6
5 5
 2 5 > 6 
2 6
m x x x x x+ + − + − ≥ ∀ ∈¡
( )
[ ]
6 2
> 5
 55
6 2
m u u g u u⇔ ≥ − − + = ∀ ∈ −
BU
[ ]
 55u x= ∈ −
<.
( ) ( )
2
5
> 2 2 2 5  F 
2
g u u u u u u u
′
= − − = − + = ⇔ = − =
WX"HH,<,7R*)⇔
[ ]

( )
( )
55
4
;<D 5
3
x
g u g m
∈ −
= − = ≤

Bài 8. N*
( ) ( ) ( )
6 2
5
5 2 5 6 2
6
y m x m x m x m= + + − − + +

!m%PY<*.'*Z>
Giải. [\ 
( ) ( ) ( )
2
5 2 2 5 6 2 y m x m x m
′
= + + − − + =
  @ 
2
: 6 m m
′

∆ = + + >

7 
y
′
=
 .21 
5 2
x x<
]PY<*.'*
Z>
[ ]
5 2 2 5
F F F >y x x x x x
′
⇔ ≤ ∀ ∈ − =

5 m⇔ + >
B*
2 5
>x x− =
<.
2 5
>x x− = ⇔
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2 2

2 5 2 5 2 5
2
> 2 5 > 6 2
53 >
5
5
m m
x x x x x x
m
m
− +
= − = + − = +
+
+
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
> 5 2 5 6 2 5m m m m⇔ + = − + + +
2
: 35
6 : 5 
3
m m m
±
⇔ − − = ⇔ =
%^"BU
5 m + >
,<
: 35
3
m

+
=
6
Chương I. Hàm số – Trần Phương
B. ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
I. DẠNG 1: ỨNG DỤNG TRONG PT, BPT, HỆ PT, HỆ BPT
Bài 1. JP" !=
4 6
5 6 > x x x+ − − + =

Giải. _0%1=
5
6
x ≤
_`
( )
4 6
5 6 > f x x x x= + − − + =

<.=
( )
> 2
6
4 6 
2 5 6
f x x x
x
′
= + + >
−

⇒f
x
7
(
5

6

−∞



;`%)f −5=7" !f
x
=.1',a
x
=−5
Bài 2. JP" !=
2 2
54 6 2 Ex x x+ = − + +

Giải. Ha" !⇔
( )
2 2
6 2 E 54f x x x x= − + + − +
=5
Mb
2
6
x ≤

!f
x
c⇒5B$1
Mb
2
6
x >
!
( )
2 2
5 5 2
6 
6
E 54
f x x x
x x
 
′
= + − > ∀ >
 ÷
+ +
 
⇒f
x
7
(
)
2

6

+∞
*f 5=75.K51
x
=5
Bài 3. JPa" !=
6 4
>
5 4 : : 4 56 : Ex x x x+ + − + − + − <
d
Giải. _0%1
4
:
x ≥
_`
( )
6 4
>
5 4 : : 4 56 :f x x x x x= + + − + − + −
<.=
( )
( ) ( )
2 6 >
4
6
>
4 : 56
5

2 5
4 56 :

6 4 : > : 4
f x
x
x
x x
′
= + + + >
+
× −
× − × −
⇒f
x
7
)
4

:

+∞


;*f6=E7d⇔f
x
cf6⇔
x
c6
eX,1Y<a" !fA*
4
6
:

x≤ <
Bài 4. JPI=
6 2
5 5 5
4 > 6 2 2 4 : 5:
2 6 3
x x x x
x x x
x x x+ + + = + + − + − +
d
Giải. d
( )
(
)
( ) ( )
( )
6 2
5 5 5
4 > 6 2 2 4 : 5:
2 6 3
x x x
x x x x
f x x x x g x
⇔ = + + + − − − = − + − + =
<.fxB*g′x=−3x
2
+5x−:c∀x⇒gx
b1Y<fx=gxA**<Y<
( ) ( )
B*y f x y g x= =


@fx?FgxPB*
( ) ( )
5 5 56f g= =
7d.1',a
x
=5
>
Bài 2. Tính đơn điệu của hàm số
Bài 5. !m;<D
( )
  5  2   2m x x x x x x
+ + ≤ + + + ∀
d
Giải. _` 
( )
2
2
     5  2t x x t x x x= + ≥ ⇒ = + = +
 ⇒
2
5 2t≤ ≤

⇒
5 2t≤ ≤
%.d⇔
( )
2
5 5 5 2m t t t t
 

+ ≤ + + ∀ ∈
 

⇔
( )
2
5
5 2
5
t t
f t m t
t
+ +
 
= ≥ ∀ ∈
 
+
⇔
( )
5 2
;
t
f t m
 
∈
 
≥
@
( )
( )

2
2
2

5
t t
f t
t
+
′
= >
+

7ft
5 2
 
 
⇒
( )
( )
5 2
6
; 5
2
t
f t f
 
∈
 
= =

⇒
6
2
m ≤
⇒
6
;<D
2
m =
Bài 6. JP" !
2 2
 
2E 2E  2
x x
x− =
2 2 2 2
  2 2  2  2
2E 2E   2E  2E 
x x x x
x x x x− = − ⇔ + = +
d
[\
( )
2E
u
f u u= +
<.
( )
2E A 5 
u

f u u
′
= + >
g,<
( )
f u

d
( ) ( )
2 2 2 2
     2 f x f x x x x⇔ = ⇔ = ⇔ =


> 2
k
x k
π π
⇔ = + ∈¢
Bài 7. !
( )
 x y ∈ π
/<f1
   
6 4 2
x y x y
x y
− = −


+ = π


Giải. 
       x y x y x x y y− = − ⇔ − = −

[\*`
( )
( )
   f u u u u= − ∈ π
<.
( )
2
5
5 

f u
u
′
= + >

g,<
( )
f u
7
( )
π
].
( )
( )
>
6 4 2

f x f y
x y
x y
 =
π
⇔ = =

+ = π

Bài 8. JP1" !
6 2
6 2
6 2
2 5
2 5
2 5
x y y y
y z z z
z x x x

+ = + +

+ = + +


+ = + +

d
Giải. [\
( )

6 2
f t t t t= + +
BU
t ∈¡
⇒
( ) ( )
2
2
2 5 f t t t
′
= + + >
⇒ft?
]$ah#+)P&
x
≤y≤z
⇒
( )
( )
( )
f x f y f z≤ ≤
⇒
2 5 2 5 2 5z x y z x y+ ≤ + ≤ + ⇔ ≤ ≤
⇒
x
=y=z=±5
Bài 9. JP1a" !
2
6
6 2 5 
6 5 

x x
x x

+ − <


− + >


Giải.
2
5
6 2 5  5
6
x x x+ − < ⇔ − < <
_`
( )
6
6 5f x x x= − +
<.=
( ) ( ) ( )
6 5 5 f x x x
′
= − + <
⇒
( )
f x
PB*
( )
(

)
(
)
5 5 5
 5
6 2: 6
f x f x> = > ∀ ∈ −
4
Chương I. Hàm số – Trần Phương
II. DẠNG 2: ỨNG DỤNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1.
NiZ=
6 6 4

6j 6j 4j
x x x
x x x− < < − +
∀xO
Giải 
6

6j
x
x x− <
∀xO⇔
( )
6
 
6j
x

f x x x= − + >
∀xO
<.
( )
2
5 
2j
x
f x x
′
= − +
⇒
( )
f x x x
′′
= −
⇒
( )
5  f x x
′′′
= − ≥
∀xO
⇒
( )
f x
′′
8M∞⇒
( ) ( )
 f x f
′′ ′′

> =
∀xO
⇒
( )
f x
′
8M∞⇒
( ) ( )
f x f
′ ′
>
k∀xO
⇒
( )
f x
8M∞⇒fxOfk∀xO⇒"

6 4

6j 4j
x x
x x< − +
∀xO⇔gxk
4 6
 
4j 6j
x x
x x− + − >
∀xO
<.g′xk

> 2
5 
>j 2j
x x
x− + −
⇒g′′xk
6

6j
x
x x− +
kfxO∀xO
⇒g′x8M∞⇒g′xOg′k∀xO
⇒gx8M∞⇒gxOgk∀xO⇒"
Bài 2.NiZ=
2
 
2
x
x x
π
 
> ∀ ∈
 ÷
π
 
Giải.
2  2
  
x x

x f x
x
> ⇔ = >
π π
∀x∈

2
π
 
 ÷
 
[\i*
2 2
 
 
 
g x
x x x
f x
x x
−
′
= =
lm,%h1gxkxx−x
<.g′xkx−xx−xk−xxc∀x∈

2
π
 
 ÷

 

⇒gxP7

2
π
 
 ÷
 
⇒gxcgk
⇒
( )
2
 

g x
f x
x
′
= <
∀x∈

2
π
 
 ÷
 
⇒f xP7

2

π
 
 ÷
 

3
Bài 2. Tính đơn điệu của hàm số
⇒
( )
(
)
2
2
f x f
π
> =
π
⇔
2
  
2
x
x x
π
 
> ∀ ∈
 ÷
π
 
Bài 3.NiZ=

2 A A
x y x y
x y
+ −
>
−
∀xOyO
Giải. @xOyOAxOAy⇔Ax−AyO7#aSi
⇔
5
A A 2 A 2
5
x
x y yx
x y
x
x y y
y
−
−
− > × ⇔ > ×
+
+
⇔
5
A 2
5
t
t
t

−
> ×
+
BU
x
t
y
=
O5
⇔
5
  A 2 
5
t
f t t
t
−
= − × >
+
∀tO5<.
( )
( )
( )
( )
2
2 2
5 > 5

5 5
t

f t
t
t t t
−
′
= − = >
+ +
∀tO5
⇒ft85M∞⇒ftOf5k∀tO5⇒"
Bài 4.NiZ=
5
A A >
5 5
y x
y x y x
 
− >
 ÷
− − −
 

( )
 5x y
x y

∀ ∈


≠



5
Giải. [\<%P?<m,=
MbyOx!5⇔
( )
A A >
5 5
y
x
y x
y x
− > −
− −
⇔
A > A >
5 5
y x
y x
y x
− > −
− −
Mbycx!5⇔
( )
A A >
5 5
y
x
y x
y x
− < −

− −
⇔
A > A >
5 5
y x
y x
y x
− < −
− −
[\*`ftk
A >
5
t
t
t
−
−
BUt∈5
<.
( )
( )
2
5 2 5
> 
5  5 
t
f t
t t t t
−
′

= − = >
− −
∀t∈5⇒ft5
⇒fyOfxyOxB*fycfxycx ⇒"
Bài 5.NiZ=
b a
a b<
∀aOb≥n
Giải. a
b
cb
a
⇔Aa
b
cAb
a
⇔bAacaAb⇔
A Aa b
a b
<

[\*`fxk
A x
x
∀x≥n
<.
2 2
5 A 5 A
  
x e

f x
x x
− −
′
= ≤ =
⇒fx8nM∞
:
Chương I. Hàm số – Trần Phương
⇒facfb⇔
A Aa b
a b
<
⇔a
b
cb
a

Bài 6. (Đề TSĐH khối D, 2007)
NiZ
( ) ( )
5 5
2 2  
2 2
b a
a b
a b
a b+ ≤ + ∀ ≥ >
Giải. H#aSi
( ) ( )
5 5 5 > 5 >

2 2
2 2 2 2
b a
b a
a b
a b
a b a b
   
+ +
+ ≤ + ⇔ ≤
 ÷  ÷
   
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
A 5 > A 5 >
5 > 5 > A 5 > A 5 >
a b
b a b a
a b a b
a b
+ +
⇔ + ≤ + ⇔ + ≤ + ⇔ ≤

[\*`<B
( )
( )
A 5 >
x
f x
x

+
=
BU
x >
<.
( )
( ) ( )
( )
2
> A > 5 > A 5 >

5 >
x x x x
x
f x
x
− + +
′
= <
+
( )
f x⇒
P7
( )
( ) ( )
 f a f b+∞ ⇒ ≤
Bài 7. (Bất đẳng thức Nesbitt)
NiZ=
6
2

a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
∀abO5
Giải. ]$ah#+)P&a≥b≥_`xka⇒x≥b≥O
<.5⇔f xk
x b c
b c c x x b
+ +
+ + +
BUx≥b≥O
⇒
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
5 5
  
b c b c
f x
b c b c
x c x b b c b c
′
= − − > − − =
+ +
+ + + +

⇒fx8bM∞⇒
2
   
b c

f x f b
b c
+
≥ =
+
2
_`xkb⇒x≥OD\*gxk
2x c
x c
+
+
BUx≥O
⇒
( )
2
  
c
g x
x c
′
= >
+
∀O⇒gx8M∞⇒
6
   
2
g x g c
≥ =
6
G26,<

6
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
∀abO
Bình luận:HaSiNesbitt<?1905B*A*aSia
#%o27m,A*)iaSi
E
Bài 2. Tính đơn điệu của hàm số
*, 45 )iHV.Dn<%PR,Y)
)i)= “Những viên kim cương trong bất đẳng
thức Toán học”Y<)P'NXB Tri thức")*)3/2009
T