Chuyên đề Thể tích khối chóp

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đê 11. THỂ TÍCH KHỐÍ CHỐP I. Tóm tắt lí thuyết 1 Công thức thể tích khối chóp: V  B.h 3.  B: diện tích đáy  h: độ dài chiều cao II. Bài tập Dạng 1. CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY. Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy và SB = 2a. Tính thể tích khối chóp S.ABC. Bài giải. 1 Ta có: VS . ABC  SA.SABC 3. a2 3 SABC  4 SA2  SB 2  AB 2  4a2  a2  3a2  SA  a 3. Bài 2. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Biết AB = 3a, AC = 5a, SAC vuông cân. Tính thể tích khối chóp. Bài giải Ba Huy Lop12.net. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 1 Ta có: VS . ABC  SA.SABC 3 +) Tính SABC. BC 2  AC 2  AB 2  25a2  9a2  16a2 BC = 4a 1 1  SABC  AB.BC  3a.4a  6a2 2 2 +) Tính SA SA = AC = 5a. Tam giác SAC vuông cân 1 Vậy, VS . ABC  5a.6a2  10a3 3 Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ̂ . Cho SA vuông góc với đáy và SC = 2a. Tính thể tích hình chóp S.ABCD. Bài giải. 1 Ta có: VS . ABCD  SA.SABCD 3 +) Tính SABCD D. A. C 60. 0. B. Do ̂. nên ̂.  SABCD  2SABD. a2 3 a2 3  2.  4 2. ABD đều.. +) Tính SA Ba Huy Lop12.net. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> a 3 a 3 2 SA2  SC 2  AC 2  4a2  3a2  a2  SA  a 1 a2 3 a 3 3 Vậy, VS . ABCD  a.  3 2 6 Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang cân (AB//CD) với AC = 20cm, BC = 15cm, AB = 25cm. Cho SA vuông góc với đáy và SA = 8cm. Tính thể tích của khối chóp. AC  2. Bài giải. 1 Thể tích khối chóp: VS . ABCD  SA.SABCD 3 Chỉ cần tính SABCD .. Ta có: AB2 = 625 20 15 AC2 + BC2 = 400 + 225 = 625 AC2 + BC2 = AB2 25 Tam giác ABC vuông tại C. A B H Gọi CH là đường cao trong ABC. AC.BC 20.15 Từ CH . AB  AC.BC  CH    12 (cm) AB 25 BC 2 225 2 HB. AB  BC  HB    9 (cm) AB 25 Do hình thang ABCD cân nên CD = AB – 2HB = 25 – 2.9 = 7 (cm) ( AB  CD)CH (25  7)12 SABCD    192 cm2 2 2 1 Vậy, VS . ABCD  .8.192  512cm3 3 Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Mặt bên. D. C. Ba Huy Lop12.net. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> SBC là tam giác đều cạnh a. Cho ̂ = 1200. Tính thể tích khối chóp. Bài giải. 1 Thể tích khối chóp: VS . ABC  SA.SABC 3 +) Tính SABC. S a. A M B. Gọi M là trung điểm của BC. Do tam giác SBC đều nên SM  BC . C Ta có:  BC  SM  BC  (SAM )   BC  SA.  BC  AM . Tam giác ABC có AM vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên nó cân tại A. Do góc BAC bằng 1200 nên góc MAB bằng 600. Ta có: A MB a AM   600 tan MAB 2 3 2 1 1 a a a M B S  AM .BC  . .a  ABC 2 2 2 3 4 3 2 +) Tính SA SM . a 3 2. 3a2 a2 2a2 a 2 SA  SM  AM     SA  4 12 3 3 2. 2. 2. 1 a 2 a2 a3 2 Vậy, VS . ABC  .  3 3 4 3 36 Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy, SC = Ba Huy Lop12.net. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> a√ . Tính thể tích khối chóp S.ABCD Bài giải. Do hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD) nên giao tuyến của chúng cũng vuông góc với (ABCD). Ta có D SA  (SAB)  (SAD)  SA  ( ABCD). S. A B. C. 1 VS . ABCD  SA.SABCD 3. +) +) 1 2 a3 Vậy, VS . ABCD  a.a  3 3 Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với đáy và SC = 2a. Tính VS.ABCD. Bài 8. Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA bằng a, đáy là tam giác vuông cân có AB = BC = a. Gọi B’ là trung điểm của SB, C’ là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC. a. Tính thể tích khối chóp S.ABC. b. Chứng minh SC vuông góc với (AB’C’). c. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’. Bài 9. Cho hình chóp tam giác O.ABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = 2a, OC = 3a. a. Tính VO.ABC và đường cao OH. b. Tính diện tích tam giác ABC. Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân (AB//CD), AB = 4a, DC = 8a và ̂ = 600. Cho (SD) (ABCD). Tính VS.ABCD.. Dạng 2. CẠNH BÊN KHÔNG VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY Ba Huy Lop12.net. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> ) Đáy là đa giác đều Khối chóp đều   ) Chân đườngcaotrùng với tâm của đáy. a2 3  Diện tích tam giác đều cạnh a: S  4  Diện tích hình vuông cạnh a: S  a2 Bài 11. Cho hình chóp đều tam giác S.ABC với tam giác ABC có tâm là O và cạnh bằng a, SO = 2a. Tính thể tích khối chóp S.ABC. Bài giải. Do S.ABC đều nên SO là đường cao. 1  VS . ABC  SO.SABC 3 Ta có:. a2 3 SABC  4 Thể tích khối chóp:. Bài 12.. 1 1 a 2 3 a3 3 V  SO.SABC  .2a.  3 3 4 6 Cho khối chóp đều tứ giác S.ABCD có cạnh đáy bằng a và. cạnh bên bằng a 3 . Tính thể tích khối chóp đó. Bài giải. Ta có: SABCD = a2 Gọi O là tâm của đáy ABCD thì SO  ( ABCD) . Do đó 1 VS . ABCD  SO.SABCD 3 Ta có: SABCD = a2 Ba Huy Lop12.net. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> +) Tính SO Ta có: AC = √ √. √ √. 1 a 5 2 a3 5 .a  Vậy, VS . ABCD  3 2 3 2 Bài 13. Tính thể tích của khối tứ diện đều SABC cạnh a. Bài giải. Gọi O là tâm của mặt phẳng (ABC) thì SO là đường cao của hình chóp. 1  VS . ABC  SO.SABC 3. S.  A. C O B. M. . a2 3 SABC  4 SO2  SM 2  OM 2 2. a 3  1 a 3    .   2  3 2     . 2. 8 3a2 2a2 a 2  .   SO  9 4 3 3 Vậy thể tích khối chóp cần tìm là: 1 a 2 a2 3 a 3 2 VS . ABC  . .  3 3 4 12 Bài 14. Cho hình chóp đều tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên hợp với đáy góc 600. Tính VS.ABC . Ba Huy Lop12.net. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Bài giải. Gọi O là tâm của đáy. Khi đó SO  (ABC) . Suy ra:. S. 1 VS . ABC  SO.SABC 3 A.  SA,( ABC )  (SA, AO)  SAO. 600. C O.  SAO  600. M. SABC. . B. a2 3  4. 2 a 3  SO  AO.tan 600  . . 3a 3 2. 1 a2 3 a 3 3 Vậy VS . ABC  a.  3 4 12 Bài 15. Cho hình chóp đều tứ giác S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Cạnh bên hợp với đáy một góc 450 . Tính Tính VS.ABCD . Bài 16. Tính thể tích khối chóp đều tứ giác S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc ̂ 600. Bài giải. S. Gọi O là tâm của đáy thì SO  ( ABC ) . 1  VS . ABC  SO.SABC 3. A O B. a2 3 +) SABC  4 +) Tính SO C Do tam giác SAB cân và có góc bằng 600 nên là tam giác đều. SA = AB = a. Ba Huy Lop12.net. 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 2.  2 a 3  2a2 a 2 2 2 2 2 SO  SA  AO  a     SO   3 2  3 3   1 a 2 a2 3 a 3 2 Vậy, VS . ABC  . .  3 3 4 12 Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, AB = 6a, BC = 8a. Các cạnh bên bằng nhau và bằng 13a . Tính VS.ABCD . Bài giải S. A B. O. C. Gọi O là chân đường cao hạ từ S lên mặt đáy (ABCD). Khi đó OA, OB, OC, OD lần lượt là các hình chiếu của các cạnh bên SA, SB, SC, SD lên mặt đáy. D Do các cạnh bên bằng nhau nên: OA = OB = OC = OD O là tâm của đường tròn. ngoại tiếp mặt đáy. Vì mặt đáy là hình chữ nhật nên O là giao của 2 đường chéo AC và BD. 1 VS . ABCD  SO.SABCD 3  SABCD  AB.BC  6a.8a  48a2  AC2 = AB2 + BC2 = 36a2 + 48a2 = 84a2 AC = 2a√ AO = a√ SO2 = SA2 – AO2 = 169a2 – 21a2 = 148a2 SO = 2a√ 1 Vậy VS . ABCD  .2a 37.48a2  32a3 37 3 Bài 18. Cho hình chóp đều tứ giác S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, các cạnh bên tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp Ba Huy Lop12.net. 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> S.ABCD Bài giải. Gọi O là chân đường cao hạ từ đỉnh S lên (ABCD). Khi đó các góc. S. OAS, OBS, OCS, ODS lần lượt là các góc hợp bởi giữa các cạnh bên SA, SB, SC, SD với đáy. Theo giả D thiết suy ra:. A O. B. Ta có: OA . OAS  OBS  OCS  ODS  600. C. SO. ,..., OD . SO. tan OAS tan ODS O là tâm của hình vuông ABCD. 1  VS . ABCD  SO.SABCD 3  SABCD  a2  SO  OA.tan OAS . OA = … = OD. a 2 a 6 .tan 600  2 2. 1 a 6 2 a3 6 Vậy, VS . ABCD  . .a  3 2 6 Bài 19. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a. Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABC. Bài 20. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. ABC là tam giác vuông tại B, AB = √ , AC = 2a. Góc giữa hai mp (SBC) và (ABC) bằng 600. Gọi M là trung điểm của AC. Tính VS.BCM và khoảng cách từ M đến (SBC). Bài 21. Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a , CA = 7a. Các mặt bên (SAB), (SBC) và (SCA) tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp đó. Ba Huy Lop12.net. 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Dạng 3. TỈ SỐ THỂ TÍCH Bài 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng (ADM) cắt SB tại N. Tính tỷ số thể tích của hai khối chóp S.ADMN và S.ABCD. Bài 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC. Mặt phẳng (ADG) cắt SB tại N và cắt SC tại M. Tính tỷ số thể tích của hai khối chóp S.ADMN và S.ABCD. Bài 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M là trung điểm của cạnh SC. Mặt phẳng (P) qua AM và song song với BD cắt SB tại B’ và cắt SD tại D’ . Tính tỷ số của hai khối chóp S.AB’MD’ và S.ABCD. Bài 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. I là trung điểm của SO. Mặt phẳng (Q) qua AI và song song với BD cắt SB tại B’, cắt SC tại C’ và cắt SD tại D’ . Tính tỷ số của hai khối chóp S.AB’C’D’ và S.ABCD. Bài 26. Cho điểm M trên cạnh SA, điểm N trên cạnh SB của khối chóp tam giác S.ABC sao. . Mặt phẳng (P) qua MN. và song song với SC chia khối chóp thành hai phần. Tìm tỷ số thể tích của hai phần đó. CÁC BÀI TOÁN THI TỪ NĂM 2006 ĐẾN NAY (ĐH – Khối B – 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a , SA = a và SA vuông góc với mặt phẳ ọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB. (ĐH – Khối D – 2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng Ba Huy Lop12.net. 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM. (ĐH – Khối A – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP. (ĐH – Khối B – 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. (ĐH – Khối D – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, BA = BC = a, ̂ ̂ , AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳ (ĐH – Khối A - 2008) Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = 3a và hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A'.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA', B'C'. (ĐH – Khối B – 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = 3a và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN. (ĐH – Khối D – 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA' = 2a. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C. Ba Huy Lop12.net. 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> (CĐ – Khối A, B, D – 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, ̂ ̂ , AB = BC = a, AD = 2a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD. Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo a. (TNTHPT - 2009) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc ̂ = 1200, tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a. (TNBT - 2009) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a và AC = a√ ; cạnh bên vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a√ . Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a. (ĐH – Khối A - 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. (ĐH – Khối B - 2009) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’ = a. Góc giữa đường thẳng BB’ và mp(ABC) bằng 600. Tam giác ABC vuông tại C và ̂ = 600 . Hình chiếu vuông góc của B’ lên mp(ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’.ABC . (ĐH – Khối D - 2009) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA' = 2a, A’C = 3a. M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM và A’C . Tính thể tích khối tứ diện IABC theo a và khoảng cách từ A đến mp(IBC). (CĐ – Khối A, B, D - 2009) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, AB = a, SA = a√ . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB và CD. Chứng minh rằng MN vuông góc với SP. Tính thể tích khối tứ diện AMNB theo a. (TNTHPT 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng 600. Tính thể tích khối chóp Ba Huy Lop12.net. 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> S.ABCD theo a. (ĐH – Khối A 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a√ . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a. (ĐH – Khối B 2010) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a. (ĐH – Khối D 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH =. . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng. minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a. (CĐ – Khối A, B, D 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = SB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 450. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.. Ba Huy Lop12.net. 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span>