Chuyên đề Tích phân (Lê Minh Đạt)

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013. CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN Bảng công thức tích phân bất định :.  0dx  C n  x dx .  dx  x  C. x n 1 C n 1. 1.  x dx  ln x  C. n  1. ax  a dx  ln a C  cos xdx  sin x  C.  e dx  e  C  sin xdx   cos x  C x. x. x. 1.  cos. 2. x. 1.  sin. dx  tan x  C. 2. x. dx   cot x  C. u( x).  u ( x) dx  ln u ( x)  C . x 2  a dx . x a x 2  a  ln x  x 2  a  C 2 2. x. 2. 1 1 xa dx  ln C 2 2a x  a a. Phương pháp biến số phụ : Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn a; b có nguyên hàm là F (x) . Giả sử u (x) là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn  ,   và có miền giá trị là a; b thì ta có :.  f u ( x).u ' ( x)dx  F ( x)u ( x)  C BÀI TẬP. Tính các tích phân sau : 1. a) I1   0. xdx x2  1. 1. e. e x dx ex  1 0. b) I 2  . c) I 3   1. 1  ln x dx x. Bài làm : a) Đặt t  x 2  1  dt  2 xdx  xdx . dt 2. x  0  t  1 x  1  t  2. Đổi cận : . BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Lop12.net. Trang 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013 2. 2. 2. xdx 1 dt 1 1 Vậy : I1   2    ln t  ln 2 x 1 2 1 t 2 2 1 1. b) Đặt t  e x  1  dt  e x dx x  1  t  e  1. Đổi cận : . 2 x  2  t  e  1 1. e x dx Vậy : I 2   x  e 1 0. e 2 1. . e1. e 2 1. dt  ln t  ln(e  1) t e1 1 x. c) Đặt t  1  ln x  tdt  dx x  1  t  1 x  e  t  2. Đổi cận :  e. I3   1. 3 2. 1  ln x dx 2 2   t dt  t 2  (2 2  1) x 3 1 3 1 2. Tích phân lượng giác : . Dạng 1 : I   sin mx. cos nxdx . Cách làm: biến đổi tích sang tổng . . Dạng 2 : I   sin m x. cos n x.dx . Cách làm : Nếu m, n chẵn . Đặt t  tan x Nếu m chẵn n lẻ . Đặt t  sin x (trường hợp còn lại thì ngược lại) . Dạng 3 : I   . dx a. sin x  b. cos x  c. Cách làm : 2t  sin x   x 1 t2 Đặt : t  tan   2 2 cos x  1  t  1 t2  a. sin x  b. cos x .dx Dạng 4 : I    c. sin x  d . cos x. Cách làm : Đặt :. a. sin x  b. cos x B (c. cos x  d . sin x)  A c. sin x  d . cos x c. sin x  d . cos x. Sau đó dùng đồng nhất thức .. BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Lop12.net. Trang 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013 . Dạng 5: I   . a. sin x  b. cos x  m .dx c. sin x  d . cos x  n. Cách làm : Đặt :. a. sin x  b. cos x  m B (c. cos x  d . sin x) C  A  c. sin x  d . cos x  n c. sin x  d . cos x  n c. sin x  d . cos x  n. Sau đó dùng đồng nhất thức. BÀI TẬP Tính tích phân : . . 2. 2. cos xdx (sin x  1) 4 0. a) I1  .  4. b) I 2   cos 5 xdx. c) I 3   tan 6 xdx. 0. 0. Bài làm : a) Đặt : t  sin x  1  dt  cos xdx x  0  t  1 Đổi cận :    x  2  t  2  2. 2. cos xdx dt 1  4  3 Vậy : I 1   4 3t 0 (sin x  1) 1 t. 2.  1. 7 24. b) Đặt : t  sin x  dt  cos xdx x  0  t  0 Đổi cận :    x  2  t  1 . Vậy :. 2. 1. 0. 0. . . 1. . . I 2   cos 5 xdx   1  t 2 dt   1  t 4  2t 2 dt 2. 0. 1.  t5 2 3  8     t  t   5 3  0 15 0 1. c) Đặt : t  tan x  dt  (tan 2 x  1)dx x  0  t  0 Đổi cận :    x  4  t  1. BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Lop12.net. Trang 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013 . t 6 dt 1     t 4  t 2 1 2 dt 2 t 1 0 t 1 0. 1. 4. 1. I 3   tan 6 xdx   0. Vậy :. 1. . 4 t  t 13      t    du   15 4 5 3 0 0 5. 3. Tính các tích phân sau : .  2. a) I1   0. 3. sin x. cos x a .sin x  b . cos x 2. 2. 2. 2. b) I 2  . dx. 0. cos x 2  cos 2 x. dx. Bài làm : a) Đặt : t  a 2 .sin 2 x  b 2 . cos 2 x  dt  2(b 2  a 2 ) sin x. cos xdx x  0  t  a 2 Đổi cận :   2 x   t  b 2  Nếu a  b  2. Vậy :. sin x. cos x. 1 dx  2 2 b  a2 a 2 . sin x  b 2 . cos x. I1   0. . 1 t 2 b  a2. b. 2.  a2. . ab b a 2. 2. . b2. . a2. dt t. 1 ab. Nếu a  b . I1 . . 2. sin x. cos x. . a 2 . sin 2 x  b 2 . cos 2 x. 0. Vậy :. . . 2. sin x. cos xdx a 0. dx   . 2. 2 1 1 1 sin 2 xdx   cos 2 x   2a 0 4a 2a 0. b) Đặt : t  sin x  dt  cos xdx x  0  t  0 Đổi cận :   3 x   t  3 2 . BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Lop12.net. Trang 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013  3. cos x. Vậy : I 2  . 2  cos 2 x. 0. dx . 3 2.  0. dt 3  2t 2. . 1 2. 3 2. dt. . 3 2 t 2. 0. 3 3 cos u  dt   sin udu 2 2   t  0  u  2 Đổi cận :  t  3  u    2 4 3  3 sin udu 2 2 1 dt 1 2 I2     2 0 3 2 2 3  t 1  cos 2 u  4 2 2. Đặt : t . Vậy :. . . . 1. 2. 4.  du  2. 1 2. 4. . u .  4 2. 4. Tính các tích phân sau : . . 2. a) I 1   0. 1 dx 4 sin x  3 cos x  5. 2. b) I 2   0. sin x  7 cos x  6 dx 4 sin x  3 cos x  5. Bài làm : x  2dt   dt   tan 2  1dx  dx  2 2  t 1  x  0  t  0 Đổi cận :    x  2  t  1 2 1 1 dt 1 t2 I1   dt  2 2  2t 1 t 0 0 t  1 4 3 5 Vậy : 1 t2 1 t2. a) Đặt : t  tan. x 2. 1. 1 1   t2 0 6 sin x  7 cos x  6 4 cos x  3 sin x C  A B  4 sin x  3 cos x  5 4 sin x  3 cos x  5 4 sin x  3 cos x  5 Dùng đồng nhất thức ta được: A  1 , B  1 , C  1. b)Đặt :. BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Lop12.net. Trang 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013 . Vậy :. I2 . . 2 sin x  7 cos x  6 4 cos x  3 sin x 1   dx  0 4 sin x  3 cos x  5 0 1  4 sin x  3 cos x  5  4 sin x  3 cos x  5 dx 2. .  x  ln 4 sin x  3 cos x  5  02  I1 .  2.  ln. 9 1  8 6. Bạn đọc tự làm : . . 2. a) I1   . 3. . 2. cos x dx sin 2x. 2. dx sin x  2 0. b) I 2   cos3 x. sin xdx. c) I 3  . 0. 6. .  2. 4 sin x dx cos x  1 0. c) I 3  . . 2 1 sin x  cos x  1 dx d) I 6   dx sin x  2 cos x  3 sin x  2 cos x  3 0 0. 3. 2. d) I 5  . Tính nguyên hàm,tích phân các hàm hữu tỷ dx 1 1  .  C với a, n   C   N  0,1 ta có : n n  1  x  a n1 x  a  dx Nếu n  1 , a  R ta có : I    ln x  C xa  ,  , a, b, c  R x   dx Dạng 2 : I   2 trong đó :  n 2 ax  bx  c   b  4ac  0. Dạng 1 : I  . . . * Giai đoạn 1 :   0 ,làm xuất hiện ở tử thức đạo hàm của tam thức ax 2  bx  c , sai khác một số : I. . 2 a. 2ax  b . 2a  ax. 2. .  bx  c. b. . n. dx . . 2a  ax. 2ax  b 2.  bx  c. . n. dx .   2 a dx   b   n 2 2a    ax  bx  c . * Giai đoạn 2 : Tính I  . dt  4a    dx   . n  2     2a 2 ax  b 1  t 2 ax  bx  c t dx. . n. . . . n. . * Giai đoạn 3 : Tính I   Dạng 3 : I  . t. 1 2. . 1. Pm  x  dx Qn  x . n. dt có thể tính bằng hai phương pháp , truy hồi hoặc đặt t  tan . Pm  x  am x m  ......  a1 x  a0 Ta có :  Qn  x  bn x n  ......  b1 x  b0. BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Lop12.net. Trang 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013 Nếu : degP   degQ  thì ta thực hiện phép chia phân số. Rr  x  có degR   degQ  Qn  x . Pm  x  R x  trong đó  Am  n   x   r Qn  x  Qn  x . Nếu : degP   degQ  ta có các qui tắc sau : Pm  x . A1 An 1 An  ......   n 1 x  a  x  a  x  a  x  a n n P x  Ai  Vdụ 1a : n m i x  ai i  x  ai  i1. *Qt 1:. n. . i 1. Vdụ 1b :. Pm  x  A B C D     2 ( x  a )( x  b)( x  c) x  a x  b x  c  x  c 2. Pm  x . An1 x  Bn1 An x  Bn A1 x  B1  ......   n 1 2 2 ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c ax 2  bx  c m n Pt  x  Ai Ai x  B1   *Qt 3:   n i m 2 x    ax  bx  c i 1 x    k 1 ax 2  bx  c i Pt  x  A Bx  C Vdụ 1 :   2 ( x   ) ax  bx  c x   ax 2  bx  c Pt  x  B1 x  C1 B2 x  C 2 A Vdụ 2 :    2 2 2 x    ax  bx  c x    ax  bx  c ax 2  bx  c 2. *Qt 2':. . .   n. 2. . . . . . . . . . . . . n. với   0. . . . .  . . BÀI TẬP Tính các tích phân sau : 1. a) I 1   0. 1. dx 2 x  3x  2. b) I 2   0. x. dx 2.  3x  2. . 2. Bài làm : 1. a) I 1   0. dx dx 1   1     dx 2 x  3 x  2 0  x  1 x  2  0  x  1 x  2  1. 1.  ln x  1  ln x  2 0  ln. 4 3 1 1  1  dx 1 2 b) I 2   2 dx     2 0  x  12 x  22 x  1x  2dx 0 x  3 x  2  1. 1. 1  1      2ln x  1  ln x  2   OK  x 1 x  2 0. BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Lop12.net. Trang 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013 Tính các tích phân sau : 1. 1. dx a) I1   4 x  3x 2  3 0. b) I 2   0. 4x  2 dx x  1 x  2. . . 2. Bài làm : dx 1 x  arctan  C với a  0 2 x a a a 1 dx 1  1 1    2  2 dx 2 2 x 1 x  3 2 0  x 1 x  3 . a)* Bạn đọc dễ dàng chứng minh được I 0   1. I1   0. 1. dx  4 x  3 x 2  3 0. . . 2. . 1. . 1 1 x     arctan x  arctan   92 3 2 3 30 2. . 4x  2 A Bx  C x 2  A  B   x2 B  C   2C  A b) Đặt :    x  2 x 2  1 x  2 x 2  1 x  2 x 2  1 A  B  0  A  2  Do đó ta có hệ : 2 B  C  4   B  2 2C  A  0 C  0  . . 1. Vậy : I 2   0. . . . . 4x  2 2 2x   dx      2 dx 2 x  2 x 1 x  1 x  2 0 1. . . . 1.   2 ln x  2  ln x 2  1  2 ln 3  ln 2  ln 2  ln 1  ln 0. 4 9. Bạn đọc tự làm : a) I1  . x 1 dx 2 x  x  1. b) I 2  . c) I 3  . x 1 dx 4x3  x. d) I 3 . 3. 2 2. 1. 3. 5. 2 2. dx x  2x  3. x 3. 2. 4. x dx  3x 2  2. HD: 1 A B x 1 A B C b) 2     2 x 1 x  2x  3 x 1 x  3 x  x  1 x x 3  x 1 1  x4 x A B C D  d) 4 c) 3  1      2 4 x  x 4  x2 x  12 x  1  x  3x  2 x  1 x  1 x  2 x  2. a). 2. Đẳng thức tích phân :. BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Lop12.net. Trang 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013 Muốn chứng minh đẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách đổi biến số và nhận xét một số đặc điểm sau . * Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, …. Chúng ta cần phải nhớ những đẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ đề áp dụng. BÀI TẬP 1. 1. 0. 0. Chứng minh rằng :  x m 1  x n dx   x n 1  x m dx Bài làm : 1. Xét I   x m 1  x n dx 0. Đặt : t  1  x  dt  dx  dx  dt x  0  t  1 x  1  t  0. Đổi cận :  1. 0. 1. 0. 1. 0. Vậy : I   x m 1  x n dx    1  t m t n dt   1  t m t n dt (đpcm) Chứng minh rằng nếu f (x) là hàm lẻ và liên tục trên đoạn  a, a  thì : a.  f x dx  0. I. a. Bài làm : a. I. . 0. f ( x)dx . a. . a. a. f  x dx   f  x dx. 1. 0. 0. Xét.  f x dx. . Đặt t   x  dt  dx  dx  dt. a.  x  a  t  a x  0  t  0. Đổi cận :  0. V ậy :. . a. a. a. 0. 0. f  x dx   f  t dt    f t dt. Thế vào (1) ta được : I  0 (đpcm) Tương tự bạn đọc có thể chứng minh : Nếu f (x) là hàm chẳn và liên tục trên đoạn.  a, a  thì. a. I. . a. a. f  x dx  2  f  x dx 0. Cho a  0 và f x  là hàm chẵn , liên tục và xác định trên R .. BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Lop12.net. Trang 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013 f x   a x  1 dx  0 f x dx . Chứng minh rằng :. . f x  f x  f x  dx   x dx   x dx x 1 a 1 a 1  0 . 0.  a. . . f x  dx . Đặt t   x  x 1. 0. Xét.  a. . Bài làm :. 1 dt   dx . dx   dt.  x    t   x  0  t  0. Đổi cận : . f x  f  t  a t f t  dx  dt   a x  1 0 a t  1 0 at  1  . 0. Vậy :. . f x  a x f x  f x  dx   x dx   f  x dx (đpcm) Thế vào (1) ta được :  x dx   x a 1 a 1 a 1   0 0 . . 0. . Cho hàm số f x  liên tục trên 0,1 . Chứng minh rằng : .  x. f sin x dx  0.  2. .  f sin x dx 0. Bài làm : . Xét  x. f sin x dx . Đặt t    x  dt   dx  dx   dt 0. x  0  t   x    t  0. Đổi cận :  . . . Vậy :  x. f sin x dx     t . f sin   t dt     t . f sin t dt 0. 0. 0. . . 0. 0.    f sin t dt   t. f sin t dt . .  2  x. f sin x dx    f sin x dx 0. . . 0. . .  x. f sin x dx  2  f sin x dx 0. 0. Từ bài toán trên , bạn đọc có thể mở rộng bài toán sau . Nếu hàm số f x  liên tục trên a, b và f a  b  x   f x  . Thì ta luôn có :. BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Lop12.net. Trang 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013 . ab a x. f x dx  2 0 f x dx b. Cho hàm số f x  liên tục,xác định , tuần hoàn trên R và có chu kì T . a T. T. f  x dx   f  x dx. . Chứng minh rằng :. a. 0. Bài làm : a T.  a. T. a T. a. T. f  x dx   f  x dx . . 0. T. a T. a. 0. T. f  x dx   f  x dx   f  x dx . Vậy ta cần chứng minh. a. a T. 0. T.  f x dx.  f x dx   f x dx. a. Xét.  f x dx . Đặt. t  x T.  dt  dx. 0. x  0  t  T x  a  t  a  T. Đổi cận :  a T. a T.  f t  T dt   f t dt. Vậy :. T a T. T. T. a. 0.  f x dx   f x dx. Hay :. (đpcm). Từ bài toán trên , ta có hệ quả sau : Nếu hàm số f x  liên tục,xác định , tuần hoàn trên R và có chu kì T , thì ta luôn T 2. T. có :.  f x dx   f x dx 0. . T 2. Bạn đọc tự làm : 1. a) I1   x1  x  dx 6. 0. . x. sin x dx 9  4 cos 2 x 0. c) I 3  . . 1. . b) I 2   sin 2 x. cos x ln x  x 2  1 dx 1. . x.sin x dx 1  cos 2 x 0. d) I 4  . . e) I 5 . 2. . . x 2 sin x 1 2x. x 2  sin x dx 1 x2 1 1. dx. f) I 6  . 2. BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Lop12.net. Trang 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013. . . 2. g) I 7   ln sin x  1  sin 2 x dx. h) I 8 . 2009. 0. . 1  cos 2 x dx. 0. Tích phân từng phần : Cho hai hàm số u và v có đạo hàm liên tục trên đoạn a, b , thì ta có : b. b.  udv  uv   vdu b. a. a. a. Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau : *ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt u  ln x hay u  log a x . *ưu tiên 2 : Đặt u  ?? mà có thể hạ bậc. BÀI TẬP. Tính các tích phân sau :  1. e. 2. a) I1   x.e x dx. b) I 2   x 2 . cos xdx. 0. c) I 3   ln xdx. 0. 1. Bài làm : u  x  du  dx. a) Đặt : . x x dv  e dx  v  e 1. Vậy : I1   x.e dx  x.e x. 0. u  x 2. b) Đặt : . x 1 0. 1.   e x dx  e  e x  e  e  1  1 1. 0. 0.  du  2 xdx. dv  cos xdx  v  sin x  . 1. 2. . Vậy : I1   x.e x dx   x. cos x 02  2  x. sin xdx  0. 0. . 2. 4. 2.  2  x. sin xdx. 1. 0.  2. Ta đi tính tích phân  x. sin xdx 0. u  x  du  dx dv  sin xdx  v   cos x. Đặt : .  2. Vậy :.  . . 2. .  x. sin xdx   x. cos x 02   cos xdx   x. cos x 02  sin 02  1 0. 0. BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Lop12.net. Trang 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013 1. Thế vào (1) ta được : I1   x.e x dx .  2 8 4. 0. 1  u  ln x  du  dx c) Đặt :  x dv  dx  v  x e. e. Vậy : I 3   ln xdx  x. ln x 1   dx  x. ln x 1  x 0  1 e. 1. e. e. 1. Tính các tích phân sau : . . a) I1   e . sin xdx x. 0. e. 4. c) I 3   cosln x dx. x b) I 2   2 dx cos x 0. 1. Bài làm : u  e x  du  e x dx a) Đặt :  dv  sin xdx  v   cos x . . . Vậy : I1   e x . sin xdx   e x . cos x 0   e x . cos xdx  e  1  J 1 0. 0. u  e  du  e dx dv  cos xdx  v  sin x x. x. Đặt : . . . . Vậy : J   e x . cos xdx  e x . sin x 0   e x . sin xdx   I 0. 0. e  1 I1  2. . Thế vào (1) ta được : 2 I1  e  1  u  x  du  dx b) Đặt :  1 dv  cos 2 x dx  v  tan x  4. Vậy : I 2   0.  4  x   2 4  tan xdx  4    dx  x . tan x  ln cos x  ln 2  0 0 cos x 4 4 2 0. . 1  u  cosln x   du   sin ln x dx c) Đặt :  x dv  dx  v  x e. e. Vậy : I 3   cosln x dx  x. cosln x  1   sin ln x dx  e  1  J 1. e. 1. 1  u  sin ln x   du  cosln x dx Đặt :  x dv  dx  v  x. BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Lop12.net. Trang 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013 e. e. Vậy : I 3   sin ln x dx  x. sin ln x  1   cosln x dx  0  I 3 e. 1. 1. Thế vào (1) ta được : 2 I 3  e  1  I 3  . e  1 2. Bạn đọc tự làm : ln 2. e. b) I 2   1  ln x 2 dx. a) I1   x.e  x dx 0. 1. c) I 3   . 1 1   dx 2 ln x ln x   e. 2. . . 1. d) I 4   ln x  1  x 2 dx 0.  e. 3. e) I 5   sin x. lntan x dx. f) I 6   cos 2 ln x dx. . 1. 4. . . 1  sin x x e dx 1  cos x 0. 4. 2. g) I  7   x 2 cos 2 x. h) I  7  . 0. Tích phân hàm trị tuyệt đối, min , max : b. Muốn tính I   f x  dx ta đi xét dấu f x  trên đoạn a, b , khử trị tuyệt đối a. b. Muốn tính I   max f x , g x dx ta đi xét dấu f x   g x  trên đoạn a, b a. b. Muốn tính I   min f x , g x dx ta đi xét dấu f x   g x  trên đoạn a, b a. Tính các tích phân sau : 2. 4. b) I1   x 2  2 x  3 dx. a) I1   x  2 dx. 0. 1. Bài làm : x 1 a) x-2. 2 4. Vậy : I1   1. 4. 0. + 2. 4.   x2   x2 x  2 dx   2  x dx    x  2 dx  2 x      2 x  2 1  2  2 1 2 2. 4. BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Lop12.net. Trang 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013  1  5   4  2    2    8  8  2  4   . . 2 . 2. b) Lập bảng xét dấu x  2 x  3 , x  0,2 tương tự ta được 2. 2. 1. 0. 0. . . . 2. . I1   x 2  2 x  3 dx    x 2  2 x  3 dx   x 2  2 x  3 dx 1. . 1. 2.  x   x  I 1  3 x  x 2      3 x  x 2    4 3 0  3 1  3. 3. 1. Tính I a   x x  a dx với a là tham số : 0. Bài làm : x x-a. . . a 0. -. +. (Từ bảng xét dấu trên ta có thể đánh giá ). Nếu a  0 . 1. 1. I a   x x  a dx   0. 0. 1.  x 3 ax 2  1 a x  ax dx       2 0 3 2 3. . . 2. Nếu 0  a  1 . 1. a. . . 1. . . I a   x x  a dx    x 2  ax dx   x 2  ax dx 0. 0. a. a. 1.  ax x   ax x  1 a 2 a3           3 0  2 3 a 3 2 2  2 Nếu a  1 . 2. 3. 2. 3. 1.  x 3 ax 2  1 a I a   x x  a dx    x  ax dx        2 0 3 2 3 0 0 1. 1. . 2. . Tính : a) I1   min 1, x 2 dx 2. 3. . . I 2   max x 2 , x dx. 0. 0. Bài làm : a) Xét hiệu số : 1  x 2  x  0,2 2. . . 1. 2. 2. x3 4 2  x1  Vậy : I1   min 1, x dx   x dx   dx  3 0 3 0 0 1 2. 2. b) Xét hiệu số : xx  1 x  0,3 tương tự như trên ta có .. BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Lop12.net. Trang 15.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013. . 3. . 1. 1. 3. 3. x2 x3 55 I 2   max x , x dx   xdx   x dx    2 0 3 1 6 0 0 1 2. 2. Bạn đọc tự làm : . 3 4. a) I1   min x, x 2  3dx b) I 2   maxsin x, cos x dx c) I 3   sin x  cos x dx 3. 2. 2. 0. 0. d) I 4   max x 2 ,4 x  3dx d) I  4    x  2 x  1  x  2 x  1 dx 3. 5. 2. 1. . . Nguyên hàm , tích phân của hàm số vô tỷ : Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp đơn giản của tích phân Abel. . . Dạng 1:  R x, ax 2  bx  c dx ở đây ta đang xét dạng hữu tỷ. 2 a  0     2ax  b   2  ax  bx  c    1    4a         0.  Rx,. . .  S t ,. ax 2  bx  c dx . 1  t 2 dt Tới đây , đặt t  tan u .. 2 ax b t . 2 a  0     2ax  b   2 Dạng 2:   ax  bx  c    1   4a         0.  Rx,. .  S t ,. ax 2  bx  c dx  t. . 1  t 2 dt Tới đây , đặt t  sin u .. 2 ax  b . 2  a  0   2ax  b  2 Dạng 3:   ax  bx  c    1  4a       0 . .  Rx,. t. Dạng 4 (dạng đặc biệt) :. .  S t ,. ax 2  bx  c dx . t 2  1 dt Tới đây, đặt t . 2 ax  b .  x   . dx. Một số cách đặt thường gặp : 2 2 đặt x  a. cos t  S x, a  x dx.   S x,  S x,. a2 x2.   x dx  a dx 2. 2. 1 . sin u. đặt x  a. tan t a đặt x  cos t. ax 2  bx  c. .  t. 1 x  . dt. t 2  t  . 0t .  t.  2. . 2. t .  2.  k. BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Lop12.net. Trang 16.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013  ax 2  bx  c  xt  c ; c  0  đặt  ax 2  bx  c  t x  x0  ; ax0  bx0  c  0   ax 2  bx  c   a .x  t ; a0 . .  S x,. ax 2  bx  c dx. .  S  x,. m. ax  b   cx  d . Tính : I  . ax  b cx  d. đặt t  m. x. dx 2.  4x  7. ; ad  cb  0. . 3. Bài làm :. . x. dx 2.  4x  7. . 3. . . t. t  x2. dt 2. . 3. 3. Đặt : t  3 tan u  dt  3 tan 2 u  1du. . . 3 tan 2 u  1 du. . 1 3.  cos udu 3 tan u 3 3. tan 2 u  1 1 1 t 1 x2  sin u  C  C  C 2 2 3 3 t 1 3 x  4x  7. Ta có I . 3 tan u. Tính : a) I  . . . 3. . xdx. b) I  . x  x 1 2. dx x x  2x  1 2. Bài làm : xdx. a) . I. x2  x  1. 1 2. . 2 x 1 t 3. . 3t  1 t 1 2. xdx 2. 1 3  x   2 4 . dt . . 1 2. . 2 x 1 t 3. . 3t  1 t2 1. dt. . 3 2 1 t  1  ln t  t 2  1  C 2 2. 1 1    ln x   x 2  x  1   C 2 2   1 dt b)Đặt : x   dx   2 t t dx dt t 1 I      arcsin C 2 2 x x2  2x 1 1   2  t  1 x  x2  x  1 . t. BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Lop12.net. Trang 17.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013 1 1 x 1 x   arcsin  C   arcsin C 2 2. Tìm các nguyên hàm sau dx 1 x  3 1 x. a) I  . b) I  . dx x 1 x 1. Bài làm : a)Đặt : t  6 1  x  t 6  1  x  6t 5 dt  dx Vậy : I  . dx t 5 dt 1  2   6  6 t  t  1  dt   3 2   t  1 t  t 1 x  3 1 x 6 6   t  1 x t  1 x.  2t 3  3t 2  6t  6 ln t  1  C  2 1  x  33 1  x  66 1  x  6 ln 6 1  x  1  C 1  dx 1 x  x 1 1  2 1 x 1   dx    x  1dx   dx 2  2 x x 1 x 1 2 x . b) I   . Xét. x 1 dx x. . Vậy :. 1 1 x 1 x x   dx 2 2 x. . Đặt : t . x 1 dx  2 x. t. x 1 x. 1 . x. 1 2t  dx   dt 2 t 1 t 2 1. . 2. . t 2 dt  t  12  OK x 1 x. Tìm các nguyên hàm sau : a) I   x 2 . x 2  9dx. b) I  16  x 2 . x 2  4dx. Bài làm : a)Đặt :. x2  9  x  t. . x. t2  9 2t.  dx . t2  9 dt 2t 2. BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Lop12.net. Trang 18.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013. . . . .  t2  9    t2  9  t2  9 1 t 4  81    I1    . . dt   dt 2   4t 2 16  t5  2t   2t  . Vậy :. 2. 1  3 162 6561  1  t4 6561    162 ln t  4   C t   dt     5  16  t t  16  4 4t . . 1  x  x2  9   16  4  x2  4  x  t. b)Đặt :. 2.   162 ln x  4. . x. . x2  9 . t2  4 2t. t2  4  t2  4 t2  4 . . I  16   2  2  2t   2t  4t. .  C 4  2 4 x x 9 .  dx . 2. dt   . t. 4. 6561. . . t2  4 dt 2t 2. . 2.  16 dt t5. t4 36 256  64      t 3   5 dt     36 ln t  4   C t t  t   4. .  x  x2  4    4 . . 4.  36 ln x  x 2  4 .  C 4  x  x2  4 . . 64. . Tính các tích phân sau : 8. 1. dx dx x 1  x 3. a) I1   x  x 2 dx. b) I 2  . 1 2. Bài làm : 1. I1   1 2. 1. 1 2 x  x dx   1  2 x  1 dx 21 2. 2. 1 2. Đặt : 2 x  1  sin t  dx  cos tdt 1   x  2  t  0 Đổi cận :  x  1  t    2 . . . 2 1 12 1 1 Vậy : I1   cos 2 tdt   1  cos 2t dt  1  sin 2t  40 80 8 2 0 2. .   1      0   0  0    8  2   16. BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Lop12.net. Trang 19.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013 b) Đặt : t  1  x   2tdt  dx  x  3  t  2  x  8  t  3. Đổi cận :  8. 3. 3. dx tdt dt dx  2   2 Vậy : I 2   2 1 t t 1 t 2 3 x 1  x 2 2. . . 3. t 1  1    ln   ln  ln 1  ln 2 t 1 2  2 . Bạn đọc tự làm : a) I1  . dx. b) I 2   4 x  x 2 dx. x x 1 2. d) I 5  . d) I 4   1  x dx. . 2. 1  x2  1 1 x 1 2. c) I 3   dx. d) I  6 . x. dx 2. 4. . 3. 1 1  x2  1. dx. Bất đẳng thức tích phân : b. Nếu f x   0 x a, b   f x dx  0 a. b. b. Nếu f x   g x  x a, b   f x dx   g x dx a. a. b. Nếu m  f x   x a, b  mb  a    f x dx  M b  a  a. Trong các trường hợp nầy ta thường dùng khảo sát , Bunhiacopxki, AM-GM Và các bước chặn sinx,cosx BÀI TẬP Chứng minh các bất đẳng thức sau : 1. a)  x1  x dx  0. 1 4. 2 5. 2. b)   1. x 1 dx  2 x 1 2. c)   1  x  1  x dx  2 1. 0. Bài làm: a)Áp dụng AM-GM ta có : 1  x  1  x   x1  x      2 4  2. x  0,1. BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Lop12.net. Trang 20.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>