Giáo trình Vận trù học - Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (296.96 KB, 20 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO

TRƯỜNG ðẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI

PGS. TS. NGUYỄN HẢI THANH

V

Ậ

N TRÙ H

Ọ

C

Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ………...2

M

Ụ

C L

Ụ

C

Trang

LỜI NÓI ðẦU 7

CHƯƠNG I. MỞðẦU 9

1. Giới thiệu về Vận trù học / Khoa học quản lí 9

1.1. Vai trò của Vận trù học 9

1.2. Các bước áp dụng Vận trù học 10
1.3. Quá trình phát triển của Vận trù học 11
2. Các ứng dụng và phương pháp ñịnh lượng cơ bản của Vận trù học 12

2.1. Một số ứng dụng 12

2.2. Các phương pháp ñịnh lượng 14

2.3. Hệ thơng tin quản lí 14

CHƯƠNG II. MỘT SỐ MƠ HÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU 16

1. Mơ hình quy hoạch tuyến tính 16

1.1. Phát biểu mơ hình quy hoạch tuyến tính 16
1.2. Phương pháp đơn hình giải BTQHTT dạng chính tắc 19
1.3. Phương pháp ñơn hình hai pha giải BTQHTT

dạng tổng quát 23

1.4. Phương pháp cắt Gomory giải BTQHTT nguyên 29
1.5. Một số ứng dụng của phương pháp đơn hình 33

2. Mơ hình quy hoạch tuyến tính ña mục tiêu 35

2.1. Các khái niệm cơ bản 35

2.2. Phương pháp tổng quát giải BTQHTT ña mục tiêu 37
2.3. Phương pháp thoả dụng mờ tương tác giải BTQHTT

ña mục tiêu 39

2.4. Một ứng dụng của mơ hình quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu 44

3. Mơ hình tối ưu phi tuyến ñơn và ña mục tiêu 45

3.1. Một số khái niệm cơ bản 45

3.2. Một số phương pháp giải bài toán tối ưu phi tuyến

ñơn mục tiêu và ứng dụng 47

3.3. Một số phương pháp giải bài toán tối ưu phi tuyến

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

BÀI TẬP CHƯƠNG II 54

CHƯƠNG III. CÁC MƠ HÌNH MẠNG 57

1. Mơ hình mạng vận tải 57

1.1. Phát biểu bài toán vận tải 57
1.2. Tạo phương án vận tải xuất phát 58
1.3. Phương pháp phân phối giải bài toán vận tải 60
1.4. Phương pháp phân phối cải biên giải bài tốn vận tải 62

2. Mơ hình mạng PERT 66

2.1. Các khái niệm cơ bản về PERT 66
2.2. Sơ ñồ PERT với số liệu ngẫu nhiên 71
2.3. ðiều chỉnh dự án khi kế hoạch một số hoạt ñộng bị phá vỡ 73
2.4. Tính thời gian rút gọn tối ưu bằng phương pháp đơn hình 74
2.5. Áp dụng mạng PERT trong phân tích chi phí và

quản lí tài chính dự án 75

3. Một số mơ hình mạng khác 77

3.1. Bài toán cây khung tối thiểu 77

3.2. Bài toán tìm đường đi ngắn nhất và quy hoạch động 79
3.3. Mơ hình mạng trung chuyển hàng 86
3.4. Bài tốn tìm luồng cực đại 88

BÀI TẬP CHƯƠNG III 90

CHƯƠNG IV. GIỚI THIỆU LÍ THUYẾT MÔ PHỎNG VÀ

MÔ HÌNH HÀNG CHỜ 96

1. Mục đích và các công cụ của mô phỏng 96

1.1. Khái niệm về mô phỏng ngẫu nhiên 96
1.2. Các công cụ chủ yếu của mô phỏng 97
1.3. Mô phỏng một số phân phối xác suất 98

2. Áp dụng mô phỏng ngẫu nhiên 101

2.1. Vai trị của phương pháp mơ phỏng 101
2.2. Các bước cần tiến hành khi áp dụng mô phỏng 102
2.3. Một số ví dụ về áp dụng phương pháp mô phỏng 102

3. Một số vấn đề về mơ hình hàng chờ 112

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ………...4

3.2. Các chỉ số cần khảo sát 115

3.3. Tính tốn các chỉ số 116

3.4. Áp dụng mô phỏng cho một số hệ thống hàng chờ 118

BÀI TẬP CHƯƠNG IV 127

CHƯƠNG V. PHÂN TÍCH MARKOV VÀ ỨNG DỤNG 131

1. Các khái niệm cơ bản về xích Markov 131

1.1. Một số định nghĩa 131

1.2. Ma trận xác suất chuyển trạng thái và phân phối dừng 132
1.3. Các tính chất và ñịnh lí 137

2. Một sốứng dụng của phân tích Markov 138

2.1. Tìm cân bằng thị phần 138

2.2. Chính sách thay thế vật tư thiết bị 138
2.3. Phân tích Markov trong dự báo thất thu cho

các hợp ñồng thực hiện trước 140
2.4. Tìm phân phối giới hạn cho một hệ thống kĩ thuật 142
2.5. 2.5. Một ứng dụng của quá trình sinh−tử cho hệ thống hàngchờ 147

3. Mơ phỏng xích Markov 149

3.1. Mơ phỏng xích Markov thời gian rời rạc 149
3.2. Mơ phỏng xích Markov thời gian liên tục 151

BÀI TẬP CHƯƠNG V 152

CHƯƠNG VI. MỘT SỐ MƠ HÌNH RA QUYẾT ðỊNH VÀ ỨNG DỤNG 158

1. Ra quyết định trong mơi trường bất ñịnh 158

1.1. Một số khái niệm cơ bản 158
1.2. Ra quyết định trong mơi trường bất ñịnh nghiêm ngặt 160
1.3. Ra quyết ñịnh trong môi trường rủi ro 163

2. Phân tích quyết định Bayes 167

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

4.1. Khái niệm hàm thỏa dụng 174
4.2. Tiêu chuẩn kì vọng thỏa dụng tối đa 175

5. Lí thuyết trò chơi và ứng dụng 179

5.1. Một số khái niệm cơ bản của lí thuyết trị chơi 179
5.2. Trò chơi hai người – tổng khơng với chiến lược thuần nhất 181
5.3. Trị chơi hai người – tổng không với chiến lược hỗn hợp 182
5.4. Lời giải bằng ñồ thị cho các trị chơi cỡ 2×N hoặc M×2 186
5.5. Giới thiệu về trò chơi nhiều người 188

BÀI TẬP CHƯƠNG VI 190

CHƯƠNG VII. CÁC MƠ HÌNH QUẢN LÍ HÀNG DỰ TRỮ 193

1. Các khái niệm cơ bản 193

1.1. Các chức năng của việc dự trữ hàng 193
1.2. Hệ thống quản lí hàng dự trữ theo phân loại giá trị ABC 193

1.3. Mơ hình quản lí hàng dự trữ tổng qt 194
2. Một số mơ hình tất định trong quản lí hàng dự trữ 196
2.1. Mơ hình tĩnh Wilson với một mặt hàng 196
2.2. Mơ hình tĩnh một mặt hàng với dự trữ đệm 199
2.3. Mơ hình tĩnh một mặt hàng với giá chiết khấu 200
2.4. Mơ hình tĩnh nhiều mặt hàng với diện tích kho hạn chế 202
2.5. Mơ hình động một mặt hàng N chu kì 204

3. Mơ hình lập kế hoạch sản xuất N chu kì 207

3.1. Mơ hình lập kế hoạch không cho phép nợ hàng 208
3.2. Mô hình lập kế hoạch cho phép nợ hàng 209
4. Một số mơ hình xác suất trong quản lí hàng dự trữ 210
4.1. Mơ hình xác suất với chế ñộ báo cáo theo dõi thường xun 210
4.2. Mơ hình xác suất một chu kì 213
4.3. Mơ hình xác suất nhiều chu kì 218

BÀI TẬP CHƯƠNG VII 224

PHẦN PHỤ LỤC 229

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ………...6

L

Ờ

I NĨI

ðẦ

U

Vận trù học (Operations Research) được xem là một cơng cụ định lượng nền tảng

của Khoa học quản lí mà trong đó các phương pháp và kĩ thuật của Tốn học và các

cơng cụ tính tốn, lưu trữ và xử lí dữ liệu của Tin học được áp dụng để mơ hình hóa,

phân tích và tìm ra lời giải cho các bài tốn quyết định, nhằm hỗ trợ bộ máy quản lí 
đưa ra các quyết định hợp lí nhất. Trên thế giới việc nghiên cứu và ứng dụng Vận trù

học ngày càng phát triển sâu rộng với nhiều tạp chí chuyên ngành nổi tiếng, mơn Vận

trù học được giảng dạy với thời lượng khá lớn bao gồm nhiều nội dung phong phú và

cấp thiết trong nhiều chương trình đào tạo đại học và cao học.

Hiện nay, những mơn học trang bị kiến thức cơ sở về kinh tế - quản lí nói chung

và các phương pháp tốn - tin ứng dụng trong mơ hình hóa và phân tích các bài tốn

quyết định nói riêng được đưa vào giảng dạy trong các chương trình đào tạo đại học

trong và ngoài nước. ðối với sinh viên các ngành Tin học, Cơng nghệ thơng tin và

Tốn - Tin ứng dụng, khối kiến thức về kinh tế - quản lí là thực sự cần thiết cho các

cương vị làm việc sau này, ñặc biệt là cương vị CIO (Chief Information Officer -

Giám đốc Thơng tin). Trong chương trình đào tạo ngành Tin học của Khoa Công

nghệ thông tin, Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội, khối kiến thức trên bao gồm Tối 
ưu hóa, Phân tích số liệu, Quản trị học, Các phương pháp toán kinh tế và Vận trù

học. Giáo trình “Vận trù học” với thời lượng 60 tiết ñược biên soạn lần ñầu nhằm

trước hết phục vụ việc dạy và học môn học này cho sinh viên năm thứ ba hoặc năm

thứ tư ngành Tin học. Hi vọng rằng, sau khi ra trường các kĩ sư Tin học sẽ áp dụng và

triển khai các phương pháp vận trù học ñược một cách rộng rãi với nhiều hiệu quả

thiết thực trong việc xây dựng các hệ thống thơng tin quản lí và các phần mềm tính

tốn cho các bài tốn quản lí, quản trị kinh doanh và kinh tế - công nghệ khác.

Qua giáo trình này, sinh viên cần nắm được một số mơ hình vận trù học cơ bản,

biết cách vận dụng các phương pháp và kĩ thuật toán học, các quy trình tính tốn

khoa học thích hợp để phân tích và xử lí các mơ hình đó. Các chủđề trong giáo trình

bao gồm: Một số mơ hình tối ưu (Optimization Model) như các mơ hình quy hoạch

tuyến tính cũng như phi tuyến đơn và đa mục tiêu ñược ñề cập tới trong Chương II.

Chương III giới thiệu về các mơ hình mạng (Network Model) với các bài toán về mạng

vận tải, mạng PERT, về quy hoạch động áp dụng trong tìm đường đi ngắn nhất và bài

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

và mô phỏng ngẫu nhiên (Stochastic Simulation) được trình bày trong Chương IV.

Chương V giới thiệu các khái niệm cơ bản và ứng dụng của xích Markov (Markov

Chain). Chương VI là các kiến thức cơ sở của lí thuyết quyết định (Decision Theory)

như các quy tắc ra quyết định trong các mơi trường bất định và rủi ro, phân tích quyết

định Bayes, cây quyết định và lí thuyết trị chơi. Chương VII trình bày về mơ hình

quản lí hàng dự trữ (Inventory Management Model), một vấn ñề quan trọng phát sinh

trong quản lí tài nguyên và nguồn lực của các doanh nghiệp. ðây là các chủ ñề chủ

yếu nhất của môn Vận trù học mà sinh viên các ngành Tin học, Cơng nghệ thơng tin

và Tốn - Tin ứng dụng tại các trường ñại học nước ngoài bắt buộc phải học. Phần

bài tập sau từng chương giúp sinh viên củng cố các kiến thức ñã học và thực hành áp

dụng các quy trình tính tốn khoa học. Những sinh viên khá có thể tự học sâu thêm

bằng cách thu thập tài liệu liên quan qua nhiều nguồn, ñặc biệt trên Internet và viết

các phần mềm nhỏ.

Giáo trình cũng có thể được lấy làm tài liệu tham khảo hay dạy và học các

phương pháp toán ứng dụng hay mơ hình hóa cho các chun ngành như: Quản lí đất 
đai, Kinh tế nơng nghiệp, Cơ ñiện và một số chuyên ngành quản lí − kinh tế− cơng

nghệ khác ở bậc đại học hoặc cao học.

Một số tài liệu người học có thể tham khảo thêm là: Gillet B. E., Introduction to

Operations Research, McGraw Hill, New York, 1990; Taha H. A., Operations

Research, MacMillan Publishing Company, New York, 1989; Levin R. I., Rubin D. S.

and Stinson J. P., Quantitative approaches to management, McGraw Hill, New York,

1986; Phan Quốc Khánh, Vận trù học, Nxb Giáo dục, 2004; Tạp chí Ứng dụng Tốn

học, Hội Ứng dụng Toán họcViệt Nam, 2003 - 2007.

Trong quá trình biên soạn, tuy tác giả rất cố gắng nhưng có lẽ khơng tránh khỏi

sai sót. Tác giả xin chân thành cảm ơn các ý kiến đóng góp chỉnh sửa bản thảo bài

giảng mơn học của các ñồng nghiệp trong Khoa Công nghệ thông tin và sinh viên

ngành Tin học các khóa K47, K48, K49, K50 của Trường ðại học Nông nghiệp Hà

Nội và luôn mong muốn tiếp tục nhận được nhiều góp ý của các nhà khoa học, các

giảng viên và sinh viên để cho giáo trình được hồn chỉnh hơn, chính xác hơn và sinh 
ñộng hơn.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ………...8

Ch

ươ

ng I

MỞ ðẦU

1. GIỚI THIỆU VỀ VẬN TRÙ HỌC VÀ KHOA HỌC QUẢN LÍ 
1.1. Vai trị của Vận trù học

Vận trù học (Operations Research − OR) là ngành học nghiên cứu về các hoạt ñộng
hợp lí. Việc tổ chức và tiến hành các hoạt ñộng trong nhiều lĩnh vực như kinh tế, xã hội,

quốc phịng, kinh doanh, sản xuất, dịch vụ... địi hỏi các nhà quản lí phải vận dụng một

cách thích hợp các điều kiện cho phép để trù tính và ñưa ra các quyết ñịnh.

ðối với bộ máy quản lí các cấp trong các doanh nghiệp, tập đồn, cơng ti..., ra quyết
định chính là trách nhiệm then chốt nhất. Quá trình ra quyết định được bắt đầu khi bộ
máy quản lí phát hiện một vấn đề nào đĩ cần quan tâm tới. Sau đĩ, cần xác định rõ vấn
đề, phát biểu mục tiêu phải hướng tới và các điều kiện hạn chế (cịn gọi là các điều kiện
ràng buộc) cũng như tìm kiếm và đánh giá các phương án. Cuối cùng, phải chọn ra một
phương án hành động được coi là hợp lí hơn cả nhằm giải quyết vấn đề một cách tốt
nhất. Năng lực của bộ máy quản lí được thể hiện ở khả năng phát hiện vấn đề và giải
quyết bài tốn quyết định phát sinh.

Một quá trình ra quyết định chính là một q trình phân tích và tổng hợp thơng tin,
có thể có hình thứcđịnh tính hay định lượng. Với cách tiếp cận định tính, người quản lí

có thể dựa vào các nhận định chủ quan và kinh nghiệm sẵn có của mình để đưa ra quyết
ñịnh. Trong một số trường hợp, cách tiếp cận này có tính “trực giác” nhưng cũng giúp
đưa ra ñược quyết ñịnh ñủ tốt. Tuy nhiên, trong rất nhiều trường hợp khác, cách tiếp cận
ñịnh lượng sẽ có hiệu quả thật sự trong việc trợ giúp quá trình ra quyết định. Cách tiếp
cận định lượng thường ñược nhà quản lí thực hiện trong các trường hợp sau:

- Vấn ñề ñặt ra khá phức tạp bao gồm nhiều biến và do đó cần phải thiết lập mơ
hình tốn học và sử dụng các cơng cụ ñịnh lượng ñể tìm ra ñược phương án giải quyết.

- Các dữ liệu liên quan tới vấn ñề cần khảo sát có dạng dữ liệu số và mục tiêu cần
hướng tới có tính chất định lượng, chẳng hạn như cần nâng cao hay hạ thấp một chỉ số
nào đấy.

- Vấn đề đặt ra có tính chất “lặp”, tức là q trình giải quyết vấn đề có thể bao gồm

một số cơng đoạn/thủ tục lặp đi lặp lại nhiều lần và vì vậy, tiếp cận định lượng sẽ giúp
người quản lí tiết kiệm thời gian cũng như chi phí.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Có thể nói, Vận trù học là một cơng cụ định lượng nền tảng của Khoa học quản lí

(Management Science − MS), mà trong đó các phương pháp và kĩ thuật của Tốn học
cũng như các cơng cụ tính tốn, lưu trữ và xử lí dữ liệu của Tin học được áp dụng để
mơ hình hóa, phân tích và tìm ra lời giải cho các bài tốn quyết định, nhằm hỗ trợ bộ
máy quản lí đưa ra đưa ra ñược quyết ñịnh ñúng ñắn trong ñiều kiện nguồn lực và tài
nguyên hạn chế. Vì vậy, Vận trù học có một vai trị rất quan trọng trong việc thiết lập
các kế hoạch dài hạn, phát triển các chiến lược chủ ñạo cũng như trong việc hỗ trợ các
hoạt ñộng diễn ra hàng ngày trong nhiều lĩnh vực.

Vận trù học là một ngành học vừa có tính khoa học vừa có tính nghệ thuật. Với tư
cách là một khoa học, Vận trù học nghiên cứu và thiết lập các mơ hình tốn học của các
vấn ñề phát sinh từ thực tế cũng như các phương pháp tốn học/các thuật giải để giải
quyết mơ hình đặt ra. Tuy nhiên, Vận trù học cũng là một nghệ thuật, vì rằng sự thành
cơng của q trình ra quyết định phụ thuộc phần lớn vào tính sáng tạo và năng lực của
các nhà phân tích quyết định. Việc thu thập số liệu, thiết lập mơ hình và triển khai
phương án tìm được trên thực tế phụ thuộc vào khả năng của chuyên gia hay nhóm
chuyên gia làm Vận trù học trong việc khai thác được thơng tin xác thực cũng như xây
dựng ñược sự giao tiếp tin cậy với bộ máy quản lí.

1.2. Các bước áp dụng Vận trù học

Các bước cơ bản khi áp dụng Vận trù học để thiết lập và giải quyết một mơ hình
phát sinh từ thực tế có thể được tóm lược như sau:

− Khảo sát thực tế và phát hiện vấn đề. Tại bước này, cần áp dụng và hồn thiện

các kĩ năng như: biết lắng nghe, ñiều tra và khảo sát dữ liệu, biết phân tích các hoạt
động thực tế cũng như phân biệt ñược các yếu tố quan trọng với các chi tiết thứ yếu.

− Phân tích vấn đề và xây dựng mơ hình. Trước hết cần xác ñịnh rõ mục tiêu

nghiên cứu và ñịnh dạng rõ bài toán phát sinh và phương án giải quyết, từ đó xác định
các yếu tố liên quan mà nhà quản lí có thể kiểm sốt được. Nói cách khác, cần xác
ñịnh mục tiêu và các ñiều kiện hạn chế/điều kiện ràng buộc dưới dạng định tính. Sau
đó lựa chọn các biến quyết ñịnh và xây dựng mơ hình tốn học phù hợp, phản ánh
ñược thực tế khách quan.

− Thu thập số liệu ñầu vào và xác ñịnh phương pháp giải quyết. Căn cứ mơ hình đã

xây dựng ñược cần thu thập các số liệu ñầu vào cần thiết, ñộ tin cậy của số liệu ñầu vào
ảnh hưởng rất ñáng kể tới kết quả ñầu ra của mơ hình. Với mơ hình đã xây dựng được
cần tìm ra một phương pháp giải quyết thích hợp dựa trên các phương pháp ñã biết hoặc
phát triển phương pháp mới.

− Xác định quy trình giải/thuật giải và chọn lựa phương án hợp lí. Có thể giải mô

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ………...10

− Kiểm thử mơ hình và đánh giá phương án tìm được. Trong trường hợp phương án

tìm được kéo theo các kết quả bất thường về mặt tính tốn hoặc khơng phù hợp với thực
tế, cần kiểm tra và chỉnh sửa lại mơ hình, rà sốt lại các số liệu đầu vào cũng như các
bước tính tốn hay chọn lựa phương án. Sau đó giải lại mơ hình để tìm ra phương án
phù hợp hơn.

− Triển khai phương án tìm được trên thực tế. Trong toàn bộ q trình ra quyết

định, chun gia Vận trù học cần quan hệ chặt chẽ với nhà quản lí, giải thích rõ ràng về
tác dụng của mơ hình đã đặt ra. ðể phương án cuối cùng ñược triển khai trên thực tế,
cần có báo cáo chi tiết giúp bộ máy quản lí hiểu rõ các hiệu quả thiết thực mà phương
án có thể mang lại. Tuy nhiên, cũng cần nêu rõ các ñiều kiện ñảm bảo cần thiết cũng
như phân tích rõ các yếu tố lợi nhuận/chi phí/rủi ro của phương án.

1.3. Quá trình phát triển của Vận trù học

Những tiến bộ nhân loại ñạt ñược trong vài thế kỉ vừa qua và trong giai đoạn hiện
tại có phần đóng góp quan trọng của các phương pháp khoa học trong việc giải quyết
các vấn ñề kinh tế, xã hội. Phương pháp luận khoa học, trước ñây thường ñược biết tới
trong các vấn ñề của Khoa học tự nhiên, ngày nay ngày càng ñược ứng dụng rộng rãi
trong các lĩnh vực của Khoa học quản lí như: lập kế hoạch, tổ chức và kiểm sốt các
hoạt động.

Từ hàng vài nghìn năm trước, các hoạt ựộng chế tạo và lắp ráp tàu biển tại Venice
ựã ựược tổ chức một cách khá khoa học. Vào cuối thế kỉ XIX, Frederick W. Taylor ựã
giải quyết thành cơng bài tốn quan trọng của Kĩ nghệ công nghiệp (Industrial 
Engineering) lúc ựó là chế tạo ra các loại xẻng ựể khai thác các loại quặng khác nhau
với năng suất cao nhất. Cũng vào thời gian này, Henry L. Gantt giải quyết thành cơng
bài tốn lập tiến trình sản xuất (Production Scheduling) khi sản phẩm ựược chế tạo và
hồn thiện qua nhiều cơng ựoạn. Dần dần, các nhà quản lắ mở rộng các bài tốn trong
một số hoạt ựộng kĩ nghệ cơng nghiệp sang các hoạt ựộng khác của công ti như: khai
thác và sử dụng các nguồn nguyên liệu, thuê và phát triển nhân lực, chắnh sách tài
chắnh, bất ựộng sản... Các nhà khoa học tự nhiên, xã hội cũng bắt ựầu quan tâm tới các
bài toán quản lắ và nhận thức ựược tầm quan trọng của việc giải quyết vấn ựề một cách
hệ thống, tầm quan trọng của các nghiên cứu liên ngành bao gồm khoa học cơ bản, kĩ
nghệ và quản lắ. đó cũng là khởi nguồn của Khoa học quản lắ.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

quát là hệ thống hàng chờ (Waiting Line System). Năm 1915, Ford W. Harris cơng bố về
cách xác định dung lượng lơ hàng tối ưu trong bài tốn quản lí hàng dự trữ (Inventory 
Management). Sau đó một loạt cơng trình được các tác giả khác tiếp tục công bố về các
mô hình kiểm sốt hàng dự trữ. Các ứng dụng của lí thuyết xác suất trong kiểm định
chất lượng (Quality Control) cũng ñược ñề cập tới trong các bài báo của Walter
Shewhart. Mơ hình quy hoạch tuyến tính (Linear Programming) được giáo sư ðại học
Havard Wassily Leontieff áp dụng vào những năm 1930 để mơ tả và phân tích tồn bộ
nền kinh tế Mĩ. Các ứng dụng của Vận trù học trong kinh doanh lần ñầu tiên ñược
Horace C. Levinson phát triển trong giai ñoạn 1920 - 1930 ñể nghiên cứu các mối quan
hệ giữa doanh thu và quảng cáo, giữa thu nhập và ñịa ñiểm sinh sống của người tiêu
dùng và các mặt hàng mua sắm. Sau năm 1945, Vận trù học tiếp tục ñược ứng dụng
ngày càng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Rất nhiều bài tốn quản lí được giải quyết bằng
phương pháp đơn hình (Simplex Method) do George B. Danzig đưa ra vào năm 1947.
Các mơ hình mạng (Network Model) ñược phát triển lần ñầu vào năm 1958 với sự trợ
giúp của công ti tư vấn Booz, Allen và Hamilton.

Tại Việt Nam, từ nhiều năm trước ựây các hoạt ựộng giảng dạy và nghiên cứu về
Vận trù học ựã ựược tiến hành tại một số cơ sở ựào tạo và nghiên cứu như đại học Tổng
hợp Hà Nội, Viện Toán học, Viện điều khiển kinh tếẦ Vận trù học ựược ựưa vào ứng
dụng thành công trong một số lĩnh vực như giao thông, thủy lợi, sản xuất nơng nghiệp và
cơng nghiệp, dịch vụ, quốc phịng, với các ựóng góp của các giáo sư Hồng Tụy, Trần Vũ
Thiệu, Nguyễn đình Ngọc, Nguyễn Quý Hỷ. được thành lập vào năm 2002, Tạp chắ Ứng

dụng Toán học đã và đang cơng bố nhiều bài báo trong lĩnh vực Vận trù học.

Ngày nay, tại nhiều nước trên thế giới, các Hội Vận trù học và các Viện Khoa học
quản lí được thành lập, với nhiều tạp chí chun khảo nổi tiếng. Có thể giới thiệu ở đây
một số tạp chí quốc tế như: Operations Research, Management Science, A.I.E.E. 
Transactions, C.O.R.S. Journal, Industrial Engineering, European Journal of 
Operational Research, Asia-Pacific Journal of Operational Research, Decision

Sciences, Decision Support Systems.

2. CÁC ỨNG DỤNG VÀ PHƯƠNG PHÁP ðỊNH LƯỢNG CƠ BẢN CỦA 
VẬN TRÙ HỌC

2.1. Một sốứng dụng

Các ứng dụng cơ bản của Vận trù học có thể được phân loại theo các lĩnh vực
sau đây:

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ………...12

- Chế tạo, sản xuất: kiểm soát hàng dự trữ, cân bằng sản xuất và tiếp thị, lập tiến
trình sản xuất, ñảm bảo ổn ñịnh sản xuất.

- Xây dựng: phân phối các dự trữ tài nguyên cho các dự án, xác định số thành viên
của các đội cơng tác, duy trì tiến trình cơng tác, lập tiến trình dự án.

- ðặt hàng, mua nguyên liệu: chuyển giao vật liệu, chính sách mua hàng và đặt lại
hàng tối ưu.

- Tiếp thị: xác ñịnh chi phí tiếp thị, thời điểm giới thiệu sản phẩm mới, chọn lựa
danh mục sản phẩm hỗn hợp.

- Tài chính: chính sách cổ tức, phân tích đầu tư và chọn lựa danh mục đầu tư.
- Kế tốn: lập kế hoạch luồng tiền, chính sách tín dụng, lập kế hoạch cho chiến lược
kế tốn nợ.

- Chính sách nhân lực: tuyển dụng nhân viên, lập kế hoạch nhân lực, lập tiến trình
bồi dưỡng cán bộ, cân bằng các kĩ năng.

- Nghiên cứu và phát triển: Kiểm soát các dự án nghiên cứu và phát triển, lập kế
hoạch phát triển sản phẩm mới.

Chúng ta hãy xem xét một cách chi tiết hơn vấn ñề trên qua một vài ứng dụng điển
hình của Vận trù học/Khoa học quản lí như sau:

- Bài tốn lập kế hoạch nhân lực. Một cơng ti cần thường xun duy trì 1000 nhân

viên, trong số đó có 70% nhân viên “cũ” (đã làm việc tại cơng ti từ một năm trở lên) và
30% nhân viên “mới” (làm việc dưới một năm). Theo các kết quả thống kê có được,
trong số nhân viên mới thơng thường 50% bỏ việc trong vịng 4 tháng đầu, 20% bỏ việc
trong vòng 4 tháng tiếp theo, 10% bỏ việc trong 4 tháng kế tiếp và chỉ có 20 % khơng
bỏ việc trong năm ñầu tiên vào làm việc. Trong số nhân viên cũ, thông thường hàng
năm có 30% bỏ việc (tức là khoảng 10% cho mỗi kì 4 tháng). Vậy cơng ti cần xác ñịnh
tỉ lệ tuyển nhân viên mới hàng năm như thế nào để: i) duy trì ổn định được lượng lao
ñộng, ii) giảm lượng lao ñộng hàng năm theo một tỉ lệ ñịnh trước, iii) tăng lượng lao
ñộng hàng năm theo một tỉ lệ ñịnh trước.

- Bài tốn phân cơng nhiệm vụ. Một nhóm 3 kĩ sư A, B và C được phân cơng hồn

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

tác dụng. Như vậy cần phải nghiên cứu một phương pháp khác để giải quyết bài tốn
phân cơng nghiệm vụ tổng qt.

2.2. Các phương pháp định lượng

Các phương pháp ñịnh lượng cơ bản thường ñược sử dụng trong Vận trù học/Khoa
học quản lí bao gồm:

- Các phương pháp tối ưu giải mơ hình quy hoạch tuyến tính và phi tuyến, quy

hoạch ñộng và quy hoạch ña mục tiêu.

- Các kĩ thuật/thuật toán chuyên dụng giải các mơ hình mạng như bài tốn vận tải,
bài tốn tìm đường đi ngắn nhất, mơ hình mạng PERT, bài tốn tìm luồng cực đại.

- Kĩ thuật mơ phỏng giải các mơ hình hàng chờ/dịch vụ cơng cộng.
- Phân tích Markov ứng dụng trong kinh doanh và quản lí.

- Các phương pháp chọn lựa quyết ñịnh dựa trên Lí thuyết quyết ñịnh và Lí thuyết
trị chơi.

- Các mơ hình quản lí hàng dự trữ.

Do thời lượng có hạn, một số phương pháp khác của Vận trù học như các phương
pháp dự báo, hệ chuyên gia, khai phá dữ liệu và tri thức ... khơng được đề cập tới trong
giáo trình này.

2.3. Hệ thơng tin quản lí

Các tiêu chuẩn về số liệu. Các phương pháp ñịnh lượng hay kĩ thuật tính tốn được

đề cập trên đây thường địi hỏi các số liệu ñầu vào phải ñảm bảo các tiêu chuẩn sau:
- Chính xác: số liệu phải khơng có sai sót.

- Chi phí hiệu quả: chi phí thu thập số liệu thấp hơn giá trị chúng có thể mang lại.
- Cập nhật: số liệu phản ánh ñúng các ñiều kiện hiện tại.

- Tin cậy: số liệu phát sinh kết quả khơng có gì bất thường.

- Dễ sử dụng: số liệu có thể được sử dụng thân thiện mà khơng phải sửa đổi

gì thêm.

Các tiêu chuẩn trên đây có thể có tính chất “thỏa hiệp”, có nghĩa là nếu một tiêu
chuẩn nào đó trở nên tốt hơn thì cũng dẫn tới một tiêu chuẩn khác xấu đi. Chẳng hạn,
chi phí lấy số liệu thấp thường ảnh hưởng tới tính chính xác và ñộ tin cậy của số liệu.
Tuy nhiên, năm tiêu chuẩn này ln là mục tiêu cần “cực đại hóa” khi thu thập số liệu.

Khái niệm hệ thông tin quản lí. Có thể coi hệ thơng tin quản lí là một hệ thống các

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ………...14

cần giải quyết. Rõ ràng rằng, các số liệu thơ thu thập được trong bước khảo sát thực tế
và phát hiện vấn ñề ñược biến ñổi một cách thích hợp thành thơng tin hỗ trợ ra quyết
định. Chẳng hạn, các số liệu thô về hệ số lợi nhuận của một loại sản phẩm ñược biến ñổi
thành hệ số lợi nhuận (trung bình)/đơn vị sản phẩm, là một dạng thông tin hỗ trợ việc
lập kế hoạch sản xuất sản phẩm này.

Máy tính/mạng máy tính có rất nhiều điểm mạnh như: tính chính xác, tính nhất
qn, bộ nhớ lớn, xử lí được nhiều số liệu và phép toán phức tạp, làm việc theo các quy
tắc và chương trình định sẵn. Tuy nhiên, để thiết lập một hệ thơng tin quản lí hiệu quả,
cần xác định được các dạng thơng tin hỗ trợ cần thiết giúp phát huy tốt nhất các ưu ñiểm
suy luận sáng tạo và linh hoạt của người ra quyết định. Một hệ thơng tin quản lí “nhiều
máy tính q” thường dẫn đến phương án có tính cơ giới, sự phản ứng thiếu linh hoạt và
quyết ñịnh ở phạm vi hẹp. Trái lại, một hệ thông tin quản lí “nhiều tính người quá”
thường dẫn ñến sự phản ứng chậm chạp và sự hạn chế trong việc sử dụng số liệu cũng
như khả năng tìm kiếm và đánh giá các phương án thay thế. ðây chính là các vấn ñề cần
chú trọng khi các chuyên gia Vận trù học và Công nghệ thông tin cùng nhau xem xét và
xây dựng một hệ thơng tin quản lí.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Ch

ươ

ng II

MỘT SỐ MƠ HÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU

1. MƠ HÌNH QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

1.1. Phát biểu mơ hình quy hoạch tuyến tính

Với mục đích tìm hiểu bước đầu, xét mơ hình tốn học sau đây, cịn gọi là mơ hình
quy hoạch tuyến tính hay bài tốn quy hoạch tuyến tính (BTQHTT), mà trong đó chúng
ta muốn tối ưu hóa (cực đại hóa hay cực tiểu hố) hàm mục tiêu:

z = c1x1 + c2x2 + cnxn → Max (Min),

với các ñiều kiện ràng buộc:

a11x1 + a12x2 +... +a1nxn ≤ b1

a21x1 + a22x2 +... +a2nxn ≤ b2

...

am1x1 + am2x2 +... +amnxn ≤ bm

x1, x2,..., xn ≥ 0 (ñiều kiện không âm).

Trong trường hợp tổng quát, BTQHTT có thể bao gồm các ràng buộc dạng ≥, ≤
hoặc dạng =, các biến có thể có dấu ≥ 0, ≤ 0 hoặc dấu tùy ý.

Ví dụ 1: z = 8x1 + 6x2 → Max,

với các ràng buộc:

4x1 + 2x2 ≤ 60

2x1 + 4x2 ≤ 48

x1, x2 ≥ 0.

BTQHTT trên đây chính là một bài tốn quyết định. Cần tìm các giá trị của các biến
quyết ñịnh x1, x2 ñể các ràng buộc ñược thoả mãn và hàm mục tiêu ñạt giá trị lớn nhất.

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ………...16

Phương pháp ñồ thị giải BTQHTT hai biến

Phương pháp ñồ thị có ý nghĩa minh hoạ và giúp hiểu bản chất vấn ñề.

Bước 1: Vẽ miền ràng buộc/miền các phương án khả thi, là tập hợp các phương án

khả thi (các phương án, nếu nói một cách ngắn gọn). Mỗi phương án ñược thể hiện qua bộ
số (x1, x2) còn gọi là véc tơ nghiệm, thoả mãn tất cả các ràng buộc đã có (xem hình II.1).

− Trước hết chúng ta vẽ ñồ thị 4x1 + 2x2 = 60 bằng cách xác ñịnh hai ñiểm trên ñồ

thị: (0, 30) và (15, 0). ðồ thị trên là một ñường thẳng chia mặt phẳng làm hai nửa mặt
phẳng: một phần gồm các ñiểm (x1, x2) thoả mãn 4x1 + 2x2 ≤ 60; một phần thoả mãn 4x1

+ 2x2 ≥ 60. Ta tìm được nửa mặt phẳng thoả mãn 4x1 + 2x2 ≤ 60.

− Tương tự, có thể vẽ đồ thị 2x1 + 4x2 = 48 bằng cách xác ñịnh hai ñiểm thuộc ñồ

thị (0, 12) và (24, 0). Sau đó tìm nửa mặt phẳng thoả mãn 2x1 + 4x2 ≤ 48.

− Lúc này, giao của hai nửa mặt phẳng tìm được trên cho ta tập hợp các ñiểm (x1, x2)

thoả mãn hai ràng buộc ñầu tiên. Tuy nhiên, ñể thoả mãn ñiều kiện không âm của các
biến, ta chỉ xét các ñiểm nằm trong góc phần tư thứ nhất. Vậy miền các phương án khả
thi là miền giới hạn bởi tứ giác OABC.

Bước 2: Trong miền (OABC) ta tìm ñiểm (x1, x2) sao cho z = 8x1 + 6x2 ñạt giá trị

lớn nhất.

Cách 1:Dùng ñường ñồng mức. Tùy theo giá trị của x1, x2 mà z có mức giá trị khác

nhau.

− Vẽ ñường ñồng mức: 8x1 + 6x2 = c ở mức c = 24, (ta có thể chọn giá trị c bất kì,

nhưng chọn c = 24 là bội số chung của 6 và 8 để việc tìm toạ độ các điểm cắt hai trục toạ
ñộ thuận lợi hơn). Chúng ta dễ dàng tìm được hai điểm nằm trên đường đồng mức là (0,
4) và (3, 0). Các ñiểm nằm trên ñường ñồng mức này ñều cho giá trị hàm mục tiêu z = 24.

4x1 + 2x2 = 60

O
4

8
1

2x1 + 4x2 = 48

6 15

3 24

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

− Tương tự, có thể vẽ đường đồng mức thứ hai: 8x1 + 6x2 = 48 ñi qua hai ñiểm (0,

8) và (6, 0). Chúng ta nhận thấy, nếu tịnh tiến song song ñường ñồng mức lên trên theo
hướng của véc tơ pháp tuyến nr(8, 6) thì giá trị của hàm mục tiêu z = 8x1 + 6x2 tăng lên.

Vậy giá trị z lớn nhất ñạt ñược khi ñường ñồng mức ñi qua ñiểm B(12, 6) (tìm ñược
x1 = 12, x2 = 6 bằng cách giải hệ phương trình 4x1 + 2x2 = 60 và 2x1 + 4x2 = 48).

Kết luận: Trong các phương án khả thi thì phương án tối ưu là (x1, x2)= (12, 6). Tại

phương án này, giá trị hàm mục tiêu là lớn nhất zmax = 8 × 12 + 6 × 6 = 132.

Nhận xét: Phương án tối ưu của bài tốn trên (hay các BTQHTT khác, nếu có) ln

đạt được tại một trong các đỉnh của miền phương án khả thi D (là một tập lồi ña diện
trong trường hợp BTQHTT tổng quát) hay còn gọi là các điểm cực biên (chính xác hơn,
miền điểm cực biên là điểm thuộc miền D, mà khơng thể tìm được một đoạn thẳng nào
cũng thuộc miền D nhận điểm đó là điểm trong). Nhận xét trên đây là một định lí tốn
học đã được chứng minh một cách tổng qt trong các giáo trình mơn học Tối ưu hố.
Nói một cách hình ảnh, muốn đạt ñược phương án tối ưu cho các BTQHTT thì cần phải
“mạo hiểm” ñi xét các ñiểm cực biên của miền phương án khả thi.

Cách 2: Từ nhận xét trên, để tìm phương án tối ưu ta chỉ cần so sánh giá trị của hàm
mục tiêu tại các ñiểm cực biên của miền phương án.

Tính giá trị z tại O(0, 0): z(0, 0) = 0; tại A(0, 12): z(0, 12) = 72; tại C(15,0): z(15, 0)
= 120; tại B(12, 6): z(12, 6) = 132 = Max{z(O), z(A), z(B), z(C)}. Vậy zmax = 132.

Nhận xét: Muốn tìm phương án tối ưu của BTQHTT ta xuất phát từ một điểm cực biên

nào đó, tìm cách cải thiện hàm mục tiêu bằng cách ñi tới ñiểm cực biên kề nó. Tiếp tục như
vậy cho tới khi tìm ñược phương án tối ưu. Trong trường hợp BTQHTT có phương án tối
ưu thì quy trình giải này bao gồm hữu hạn bước (do số ñiểm cực biên là hữu hạn).

Sơđồ khối

Bắt đầu

Nhập dữ liệu

Tìm ñiểm cực biên
xuất phát

Tìm

ñiểm cực biên
kề tốt hơn
Kiểm tra

ñiều kiện tối ưu

In và lưu trữ kết quả

Dừng

đúng

Sai

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ………...18

ðối với BTQHTT đang xét, quy trình giải được minh hoạ như sau:
O(0, 0) → A(0,12) → B(12,6) dừng
z = 0 → z = 72 → z = 132
hoặc: O(0, 0) → C(15, 0) → B(12, 6) dừng

z = 0 → z = 120 → z = 132.

Quy trình giải BTQHTT tổng qt có sơ ñồ khối giản lược như trình bày trên hình
II.2. Trong sơ đồ trên, vì mục đích trình bày vấn ñề ñơn giản, chúng ta không ñề cập tới
các trường hợp khi BTQHTT có miền phương án là tập rỗng (lúc đó ta khơng tìm được
phương án xuất phát) cũng như khi ta khơng tìm được điểm cực biên kề tốt hơn mặc dù
ñiều kiện tối ưu chưa thoả mãn (lúc đó tập các giá trị hàm mục tiêu z khơng bị chặn).

1.2. Phương pháp đơn hình giải BTQHTT dạng chính tắc

ðây là phương pháp số giải BTQHTT theo sơ ñồ trên. ðể giải ví dụ 1 trên đây,
trước hết chúng ta cần đưa BTQHTT về dạng chính tắc bằng cách thêm vào các biến bù
không âm x3 và x4 như sau:

z = 8x1 + 6x2 + 0x3 + 0x4 → Max

với các ràng buộc:

4x1 + 2x2 + x3 = 60

2x1 + 4x2 + x4 = 48

x1, x2, x3, x4 ≥ 0.

Một cách tổng qt, BTQHTT dạng chính tắc là bài tốn với các biến không âm,

các ràng buộc với dấu “=”, hệ số vế phải của các ràng buộc không âm. Ngồi ra, mỗi

phương trình bắt buộc phải có một biến ñứng ñộc lập với hệ số +1.

ðể giải BTQHTT dạng chính tắc trên đây, cần lập một số bảng đơn hình như trình
bày trong bảng II.1. Trước hết, cần điền số liệu của bài tốn đã cho vào bảng đơn hình
bước 1:

− Cột 1 là cột hệ số hàm mục tiêu ứng với các biến cơ sở đã chọn. Phương án xuất
phát có thể chọn là x1 = x2 = 0 (đây chính là ñiểm gốc toạ ñộ O(0, 0)), do ñó x3 = 60, x4

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

giá trị lớn hơn 0 còn x1 và x2 là các biến ngồi cơ sở vì chúng có giá trị bằng 0. Với bài

tốn có hai ràng buộc, tại mỗi bước chỉ có hai biến cơ sở.

− Cột 2 là cột các biến cơ sở. Trong cột 3 (cột phương án) cần ghi các giá trị của các
biến cơ sở ñã chọn.

− Các cột tiếp theo là các cột hệ số trong các ñiều kiện ràng buộc tương ứng với các
biến x1, x2, x3 và x4 của bài tốn đã cho.

Bảng II.1. Các bảng đơn hình giải BTQHTT

c1 = 8 c2 = 6 c3 = 0 c4 = 0
Hệ số hàm mục

tiêu cj Bi

ến cơ sở Phương án

x1 x2 x3 x4

0
0
x3
x4
60
48
4
2
2
4

1
0
0
1
Hàng z z0 = 0 z1 = 0 z2 = 0 z3 = 0 z4 = 0
Hàng ∆j = cj − zj ∆1 = 8 ∆2 = 6 ∆3 = 0 ∆4 = 0
8
0
x1
x4
15
18
1
0
1/2
3
1/4
−1/2
0
1
Hàng z z0 = 120 z1 = 8 z2 = 4 z3 = 2 z4 = 0
Hàng ∆j = cj − zj ∆1 = 0 ∆2 = 2 ∆3 = −2 ∆4 = 0
8
6
x1
x2
12
6
1
0

0
1
1/3
−1/6
−1/6
1/3

Hàng z z0 = 132 8 6 5/3 2/3

Hàng ∆j = cj − zj 0 0 −5/3 −2/3

Phân tích bảng đơn hình bước 1

− Hệ số ứng với biến x1 trên hàng thứ nhất là a11 = 4 có nghĩa là tỉ lệ thay thế riêng

giữa một ñơn vị sản phẩm loại I và một ñơn vị sản phẩm loại III là 4 (giải thích: xét
phương trình/ràng buộc thứ nhất 4x1 + 2x2 + x3 = 60, x1 tăng một ñơn vị thì x3 phải

giảm bốn đơn vị nếu giữ nguyên x2). Tương tự ta có thể giải thích được ý nghĩa của các

hệ số aij khác cho trên hàng 1 và hàng 2 trong bảng ñơn hình bước 1.

− Chúng ta xét hàng z của bảng đơn hình. ðể tính z1, cần áp dụng công thức z1 =

(cột hệ số của hàm mục tiêu) × (cột hệ số của biến x1) = 0×4 + 0×2 = (giá một đơn vị

sản phẩm loại III)×(tỉ lệ thay thế riêng loại I/loại III) + (giá một đơn vị sản phẩm loại
IV) × (tỉ lệ thay thế riêng loại I/loại IV) = tổng chi phí phải bỏ ra khi ñưa thêm một ñơn
vị sản phẩm loại I vào phương án sản xuất mới = 0. Các giá trị zj, với j = 1, 2, 3, 4, được

tính tương tự và chính là các chi phí khi đưa một thêm một đơn vị sản phẩm loại xj vào

phương án sản xuất mới. Còn z0 là giá trị của hàm mục tiêu ñạt ñược tại phương án ñang

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ………...20

− Trên hàng ∆j cần ghi các giá trị ∆j, j = 1, 2, 3, 4, tính theo cơng thức ∆j = cj -zj = lợi

nhuận trên một ñơn vị sản phẩm - chi phí trên một đơn vị sản phẩm. Vậy ∆j là "lãi

biên"/một ñơn vị sản phẩm khi ñưa thêm một ñơn vị sản phẩm loại j vào phương án sản
xuất mới. Nếu ∆j > 0 thì hàm mục tiêu cịn tăng được khi ta đưa thêm các đơn vị sản

phẩm loại j vào phương án sản xuất mới. Có thể chứng minh được ∆j chính là đạo hàm

riêng ∂z/∂xj của hàm mục tiêu z theo biến xj. Như vậy, x1 tăng lên 1 thì z tăng lên 8 cịn

x2 tăng lên 1 thì z tăng lên 6.

Do ∆1 và ∆2 đều dương nên vẫn cịn khả năng cải thiện hàm mục tiêu khi chuyển

sang (hay “xoay sang”) một phương án cực biên kề tốt hơn (quay lại nhận xét ở phần
giải bài toán bằng phương pháp ñồ thị: ñiểm cực biên kề của ñiểm (0, 0) có thể là A(0,
12) hay C(15, 0)).

Thủ tục xoay

Bước 1: Chọn cột xoay là cột có ∆j > 0 tức là chọn biến xj làm biến cơ sở mới do xj

tăng kéo theo hàm mục tiêu tăng. Ở ñây ta chọn ñưa x1 vào (ñánh dấu √ ở cột ∆1).

Bước 2: Chọn hàng xoay ñể xác ñịnh ñưa biến nào ra khỏi số biến cơ sở (vì tại mỗi
bước số biến cơ sở là khơng thay đổi). ðể chọn hàng xoay, ta thực hiện quy tắc “tỉ số
dương bé nhất" bằng cách lấy cột phương án (60, 48)T chia tương ứng cho cột xoay (4,

2)T ñể chọn tỉ số bé nhất. Một ñiều cần chú ý là ta chỉ xét các tỉ số có mẫu số dương.
Vì Min{60/4, 48/2} = 60/4 ñạt ñược tại hàng ñầu, nên ta ñánh dấu √ vào hàng xoay
là hàng ñầu (hàng tương ứng với biến x3). Do đó cần đưa x3 ra khỏi các biến cơ sở.

Bước 3: Chọn phần tử xoay nằm trên giao của hàng xoay và cột xoay.

Bước 4: Xoay sang bảng đơn hình mới, xác ñịnh các biến cơ sở mới ñể ñiền vào cột
biến cơ sở, ñồng thời thay các giá trị trong cột hệ số hàm mục tiêu. Sau đó, tính lại các
phần tử của hàng xoay bằng cách lấy hàng xoay cũ chia cho phần tử xoay để có hàng
mới tương ứng.

Bước 5: Các phần tử còn lại của bảng đơn hình mới được tính theo quy tắc "hình
chữ nhật": (1)mới = (1)cũ - (2)cũ× (4)cũ/(3)cũ, trong đó (3) là đỉnh tương ứng với phần tử
xoay (xem hình II.3).

(1)

(2) (3)

(4)

Chẳng hạn: (1)cũ = 4, 2(cũ) = 2

(3)cũ = phần tử xoay = 4, (4)cũ = 2 ⇒ (1)mới

= 4 − 2 ×
4
2

= 3.

</div>