Giáo trình Mật mã học - PGS.TS. Nguyễn Bình (chủ biên) - Trường Đại Học Quốc Tế Hồng Bàng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (369.7 KB, 20 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Lời nói đầu

Trong s phỏt trin của xã hội lồi ng−ời, kể từ khi có sự trao 
đổi thơng tin, an tồn thơng tin trở thành một nhu cầu gắn liền với nó 
nh− hình với bóng. Từ thủa sơ khai, an tồn thơng tin đ−ợc hiểu đơn 
giản là giữ đ−ợc bí mật và điều này đ−ợc xem nh− một nghệ thuật chứ 
ch−a phải là một ngành khoa học. Với sự phát triển của khoa học kỹ 
thuật và công nghệ, cùng với các nhu cầu đặc biệt có liên quan tới an 
tồn thơng tin, ngày nay các kỹ thuật chính trong an tồn thơng tin bao 
gồm: Kỹ thuật mật mã (Cryptography), Kỹ thuật nguỵ trang 
(Steganography), Kỹ thuật tạo bóng mờ (Watermarking - hay xăm điện 
tử). Kỹ thuật mật mã nhằm đảm bảo ba dịch vụ an tồn cơ bản:Bí mật 
(Confidential), Xác thực (Authentication), Đảm bảo tính tồn vẹn 
(Integrity). Có thể thấy rằng mật mã học là một lĩnh vực khoa học rộng 
lớn có liên quan rất nhiều đến tốn học nh−: Đại số tuyến tính, Lý 
thuyết thơng tin, Lý thuyết độ phức tạp tính tốn….

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Hy vọng cuốn sách sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho giảng 
viên, sinh viên các tr−ờng đại học về kỹ thuật và công nghệ.

Xin trân trọng gii thiu cựng bn c.

Hà Nội, ngày 23 tháng 10 năm 2003

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

thuật ngữ viết tắt

DES Data Encryption Standard Chn m· d÷ liƯu
LAN Local Area Network M¹ng cơc bé

MDV MÃ dịch vòng

MTT MÃ thay thế

MHV MÃ hoán vị

ECB Electronic Code Book Chế độ quyển mã điện tử
CFB Cripher Feedback Chế độ phản hồi mã
CBC Cripher Block Chaining Chế độ liên kết khối mã
RSA Rivest - Shamir - Adleman

MAC Message Authentication Code Mã xác thực thông báo
OWHF Oneway Hash Funtion Hàm băm một chiều
CRHF Collision Resistant hash function Hàm băm khó va chạm
MDC Manipulation Detection Code Mã phát hiện sự sửa đổi
LSB Least Signification Bit Bit thấp nhất (có giá trị nhỏ

nhÊt

Header Tiêu đề

IDEA International Data Encryption
Algorithm

Thuật toán mÃ hóa dữ liÖu
quèc tÕ

PGP Pretty Good Privacy ThuËt to¸n m· hãa PGP
SET Secure Electronic Transaction Giao dịch điện tử an toàn
LFSR Linear Feedback Sequence

Thanh ghi håi tiÕp tuyÕn tÝnh

Firewall Bøc t−êng lưa

Server M¸y chđ

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

PhÇn I

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

bỉ tóc vỊ lý thuyết số

1.1. Số nguyên

Tập các số nguyên

{

K,3,2,1,0,1,2,3,K

}

=Z.

1.1.1. §Þnh nghÜa 1.1

Cho a,b∈Ζ

a lμ−íc cđa b nÕu ∃c∈Z:b=a.c. Ký hiƯu lμ ab.

1.1.2. C¸c tÝnh chÊt chia hÕt

Ζ
∈

∀a,b,c ta cã:
(i)aa.

(ii) NÕu abvμ cb th× ac.

(iii) NÕu ba vμ ca th× a

(

bx +cy

)

víi ∀x,y∈Z.
(iv) NÕu abvμ ab th× a=±b.

1.1.3. Định nghĩa 1.2 (Thuật tốn chia đối với các số nguyên)

NÕu a vμ b lμ c¸c sè nguyên với b1
thì a=qb+r; 0r<b

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

PhÇn d− cđa phÐp chia a vμ b đợc ký hiệu amodb=r
Thơng của phép chia a v b đợc ký hiệu adivb=q

Ta có .

b
a
b
a
b
mod
a
,
b
a
b
div
a

Ví dô: a = 73, b = 17.

73 div 17 = 4, 73 mod 17 = 5.

1.1.4. Định nghĩa 1.3 (Ước chung)

c lớc chung của a v b nếu ca&cb.

1.1.5. Định nghĩa 1.4 (Ước chung lớn nhất (ƯCLN))

Số nguyên dơng d l ƯCLN của các số nguyên a v b (Ký
hiệu d = (a, b)) nÕu:

(i) d lμ−íc chung cđa a vμ b.
(ii) NÕu cã cavμ cb th× cd.

Nh vậy (a,b) l số nguyên dơng lớn nhất ớc của cả a v b
không kể (0,0) = 0.

VÝ dơ: C¸c −íc chung cđa 12 vμ 18 lμ

{

±1,±2,±3,±6

}

(12,18) = 6

1.1.6. Định nghĩa 1.5 (Bội chung nhỏ nhất (BCNN))

Số nguyên dơng d l BCNN của các số nguyên a vμ b (Ký
hiÖu d = BCNN (a,b)) nÕu:

(i) ad,bd.

(ii) Nếu có ac, bc thì dc.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Chơng 1: Bỉ tóc vỊ lý thut sè 11

1.1.7. TÝnh chÊt

( ) ( )

a,b
b
.
a
b
,
a
BCNN =

VÝ dô:

(

)

(

)

6
18
.

12
18
,
12
BCNN
6

18
,

12 = = =

.

1.1.8. Định nghĩa 1.6

Hai số nguyên dơng a v b đợc gọi l nguyên tố cùng nhau
nếu: (a,b) = 1.

1.1.9. Định nghĩa 1.7

Số nguyênp2đợc gọi l số nguyên tố nếu các ớc dơng
của nó chỉ l 1 v p. Ngợc lại p đợc gọi l hợp số.

1.1.10. Định lý cơ bản của số học

Với mỗi số nguyên n2 ta luôn phân tích đợc dới dạng
tích của luỹ thừa của các số nguyªn tè.

k
2

1 e

k
e
2
e

Cho a v b l các số nguyên không âm v nhỏ hơn hoặc bằng
n. Cần chú ý rằng số các bit trong biểu diễn nhị phân cña n lμ

[lgn] + 1 vμ số nμy xấp xỉ bằng lgn. Số các phép toán bit đối với
bốn phép toán cơ bản trên các số lμ cộng, trừ, nhân vμ chia sử
dụng các thuật toán kinh điển đ−ợc tóm l−ợc trên bảng 1.1. Các kỹ
thuật tinh tế hơn đối với các phép toán nhân vμ chia s cú phc
tp nh hn.

Bảng 1.1: Độ phức tạp bit của các phép toán cơ bản trong Z

Phép toán Độ phức tạp bit

Cộng a + b 0(lga + lgb) = 0(lgn)
Trõ a – b 0(lga + lgb) = 0(lgn)
Nh©n a.b 0((lga).(lgb)) = 0((lgn)2)

Chia a = qb + r 0((lga).(lgb)) = 0((lgn)2)

ƯCLN của 2 số nguyên a vμ b có thể c tớnh theo nh lý sau:

1.2.1. Định lý 1.2

NÕu 1 2 k 1 2 fk

k
f
2
f
1

e
k
e
2
e

1 p p ,b p p ...p

a= K = trong đó ei ≥0,fi ≥0
thì

( )

( 1 1) ( 2 2) min(ek,fk)

k
f
,
e
min
2
f
,
e
min

1 p p

p
b
,
a

CLN = K

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Ch−¬ng 1: Bỉ tóc vỊ lý thut sè 13
vμ

( )

(1 1) ( 2 2) max(ek,fk)

k
f
,
e
max
2
f
,
e
max

1 p p

p
b
,
a

BCNN = K .

Ví dụ: Cho a = 4864 = 28.19; b = 3458 = 2.7.13.19. Khi đó:

( ) (

)

( ) (

a,b 4864,3458

)

2 .7.13.19 442624.
BCNN
38
19
.
2
3458
,
4864
b
,
a
CLN
8 =
=
=
=
=
=

1.2.2. Định lý 1.3

Nếu a v b l các số nguyên dơng với a>b thì ƯCLN(a,b) =
ƯCLN (b,a mod b). Thuật toán Euclide sau sẽ cho ta cách tính
ƯCLN rất hiệu quả m không cần phải phân tÝch ra thõa sè
nguyªn tè.

1.2.3. Thuật toán Euclide

Tính ƯCLN của 2 số nguyên

Vo : Hai số nguyên không âm a v b víi a > b
Ra : ¦CLN cđa a vμ b.

(1) While b≠0 do

r
b
,
b
a
,
b
mod
a

r← ← ←

(2) Return (a).

1.2.4. Định lý 1.4

Thuật toán trên có thời gian chạy chừng 0(

( )

lgn 2) các phép
toán bit.

Ví dụ: Sau đây l các bớc chia của thuật toán trên khi tính:

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Thuật tốn trên có thể đ−ợc mở rộng để khơng những chỉ
tính đ−ợc ƯCLN của 2 số nguyên a vμ b mμ cịn tính đ−ợc các số

ngun x vμ y thoả mãn ax+by=d.

1.2.5. ThuËt to¸n Euclide më rộng

Vo : Hai số nguyên không âm a v b với ab

Ra : d = ƯCLN(a,b) v các sè nguyªn x vμ y tháa m·n
ax+by=d.

(1) Nếu b= 0 thì đặt d ←a , x←1 , y←0 vμ return (d, x, y)
(2) Đặt x2 ←1, x1 ←0, y2 ←0, y1←1

(3) While b > 0 do

(3.1) q←

⎣

a/b

⎦

,r←a−qb,x←x2−qx1,y←y2−qy1
(3.2) a←b, b←r, x2 ←x1, x1←x, y2 ←y1, y1 y
(4) Đặt da,xx2,yy2 v v return (d, x, y).

1.2.6. Định lý 1.5

Thuật toán trên có thời gian chạy cỡ 0((lgn)2) các phép toán bit.
Ví dụ: Bảng 1.2 sau chỉ ra các bớc của thuật toán trên với
các giá trị vo a = 4864 v b = 3458

Bảng 1.2: Thuật toán Euclide mở rộng

Q r x y a b x2 x1 y2 y1

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Ch−¬ng 1: Bổ túc về lý thuyết số 15
Với các đầu vμo a = 4864 vμ b = 3458

Bëi vËy ta cã:

¦CLN(4864,3458) = 38 vμ (4864)(32) + (3458)(-45) = 38.
1.3. Các số nguyên modulo n

1.3.1. Định nghÜa 1.9

Nếu a vμ b lμ các số nguyên thì a đ−ợc gọi lμ đồng d− với b
theo modulo (ký hiệu lμ a = b mod n) nếu n

(

a−b

)

Số nguyên n đ−ợc gọi lμ modulo đồng d−.
Ví dụ: 24≡9mod5vì 24 – 9 = 3.5

1117mod7 vì 1117= 4.7.

1.3.2. Các tính chất

Đối víi a,a1,b,b1,c∈Ζ ta cã:

(1) a≡b

(

modn

)

th×

(

modn

)

Nếu x tồn tại thì nó lμ duy nhất, a đ−ợc gọi lμ khả nghịch.
Phần tử nghịch đảo của a đ−ợc ký hiu l a1.

1.3.5. Định nghĩa 1.12

Phộp chia của a cho bmodnlμ tích của a vμ b−1 mod n tích

nμy đ−ợc xác định nếu b lμ phn t kh nghch

1.3.6. Định lý 1.6

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Ch−¬ng 1: Bỉ tóc vỊ lý thut sè 17

1.3.7. §Þnh lý 1.7

Cho d = (a,n). Ph−ơng trình đồng d− ax≡b

(

modn

)

có nghiệm
x nếu vμ chỉ nếu db, trong tr−ờng hợp nμy có đúng d nghiệm nằm
giữa 0 vμ n - 1, những nghiệm nμy lμ tất c cỏc ng d theo
modulo nd.

1.3.8. Định lý 1.8 (PhÇn d− China)

Nếu các số nguyên n1,n2,K,nk lμ ngun tố cùng nhau từng
đơi một thì hệ các ph−ơng trình đồng d−:

(

)

(

)

(

)

2
2

1
1

n
mod
a

....
...
...

n
mod
a

≡
≡
≡

sÏ cã nghiÖm duy nhÊt theo modulo n

(

n = n1.n2Knk

)

1.3.9. ThuËt to¸n Gausse

Nghiệm x của hệ ph−ơng trình đồng d− trong định lý phần
d− China có thể đ−ợc tính bằng:

∑

= k

1
i

i
i

iN M mod n

a
x

Trong đó: Ni =n/nivμ Mi = Ni1mod ni

Các tính toán ny có thể đợc thực hiện trong 0(

( )

lgn2) các
phép toán trên bit.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

1.3.11. Định nghĩa 1.13

Nhóm nh©n cđa Z ln μ Zn* =

{

a∈Zn

( )

a,n =1

}

Đặc biệt, nếu n l số nguyên tố thì Zn* =

{

a 1an1

}

1.3.12. Định nghĩa 1.14

Cấp của Z l*n số các phần tử trong Z (ký hiÖu *n Z ) *n

Theo định nghĩa của hμm Phi-Euler ta thấy:
Z*n =Φ

( )

Cần để ý rằng nếu a∈Zn* vμ b∈Zn* thì a,b∈Z*n vμ bởi vậy

*
n

Z lμ đóng đối với phộp nhõn.

1.3.13. Định lý 1.10

Cho p l một số nguyên tố:

(1) Định lý Euler: Nếu aZn* thì aΦ( )n ≡1

(

mod n

)

(2) NÕu n lμ tÝch cña các số nguyên khác nhau v nếu

( )

(

mod n

)

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Ch−¬ng 1: Bỉ tóc vỊ lý thut số 19

1.3.14. Định lý 1.11

Cho p l một số nguyên tố:

(1) Định lý Ferma: Nếu

( )

a,p =1 thì ap−1 ≡1

(

mod p

)

(2) Nếur ≡s

(

mod p−1

)

thì ar ≡ as

(

mod p

)

đối với mọi số
nguyên a. Nói một cách khác khi lμm việc với modulo của một số
ngun tố p thì các luỹ thừa có thể đ−ợc rỳt gn theo modulo p - 1.

(3) Đặc biệt ap ≡ a

(

mod p

)

víi mäi sè nguyªn a.

1.3.15. §Þnh nghÜa 1.15

Cho a∈Z*n. CÊp cđa a (ký hiƯu l ord

( )

a ) l số nguyên dơng
nhỏ nhất t sao cho at 1

(

mod n

)

1.3.16. Định nghĩa 1.16

7 Φ 3 = 12 = Z21* . Cấp của các
phần tử trong Z*21 đợc nêu trong bảng sau:

Bảng 13: Cấp của các phần tử trong Z*21

*
21

a∈ 1 2 4 5 8 10 11 13 16 17 19 20

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

1.3.17. §Þnh nghÜa 1.17

Cho α∈Zn* . NÕu cÊp cđa

( )

n thì đợc gọi l phần
tử sinh hay phần tử nguyên thủy của Z . NÕu *n Z cã mét phÇn tư *n
sinh thì Z đ*n ợc gọi l cyclic.

1.3.18. Các tính chất của các phần tử sinh của

Z

*n

(1)

Z

*n cã phÇn tư sinh nÕu vμ chØ nÕu n=2,4,pk hc lμ

2 , trong đó p lμ một số ngun tố lẻ vμ k≥1. Đặc biệt, nếu p lμ

mét sè nguyên tố thì

Z

*n có phần tử sinh.
(2) Nếu

l một phần tử sinh của

Z

*nthì:
Zn* ={αimodn 0≤i≤Φ

( )

n −1}

(3) Giả sử rằng α lμ một phần tử sinh của

Z

*n, khi đó
n

mod

b = αi cịng lμ mét phÇn tư sinh cña

Z

*n nÕu vμ chØ nÕu

( )

(

i,Φn

)

=1. Từ đó ta rút ra rằng nếu

Z

*n lμ cyclic thì số các phần
tử sinh lμ Φ

(

( )

)

(4)

α

( )

21 =12 (Chó ý rằng 21 không thỏa mÃn điều kiện (1) ở trên).

*
25

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Ch−¬ng 1: Bỉ tóc vỊ lý thut số 21

1.3.19. Định nghĩa 1.18

Cho aZ*n, a đợc gọi l thặng d bậc hai modulo n (hay
bình phơng cđa modulo n) nÕu tån t¹i x∈Z*n sao cho

(

modn

)

x2 ≡ . Nếu khơng tồn tại x nh− vậy thì a đ−ợc gọi lμ thặng
d− không bậc hai mod n. Tập tất cả các thặng d− bậc hai modulo
n đ−ợc ký hiệu lμ Qn, còn tập tất cả các thặng d− không bậc hai
đ−ợc ký hiệu lμ Q . Cần chú ý rằng theo định ngha n 0Z*n. Bi
vy 0Qnv 0Qn .

1.3.20. Định lý 1.12

Cho p l một số nguyên tố lẻ vμ α lμ mét phÇn tư sinh cđa

*
p

Z . Khi đó a∈Z*p lμ một thặng d− bậc hai modulo p nếu vμ chỉ
nếu a = αi mod p, trong đó i lμ một số nguyên chẵn. Từ đó rút ra
rằng

(

)

2
1
p

Qp = − vμ

(

)

1
p

Qp = − , tøc lμ mét nưa sè phÇn tư trong

*
p

Z l các thặng d bậc hai v nửa còn lại thặng d không bậc hai.
Ví dụ: =6 l một phần tử sinh của

Z

*13. Các lũy thừa của

đợc liệt kê ở bảng sau:

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

αi mod 13 1 6 10 8 9 2 12 7 3 5 4 11

Bëi vậy Q13 ={1,3,4,9,10,12}, Q13 ={2,5,6,7,8,11}.
1.3.21. Định lý 1.13

Cho n lμ tích của hai số nguyên tố lẻ khác nhau q vμ p,
n = p.q, khi đó a∈Z*n lμ một thặng d− bậc hai modulo n nếu vμ chỉ

nếu a∈Qpvμ a∈Qp. Điều đó dẫn tới

(

)(

)

4
1
q
1
p
Q
.
Q

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

vµ

(

)(

)

4
1
q
1
p
3

Qn = − −

Ví dụ: Cho n = 21. Khi đó

Q21 ={1,4,16} Q21 ={2,5,8,10,11,13,17,19,20}

1.3.22. Định nghĩa 1.19

Cho aQn. Nếu xZ*nthỏa mÃnx2 a

(

modn

)

thì x đợc gọi
l căn bậc hai của a mod n.

1.3.23. Định lý 1.14 (Số các căn bậc hai)

(1) Nếu p l một số nguyên tố lẻ v aQnthì a đợc gọi l

căn bậc hai theo modulo p.

(2) Tổng quát hơn, cho 1 2 ek

k
e
2
e

1 p p

n= K , trong đó pi lμ các số
nguyên tố lẻ phân biệt vμ ei ≥1. Nếu a∈Qnthì có đúng 2k căn bậc 
hai khác nhau theo modulo n.

Ví dụ: Các căn bậc 2 của 12 mod 37 l 7 v 30. Các căn bậc 2
của 121 mod 315 lμ 11, 74, 101, 151, 164, 214, 241 vμ 304.

1.4. C¸c thuËt to¸n trong Zn

Cho n l một số nguyên dơng. Các phần tử của Zn sẽ đợc
biểu thị bởi các số nguyên Q21 =

{

0,1,2,...,n1

}

Ta thÊy r»ng, nÕu a,b∈Znth×

(

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

ki 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1

A 5 25 625 681 1011 369 421 779 947 925
b 1 1 625 625 67 67 1059 1059 1059 1013

Số các phép toán bit đối với phép toán cơ bản trong Zn đ−ợc
tóm l−ợc trong bảng 1.5.

Bảng 1.5: Độ phức tạp bit của các phép toán cơ bản trong Zn

Phép toán Độ phức tạp bit

Nghịch đảo modulo a-1 mod n 0((lgn)2)

Lòy thõa modulo ak mod n, k < n 0((lgn)3)

1.5. c¸c ký hiƯu legendre vμ jacobi

</div>

Giáo trình Mật mã học - PGS.TS. Nguyễn Bình (chủ biên) - Trường Đại Học Quốc Tế Hồng Bàng

Lời nói đầu

<b>thuật ngữ viết tắt </b>

PhÇn I

<b>bỉ tóc vỊ lý thuyết số </b>

{

}

(

)

{

}

( ) ( )

(

)

(

)

.

( )

[ ]

( )

( )

( )

( )

( ) (

)

( ) (

)

( )

⎣

⎦

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

{

}

{

}

Z

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

∑

( )

(

)

(