Tài liệu mạch RLC có phần tử thay dổi

Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp
LỜI MỞ ĐẦU
- Bài toán cực trị trong mạch điện xoay chiều là một dạng bài toán khó đối với học
sinh lớp 12 và cũng ít tài liệu hệ thống hóa một cách đầy đủ về dạng bài toán này.
- Với đề thi trắc nghiệm đại học như hiện nay, việc áp dụng trực tiếp kết quả của
bài toán cực trị sẽ làm cho học sinh không có cái nhìn tổng quan về phương pháp
giải các dạng toán này.
- Chính vì lý do đó, nay tôi viết đề tài “ CỰC TRỊ TRONG BÀI TOÁN ĐIỆN
XOAY CHIỀU “ nhằm hệ thống hóa một số dạng toán cực trị của bài toán này
phục vụ cho công tác giãng dạy của các bạn đồng nghiệp, cũng như một tài liệu để
học sinh tham khảo trong quá trỉnh học.
- Đề tài gồm bốn phần : khảo sát sự biến thiên của các đại lượng như công suất,
hiệu điện thế của các thiết bị… theo giá trị của biến trở R, theo giá trị của độ tự
cảm L, theo giá trị của điện dung C và theo giá trị của tần số góc ω.
- Vì thời gian có hạn, nên trong quá trình viết có thể có nhiều thiếu xót, mong được
sự đóng góp của quý đồng nghiệp và các em học sinh.
Trang
1
Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp
MỤC LỤC
I. Sự thay đổi R trong mạch R-L-C mắc nối tiếp
1. Có hai giá trị R
1
≠ R
2
cho cùng một giá trị công suất
2. Giá trị của R làm cho công suất cực đại
a. Giá trị R làm công suất toàn mạch cực đại
b. Giá trị R làm cho công suất của R cực đại
c. Giá trị R làm cho công suất cuộn dây cực đại.
3. Khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của R

II. Sự thay đổi L trong mạch R-L-C mắc nối tiếp với cuộn dây thuần cảm.
1. Có hai giá trị L
1
≠ L
2
cho cùng giá trị công suất
2. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo cảm kháng.
3. Giá trị Z
L
để hiệu điện thế U
Lmax

4. Có hai giá trị L
1
≠ L
2
cho cùng giá trị U
L
,giá trị L để U
Lmax
tính theo L
1
và L
2
.
5. Giá trị Z
L
để hiệu điện thế U
LRrmax
III. Sự thay đổi C trong mạch R-L-C mắc nối tiếp.

1. Có hai giá trị C
1
≠ C
2
cho cùng giá trị công suất
2. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo dung kháng.
3. Giá trị Z
C
để hiệu điện thế U
Cmax

4. Có hai giá trị C
1
≠ C
2
cho cùng giá trị U
L
và giá trị Z
C
để U
Cmax
tính theo C
1
và C
2
.
5. Giá trị Z
C
để hiệu điện thế U
CRrmax

IV. Sự thay đổi ω trong mạch R-L-C mắc nối tiếp
1. Giá trị ω làm cho P
max
2. Khảo sát sự biến thiên công suất theo ω.
3. Có hai giá trị ω
1
≠ ω
2
cho cùng công suất và giá trị ω làm cho P
max
tính theo ω
1
và ω
2

4. Giá trị ω làm cho hiệu điện thế U
Lmax
5. Giá trị ω làm cho hiệu điện thế U
cmax

Trang
2
Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp
I. Sự thay đổi R trong mạch R-L-C mắc nối tiếp:
Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định :
0
cos( )
u
u U t
ω ϕ

= +
R là một biến trở, các giá trị R
0
, L và C không đổi.
Gọi R
td
= R + R
0
1. Có hai giá trị R
1
≠ R
2
cho cùng một giá trị công suất
- Công suất tiêu thụ trên mạch là :
2
2
2 2
( )
td td
td L C
U
P R I R
R Z Z
= =
+ −
- Vì P
1
= P
2
= P nên ta có thể xem như công suất trong phương trình trên là một số không

đổi ứng với hai giá trị R
1
và R
2
. Khai triển biểu thức trên ta có:
2 2 2
( ) 0
td td L C
PR R U P Z Z− + − =
- Nếu có 2 giá trị của điện trở cho cùng một giá trị công suất thì phương trình bậc 2 trên
có hai nghiệm phân biệt R
1
và R
2
. Theo định lý Viète (Vi-et):
2 2
1 2 1 0 2 0
2 2
1 2 1 2 0
. ( ) ( )( ) ( )
2
td td L C L C
td td
R R Z Z R R R R Z Z
U U
R R R R R
P P
 
= − + + = −
 

⇔
 
+ = + + =
 
 
- Từ đó ta thấy rằng có 2 giá trị R
1
và R
2
khác nhau cho cùng giá trị công suất
2. Giá trị của R làm cho công suất cực đại
a. Giá trị R làm công suất toàn mạch cực đại
- Ta có:
2 2
2
2
2 2
( )
( )
td td
L C
td L C
td
td
U U
P R I R
Z Z
R Z Z
R
R

= = =
−
+ −
+
- Đặt
2
( )
L C
td
td
Z Z
A R
R
−
= +
, áp dụng bất đẳng thức Cauchy(Côsi) cho A
2 2
( ) ( )
2 2
L C L C
td td L C
td td
Z Z Z Z
A R R Z Z const
R R
− −
= + ≥ = − =
- Ta thấy rằng P
max
khi A

min
=> “ =” xảy ra. Vậy:
td L C
R Z Z
= −
- Khi đó giá trị cực đại của công suất là:
2 2 2
max
1 2 1 0 2 0
2
2 . 2 ( )( )
L C
td td
U U U
P
Z Z
R R R R R R
= = =
−
+ +
Với R
1td
và R
2td
là hai giá trị của R cho cùng giá trị công suất.
Lưu ý: Khi
0L C
Z Z R− <
thì giá trị biến trở R < 0, khi đó giá trị biến trở làm cho công
suất toàn mạch cực đại là R = 0.

b. Giá trị R làm cho công suất của R cực đại
- Công suất của biến trở R là
2 2
2
2 2
2 2
0
0
( ) ( )
( ) ( )
R
L C
L C
U U
P R I R
R R Z Z
R R Z Z
R
= = =
+ + −
+ + −
Trang
3
A
B
C
R
L,R
0
Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp

- Đặt mẩu thức của biểu thức trên là :
2 2 2 2
0 0
0
( ) ( ) ( )
2
L C L C
R R Z Z R Z Z
A R R
R R
+ + − + −
= = + +
- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho A ta được:
2 2 2 2
2 2
0 0
0 0 0 0
( ) ( )
2 2 2 2 ( ) 2
L C L C
L C
R Z Z R Z Z
A R R R R R Z Z R const
R R
+ − + −
= + + ≥ + = + − + =
- Ta thấy rằng P
Rmax
khi A
min

nghĩa là dấu “ =” phải xảy ra, khi đó:
2 2
0
( )
L C
R R Z Z
= + −
- Công suất cực đại của biến trở R là:
2
max
2 2
0 0
2 ( ) 2
R
L C
U
P
R Z Z R
=
+ − +
c. Giá trị R làm cho công suất cuộn dây cực đại, cường độ dòng điệncực đại,
hiệu điện thế cuộn dây cực đại, hiệu điện thế tụ điện cực đại.
- Ta có :
2 2 2
â 0 0
2 2
0
; ;
( ) ( )
d y d L c C

L C
P R I U I Z R U IZ
U
I
R R Z Z
= = + =
=
+ + −
- Vì R
0
; Z
L
; Z
C
và U là các đại lượng không đổi nên muốn đạt giá trị cực đại thì chỉ cần
cường độ dòng điện qua mạch cực đại. Từ biểu thức của dòng điện ta thấy rằng I
max
khi
giá trị của biến trở R = 0.
3. Khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của R
- Để thấy rõ hơn sự phụ thuộc của công suất toàn mạch vào giá trị của biến trở R người
ta thường dùng phương pháp khảo sát hàm số:
- Ta có công suất toàn mạch theo biến thiên theo biến trở R cho bởi hàm số:
2
2
2 2
0
( )
td td
td L C

td
U
P R I R
R Z Z
R R R
= =
+ −
= +
- Đạo hàm P theo biến số R
td
ta có:
2 2
' 2
2 2 2
( )
( )
( ( ) )
L C td
td L C
Z Z R
P R U
R Z Z
− −
=
+ −
Khi
' 2 2
0
( ) 0 ( ) 0
L C td td L C L C

P R Z Z R R Z Z R Z Z R= ⇒ − − = ⇒ = − ⇒ = − −

Bảng biến thiên :
R
0
0L C
Z Z R− −
+∞
P’(R) + 0 -
P(R)

2
max
2
L C
U
P
Z Z
=
−
2
0
2 2
0
( )
L C
U
P R
R Z Z
=

+ −
0
Trang
4
Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp
Đồ thị của P theo R
td
:
Nhận xét đồ thị :
• Từ đổ thị ta thấy rằng có hai giá trị R
1
và R
2
cho cùng một giá trị của
công suất.
• Công suất đạt giá trị cực đại khi
0
0
L C
R Z Z R= − − >
• Trong trường hợp
0
0
L C
R Z Z R= − − <
thì đỉnh cực đại nằm ở phần R< 0
do đó ta thấy rằng công suất của mạch sẽ lớn nhất khi R = 0.
• Nếu R
0
= 0 thì đồ thị xuất phát từ gốc tọa độ và ta luôn có giá trị R làm

cho công suất của toàn mạch cực đại là
L C
R Z Z= −
Kết luận:
• Với phương pháp khảo sát hàm số để thu được các kết quả ở phần 1 và 2 sẽ
không hiệu quả bằng phương pháp dùng tính chất của hàm bậc 2 và bất đẳng
thức Cauchy.
• Tuy nhiên từ việc khảo sát này ta có thể biết được sự biến thiên của P theo biến
trở R nhằm định tính được giá trị của công suất sẽ tăng hay giảm khi thay đổi
điện trở.
II. Sự thay đổi L trong mạch R-L-C mắc nối tiếp với cuộn dây thuần cảm.
Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định :
0
cos( )
u
u U t
ω ϕ
= +
L là một cuộn dây thuần cảm có giá trị thay đổi
R và C không đổi.
1. Có hai giá trị L
1
≠ L
2
cho cùng giá trị công suất
- Vì có hai giá trị của cảm kháng cho cùng giá trị công suất nên:
Trang
5
P
R

O
P
max
R=Z
L
- Z
C
- R
0
2
max
2
L C
U
P
Z Z
=
−
2
0
2 2
0
( )
L C
U
P R
R Z Z
=
+ −
A

B
C
R
L