Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre - Trường Đại học Công nghiệp Thực phẩm Tp. Hồ Chí Minh

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (589.61 KB, 20 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
---

Phạm Anh Vinh

ĐA TẠP CÁT TUYẾN CỦA ĐA TẠP VERONESE

VÀ ĐA TẠP SEGRE

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
---

Phạm Anh Vinh

ĐA TẠP CÁT TUYẾN CỦA ĐA TẠP VERONESE

VÀ ĐA TẠP SEGRE

Chuyên ngành : Đại số và lý thuyết số
Mã số : 8 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS. TS. Đoàn Trung Cường

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan những gì viết trong luận văn là do sự tìm tịi, học hỏi
của bản thân và sự hướng dẫn tận tình của thầy Đoàn Trung Cường. Mọi kết
quả nghiên cứu cũng như ý tưởng của tác giả khác, nếu có đều được trích dẫn
cụ thể. Đề tài luận văn này cho đến nay chưa được bảo vệ tại bất kì một hội
đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ nào và cũng chưa hề được cơng bố trên bất kì một
phương tiện nào. Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan.

Hà Nội, tháng 10 năm 2020
Học viên

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tơi xin được tỏ lịng biết ơn sâu sắc nhất của mình tới PGS. TS.
Đồn Trung Cường, người trực tiếp hướng dẫn tơi tìm ra hướng nghiên cứu.
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy trong một
thời gian dài. Thầy đã ln quan tâm, giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình
học tập và nghiên cứu.

Tơi xin chân thành cảm ơn các thầy cơ thuộc phịng Đại số, Viện Tốn học
vì sự giúp đỡ và tạo điều kiện để tơi hồn thành luận văn. Ngồi ra, trong q
trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn tơi cịn nhận được nhiều sự quan
tâm, góp ý, hỗ trợ quý báu của quý thầy cô, anh chị và bạn bè trong Viện Tốn
học Việt Nam.

Tơi cũng xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi của cơ
sở đào tạo là Học viện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học và

Công nghệ Việt Nam trong q trình thực hiện luận văn.

Đặc biệt, tơi xin cảm ơn gia đình, người thân và bạn bè đã ln sát cánh,
động viên và khích lệ tơi trong suốt q trình học tập và nghiên cứu.

Hà Nội, tháng 10 năm 2020
Học viên

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Mục lục

Lời cam đoan . . . 1

Lời cảm ơn . . . 2

Mục lục . . . 3

Danh mục các hình vẽ và đồ thị . . . 4

Mở đầu 5
1 Kiến thức chuẩn bị 7
1.1 Đa tạp đại số . . . 7

1.2 Không gian tiếp xúc . . . 13

2 Đa tạp cát tuyến và các tính chất cơ bản 22
2.1 Đa tạp nối của các đa tạp . . . 22

2.2 Đa tạp cát tuyến thứ s . . . 29

3 Đa tạp Veronese và Định lý Alexander-Hirschowitz 39

3.1 Đa tạp Veronese . . . 39

3.2 Định lý Alexander-Hirschowitz . . . 45

4 Đa tạp cát tuyến của đa tạp Segre 58
4.1 Đa tạp Segre . . . 58

4.2 Đa tạp cát tuyến của đa tạp Segre . . . 64

Kết luận 71

Tài liệu tham khảo 72

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ

Số hiệu hình vẽ Tên hình vẽ Trang

1.1 Đường congX = V(x3 −y2) 16

1.2 Đường congY = V(x3−x2−x−1−y) 17
2.1 Hợp nối của một điểm và một đường

thẳng trongP2

2.2 Đường cát tuyến của một đường tròn 29

2.3 Đường thẳng cắt đường conic tại hai
điểm

3.1 Giuseppe Veronese (1854-1917) 40

3.2 Đường cubic xoắn 43

4.1 Corrado Segre (1863-1924) 59

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

MỞ ĐẦU

Đa tạp cát tuyến là một chủ đề được các nhà hình học đại số trường phái Ý
nghiên cứu từ thế kỉ 19. Gần đây những quan tâm của các nhà hình học đại số
đối với đa tạp cát tuyến tăng khá nhanh. Đa tạp cát tuyến có ứng dụng trong một
số chuyên ngành toán học như thống kê đại số, đồng thời có ứng dụng rộng rãi
trong nhiều ngành liên quan trực tiếp đến đời sống như khoa học máy tính, sinh
học. . . Thơng thường việc tính tốn với đa tạp cát tuyến rất khó. Do đó, đối với
nhiều bài tốn thay cho việc xét đa tạp cát tuyến của một đa tạp bất kỳ, người ta
hạn chế xét đa tạp cát tuyến của một số đa tạp đặc biệt như đa tạp Veronese, đa
tạp Grassmannian, đa tạp Segre, đa tạp Segre-Veronese ...

Đa tạp cát tuyến thứ s của một đa tạp đại số X ⊂ PN là bao đóng Zariski

của hợp tất cả các khơng gian tuyến tính đi quas điểm trênX và được kí hiệu
là σs(X). Tính tốn số chiều của σs(X) là một trong những câu hỏi cơ bản

đầu tiên trong việc nghiên cứu các đa tạp cát tuyến. Bằng việc xemσs(X)như

hợp nối của X với σs−1(X), ta có thể chứng minh được rằng dimσs(X) ≤

min (sdimX +s−1, N), và giá trị min (sdimX +s−1, N) được gọi là
chiều kì vọng củaσs(X). Ta nói đa tạpX làs- khuyết nếu số chiều củaσs(X)

khác với số chiều kì vọng của đa tạp đó. Đối với các đa tạp Veronese, Alexander
và Hirschowitz đã đưa ra phân loại các đa tạp khuyết. Trong khi đó, kết quả về
tính tốn số chiều của đa tạp cát tuyến của đa tạp Segre và đa tạp Segre-Veronese
chỉ đạt được trong một số trường hợp đặc biệt.

Mục đích của luận văn này là trình bày lại một cách hệ thống một số kết quả
về chiều của đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre, đồng thời
tính tốn một số ví dụ minh hoạ. Luận văn được chia làm ba chương như sau:

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Chương 2: Trong chương này chúng tơi trình bày định nghĩa và các tính chất
của hợp nối của các đa tạp xạ ảnh. Trong đó, tính chất liên quan đến khơng gian
tiếp xúc của đa tạp hợp nối ở Định lý 2.1.10 có thể xem như là tính chất quan
trọng nhất. Trong tiết 2 của chương này, chúng tơi trình bày về đa tạp cát tuyến,
là một trường hợp đặc biệt của đa tạp hợp nối. Đồng thời, ở cuối chương, chúng
tôi phát biểu Bổ đề Terracini (Định lý 2.2.11). Đây là một kết quả nổi tiếng
trong việc nghiên cứu số chiều của đa tạp cát tuyến. Từ Bổ đề Terracini, ta có
thể dẫn đến các hệ quả quan trọng như Mệnh đề 3.2.4 và Định lý 4.2.5, cho ta
mối quan hệ giữa số chiều của đa tạp cát tuyến của các đa tạp Veronese và đa
tạp Segre với giá trị hàm Hilbert của một lược đồ điểm kép.

Chương 3: Trong chương này, chúng tơi trình bày về đa tạp Veronese. Trong
đó, Mệnh đề 3.1.4 cho ta cấu trúc tường minh của không gian tiếp xúc của đa tạp
Veronese. Trong tiết hai, chúng tôi phát biểu và chứng minh Định lý Alexander
- Hirschowitz phân loại các đa tạp cát tuyến là khuyết (Định lý 3.2.8 và Định lý
3.2.9).

Chương 4: Chương 4 được dành để trình bày về đa tạp cát tuyến của đa tạp
Serge. Kết quả chính của chương là kết quả về chiều của đa tạp cát tuyến của đa
tạp Segre (các định lý 4.2.5, 4.2.13).

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

CHƯƠNG 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tơi trình bày một số khái niệm cơ sở trong hình học
đại số như đa tạp afin, đa tạp xạ ảnh, không gian tiếp xúc và minh hoạ các khái
niệm này bằng một số ví dụ.

Tài liệu tham khảo chính của chương này là các quyển sách [1] và [2].

1.1

Đa tạp đại số

Tập không điểm của mỗi đa thứcf ∈ A := k[x1, . . . , xn]là

V(f) ={P ∈ An|f(P) = 0} ⊆ An.

Nếu T là một tập con của A, ta định nghĩa tập không điểm của T là

V(T) ={P ∈ An|f(P) = 0với mọi f ∈ T}.

Một tập conY củaAnđược gọi là mộttập đại sốnếu tồn tại một tập conT ⊆ A

sao choY = V(T). Những tập đại số thoả mãn các tính chất sau

- NếuX, Y là hai tập đại số thìX ∪Y cũng là một tập đại số.

- Nếu{Xα}α∈∧ là một họ các tập đại số bất kì thì Tα∈∧Xα cũng là tập đại số.

- Tập∅vàAn cũng là các tập đại số.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Với các tính chất này, lớp các tập đại số thoả mãn các tiên đề về tập đóng của
một tơ pơ trên khơng gian afinAn, được gọi là tô pô Zariski. Tập mở đối với tô
pô này là phần bù của các tập đại số.

Định nghĩa 1.1.1. Một đa tạp đại số afin (hay đa tạp afin) là một tập đóng bất
khả quy củaAn, nghĩa là, tập đó khơng là hợp của hai tập con đóng thực sự.

Với mỗi tập các đa thức T ⊆ A, ký hiệu I là iđêan sinh bởi T. Khi đó

V(T) = V(I). Ngược lại, với bất kì một tập con Y ⊆ An, ta định nghĩa iđêan

củaY trong Abởi

I(Y) = {f ∈ A|f(P) = 0với mọi P ∈ Y}.

Mối quan hệ giữa iđêan và tập không điểm được mô tả trong Định lý không
điểm Hilbert như sau.

Định lý 1.1.2 (Định lý không điểm Hilbert). [1, Định lý 4.6] Cho một iđêan

I ⊂ A. Nếu một đa thức f ∈ A thỏa mãn f(P) = 0 với mọi P ∈ V(I), thì

fr ∈ I với một số nguyên r > 0nào đó.

Định lý khơng điểm Hilbert cho ta một mối quan hệ quan trọng giữa các đa

tạp afin trongAn với các iđêan nguyên tố của vành đa thứcA. Ta sẽ thấy rõ điều
đó thơng qua hệ quả sau đây.

Hệ quả 1.1.3. Nếu J là một iđêan căn trong A, thì I(V(J)) = J. Khi đó có
một tương ứng 1-1 giữa các iđêan căn và các tập đại số. Qua tương ứng này
các đa tạp afin tương ứng với các iđêan nguyên tố. Hơn nữa, các iđêan cực đại
tương ứng với các điểm đóng.

Dưới đây là một số ví dụ về tập đại số bất khả quy (hay đa tạp afin).

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

(b) Nếuf là một đa thức bất khả quy trong k[x, y]thì V(f) là bất khả quy. Ta
gọi đa tạp afinY := V(f)là mộtđường cong phẳng. Nếuf có bậcdthì ta
nóiY làđường cong bậcd. Tổng quát hơn, nếuf là một đa thức bất khả quy
trongA = k[x1, . . . , xn]thì ta cũng nhận được một đa tạp afin Y = V(f),

được gọi là mộtsiêu mặt.

(c) XétX là tập các ma trận cỡ3×3hạng1trên trườngk. Khi đó,X sẽ là một
đa tạp afin trongA9. Thật vậy, một ma trậnP bất kì thuộcX sẽ có dạng

P =







x1 x2 x3

x4 x5 x6

x7 x8 x9






.

Vì hạng củaP bằng1nên mọi định thức con cấp2củaP đều bằng0, tức

xixj −xkxl = 0với i+j = k+l, i, j, k, l = 1, . . . ,9.

Do đó X = V({xixj −xkxl|i +j = k+ l}) là một tập đại số. Để chứng

minhX là bất khả quy, ta xét ánh xạ sau

θ : A3 ×A3 →X,

((a1, a2, a3),(b1, b2, b3)) 7→







a1
a2
a3






.

b1 b2 b3

Vì mỗi ma trận hạng1 bất kì đều có thể viết được thành tích của hai véctơ
trong khơng gian véctơk3 nên ánh xạ θ là một tồn cấu, hayX = θ(A3 ×
A3). VìA3 ×A3 ∼= A6 là tập bất khả quy với tô pô Zariski nênX cũng sẽ
là tập bất khả quy. Vì vậyX là một đa tạp.

Định nghĩa 1.1.5. Số chiều của một tập đại sốX, kí hiệudim(X), là
dim(X) := sup{n|tồn tại một dãy Z0 ⊂Z1 ⊂ . . .⊂ Zn

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Định nghĩa 1.1.6. Nếu X ⊆ An là một đa tạp đại số thì vànhk[X] = A/I(X)

được gọi làvành tọa độ củaX.

Mệnh đề 1.1.7. [2, Proposition 1.7]Chiều của một tập đại sốX ⊆ An bằng số

chiều Krull của vành tọa độk[X].

Đa tạp xạ ảnh là tập con của không gian xạ ảnh, được định nghĩa tương tự
như đa tạp afin.

Định nghĩa 1.1.8. Một điểm P = (a0 : . . . : an) ∈ Pn được gọi là một không

điểmcủa một đa thức thuần nhấtf ∈ S := k[x0, . . . , xn]nếu

f(a0, . . . , an) = 0.

Khi đó ta cũng viếtf(P) = 0.

ĐặtV(f) = {P ∈ Pn|f(P) = 0}. Với mỗi tập conT ⊂ S gồm các đa thức

thuần nhất, đặt

V(T) ={P ∈ Pn|f(P) = 0 với mọif ∈ T}.

Các tậpV(T) ⊆ Pn như vậy được gọi là các tập đại số (xạ ảnh).

Tương tự như các tập đại số trong không gian afin, các tập đại số xạ ảnh thoả
mãn các tiên đề của tập đóng của một tô pô. Tô pô này trênPn được gọi là tô pơ
Zariski, trong đó các tập mở là phần bù của các tập đại số.

Định nghĩa 1.1.9. Một đa tạp đại số xạ ảnh (hay đa tạp xạ ảnh) là một tập đại
số bất khả quy của Pn.

Tương tự như với trường hợp afin, số chiều của một tập đại số xạ ảnh là độ

dài lớn nhất các dãy tập đóng bất khả quy lồng nhau trong tập đại số đó.

Với mỗi tập conX ⊂ Pn, xét iđêanI(X)sinh bởi các đa thức thuần nhất

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

IđêanI(X)là thuần nhất và được gọi là iđêan định nghĩa củaX. Ta định nghĩa
vành tọa độ thuần nhất củaX là A(X) = S/I(X). Tương tự trường hợp afin,
ta có định lý khơng điểm xạ ảnh như sau.

Định lý 1.1.10 (Định lý không điểm Hilbert xạ ảnh). Cho một iđêan thuần
nhất I ⊆ S := k[x0, . . . , xn]. Nếu một đa thức thuần nhất f ∈ S thỏa mãn

f(P) = 0với mọiP ∈ V(I)trongPn, thìfr ∈ I với một số nguyên r > 0nào
đó.

Định nghĩa 1.1.11. Giả sử X là một đa tạp trong Pn. Xét ánh xạ

θ : An+1\ {(0, . . . ,0)} → Pn,

(a0, . . . , an) 7→[a0 :. . . : an].

Khi đó ta định nghĩanón afincủaX là

C(X) = θ−1(X)∪ {(0, . . . ,0)}.

Nón afinC(X)là tập khơng điểm trong khơng gian afinAn+1 của iđêanI(X),
do đó là một đa tạp afin.

Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại khái niệm hàm chính quy trên một đa tạp và

ánh xạ chính quy (cấu xạ) giữa các đa tạp.

Giả sử X là một đa tạp afin hoặc xạ ảnh. Chú ý rằng trên X cũng có tơ pơ
Zariski cảm sinh từ không gian afin hoặc không gian xạ ảnh chứaX.

Định nghĩa 1.1.12. Một hàm f : X → k là chính quy tại điểm P ∈ X nếu
tồn tại một lân cận mở U của điểm P và các đa thức thuần nhất g, h ∈ S =

k[x0, . . . , xn], có cùng bậc, sao cho với mọi điểm Q = (a0 : . . . : an) ∈ U,

h(a0, . . . , an) 6= 0 và f(a0, . . . , an) = g(a0, . . . , an)/h(a0, . . . , an). Ta nói f

là chính quy trênX nếu nó chính quy tại mọi điểm thuộcX.

Nếu hàm f : X → k là chính quy tại Q = (a0 : . . . : an) ∈ X thì giá trị

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

phụ thuộc việc chọn toạ độ xạ ảnh (a0 : a1 : . . . : an) của Q, do đó ta ký hiệu

f(Q) := f(a0, . . . , an).

Ký hiệu O(X) là tập hợp tất cả các hàm chính quy trên X. Với phép cộng
và nhân thông thường, O(X) là một vành. Nếu P là một điểm của X, ta định
nghĩa vành địa phương củaP trênX, kí hiệu làOX,P, là tập hợp gồm các mầm

hàm của các vành chính quy trên X tại điểm P. Nói cách khác, một phần tử
củaOX,P là một bộ< U, f > trong đóU là một tập con mở củaX chứa P, f

là một hàm chính quy trên U và ta đồng nhất hai cặp < U, f > và < V, g >

nếuf = g trên giaoU ∩V. Tập hợp OX,P thực sự là một vành địa phương với

iđêan cực đại duy nhất gồm các hàm triệt tiêu tạiP.

Tập hợp K(X) = ∪P∈XOX,P trong đó ta đồng nhất < U, f >=< V, g >

nếu f = g trên giao U ∩ V. Với phép cộng và nhân của các mầm hàm, tập

K(X)là một trường và được gọi là trường hàm của đa tạpX. Các phần tử của

K(X)được gọi là các hàm hữu tỷ trênX.

Định nghĩa 1.1.13. Cho X, Y là hai đa tạp xạ ảnh (hoặc X, Y là hai đa tạp
afin). Một cấu xạ ϕ : X → Y là một ánh xạ liên tục đối với tô pô Zariski
sao cho với mỗi tập mở V ⊆ Y và với mỗi hàm chính quy f : V → k, hàm

f ◦ϕ :ϕ−1(V) → k là chính quy.

Hợp của hai cấu xạ cũng là một cấu xạ. Đặc biệt, một cấu xạ ϕ : X → Y

là một đẳng cấu giữa hai đa tạp nếu nó có cấu xạ ngược ψ : Y → X với

ψ◦ϕ= idX vàϕ◦ψ = idY.

Định nghĩa 1.1.14. Cho X, Y là các đa tạp xạ ảnh hoặc đa tạp afin. Một ánh
xạ hữu tỷ ϕtừ X vàoY là một lớp tương đương gồm các cặp< U, ϕU >, với

U là một tập mở khác rỗng củaX và ϕU là một cấu xạ từU vàoY, và hai cặp

< U, ϕU >và < V, ϕV > là tương đương nếuϕU = ϕV trênU ∩V, khi đó ta

kí hiệuϕ :X 99K Y. Hơn nữa ánh xạ hữu tỷϕđược gọi làtrộinếu với mỗi cặp

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Khác với cấu xạ giữa hai đa tạp, hợp của hai ánh xạ hữu tỷ chưa chắc đã là
một ánh xạ hữu tỷ. Tuy nhiên nếu hai ánh xạ hữu tỷ là trội thì hợp của chúng sẽ
là một ánh xạ hữu tỷ. Vì vậy chúng ta thường sẽ quan tâm đến các ánh xạ hữu
tỷ trội giữa hai đa tạp. Khi đó ta có khái niệm sau.

Định nghĩa 1.1.15. Một ánh xạ hữu tỷ trội ϕ : X 99K Y được gọi là một
ánh xạ song hữu tỷ nếu tồn tại một ánh xạ hữu tỷ trội ψ : Y 99K X sao cho

ψ◦ϕ :X 99K X và ϕ◦ψ : Y 99K Y là các ánh xạ đồng nhất trên các tập mở,
trù mật củaX và Y. Nếu tồn tại một ánh xạ song hữu tỷ từX vàoY thì ta nói
hai đa tạpX vàY là tương đương song hữu tỷ.

1.2

Không gian tiếp xúc

Không gian tiếp xúc là một đối tượng quan trọng để tìm hiểu các tính chất
hình học của một đa tạp. Trong mục này, chúng tơi trình bày định nghĩa và các
tính chất cơ bản của không gian tiếp xúc của các đa tạp. Tài liệu tham khảo
chính của mục này là quyển sách [3].

Trước hết ta xét X là một siêu mặt trong không gian afinAn, tức

X = V(f) = {(x1, . . . , xn) ∈ An|f(x1, . . . , xn) = 0},

trong đóf ∈ k[x1, . . . , xn]là một đa thức bất khả quy.

Định nghĩa 1.2.1. Cho P = (a1, . . . , an) ∈ X. Không gian tiếp xúc với siêu

mặtX tại điểmP được xác định bởi

TPX =

(

(x1. . . , xn) ∈ An|
n

i=1

∂f
∂xi

(P)(xi −ai) = 0

)

TậpTPX là một tập con tuyến tính của khơng gian afin An vàP ∈ TPX.

Định nghĩa 1.2.2. Điểm P ∈ X là trơn (hay chính quy) nếu ∂x∂f

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Từ định nghĩa trên ta thấy ngay

• P là một điểm trơn của X khi và chỉ khiTPX là một siêu phẳng afin.

• P là một điểm kì dị của X khi và chỉ khiTPX = An.

• Xsmooth = X \Xsing.

Định nghĩa 1.2.3. Cho X là một đa tạp trong An. Ta nói một điểm tổng quát

củaX thỏa mãn một tính chất Pnào đó nếu tập các điểm S thỏa mãn tính chất
Pchứa một tập mở, trù mật trongAn.

Tiếp theo ta sẽ chỉ ra rằng một điểm tổng quát của một siêu mặt afin luôn là
điểm trơn.

Mệnh đề 1.2.4. Giả sử X = V(f) là một siêu mặt afin trong An. Khi đó tập

Xsmooth là mở và trù mật trongX.

Chứng minh. Ta có tập Xsing := X \Xsmoothđược cho bởi

Xsing = V

f, ∂f
∂x1

, . . . , ∂f
∂xn

⊂ An.

Rõ ràngXsing là một tập đóng nênXsmooth là mở. VìX là một tâp bất khả quy

nên để chứng minhXsmoothlà trù mật, ta chỉ cần chứng minhXsmooth 6= ∅, hay

Xsing 6= X. Giả sửXsing = X, khi đó

∂f
∂xi

(P) = 0với mọi P ∈ X và với mọi i = 1, . . . , n.

Theo Định lý không điểm Hilbert 1.1.2, ∂f

∂xi

∈ (f) với mọi i = 1, . . . , n. Vì

deg

∂f
∂xi

< deg(f)nên suy ra ∂f

∂xi

= 0với mọii = 1. . . , n.

Nếu char(k) = 0 thìf là đa thức hằng, mâu thuẫn với giả thiếtf là một đa
thức bất khả quy. Giả sửchar(k) = p > 0. Vì ∂f

∂xi

= 0 với i = 1. . . , nnên f

là một đa thức theoxp1, . . . , xpn, nói cách khác

f(x1, . . . , xn) =

j=(j1,...,jn)

αj(x
p

j1. . .(xp

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Vìk là trường đóng đại số nên tồn tại các sốβj ∈ k sao choβjp = αj với mọi

j = (j1. . . , jn). Do đó, ta có

f(x1, . . . , xn) =

j=(j1,...,jn)

βjp(xp1)j1. . .(xp

n)
jn
=


X

j=(j1,...,jn)

βjx
j1

1 . . . x

jn
n


p
,

nên f không là đa thức bất khả quy, trái với giả thiết ban đầu. Tóm lại, tập

Xsmooth luôn không rỗng.

Bây giờ ta sẽ định nghĩa không gian tiếp xúc đối với một đa tạp afin bất kỳ.
Trước hết, với mỗi đa thứcf ∈ k[x1, . . . , xn]và một điểmP = (a1, . . . , an) ∈

An, thành phần tuyến tính củaf tạiP là

fP(1) :=

i=1

∂f
∂xi

(P)(xi −ai).

Định nghĩa 1.2.5. Không gian tiếp xúc của đa tạp afin X ⊆ An tại một điểm

P ∈ X là tập hợp

TPX :=

f∈I(X)

V(fP(1)) ⊆ An.

Ví dụ 1.2.6. Xét đường congX = V(x3−y2) ⊂A2 và điểmP = (1,1) ∈ X.
Ta đặtf(x, y) := x3 −y2 ∈ k[x, y]. Ta có






∂f

∂x = 3x

2,

∂f

∂y = −2y.

Khi đó, theo Định nghĩa 1.2.5, ta có

TPX = V (3.12)(x−1) + (−2.1)(y −1)

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Hình 1.1: Đường congX =V(x3−y2)

Mặt khác, nếu ta xét tại gốc tọa độO = (0,0)thì

∂f

∂x(0,0) =
∂f

∂y(0,0) = 0.

Khơng gian tiếp xúc củaX tại gốc O làTOX = A2.

Ví dụ 1.2.7. Xét đường cong Y = V(x3 − x2 − x − 1 − y) ⊂ A2. Ta đặt

g(x, y) := x3 −x2 −x−1−y ∈ k[x, y]. Ta có








∂g

∂x = 3x

2 −2x−1,

∂g

∂y = −1.

Như vậy ∂g

∂y(P) = −16= 0với mọi điểmP ∈ Y. Do đó mọi điểm trongY đều

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Hình 1.2: Đường congY =V(x3−x2−x−1−y)

Ta có mối liên hệ giữa số chiều của các không gian tiếp xúc của một đa tạp
affineX với chiều Krull của một đa tạp affineX như sau.

Mệnh đề 1.2.8. [3, Definition 3.6, Corollary 3.24]Ta có khẳng định sau

dimX = min{dimTPX|P ∈ X}.

Từ mệnh đề trên, ta thấy rằngdimX ≤ dimTPX với mọiP ∈ X.

Mệnh đề 1.2.9. Hàm X → N, P 7→ dimTPX là một hàm nửa liên tục trên

trong tôpô Zariski, tức với mọir ∈ N thì tập

Sr(X) := {P ∈ X|dimTPX ≥ r}

là đóng.

Chứng minh. Giả sử I(X) = (g1, . . . , gm). Khi đó ta có

TPX =
m

i=1

V(fP(1)) ⊂An.

Ta có

dimTPX = n−rank

∂gi

∂xj

(P)

m×n

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

và do đó

P ∈ Sr(X)nếu và chỉ nếu rank

∂gi

∂xj

(P)

m×n

≤ n−r.

Điều này tương đương với mọi định thức con cỡ(n−r+ 1)×(n−r+ 1)của
ma trận

∂gi

∂xj(P)

m×n đều bằng0. Do đóSr(X)là tập đóng.

Mệnh đề 1.2.10. Cho một đa tạp afin X ⊆ An. Tồn tại một tập mở, trù mật

X0 ⊆X sao cho

dimTPX = dimX với mọiP ∈ X0.

Chứng minh. Ký hiệu r = dimX. Khi đó theo Mệnh đề 1.2.8, ta cóSr(X) =

X và Sr+1(X) 6= X. VìSr+1(X) là đóng nên ta lấy X0 := X \Sr+1(X). Ta
thấy rằng X0 là mở và khác rỗng vì nếu X0 = ∅ thì dimTPX 6= r với mọi

P ∈ X, điều này mâu thuẫn với giả thiếtdimX = r. TậpX0 thỏa mãn yêu cầu
của mệnh đề.

Bây giờ ta có thể đưa ra định nghĩa điểm trơn và điểm kì dị của một đa tạp
afinX như sau.

Định nghĩa 1.2.11. Một điểm P ∈ X được gọi là một điểm trơn của X nếu
dimTPX = dimX. Ngược lại,P được gọi là một điểm kì dị củaV.

Nếu X = V(f) là một siêu mặt trong An thì định nghĩa trên tương đương
với Định nghĩa 1.2.2. Thật vậy, ta có

∂f
∂xi

(P) 6= 0với inào đó,

tương đương với

rank

∂f
∂xi

(P)

1×n

= 1.

Do đó

dimTPX = n−rank

∂f
∂xi

(P)

1×n

</div>

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre - Trường Đại học Công nghiệp Thực phẩm Tp. Hồ Chí Minh

ĐA TẠP CÁT TUYẾN CỦA ĐA TẠP VERONESE

VÀ ĐA TẠP SEGRE

ĐA TẠP CÁT TUYẾN CỦA ĐA TẠP VERONESE

VÀ ĐA TẠP SEGRE

<b>LỜI CAM ĐOAN</b>

<b>LỜI CẢM ƠN</b>

<b>Mục lục</b>

<b>DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ</b>

<b>MỞ ĐẦU</b>

<b>CHƯƠNG 1</b>

<b>Kiến thức chuẩn bị</b>

<b>1.1</b>

<b>Đa tạp đại số</b>

<b>1.2</b>

<b>Không gian tiếp xúc</b>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về