Phương trình vi phân

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (996.44 KB, 63 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1></div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

KHÁI NIỆM CHUNG

Trong thực tế khi nghiên cứu sự phụ thuộc lẫn nhau giữa
các đối tượng, nhiều khi chúng ta không thể thiết lập

trực tiếp mối quan hệ phụ thuộc dạng hàm số giữa các
đối tượng đó, mà chỉ có thể thiết lập mối liên hệ giữa các
đối tượng mà ta cần tìm mối quan hệ hàm số, cùng với
đạo hàm hoặc tích phân của hàm số chưa biết ấy.

Trong nhiều mơ hình, hệ thức liên hệ được viết dưới

dạng phương trình có chứa đạo hàm, đó là phương trình
vi phân.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

ĐỊNH NGHĨA

Phương trình mà trong đó có xuất hiện biến số độc lập,
hàm cần tìm và các đạo hàm (hay vi phân) của nó gọi
chung là phương trình vi phân.

Ví dụ.

(

'

)

'

0 ;

dy

2

y y

x

x y

xy

dx

+

-

=

( )

(

, , ', ,...,

n

)

0

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

CẤP CỦA PTVP

Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo
hàm có mặt trong phương trình.

Phương trình vi phân cấp một là phương trình có dạng:

Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có dạng:
Phương trình vi phân cấp n là phương trình có dạng:

(

, , '

)

0 '

( )

,

F x y y

=

hay y

=

f x y

( )

(

, , , ,..., n

)

F x y y y¢ ¢¢ y =

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

VÍ DỤ

Nêu cấp của các PTVP sau:

(

)

(

)

(

)

2
2
2

) ' ' 0

) 2 1 1 0

) '' 4 2 '

a y y x x y

b x dx x y dy

c y xy xy

+ - =

+ + - =

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

-VÍ DỤ THỰC TẾ VỀ PTVP

Một bể chứa 20 kg muối hịa tan trong 5000 lít nước.

Nước muối chứa 0,03 kg muối mỗi lít được đổ vào bể với
tốc độ 25 lít/phút. Dung dịch được trộn kỹ và thoát ra

khỏi bể với cùng tốc độ. Sau 30 phút thì trong bể cịn lại

bao nhiêu muối?

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

VÍ DỤ

Gọi y(t) là lượng muối trong bể vào thời điểm t.
Ta có y(0)=20

Tốc độ bổ sung muối vào: 0.03 kg/l * 25l/phút=0,75 kg/phút
Tốc độ muối ra: 25l/phút * y(t)/5000 kg/lít = y(t)/200 kg/phút
Chênh lệch vào ra: 0,75 – y(t)/200

Đây cũng chính là tốc độ thay đổi của khối lượng muối y(t)
Ta có: y’(t)=0,75-y(t)/200

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

MƠ HÌNH TĂNG DÂN SỐ 1

Giả định:

+ Tốc độ tăng dân số tăng tỷ lệ thuận với quy mô dân số.
Mơ hình tốn học của giả định trên?

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

MƠ HÌNH TĂNG DÂN SỐ 2

Giả định:

+ Tốc độ tăng dân số tăng tỷ lệ thuận với quy mô dân số.
+ Khi tăng đến mức K nào đó thì dân số giảm (hoặc giảm
về K khi dân số tăng quá K)

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

Định nghĩa. Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có

dạng:

Trong đó:

- F xác định trong miền G thuộc R3

- x là biến độc lập, y là hàm cần tìm

(

, , '

)

0 , ,

dy

0 F x y y

hay F x y

dx

ổ

ử

ữ

ỗ

ữ

=

ỗ

ữ

=

ữ

ỗố

ứ

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

NGHIM CA PTVP CP 1

Nghim tng quát

Nghiệm tổng quát dưới dạng ẩn (tích phân tổng quát)

Nghiệm riêng

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

NGHIỆM TỔNG QUÁT

Dạng:

Thỏa mãn PTVP với mọi giá trị của C

Với mọi điểm ta đều tìm được C0 sao cho

(

)

y = j x C

(

)

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

NGHIỆM TỔNG QUÁT DẠNG ẨN

Tên khác: tích phân tổng quát

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

NGHIỆM RIÊNG

Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát với hằng số C0
xác định được gọi là nghiệm riêng.

Nghiệm riêng:
Tích phân riêng:

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

NGHIỆM KỲ DỊ

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

PTVP CẤP 1 THƯỜNG GẶP

PT biến số phân ly

PT biến số phân ly được
PT đẳng cấp cấp 1

PT tuyến tính cấp 1
PT Bernoulli

PT vi phân toàn phần

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

PT BIẾN SỐ PHÂN LY

Dạng: g(y)dy=f(x)dx

Lấy tích phân bất định hai vế theo biến x.
Ta có:

Ví dụ.

( )

g y dy = f x dx Û G y = F x +C

ò

2
1

x

ydy dx

x

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

PT BIẾN SỐ PHÂN LY ĐƯỢC

Dạng 1.

Cách giải:

Chia hai vế cho f1(x)g2(y) để đưa về dạng biến số phân ly
Xét riêng tại những giá trị f1(x)g2(y)=0

( ) ( )

1 1 2 2

f x g y dy

=

g y f x dx

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

VÍ DỤ

Giải phương trình:

Đáp án:

Nghiệm tổng qt:

Nghiệm: y=-1
Nghiệm: x=1

(

)

(

)

(

)

1

0

x y

+

dx

+

x

-

y

-

dy

=

1 ln

1 2ln

1

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

PT BIẾN SỐ PHÂN LY ĐƯỢC

Dạng 2.

Cách giải:

Đặt z=ax+by

Đưa về phương trình biến số phân ly dx, dz

(

)

y

¢=

f ax by

+

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

VÍ DỤ

Giải phương trình sau:

Đáp số:

3 y

¢=

x y

-1

3

x

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP CẤP 1

Dạng:

Cách giải:
Đặt t=y/x

Đưa về dạng biến số phân ly

y

y f

x

 

   

 

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

VÍ DỤ

Giải phương trình sau:

Đáp án:
2 2

2 x

y

xy

+

¢=

2
2 2
1 1
2 1
y

x C y x C x

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP 1

Dạng phương trình:

trong đó p(x), q(x) là các hàm liên tục trong khoảng (a,b) 
nào đó.

Nếu q(x)=0 ta có phương trình thuần nhất.
Nếu ta có phương trình khơng thuần nhất.

( )

y

¢+

p x y

=

q x

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

B1. Giải phương trình thuần nhất

B2. Giải phương trình khơng thuần nhất bằng phương pháp
biến thiên hằng số

B3. Cơng thức nghiệm tổng qt:

( )

0 y

¢+

p x y

=

( )

( ) ( )

(

0 )

y

¢+

p x y q x q x

=

¹

( )

p x dx p x dx

y

=

e

ũ

ổ

ỗ

ỗ

q x e

ị

dx C

+ ÷

ư

÷

÷

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

VÍ DỤ

Cho phương trình vi phân:

A) Giải phương trình

B) Tìm nghiệm riêng thỏa mãn y(1)=-1

Đáp số:

Nghiệm tổng quát:
Nghiệm riêng:

1

2 y

x

¢-

=

2 y

=

x

+

Cx

2 3

y = x - x

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

VÍ DỤ

Giải phương trình sau:

Đáp số:

2

x

y

¢+

xy

=

xe

-(

2

)

x2

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

-PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI

Dạng phương trình:

Cách giải:

Chia hai vế phương trình cho

Đặt ta có:

( )

y

¢+

p x y

=

q x y

a

z

=

y

- a

(

)

z

z a y y hay y ya a

a

- - ¢

¢= - ¢ ¢=

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI

Chú ý:

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

VÍ DỤ

Giải phương trình sau:

Đáp số:

Nghiệm tổng qt:

Nghiệm kì dị: y=0

y xy

-

¢

=

y

x

y

x C

=

+

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TỒN PHẦN

Dạng:

Điều kiện:

Nghiệm tổng qt:



,





,



0 M x y dx N x y dy





M

N

y

x































0 0
0
0
, , ,

, , , y

y
x

x y

y
x

u x y M x y dx N x y dy C

u x y M x y dx N x dy C

  



</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

VÍ DỤ 1

Giải phương trình vi phân:

Ta có:



3

x

6

xy dx





6

x y

4

y dy



0







,





3

6 



,





6

4 

12 M x y

x

xy

N x y

x y

y

M

N

xy

y

x













</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

VÍ DỤ 1

Nghiệm tổng quát của phương trình:







2 2







0 0

,

3

6 0 4

y
x

x y

x

xy dx

y dy C















3

2 2 4

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

VÍ DỤ 2

Giải phương trình vi phân:

























)

1

3

0 )

.cos

sin

cos

0 a x y

dx

x y

dy

b xy

xy

xy dx x

xy dy

 









</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

THỪA SỐ TÍCH PHÂN

Xét phương trình vi phân dạng:

Nếu phương trình trên chưa có dạng phương trình vi
phân tồn phần thì ta có thể tìm hàm sao cho phương
trình:

Là phương trình vi phân tồn phần.



,





,



0 M x y dx N x y dy







x y M x y dx

,



.



,





x y N x y dy

,



.



,



0

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

VÍ DỤ

Giải phương trình sau:

Bằng cách sử dụng thừa số tích phân dạng

Chú ý:

Thừa số tích phân khá khó tìm
Ta tìm dạng đặc biệt như hay

Sinh viên khơng cần trình bày cách tìm thừa số TP



2

xy

3

y dx





7 3

xy dy



0

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

VÍ DỤ

Giải các ptvp sau





 

2 2 2

) tan

ln

0 )

2 1;

0

1 )

0 )

ln ; 1

1 )

2 1 2

)

3 a

ydx x xdy

b y

x y

y

c x y

y

xy x

d xy

y

x

x y

e y

xy

x

f y

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

BÀI TẬP 1

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39></div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

BÀI TẬP 3

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41></div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

BÀI TẬP 5

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

BÀI TẬP 6

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

BUỔI 2

6.3 Ứng dụng của phương trình vi phân bậc 1

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

ỨNG DỤNG PTVP CẤP 1

Phân tích định tính bằng phương pháp đồ thị
Tìm hàm số khi biết hệ số co giãn

Mơ hình điều chỉnh giá thị trường

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

PHÂN TÍCH ĐỊNH TÍNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP

ĐỒ THỊ

Xét phương trình vi phân cấp 1 dạng:

Đồ thị pha (đồ hình pha)

Trên mặt phẳng tọa độ với trục hoành biểu diễn y và trục
tung biểu diễn y’ ta lập đồ thị hàm số f(y).

Đồ thị đó được gọi là đường pha

 

dy

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

ĐỒ THỊ PHA

Tại các điểm trên trục hồnh thì y’ dương nên y tăng theo
thời gian, y đi từ trái sang phải

Tại các điểm dưới trục hồnh thì y’ âm nên y giảm theo
thời gian, y đi từ phải sang trái

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

ĐỒ THỊ PHA – DẠNG 1

Trạng thái cân bằng ổn định động

• Tại các điểm trên

trục hoành y đi

từ trái sang phải

• Tại các điểm dưới

trục hồnh y đi

từ phải sang trái

• Tại giao điểm với

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

ĐỒ THỊ PHA – DẠNG 2

Trạng thái cân bằng

khơng

ổn định

• Tại các điểm trên

trục hoành y đi

từ trái sang phải

• Tại các điểm dưới

trục hồnh y đi

từ phải sang trái

• Tại giao điểm với

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

TRẠNG THÁI CÂN BẰNG ỔN ĐỊNH

50
y

y

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

TRẠNG THÁI CÂN BẰNG KHÔNG ỔN ĐỊNH

y

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

NHẬN XÉT

Tính ổn định của trạng thái cân bằng phụ thuộc dấu của
đạo hàm tại điểm cân bằng

Trạng thái cân bằng ổn định động khi:

 

0

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

VÍ DỤ

Xét mơ hình ptvt tuyến tính cấp 1:

Ta có:

Trạng thái cân bằng ổn định động khi và chỉ khi:

0

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

TÌM Y(X) BIẾT HỆ SỐ CO GIÃN

Ta có:

Giả sử:

Ta có pt vi phân sau:

'

.

x

y

dy x

x

y

dx y





 

x
y

x







 

'

x
y

x

y

dy

x

dx

y

x



</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

VÍ DỤ 1

Biết hệ số co giãn của hàm cầu theo giá:

Tìm hàm cầu QD biết

Đáp số:

5

2

D

P
Q

P

Q







650

5

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

VÍ DỤ 2

Biết hệ số co giãn của hàm cầu:

Tìm hàm cầu QD biết

2 2000 2

D

P
Q

P







</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

BIẾN ĐỘNG CỦA GIÁ TRÊN THỊ TRƯỜNG

Giả sử hàm cầu, hàm cung của một loại hàng hóa cho bởi:

Điểm cân bằng thị trường:

Nếu giá ban đầu là thì thị trường cân bằng.
Cịn nếu khơng thì thị trường sẽ đạt giá cân bằng sau một
quá trình điều chỉnh nào đó.

;

D s

Q

 





p Q



 



p















 

0

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

BIẾN ĐỘNG CỦA GIÁ TRÊN THỊ TRƯỜNG

Trong quá trình điều chỉnh, các Qs, Qd và p đều thay đổi

theo t (biến thời gian).

Giả sử theo thời gian t, giá p(t) tại thời điểm t luôn tỷ lệ
với độ chênh lệch giữa cầu và cung tại thời điểm đó.

Nghĩa là:

Với k>0 là hằng số.

 

'

d s

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

BIẾN ĐỘNG CỦA GIÁ TRÊN THỊ TRƯỜNG

Từ đó ta có:

Do đó:

 













'

p t

k

p

k

p

k

p p





 





















 

















































0. 0.

ln

.

ln

.

k t k t

dp

k

dt

p p

k

t

C

p p

C

e

p

Ce

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

BIẾN ĐỘNG CỦA GIÁ TRÊN THỊ TRƯỜNG

Với t=0, ta có giá tại thời điểm ban đầu:

Vậy:

Dễ thấy:

 

0  

0 p

 

p C



C



p



p

 

0

k t0

p t

p



p

p e





 







 



 







lim

0

k t

0

t

p t

t

p

p e

p do k



   





</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

NHẬN XÉT BIẾN ĐỘNG CỦA P(T) THEO T

Nếu giá ban đầu p(0) cao hơn giá cân bằng thì P(t) là

hàm giảm theo t và

Nếu giá ban đầu p(0) thấp hơn giá cân bằng thì P(t) là

hàm tăng theo t và

Như vậy trong mọi trường hợp cùng với thời gian giá cả

sẽ dần dần trở về với giá tại điểm cân bằng. Do đó điểm

cân bằng thị trường có tính chất ổn định động

 

lim

t 

p t



p

 

lim

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

BIẾN ĐỘNG CỦA GIÁ TRÊN THỊ TRƯỜNG

Ví dụ: Cho:

Tìm thời gian t sao cho:

 

1 2 ;

2 3 ;

0, 2;

0 0, 4

d s

Q

 

p

Q

 

p k



p



1%

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

Phương trình vi phân

<b>KHÁI NIỆM CHUNG</b>

<b>ĐỊNH NGHĨA</b>

(

<sub>'</sub>

)

<sub>'</sub>

<sub>0 ;</sub>

<i>dy</i>

<sub>2</sub>

<i>y y</i>

<i>x</i>

<i>x y</i>

<i>xy</i>

<i>dx</i>

+

-

=

=

( )

(

, , ', ,...,

)

0

<b>CẤP CỦA PTVP</b>

(

, , '

)

0

'

( )

,

<i>F x y y</i>

=

<i>hay y</i>

=

<i>f x y</i>

(

)

<b>VÍ DỤ</b>

(

)

(

)

(

)

<b>-VÍ DỤ THỰC TẾ VỀ PTVP</b>

<b>VÍ DỤ</b>

<b>MƠ HÌNH TĂNG DÂN SỐ 1</b>

<b>MƠ HÌNH TĂNG DÂN SỐ 2</b>

<b>PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1</b>

(

, , '

)

0

, ,

<i>dy</i>

0

<i>F x y y</i>

<i>hay F x y</i>

<i>dx</i>

ổ

ử

<sub>ữ</sub>

ỗ

<sub>ữ</sub>

=

<sub>ỗ</sub>

<sub>ỗ</sub>

<sub>ữ</sub>

=

ữ

ỗố

ứ

<b>NGHIM CA PTVP CP 1</b>

Nghim tng quát

Nghiệm riêng

<b>NGHIỆM TỔNG QUÁT</b>

(

)