Bài soạn ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI + DAP AN TOAN 9

Trơng thcs Cao xuân huy Đề thi chọn hsg lớp 9 - vòng 3
Năm học: 2008 - 2009
Môn Toán ( Thời gian làm bài 150 phút )
-------------------------------------

Câu 1: (3 điểm)
a. Giải phơng trình:

x
1
+
2
2
1
x

= 2
b. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
(y-3)x
2
+ (x+1)y - 9x - 7 = 0
Câu 2: ( 2 điểm)
Giải hệ phơng trình:






=++
=+

0454
0133
22
23
yxyxyx
xyx
Câu 3: ( 2 điểm)
Cho các số a, b không âm thỏa mãn:




=+
=++
01172
0242
cba
cba
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:
Q = 6a + 7b + 2009c
Câu 4: ( 2 điểm)
Cho tam giác ABC. Gọi: a, b, c là độ dài ba cạnh; h
a
, h
b
, h
c
là độ dài các
đờng cao tơng ứng; R, r lần lợt là bán kính đờng tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác
đó.

Chứng minh rằng:

222
9
cba
R
++


cba
hhh
+
1
+
acb
hhh
+
1
+
bac
hhh
+
1


r2
1
Câu 5: ( 1 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ngũ giác có các đỉnh là những điểm có tọa
độ nguyên ( Điểm có tọa độ nguyên là điểm có hoành độ và tung độ đều là những

số nguyên ). Chứng minh rằng: Bên trong hoặc trên cạnh ngũ giác có ít nhất một
điểm có tọa độ nguyên.
---------------------------------------------------
Họ và tên thí sinhSố báo danh
Hớng dẫn chấm và biểu điểm chính thức
( Hớng dẫn chấm này có: 03 trang )
Câ
u
Nội dung
Điểm
1 a
Đ/K : x

0;
x


2. Đặt: y =
2
2 x

, ( y

0 )
Ta đợc hệ phơng trình:

=+
=+
2
11
2
22
yx
yx

Biến đổi hệ ta đợc: 2(xy)
2
- xy - 1 = 0

xy = 1 hoặc: xy = -
2
1
0,5
+ Với xy = 1, Giải ra ta đợc: x = y = 1, ( thỏa mãn )
0,5
+ Với xy = -
2
1
, Giải ra ta đợc: x =
2
31

, y =
2
31
+

Vậy phơng trình có 2 nghiệm: x = 1, x =
2
31

,
0,5
1 b
Biến đổi đợc: y = 3 +
1
)23(2
2
++
+
xx
x
mà: x
1
2
++
x

0, x
1
2
++
x
là số lẻ
0,5
Nếu: x
1

2
++
x
= 1

( x = 0, y = 7), ( x = -1, y = 1)
0,5
Nếu: x
1
2
++
x

1. Để y là số nguyên thì: x
1
2
++
x
là Ư(3x+2),
Giải ra ta đợc: x
1
2
++
x
= Ư(7)

x
1
2
++

x
= 7

(x = -3, y = 1)
hoặc ( x = 2, y =
7
37
) , (loại.)
Vậy: Phơng trình có 3 nghiệm: (0;7), (-1;1), (-3;1)
0,5
2.
Hệ đã cho biến đổi thành:





=++
=+
012153123
0133
22
23
yxyxyx
xyx
0,5
Cộng từng vế và biến đổi thành: (x -1)
[ ]
22
)2(3)1(

+
yx
= 0


(x - 1) = 0 hoặc:
[ ]
22
)2(3)1(
+
yx
= 0
0,5
Nếu: (x - 1) = 0. Giải ra ta đợc: y = 2 hoặc: y = -2
0,5
Nếu:
[ ]
22
)2(3)1(
+
yx
= 0.
Giải ra ta đợc: ( x = 1, y = 2),(thỏa mãn)
Vậy hệ phơng trình có 2 nghiệm là: (1, 2), (1, -2).
0,5
3.
Từ các điều kiện đã cho ta có: a = 4 - 2c, b = 3c - 3.
0,5
Từ: a, b không âm ta có: 1

c

2.
0,5
Khi đó: Q = 6(4 - 2c) + 7(3c - 3) + 2009c = 2018c + 3.
0,5
Vì: 1

c

2. nên: GTLN của Q là 4039 tại: a = 0, b = 3
GTNN của Q là:2021 tại: a = 2, b = 0
O,5
4.
áp dụng các BĐT:







+
+
+
)
11
(
2
11

)
11
(
4
11
yx
xy
yxyx
với: x, y

0
Ta có:
cba
hhh
+
1

)
11
(
4
1
cb
a
hh
h
+

))
11

(
2
11
(
4
1
cba
hhh
++
0,5
Tơng tự với:
acb
hhh
+
1
,
bac
hhh
+
1
rồi cộng lại ta đợc:
M =
cba
hhh
+
1
+
acb
hhh
+

1
+
bac
hhh
+
1

)
111
(
2
1
cba
hhh
++
Mà:
cba
hhh
111
++
=
S
cba
2
++
=
r
1
( vì: S = pr )

cba
hhh
+
1
+
acb
hhh
+
1
+
bac
hhh
+
1


r2
1
0,5
áp dụng các BĐT:

++++
++++
++++
zxyzxyzyx
zxyzxyzyx
zyx
zyx
222
9)
111
)((
, với x, y, z

0
Ta đợc: M

accbbacba
hhhhhhhhh
+++++
9
0,5
Mà:
accbbacba
hhhhhhhhh
+++++
9

)(2
9
cba

hhh
++
=
)
111
(4
9
cba
S
++
=
cabcab
R
++
9
( Vì: S =
R
abc
4
)


222
9
cba
R
++


M

222
9
cba
R
++
Vậy:
222
9
cba
R
++


cba
hhh
+
1
+
acb
hhh
+
1
+
bac
hhh
+
1

r2
1
0,5
5.
Do mỗi điểm nguyên tọa độ chỉ có một trong bốn loại sau:
(chẵn, chẵn), ( chẵn, lẻ ),( lẻ, chẵn), ( lẻ, lẻ).
0,25
Nên theo nguyên tắc Đi rích lê trong 5 đỉnh của ngũ giác luôn
có ít nhất 2 đỉnh thuộc cùng một loại.
0,25
Với hai điểm cùng loại thì trung điểm của đoạn thẳng có hai đầu
là các điểm đó cũng có tọa độ nguyên.
0,25
Điểm nguyên này luôn nằm trong hoặc trên cạnh của ngũ giác.
Vậy: Bên trong hoặc trên cạnh của ngũ giác luôn có ít nhất
một điểm nguyên.
0,25
Chú ý
+ Trên đây chỉ là các bớc giải và khung điểm bắt buộc cho từng bớc,
yêu cầu thí sinh phải trình bày, lập luận, biến đổi đầy đủ hơn .
+ Những cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo biểu điểm.
+ Chấm từng phần, điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn.
+ Tổng điểm toàn bài là: 10 điểm.
-------------------------------------------------------------------