ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI + ĐÁP ÁN TOÁN 9

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC : 2008 – 2009
MÔN : TOÁN 9
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1.(2 đ) Tính giá trị của biểu thức:
4 7 4 7 2A = + − − −
Câu 2.(4 đ) Cho ba số thực x ,y , z sao cho : x + y + z = xy + yz + xz . Tính
2009 2009 2009
( 1)( 1)( 1)B x y z= − − −
Câu 3.(4 đ) Cho hàm số y = (2m + 1)x + 2m .Tìm m để
a) Đồ thị hàm số đi qua điểm A( 1 ; -3 )
b) Đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng y = x + 1
c) Đồ thị hàm số đi qua giao điểm của đường thẳng y = 2 và y = 2x – 3
Câu 4.(3 đ) Cho
ABCV
đường cao AH ( H
∈
BC ) ,biết AH = 5 ; BC = 8 .Tính
1 1
?
tgB tgC
+ =
Câu 5.(7 đ) Cho nửa đường tròn ( O ; R ) đường kính AB ,trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường
tròn (O) vẽ hai tia Ax và By vuông góc với AB .Gọi M là điểm thuộc nửa đường tròn (O) ,tia AM cắt By tai D ,tia
BM cắt Ax tại C , tiếp tuyến tại M cắt Ax và By lần lượt tại E và F .
a) Chứng minh rằng
·
0
EOF 90=
b) Chứng minh E là trung điểm của AC ; F là trung điểm của BD
c) Tính : MB.MD + MA.MC theo R .
Hết

Họ tên thí sinh : …………………………… số báo danh ………………………..
Giám thị 1 Giám thị 2
Lưu ý : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
ĐÁP ÁN
Câu Nội dung Điểm
Câu 1
4 7 4 7 2A = + − − −
2 2
2 2
[( 4 7 4 7 ) 2]
4 7 4 7 2 2 4 7 2( 8 2 7 8 2 7 )
4 2( 7 1 7 1)
0
A = + − − −
= + + − + − − − + − −
= − + − +
=
Suy ra : A = 0
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Câu 2
x + y + z = xy + yz + xz
 xy + yz + xz – x – y – x = 0
 (x – 1)(y - 1)(z – 1 ) = 0

1 0 1
1 0 1
1 0 1

x x
y y
z z
− = =
 
 
− = <=> =
 
 
− = =
 
2009 2009 2009
( 1)( 1)( 1)B x y z= − − −
= 0
0,5 đ
1 đ
1,5 đ
1 đ
Câu 3
Để y = (2m + 1)x + 2m là hàm số bậc nhất cắt Ox và Oy tạo thành
OABV
thì :
2m + 1 ≠ 0
 m ≠ -
1
2
; 0
0,5 đ
a)
Thay x = 1 ; y = - 3 vào hàm số ta được :

- 3 = (2m + 1).1 + 2m
 m = - 1
0,5 đ
0,5 đ
b)
Ta có : (2m + 1).1 = - 1
 m = -1
0,5 đ
0,5 đ
c)
Giao điểm của hai đường thẳng y = 2 và y = x + 1 là :
 2 = x + 1
 x = 1 .Vậy giao điểm là ( 1 ; 2 )
Thay x = 1 và y = 2 vào hàm số ta được
2 = (2m +1).1 + 2m

1
4
m =
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Câu 4
8
5
H
B
A
C
Ta có :

AH
tgB
BH
=
;
AH
tgC
HC
=
Suy ra :
1 1
1 1 8
1,6
5
HB HC
tgB tgC AH AH
BC
tgB tgC AH
+ = +
+ = = =
0,5 đ
1 đ
1,5 đ
Câu 5
2
1
2
1
x
y

R
D
C
F
E
B
A
O
M
0,5 đ
a)
Ta có :
·
·
0
// ( )
180
AE BF AB
AEF BFE
⊥
⇒ + =
Mà
µ µ
µ µ
1 2 1 2
;E E F F= =
( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau )
Suy ra :
µ
2

E
+
µ
2
F
= 90
0

Hay
·
0
EOF 90=
( đpcm )
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
b)
Xét ∆ABM có
2
AB
MO =
,do đó ∆ABM vuông tại M
Xét
AMD⊥V
ta có
ME = AE ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ) (*)
=>
·
·

MAE AME=
Mà :

·
·
·
·
0
0
90
90
MAE MDE
AME EMD
+ =
+ =
Suy ra :
·
·
MDE EMD=
=> ME = ED (**)
Từ (*) ; (**) suy ra AE = ED
Chứng minh tương tự ta được : BF = FC
Vậy E là trung điểm của AD ; F là trung điểm của BC
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
c)
Xét

ABC
⊥
V
có : MA.MC = MB
2
Xét
ABD⊥V
có :MB.MD = MA
2
Mà MA
2
+ MB
2
= AB
2
Suy ra : MA.MC + MB.MD = AB
2
hay MA.MC + MB.MD = 4R
2
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Lưu ý : Học sinh giải cách khác đúng cũng cho điểm tối đa.