de thi hoc sinh gioi + dap an toan 9

Phòng GD&ĐT Đề thi học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2007-2008
Môn : Toán Lớp 9
Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian giao đề )
Câu 1: (1đ)
Cho hàm số y= f(x) =
2
2
3
x
1) Hãy tính f(-3), f(-
3
), f(
3
2
)
2) Các điểm sau điểm nào thuộc đồ thị hàm số đã cho:
A(
2
; 3), B(-2; -6) , C ( -
4
3
;
2
1
), D (
4
3
;
2
1

)
Câu 2: (2đ)Xét biểu thức:
P =








++
+



12
2
1
2
xx
x
x
x
.
2
2
1

x
a) Rút gọn P
b) Chứng minh rằng nếu 0 < x <1 thì P > 0.
c) Tìm giá trị lớn nhất của P.
Câu 3:(1,5đ)
Giải hệ phơng trình :



=+
=
xyyx
xyxy
534
Câu 4: (1,5đ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba đờng thẳng có phơng trình:
(d
1
): y=
4
2
1
+
x
; (d
2
): y = 2; (d

3
): y = ( k+1).x + k
Tìm k để cho ba đờng thẳng đã cho đồng quy.
Câu 5:(3đ) Cho hai đờng tròn (O
1
), (O
2
) tiếp xúc ngoài tại A. kẻ tiếp tuyến chung
Ax. Đờng thẳng d tiếp xúc với (O
1
), (O
2
) tại B,C (

A). Cắt Ax tại M. Kẻ đờng
kính BD,CE của (O
1
), (O
2
)
a/ Chứng minh : MB = MC
b/ Chứng minh: tam giác O
1
MO
2
vuông
c/ Chứng minh: B,A,E và C,A,D thẳng hàng
d/ I là trung điểm của DE. Chứng minh: đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn
(I O
1

O
2
)
Câu 6: (1đ) Chứng minh Bất đẳng thức:
a
4
+b
4


a
3
b + ab
3
với mọi a, b
Hết
UBND Huyện thi học sinh giỏi cấp huyện
Phòng GD&đt Năm học 2007 - 2008
Hớng dẫn chấm
Môn :Toán Lớp 9
Câu1: (1đ)
a) f(-3) = 13,5 ; f(-
3
) = 4,5 ; f(
3
2
) =
3
1
(0,5đ)

b) Thay toạ độ các điểm vào hàm số sẽ thấy toạ độ của các điểm A, C, D thoả mãn
vậy ba điểm A,C,D thuộc đồ thị hàm số đã cho. (0,5đ)
Câu2: (2đ)
a)Rút gọn P =








++
+



12
2
1
2
xx
x
x
x
.
2
2
1

x
=






+
+

+

2
)1(
2
)1)(1(
2
x
x
xx
x
.
2
)1(

2
x

(0,25đ)
=
2
)1)(1(
)1)(2()1)(2(
+
++
xx
xxxx
.
2
)1(
2
x

(0,25đ)
=
)1)(1(
22
+
+
xx
xxxx
.
2
)1(
2

x

=
).1( xx

(0,5đ)
b) Với 0 < x<1 thì
x
> 0 và
x
< 1 hay 1-
x
> 0. (0,25đ)
Do đó P =
x
(1-
x
) > 0 (0,25đ)
a) P = -x +
x
= -
4
1
4
1
2
1
2
+

x
(0,25đ)
đẳng thức xảy ra khi
x
=
2
1
hay x =
4
1
(0,25đ)
Do đó giá trị lớn nhất của P là 0,25
Câu 3: (1,5đ) Nhận xét: x= 0; y= 0 là nghiệm của Hử (0,25đ)
Nếu x

0 thì y

0 , chia cả hai vế cho xy ta đợc hệ:

=+
=
5
34
1
11
xy
yx
(0,25đ)
Đặt
u
1
=
x
và
v
1
=
y
ta có hệ phơng trình bậc nhất với hai ẩn số u và v: (0,25đ)



=+
=
5v43
1v
u

u




=++
+=

5 4v 1)3(v
1vu






=
+=
27v
1vu









=

=
7
2
v
7
9
u
(0,25đ)
Do đó ta có







=
=
7
21
7
91
y
x
(0,25đ)
vậy hệ phơng trình đã cho có hai nghiệm (x;y) =

2
7
;
9
7
();0;0(
(0,25đ)
Câu 4: (1,5đ) Toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng (d
1
) và(d
2
) là nghiệm của hệ:




=
=




=+
=

=+
=






=
+=
4
2
48
2
24
2
1
2
2
4
2
1
x
y
x
y
x
y

y
xy
(0,75đ)
Ba đờng thẳng (d
1
); (d
2
); (d
3
) đồng quy khi đờng thẳng d
3
đi qua
điểm (- 4;2) (0,25đ)

2= (k+1)(-4)+ k

-4k - 4+ k=2

3k= -6

k= -2 (0,5đ)
Câu 5: (3đ)
Ghi GT,KL vẽ hình đúng (0,5đ)
a/



=
=
MAMC

MAMB
(t/c tiếp tuyến)

MB = MC (0,5đ)
b/

vuông MAO
1
=

vuông MBO
1



O
1
MA =

O
1
MB (1)
tơng tự

O
2
MA =

O
2

MC (2)
Từ (1) và (2)

O
1
MO
2
= 90
0
(0,5đ)
c/ Ta có: AB// O
2
M (3) ( vì cùng

MO
1
)
BE // MO
2
(4) ( vì O
2
M là đờng trung bình của

CBE)
Từ (3) và (4)

B, A, E thẳng hàng
Tơng tự ta có C, A, D thẳng hàng (0,5đ)
d/ Gọi O là trung diểm của O
1

O
2


OI =
2
1
(R
1
+ R
2
)

đờng tròn (IO
1
O
2
) có tâm
là O. (0,5đ)
Kẻ OH vuông góc với BC

OH =
2
1
(R
1
+ R
2
) ( vì OH là đờng trung bình của của
hình thang BCO

2
O
1
)

d tiếp xúc (IO
1
O
2
) tại H. (0,5đ)
Câu 6:
a
4
+b
4


a
3
b + ab
3


a
4
+b
4
- a
3
b - ab

3


0 (0,25đ)

a
3
(a-b)-b
3
(a-b)

0 (0,25đ)

(a-b) (a
3
-b
3
)

0

(a-b)(a-b) (a
2
+ab+b
2
)

0 (0,25đ)

(a-b)

2







++
4
3
)
2
(
2
2
bb
a


0 đúng với mọi a,b
vậy Bất đẳng thức đợc c/m. (0,25đ)
.Hết..
Ghi chú: Học sinh làm các khác đúng vẫn cho điểm tối đa