Chương 1.2 K57 ICCC

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (340.47 KB, 39 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀ

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

ĐỊNH THỨC

Cho ma trận A vuông, cấp n.

Định thức của ma trận A, ký hiệu:

Đây là một số thực, được xác định như sau:

( )

det

A hay A

( )

11 1 1 11

11 12

11 22 21 12

21 22 2 2

det

.

A

a

thì

A

a

A

thì

A

a a

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

ĐỊNH THỨC CẤP n

≥

3

Dùng phần bù đại số

Gọi Mij là ma trận nhận được từ ma trận A bằng cách bỏ đi

hàng thứ i và cột thứ j.

Phần bù đại số của phần tử aij ký hiệu và xác định như sau:

11 12 1

21 22 2

1 2
...
...
...
...
n
n

n n nn n n

a a a

A

a a a

ổ ửữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
= ỗỗ ữữ
ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ
ố ứ

( )

1 det

1

i j i j

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

4 4

3 21 0 9

1 7 1 2

2 14 0 6

6 42 1 13

A

ổ ửữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ - - ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
= ỗỗ ữữ
ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ - ữ
ỗ
ố ứ

V D 1

Cho ma trn:

(

)

23 23

3 21 9

2 14 6

6 42 13

M M
ổ ửữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ
= ị = ỗ ữữ
ỗ ữ
ỗ ữữ
ỗ
ố ứ

boỷ haứng 2 và cột 3

M

23

=???

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

KHAI TRIỂN ĐỊNH THỨC

Định thức của ma trận vuông cấp n:

Đây là khai triển theo dịng 1.

Ta có thể khai triển dịng bất kỳ hoặt cột bất kỳ.

( )

11 11 12 12 1 1

det

A

=

a A

.

+

a A

.

+

...

+

a A

n n

1 1 2 2 ij ij

det

i i i i in in n

j

A

a A

=

+

L

=

å

1j 1j 2j 2j nj nj ij ij

i=1

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

TỔNG QUÁT

( )

11 1 1 11
11 12

11 22 21 12 11 11 12 12
21 22 2 2

11 12 13

21 22 23 11 11 12 12 13 13
31 32 33

) 1: det

) 2: det . . . .

) 3: det . .

a k A a thì A a

a a

b k A thì A a a a a a A a A

a a

a a a

c k A a a a thì A a A a A a A

a a a

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

VÍ DỤ 2

Tính định thức sau:

Khai triển theo dòng 1:

Khai triển theo dòng 2:

Khai triển theo cột 1, cột 2 cũng cho kết quả tng t.

5

7

2

8 A

=

ổ

ỗ

ỗ

ử

ữ

ữ

ỗ

ữ

ỗ

ố

ứ

( )

1+1

( )

1+2

detA=5. -1 8 +7. -1 2 =5.8-7.2=26

( )

2+1

( )

2+2

detA=2. -1 7 +8. -1 5 =-2.7+8.5=26

A= a b detA= .ad bc.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

VÍ DỤ 3

Tính định thức sau:

Khai triển theo dòng 1:

Khai triển theo cột 1.

Nên chọn cột có nhiều số 0 để khai triển.

1

2

3

0

5

7

0

2

8 A

ổ

ử

ữ

ỗ

ữ

ỗ

ữ

ỗ

ữ

ỗ

=

ỗ

ữ

ỗ

ữ

ỗ

ữ

ữ

ỗ

ố

ứ

( )

(

) (

)

(

)

1+1 57 1+207 051+3

detA=1. -1 +2. -1 +3. -1

28 08 02

detA=1. 5.8-2.7 -2 0.8-0.7 +3 0.2-5.0 =26

( )

1+1

(

)

21 31

detA=1. -1 +0.A +0.A 1. 5.8-2.7 =26

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN TAM GIÁC

Định thức của ma trận tam giác bằng tích các số trên
đường chéo chính.

Định thức của ma trận chéo?

1 2 3 4 1 0 0 0

0 5 7 6 2 5 0 0

0 0 6 5 3 9 6 0

0 0 0 2 4 8 1 2

A B

ổ ửữ ổ ửữ

ỗ ữ ỗ ữ

= ỗỗ ữữ = ỗỗ ữữ

ữ ữ

ỗ ữ ç ÷

ç ÷ ç ÷

ç ÷ ç ữ

ỗ ỗ

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10></div>
(11)<div class='page_container' data-page=11></div>
(12)<div class='page_container' data-page=12></div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

NGUYÊN TẮC TÍNH BẰNG BĐSC

1. Chọn 1 hàng (cột) tùy ý

2. Chọn một phần tử khác 0 của hàng (cột). Khử tất cả
các phần tử khác bằng biến đổi sơ cấp.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14></div>
(15)<div class='page_container' data-page=15></div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

VÍ DỤ 6

Tính định thức ma trận sau:

1

2 3 4

1

2

3

0

5 7 6

0

5

7

1

2 8 5

1

2

8

0 0 2

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

QUY TẮC TÍNH ĐỊNH THỨC CẤP 3

Ta có quy tắc Sarrus.

11 12 13 11 12

21 22 23 21 22

31 32 33 31 32

a

A

a

ổ

ử

ữ

ỗ

ữ

ỗ

ữ

ỗ

ữ

ỗ

=

ỗ

ữ

ỗ

ữ

ỗ

ữ

ữ

ỗ

ố

ứ

( ) (

)

(

3111 2222 1333 3212 2323 1131 3313 2121 1232

)

det

. .

A

a a a

=

+

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

VÍ DỤ 7

Tính các định thức sau bằng quy tắc Sarrus

(

)

(

)

1

2

3

1

2

1

0

5

7

0

1

0

1

2

8 2

5

7

6

0

1

2

5

1

2

0

3

9

3

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC

1. det(A)=det(AT)

2. det(AB)=det(A). det(B)
3. det(kA)=kndet(A)

4. Ma trận có 1 hàng hay 1 cột bằng khơng thì detA=0
5. Ma trận có hai hàng (hai cột) tỷ lệ nhau thì detA=0.
6. Chú ý: det(A+B) ≠ detA + detB

7. Ma trận A khả nghịch khi và chỉ khi detA ≠ 0

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

TÍNH CHẤT TÁCH ĐỊNH THỨC

Tách định thức: một dòng (cột) là tổng của hai số hạng thì
tách tổng 2 định thức

1

3

1

3

1

3

0

7

0

7

0

7

1

8

1

8

1

8

1

2

3

1

2

3

1

2

3 2 3

4 6

5 7

10

12

2

5

2

5 10 12

5

1

6

1

2 4 5

4

14

16

3 6 7

0 12 5

+

=

+

-

+

-

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

ĐỊNH THỨC VÀ HẠNG CỦA MA TRẬN

Định thức con của ma trận:

Cho A là ma trận cấp mxn. Chọn các phần tử nằm trên

giao của k dòng và k cột của A ta được một ma trận

vuông cấp k. Định thức của ma trận vuông cấp k này ta

gọi là định thức con cấp k của A.

Hỏi.

Có bao nhiêu định thức con cấp k trong 1 ma trận A

cấp mxn

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

VÍ DỤ 8

Cho ma trận A.

Hãy lập các định thức con cấp 1; cấp 2; cấp 3?
Định thức con cấp mấy lớn nhất?

1 0 1 2

0 1 2 1

1 1 3 3



 

 

 

 

  

 

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

HẠNG CỦA MA TRẬN

Định nghĩa:

Cho A là ma trận cấp m.n khác O.

Hạng của ma trận A, kí hiệu rank(A) hay r(A) là cấp

cao nhất trong các định thức con khác 0 của ma trận

A. Vậy hạng của A, rank(A)=r thỏa

a) Tồn tại ít nhất một định thức con cấp r khác 0 của A

.

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

ĐIỀU KIỆN KHẢ NGHỊCH & TÍNH CHẤT

Cho ma trận A vng cấp n. Ta có:

Nếu ma trận A khả nghịch thì:

( )

det

0 det

0

n

A

I

A

r A

n

A

Û

=

Û

¹

Û

=

:

i)

khả nghịch

ii)

khả nghịch

iii)

khả nghịch

iv)

không khả nghịch

(

)

1 ) det

det

n
A

a

A

b

P

A

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH THỨC TÌM MA TRẬN NGHỊCH

ĐẢO

Cho A là ma trận khả nghịch. Ta có:

Với PA là ma trận chứa các phần bù đại số của A.

Ma trận PA gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A

( )

1 det

i j
ij

A

= -

M

11 12 1

21 22 2

1
1 2
1
det

n
n
A A

n n nn

T

A A A

A P P

A

A A A

-é ù
ê ú
ê ú
ê ú
= = ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ë û
L
L

M M M

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

VÍ DỤ 9

Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau nu cú

3

4

6

0

1

2

3

4 A

ổ

-

ử

ữ

ỗ

ữ

ỗ

ữ

ỗ

ữ

ỗ

=

ỗ

ữ

ỗ

ữ

ỗ

-

ữ

ữ

ỗ

ố

ứ

( )

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

VÍ DỤ 9

Bước 1. Tính detA
Ta có:

detA≠0 nên ma trận A khả nghịch.

Ta tìm các phần bù đại số và lập ma trận phụ hợp PA

3 4 6 3 4 2

3 2

det 0 1 1 0 1 0 1

2 1

2 3 4 2 3 1

A

-= = = =

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

-VÍ DỤ 9

Ta có:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1 1 0 1 0 1

1 2 2

3 4 2 4 2 3

4 6 3 6 3 4

2 0 1

3 4 2 4 2 3

4 6 3 6 3 4

2 3 3

1 1 0 1 0 1

A A A

= + = - = - = = + =
-- - -
--
-= - = - = + = = - =
-- - -
--
-= + = - = - = = + =

-11 12 13
21 22 23
31 32 33

1 2 2 1 2 2

2 0 1 2 0 1

2 3 3 2 3 3

T
A

A A A

A A A P

A A A

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

VÍ DỤ 13

Ta có:

1 2 2 1 2 2

2 0 1 2 0 3

2 3 3 2 1 3

1 2 2 1 2 2

1 1

2 0 3 2 0 3

det 1

2 1 3 2 1 3

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

BÀI 1

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31></div>
(32)<div class='page_container' data-page=32></div>
(33)<div class='page_container' data-page=33></div>
(34)<div class='page_container' data-page=34></div>
(35)<div class='page_container' data-page=35></div>
(36)<div class='page_container' data-page=36></div>
(37)<div class='page_container' data-page=37></div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

GIẢI TOÁN MA TRẬN BẰNG FX570 ES

1. Nhập ma trận.

Nhấn Mode 6 (Matrix)  Chọn 1( matA)  Chọn matrix

có số dịng và cột tương ứng cần tính tốn.
Nhập kết quả vào bằng phím =,

Sau khi nhập xong ma trận A, có thể nhập thêm ma trận
B bằng cách: Nhấn Shift 4 (Matrix)  1 (Dim)  2 (MatB)

Lập lại tương tự cho MatC.

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

GIẢI TOÁN MA TRẬN BẰNG FX570 ES

2. Tính định thức

Thao tác như sau để tính định thức cho MatA: Shift 4

(Matrix)  7 (Det)  Shift 4 (Matrix)  3 (MatA)  =

3. Tìm ma trận nghịch đảo

Thao tác như sau để tìm ma trận nghịch đảo của MatA:
Shift 4 (Matrix)  3 (MatA)  x-1

(x-1: là phím nghịch đảo của máy tính, dưới Mode)

4. Giải phương trình: AX = B

Thao tác theo các bước bên trên để tính: MatA  x-1  x

</div>

Chương 1.2 K57 ICCC

<b>ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀ </b>

<b>ĐỊNH THỨC</b>

( )

det

<i>A hay A</i>

( )

( )

( )

det

det

.

.

<i>A</i>

<i>a</i>

<i>thì</i>

<i>A</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>A</i>

<i>thì</i>

<i>A</i>

<i>a a</i>

<i>a a</i>

<b>ĐỊNH THỨC CẤP n</b>

<b>≥</b>

<b>3</b>

( )

( )

( )

1

det

1

<b>V D 1</b>

(

)

M

=???

<b>KHAI TRIỂN ĐỊNH THỨC</b>

( )

det

<i>A</i>

=

<i>a A</i>

.

+

<i>a A</i>

.

+

...

+

<i>a A</i>

det

<i>A</i>

<i>a A</i>

<i>a A</i>

<i>a A</i>

<i>a A</i>

=

+

+

L

=

å

<b>TỔNG QUÁT</b>

( )

( )

( )

( )

<b>VÍ DỤ 2</b>

5

7

2

8

<i>A</i>

=

ổ

ỗ

ỗ