Bài soạn ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI + DAP AN TOAN 9 HAY 22

đề thi học sinh giỏi - lớp 9
môn toán -thời gian : 150 phút
Câu 1: (4 điểm) Chứng minh biểu thức sau không phục thuộc giá trị x
A =
23
1
12102
3
)2)(34(2
3)6(6


+

+
+
xxxxxxx
xxx
điều kiện x # 4;
x # 9 ; x # 1
Câu 2: (3 điểm) giải phơng trình
48
2
+
x
= 4x - 3 +
35
2
+
x
Câu 3: (4 điểm) Phân tích ra thừa số A = x

3
y
3
+ z
3
- 3xyz
Từ đó tìm nghiệm nguyên (x, y , z) của phơng trình
x
3
+ y
3
+ z
3
- 3xyz = x (y - z)
2
+ z (x - y)
2
+ y( z-x)
2
(1)
t/m đk: max (x, y, z) < x + y + z - max (x, y, z) (2)
Câu 4: (3 điểm)Tìm GTNN của biểu thức

=
2221616
2
10
2
10
)1()(

4
1
)(
2
1
yxyx
x
y
y
x
++++
Câu 5: (3 điểm) cho tam giác ABC có AB = 3cm; BC = 4cm ; CA = 5cm đờng
cao, đờng phân giác, đờng trung tuyến của tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác
thành 4 phần. Hãy tính diện tích mỗi phần.
Câu 6: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong (0) có 2 đờng chéo AC&BD
vuông với nhau tại H < H không trùng với tâm của (0). Gọi M,N lần lợt là
chân đờng vuông góc hạ từ H xuống các đờng thẳng AB, BC; P&Q lần lợt là
giao điểm của đờng thẳng MH & NH với các đờng thẳng CD; OA. chứng
minh rằng đờng thẳng PQ // đờng thẳng AC và 4 điểm M, N, P, Q nằm trên
một (0).
đáp án đề thi hsg lớp 9- môn toán
Câu 1: (4đ)
. x - 4
x
+ 3 =
)1(3)1(

xxx
= (
)1)(33

x
. -2x + 10
12

x
= 2(-x + 2
)63
+
xx
= 2(
)2)(3 xx

. 3
2

xx
= -1 (2 -
x
) +
x
(2 -
x
) = (2 -
x
) (
1

x
)

do x

1; x

4; x

9
0,5
0.5
0.5
A =
)2)(3)(1(2
)3(2)1(33)6(6
xxx
xxxxx
−−−
−−−−−+−
=
)2)(3)(1(2
6233366
xxx
xxxxxx
−−−
+−+−−−−
=
)2)(3)(1(2
)3()3()3(2)62(
xxx
xxxxxxx
−−−

−+−−−−−
=
)2)(3)(1(2
)2)(3)(1(
xxx
xxx
−−−
−−−
=
2
1
0.5
0.5
0.5
0.5
C©u 2: (3®) BiÕn ®æi pt ta ®îc
343548
22
−=+−+
xxx

34
3548
13
2
−=
+−+
x
xx
nhËn thÊy x = 1 lµ n

0
. ta c/m x = 1 lµ n
0
!
* x > 1 VT < 1,VP> 1 => x > 1 k
0
ph¶i lµ n
0

. 0
≤
x < 1: VT > 1, VP < 1=> 0
≤
x < 1 k
0
ph¶i lµ n
0

. x < 0 : VT > 0 ,VP < 0 => x < 0 k
0
ph¶i lµ n
0

KL: x = 1 lµ n
0

pt
0.5
0.5
0.5

0.5
0.5
0.5
C©u 3: (4®)
NÕu x + y + z = 0 => x + y = - z
A = x
3
+ y
3
-
[ ]
)(3
33
yxyyx
+++
+ 3xy (x + y)
A = 0
=> A : x + y + z chia A cho x + y + z ta ®îc
A = (x + y + z) (x
2
+ y
2
+ z
2
- xy - yz - zx)
A = 1/2 (x + y + z)
[ ]
222
)()()( xzzyyx
−+−+−

Do max (x; y; z) < x + y + z - max (x; y; z)
-> 1/2 (x+y+z) > ( x; y; z)
=> 1/2(x+y+z) (x - y)
2

≥
z (x - y)
2
(1 )
1/2 (x+y+z) (y - z)
2

≥
x (y - z)
2
(2)
1/2(x+y+z) (z - x)
2

≥
x (y - z)
2
(3)
céng 2 vÕ ta ®îc
A
≥
z (x - y)
2
+ x (y - z)
2

+ y (z - x)
2
(4)
0.5
0.5
05
0.5
0.5
0.5
0.5
Dấu = (4) tức pt (8) xảy ra có dấu bằng (1); (2); (3) x = y = z = t ;
( t> 0; t

N
*
)
0.5
Câu 4: (3đ)
áp dụng BĐT co - si cho 4 số dơng ta có:
2221616
2
10
2
10
)1(
2
5
)(
2
1

)(
2
1
yxyx
x
y
y
x
+++++
=> Q

-
2
5
. Do đó GTNN của Q = -
2
5
dấu bằng xảy ra khi x
2
= y
2
= 1
0.5
0.5
1
1
Câu 5: (3đ)
Gọi H; D; P lần lợt là chân các đờng cao, phân giác trung tuyến hạ từ
B, xuống cạnh AC. A
Ta có: AB

2
+ AC
2
= AC
2
=>

ABC

tại B
S
ABC
= 6 (cm
2
)
S
ABP

= S
CBP
= 3 (cm)
2
VT =
4
3
===
BC
BA
DC
DA

S
S
CBD
ABD
nên S
ABC
=
4
7
S
CBD

-> S
CBD
=24/7 (cm
2
)
S
BDP
= S
CBD
- S
CBP
=
7
24
- 3 =
7
3
(cm

2
)
-----------------------------------------------------------------------------------
Bài 6: (3đ) Ta có:
góc AHQ = gócCHN = gócCBD = gócCAD =>

QAH cân tại Q
nói cách khác Q là TĐ của AD
T
2
: P là TĐ của CD
Do đó PQ // AC
Ta thấy: góc CBH = góc NMH (do tứ giác BMHN nội tiếp)
Hơn nữa: góc HQP = góc AHQ = góc CHN = góc CBH
=> góc NQP = góc NMP nên 4 điểm M; N; P; Q cùng nằm trên (0)
ơ
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
----------