Sơ đồ tư duy - Khí Hậu Việt Nam

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Một số bí quyết tìm ngun hàm và tích phân</b>
TS. Lê Thống Nhất.

Rất nhiều bạn khá khó khăn khi tìm ngun hàm và tích phân mà ngun nhân chính là
thường khơng biết sử dụng phép biến đổi vi phân. Các bạn hãy đọc bài viết này và tự rèn
luyện theo hướng dẫn, chắc chắn các bạn sẽ thấy: tìm ngun hàm và tích phân thật là
không đáng ngại.

<b>Định nghĩa: Vi phân của hàm số y = f(x) là biểu thức f’(x). d(x). Nếu ký hiệu dy hay </b>
d[f(x)] là vi phân của y hay f(x) thì dy = f’(x) .dx hay d[f(x)] = f’(x) . dx.

<b>Chú ý: Nhiều bạn hiểu sai là: để tính vi phân f(x), ta tính f’(x) và viết thêm dx, sẽ có f’(x) </b>
dx. Thực ra khơng phải là “viết thêm” mà là “nhân với”, nghĩa là f’(x) nhân với d(x), viết
f’(x) . dx.

<b>Các vi phân cơ bản: </b>

1) d u



1



  



1 .u .du



 2) d (sin u) = cos u . du
3) d (cos u) = - sin u du 4) d (tg u) = 2

du
cos u

5) d (cotg u) = 2

du
sin u



6) d (eu_{) = e}u_{. du}

7) d (lnu ) =

du

u _; _{d(ln u) =}
du

u _. ₈₎d



  u v



du dv
9) d ( u + c) = du với c là hằng số.

<b>Các phép biến đổi vi phân cơ bản: </b>

1)

1
u
u .du d

1



  

  _{ } 

  _{2) cos u .du = d(sin u)}

3) sin u . du = d (-cos u) 4) 2

du

d(tgu)

cos u 

5) 2

du

d( cotgu)

sin u   _{6) e}u_{.du = d(e}u₎

7)

du

d(ln | u |)

u 

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Thí dụ 1: Biểu thức sau là vi phân của hàm số nào?</b>

1. x dx 2. (x + 2)5_{. dx} _{3. cosx . sin}4_{x . dx}

Giải:

1.

1 ₃ ₃

1

1 2 ₂ ₂

2 x 2x 2x

x dx x .dx d d d C

1 ₃ ₃

1
2

 
   
 
   
  _ _   
   
   _ _ _ _
 

2. (x + 2)5_{. dx = ( x + 2)}5_{.d(x +2) =}



x 2



6



x 2



6

d d C

6 6
     
 
   
   
   

3. cosx . sin4_{x . dx = sin}4_{x . d(sin x) =}

5 5

sin x sin x

d d C

5 5

   

 

   

   

<b>Thí dụ 2: Biểu thức sau là vi phân của hàm số nào?</b>

1.
x 1

.dx
x

 
 

  _{2. (2x + 1) (x}2_{+ x + 1) . dx}

3.

cosx - sinx
.dx
sinx + cosx

 

 

  _4. 2

x dx

x 1

Giải:
1.
x 1
.dx
x


 
 
  ₌
1 1
2 2
1

x .dx x x .dx

x

   
 _  _
 
 
 
=
3

1 1 2 1

2 2 2x 2

x dx x .dx d d 2x

3
    
 
  _{ } _
  _ _

 
=
3
1
2
2
2x

d 2x C

3

 

 _ _ 

 

 

2. (2x + 1) (x2_{+ x + 1) . dx} _{= (x}2_{+ x + 1).d (x}2_{+ x + 1)}

=



_x2 _{x 1}



2

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

=



_x2 _{x 1}



2

d C

2

 _{ } 



 

 

 

Lưu ý: d (x2_{+ x + 1) = (2x +1) . dx}

3.



2



2 2

2 2

d x 1

x.dx 1 1 1

d ln(x 1) d ln(x 1) C

x 1 2 x 1 2 2

 _ _

  _  _  _   _

   

<b>Lưu ý: d(x</b>2_{+ 1) = 2x . dx hay x . dx =}

1

2 _d(x2_{+ 1)}

<b>Thí dụ 3: Biểu thức sau là vi phân của hàm số nào?</b>

1. 3

x.dx

(x 1) _2. 2

dx

x  3x 2 _3.

dx
x.ln x

Giải:

1. 3

x.dx

(x 1) ₌



 







3

x 1 1 d x 1
x 1

  



= (x + 1)-2_{. d(x + 1) – (x + 1)}-3_{. d(x + 1)}

=



x 1



1



x 1



2

d d

1 2

 

 _   _ 



   

 

   

   

=





2

1 1

d C

x 1
2 x 1

 

 

 





 

 

2. 2

dx

x  3x 2 ₌

1 1

dx
x 2 x 1

 



 

 

 

=

dx dx

x 2 x 1  
=

2(x 2) 2(x 1)

x 2 x 1

 



 

= d ln | x 2 | ln | x 1|



  



=

x 2

d ln C

x 1



 



 _ 

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

3.









d ln x
dx

d ln(ln x) C

x.ln x  ln x  

<b>Thí dụ 4: Biểu thức sau là vi phân của hàm số nào?</b>
1. cos x . cos3x . dx 2. sin5_{x .dx}

<b>Giải: </b>

1. cos x . cos3x . dx =





1

cos4x+cos2x .dx
2

=





1

cos4x.dx +cos2x.dx
2

=

1 1 1

cos4x.d(4x)+ cos2x.d(2x)

2 4 2

 

 

 

=

1 1 1

(sin4x)+ d(sin 2x)

2 4 2

 

 

 

=

1 1

d sin 4x sin 2x C

8 4

 

 

 

 

<b>Lưu ý: Các cơng thức biến đổi tích thành tổng khi gặp tích các hàm số lượng giác.</b>
2. sin5_{x . dx = sin}4_{x . sin x . dx = - sin}4_{x . d(cosx)}

= -(1 – cos2_x)2_{. d(cosx)}

= [ -1 + 2cos2_{x – cos}4_{x] .d(cosx)}

= -d (cosx) + 2cos2_{x .d(cosx) – cos}4_{x . d(cosx)}

=

3 5

2 1

d cosx + cos x- cos x +C

3 5

 



 

 

Thí dụ dưới đây sẽ sử dụng nhiều sau này:
<b>Thí dụ 5: Tính.</b>

1.

2

d ln x _k _x

  _2.

x a
d ln

x b



 

 _ 

 

<b>Giải: </b>

1.

2

d ln x _k _x

  ₌



2



2

d x k x

x k x

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

= 2 2

1 x

. 1 .dx

x k x x k

 



 

    

= 2

dx

x k

<b>Lưu ý: </b> 2

dx

x k ₌

2

d ln | x _k x |_ 

 

2.

2
x a

d

x a x b x b a b (a b).dx

d ln . .dx

x a

x b x a (x b) (x a)(x b)

x b



 

 

   

  _    _ _

 _  _ _ _ _ _

 



<b>Lưu ý: Nếu </b>a b _thì

dx 1 x a

d ln

(x a)(x b) a b x b



 

 _ _

   _  _

<b>Thí dụ 6: Biểu thức sau đây là vi phân của hàm số nào?</b>

1. 2

dx

x  2x 3 _2. 2

dx

x 2x 3

<b>Giải.</b>

1. 2

dx

x  2x 3 ₌

dx
(x 1)(x 3) 

=

1 1 1

.dx
4 x 3 x 1

 



 

 

 

=





d x 3

1 2(x 1)

4 x 3 x 1



  



 

 

 

=

1 x 3

d ln

4 x 1



 

 _ 

 

=

1 x 3

d ln C

4 x 1



 



 _ 

  

2. 2

dx

x 2x 3 ₌





2
dx

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

=





2
d x 2

(x 1) 2



 

=





2

d ln x 1 2 (x 1) C   

 

 

Bài tập tự luyện.

Biểu thức sau đây là vi phân của hàm số nào?

1. (2x + 1)(x2_{+ x + 5)}7_dx _{2. sin x . cos}7_{x . dx} _3.

ln x.dx
x

4. sin3_{x . cos}2_{x . dx} _{5. tgx . dx} _{6. tg}2_{x . dx}

7. tg3_{x . dx} _{8. sin}2_{x . dx} _{9. cos}3_{x . dx}

10.

2

x x 1

.dx
x

 

 

 

  _11.

dx

x. x 1 _12.





2
2
3
x .dx

x 1

13. 3 2

x dx

x 1 _14. 2

dx

x 4x _15. 2 2

dx
sin x.cos x

16. 2

dx

x  4 _17.

dx

sin 2x _18.

dx
sin x

19.

dx

sin x cos x _{20. (1 + tgx).} 2

dx

cos x _21. 4

dx
cos x

22. 4

dx

sin x _23.

x
x
e .dx

e 1 _24.

x

2 x
e .dx

e 1 _25.

3
4
x .dx

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7></div>

<!--links-->