slide môn xstk khóa k54 nguyenvantien0405

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (743.36 KB, 56 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Phân phối chuẩn N(



,



)

• Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối chuẩn

với tham số  và 2 nếu hàm mật độ của nó có

dạng:

• Ký hiệu: X ~ N(, 2)

 

2
2
2

1 )

2 (

x

f x

e











</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Đồ thị hàm mật độ

Med
Mod

 
2
2
2

1 )

2 (

x

f x

e

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Tính chất

• Đồ thị dạng hình chng (bell shaped); có 2

điểm uốn tại 

• Đồ thị đối xứng quanh 

• Diện tích dưới đường cong chuẩn là 1
• Đường cong nằm hồn tồn trên Ox
• Giới hạn tại 2 đi là 0

• Đạt giá trị cực đại tại x= 

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Định lý





 

~ ,

)
)

Nếu X N thì:

i E X Var X

ii ModX MedX

 

 

 

• 68.26% nằm trong khoảng (-σ; +σ)

• 95.44% nằm trong khoảng (-2σ; +2σ)

• 99.73% nằm trong khoảng (-3σ; +3σ).

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Các bnn có pp chuẩn

• Trọng lượng, chiều cao của một nhóm người
• Lãi suất của một cơng ty

• Nhu cầu tiêu thụ một mặt hàng nào đó
• …..

• Nếu bnn X là tổng của n bnn độc lập và giá trị

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6></div>
(7)<div class='page_container' data-page=7></div>
(8)<div class='page_container' data-page=8></div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Xác suất của bnn pp chuẩn

• Cho X là bnn về chỉ số IQ của người VN
• Giả sử X~N(100; 162).

• Tìm xác suất chọn nn một người VN thì người

đó có IQ dưới 90.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Xác suất của bnn pp chuẩn

• Xác suất cần tìm:





 2

100
1

2 16

1

90 ???

x

P X

e

dx




</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Định lý

• Phân phối N(0;1) gọi là phân phối chuẩn tắc.









~ , ~ 0,1 .

Neáu X N   thì: Z X  N










  





  

    

 

         

 

a X b

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Xác suất N(



,



)

• Ta tìm xs của X ~ N(, 2) thơng qua N(0;1)

• Với:





  





  

    

 

         

 

a X b

P a X b P P a Z b



0 1



</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Phân phối chuẩn tắc Z~N(0;1)

• Hàm mật độ của Z~N(0;1) :

• Hàm phân phối của Z:

 

2
2

1 0,5

2

x t

F x

e dt



x




 









 

2
2

1

2

x

f x

e









</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Tích phân Laplace

• Cơng thức

• Vậy:

• Với:

 

0 0

1

2

x t x

x

e dt

t dt

















 

x

P



0 Z

x



,

x

0 



 

 



0 1



</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Tính chất của hàm



(x)





 













 

)

) 0,5 0,5

)

i x x

ii

iii P a Z b b a

 

 

    
   

x

 

x

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Cách dùng bảng Lapalce



0,94



0,3264

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Xác suất của N(μ;σ

)

• Giá trị của tích phân Laplace dị trong bảng Phụ lục

• Xác định cậnchuẩn hóacận trên – cận dưới.





















1.
2. 0,5
3. 0,5
b a

P a X b

a a

P X a

b b

P X b

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Tính chất pp chuẩn

• Nếu a, b là các số thực thì:

• Tổ hợp tuyến tính của các bnn độc lập có phân

phối chuẩn là một bnn cũng có pp chuẩn.













2
1 1 1

1 2
2

2 2 2

;
?;?

;
 
 


  






X N

Z aX bX N
X N



 ; 2



  



  ;







 

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Ví dụ

• Cho X~N(3,1) và Y~N(4,2) độc lập. Tìm các xác

suất:

.

2 a X

Y

b X

Y

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Ví dụ 1

1. Cho X là bnn có phân phối chuẩn với E(X)=10
và P(10<X<20)=0,3. Tính xác suất P(0<X<15)?

2. Giả sử thời gian khách phải chờ để được phục
vụ tại một cửa hàng là bnn X, biết X~N(4,5;
1,21)

a) Tính xác suất khách phải chờ từ 3,5 đến 5
phút?

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Ví dụ 2

• Tuổi thọ một loại máy lạnh A là bnn X có phân

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Xấp xỉ pp chuẩn





~

,

X

N

 





~

,

X

B n p

n rất lớn

 

E X

np

V X

npq

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Ví dụ 6

• Trọng lượng các viên thuốc có phân phối chuẩn

với kỳ vọng 250mg và phương sai 81 mg2.
Thuốc được đóng thành vỉ, mỗi vỉ 10 viên. Một
vỉ được gọi là đúng tiêu chuẩn khi có trọng
lượng từ 2490 mg đến 2510 mg (đã trừ bao bì).
Lấy ngẫu nhiên 100 vỉ để kiểm tra. Tính xác
suất:

• A. Có 80 vỉ đạt tiêu chuẩn.

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Ví dụ 7

• Khảo sát một lơ thuốc viên, trọng lượng trung bình

của một viên thuốc là 252,6 mg và có độ lệch chuẩn

4,2 mg. Giả sử trọng lượng pp theo quy luật chuẩn.

• A. Tính tỷ lệ viên thuốc có trọng lượng lớn hơn 260

mg.

• B. Tính trọng lượng x0 sao cho 30% viên thuốc nhẹ

hơn x0.

• C. Viên thuốc đạt tiêu chuẩn phải có trọng lượng

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Ví dụ 8

• Một chi tiết được tiện với bán kính qui định là

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Xấp xỉ Poisson bằng N(0,1)

• Cho bnn X có phân phối Poisson

• Ta chứng minh được:





~

0,1

X

N

khi





 

 

? ?

X P

E X V X



</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Phân phối Khi bình phương

• Bnn X gọi là có phân phối Khi bình phương với n

bậc tự do nếu hàm mật độ có dạng:

• Ký hiệu:

• Là trường hợp riêng của pp Gamma.

 

1
2 2
2
1
, 0
2
2

0 , 0

n x

n x e x

n
f x
x





  
   
 


 


 

~

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Phân phối Khi bình phương

• Nếu X~χ2(n) thì

• Đồ thị:

 



;

ar

 



2

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Đồ thị hàm mật độ

4 

n

5 

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Đồ thị hàm mật độ Khi BP

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Đồ thị hàm mật độ

• Khi n=30, vẽ trên đoạn từ 7 đến 53 (trong

khoảng 3 độ lệch chuẩn)

 

30

2

60 7 74



 







,

E X

n

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Tính chất X~



(n)

 





2 2

1 1 2 2

1 2 1 2

) ~ ; ~

Nếu và độc lập thì:
X

a X n X n

X n n

 



 

 





) ~ 0,1

Nếu thì F

n

X n

b X n N

n

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33></div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Quan hệ với pp N(0,1)

• Cho n biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối

N(0,1).

• Khi đó:

 

2 2

~

n

i
i

X



n









~

0,1

i

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Quan hệ với pp N(0,1)

• Cho n biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân

phối chuẩn.

• Khi đó:

 

2
2
1

~

n
i
i

X

n





























~

,

i

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Quan hệ với pp N(0,1)

• Cho n biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân

phối chuẩn.

• Khi đó:





2
2

~

1

n
i

X

n



























2
1 2

~

,

1 ...

i
n

X

N

X

n

 

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Phân phối Student t(n)

• Kí hiệu: X ~ t(n)

• Bnn X gọi là có phân phối Student với n bậc tự

do nếu hàm mật độ có dạng:

 

 1

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

Quan hệ với Chuẩn và Khi BP

• Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập.

• Khi đó:





 

~

0,1 ;

~

X

N

Y



n

 

~



X



X n

T

t n

Y

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39></div>
(40)<div class='page_container' data-page=40></div>
(41)<div class='page_container' data-page=41></div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

Tính chất

 





 









) 0 1 ;

) 2 .

) 0,1

Nếu thì:

F
n

T t n

a E T n

n

b V T n

n

c T   N

 

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43></div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Dị bảng xác suất Khi BP

• Ký hiệu:

• Là giá trị sao cho:

 

n




 





, với ~ 2

 

P Z   n  Z  n

 

n







 Đưa về đúng dạng

 Lấy giao giữa hàng và

cột tương ứng

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

Ví dụ

• Cho

• Tìm các xác suất sau:





20





Z













)

0,95

)

8,2604

?

)

10,8508

31,4104

?

a

P Z

a

b

P Z

c

P

X









</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46></div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

Dị bảng xác suất Student

• Ký hiệu:

• Là giá trị sao cho:

 

t n

 





, với ~

 

P Z t n   Z t n



 

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

Ví dụ

• Cho

• Tìm các xác suất sau:

 

15 Z T



















)

0,025

)

2,4899

?

)

2,0343

2,9467

?

)

0,975

a

P Z

a

b

P Z

c

P

X

d

P Z b













</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

Ví dụ 2

• Cho

• Tìm các xác suất sau:



48 

Z T















)

2,7045

?

)

1,7232

2,2990

?

)

0,025

a

P Z

b

P

X

d

P Z b









</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

Phân phối Fisher - Snedecor

• Ta định nghĩa thơng qua phân phối Khi bình

phương.

• Xét hai biến ngẫu nhiên độc lập.

• Đặt:

 

2 2

~

;

~

X



n

Y



m

/

X n

mX

F

Y m

nY

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

Phân phối Fisher - Snedecor

• Khi đó ta nói F có phân phối Fisher – Snedecor

với (n,m) bậc tự do.

 

1
2
2
2
,
2
0
1
2 2
n
n

n m
n m
n x

f x x

n m m

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

Đồ thị hàm mật độ

• Gần giống với

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53></div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

Đồ thị hàm mật độ



,



mF



1,0



n

F n m

 

N

 

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

Tính chất

• Cho X~F(n,m) thì:

 





 







 







,

2 ,

4

2

4 m

E X

m

m n m

V X

m

n m

m



















,



mF



1,0



n

F n m

 

N

 

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

Kiểm tra giữa kỳ

• Khơng sử dụng tài liệu

• Tắt điện thoại di động (hoặc để im lặng)

• Các sinh viên ngồi cạnh nhau khơng được cùng

mã đề

</div>

slide môn xstk khóa k54 nguyenvantien0405

Phân phối chuẩn N(



,



)

1

)

2

(

<i>f x</i>

<i>e</i>





Đồ thị hàm mật độ

1

)

2

(

<i>f x</i>

<i>e</i>

Tính chất

Định lý





 

 

Các bnn có pp chuẩn

Xác suất của bnn pp chuẩn

Xác suất của bnn pp chuẩn





1

90

???

<i>P X</i>

<i>e</i>

<i>dx</i>

Định lý

















Xác suất N(



,



)











0 1



Phân phối chuẩn tắc Z~N(0;1)

 

 

1

0,5

2

<i>F x</i>

<i>e dt</i>



<i>x</i>





<sub></sub>





 

 

1

2

<i>x</i>

<i>f x</i>