Chuyên đề Toán sơ cấp - Giải tích tổ hợp

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH TIỀN GIANG TRƯỜNG ĐẠI HỌC TIỀN GIANG KHOA SƯ PHẠM.
. CHUYÊN  TOÁN S CP. GII TÍCH T HP. Giáo viên HD SVTH MSSV. : Võ Hoài Nhân Trung : Nguy(n H)ng i*p : 106121009. Thaùng 5, naêm 2010. Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> MC LC PHN I : C BN ...................................................................................... 1. A. Lý thuyt : ................................................................................... 1 I. Hai qui tc c bn : ................................................................... 1 1. Qui tc c"ng : .......................................................................... 1 2. Qui tc nhân : ......................................................................... 2 II. Hoán v) : .................................................................................... 3 III. Ch+nh h,p : ............................................................................. 4 IV. T1 h,p : .................................................................................... 5 V. Các chú ý khi gii bài t6p :........................................................ 6 VI. M"t s9 sai l;m th=>ng mc phi trong khi gii toán : .......... 8 B. Các dBng bài t6p th=>ng gCp .................................................. 13 I. VDn EF 1 : Bài toán Em s9 ...................................................... 13 1. DBng 1 : Bài toán Em s9 c bn : ....................................... 13 2. DBng 2 : Bài toán Em ph9i h,p EiFu kiHn nâng cao (Em có l6p, các bài toán vF chia ht, tìm tDt c các =Mc s9 …).......... . 18 3. DBng 3 : Tính t1ng trong bài toán Em.............................. . 25 II. VDn EF 2 : Bài toán sp xp .................................................... 27 III. VDn EF 3 : Bài toán vF t6p h,p .............................................. 30 IV. VDn EF 4 : Bài toán hình hTc ................................................. 32 V. VDn EF 5 : Bài t6p áp dUng công thWc .................................... 35 1. DBng 1 : Xn gin biYu thWc, rút gTn, gii ph=ng trình, bDt ph=ng trình .......................................................................... 35 2. DBng 2 : ChWng minh các hH thWc t1 h,p ........................... 40 3. DBng 3 : Tìm giá tr) lMn nhDt, nhZ nhDt ............................... 45 VI. Bài t6p t1ng h,p .................................................................... 47 PHN II : NÂNG CAO..................................................................... 48 I. Ch+nh h,p l6p ........................................................................... 48 II. Hoán v) lCp ( t1 h,p phWc ) ...................................................... 49 III. T1 h,p lCp................................................................................ 49 IV. Nguyên lí bù tra ...................................................................... 51 IV. Bài t6p t1ng h,p ...................................................................... 52. Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP. PHẦN I : CƠ BẢN A. LÝ THUYẾT : I. HAI QUI TẮC CƠ BẢN : 1. Qui tắc cộng : - Một công việc nào đó có thể thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B. Nếu phương án A có m cách thực hiện , phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì công việc đó có m + n cách thực hiện.. - Tổng quát : Một công việc có thể tiến hành theo một trong k phương án A1 , A2 , A3 ...., Ak . Phương án A1 có thể thực hiện theo n1 cách, phương án A2 có thể thực hiện theo n2 cách,…, phương án Ak có thể thực hiện theo nk cách.. Các phương án ở các cách không trùng nhau. Khi đó công việc có thể thực hiện theo : n1  n2  n3  ...  nk cách.. Ví dụ : Từ thành phố A đến thành phố B có 3 đường bộ và 2 đường thủy. Cần chọn một đường để đi từ A đến B. Hỏi có mấy cách chọn ? Giải Để đi từ thành phố A đến thành phố B ta có 2 phương án : đường bộ hoặc đường thủy Đường bộ : 3 đường có 3 cách chọn. Đường thủy : 2 đường có 2 cách chọn. Và 2 phương án này độc lập với nhau. Vậy theo qui tắc cộng ta có tất cả: 3 + 2 = 5 cách chọn. Ví dụ : Một nhà hàng có 3 loại rượu, 4 loại bia, 5 loại nước ngọt. Một thực khách cần chọn đúng một loại thức uống. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? Giải Thực khách có 3 phương án chọn : Hoặc chọn rượu : 3 cách chọn Hoặc chọn bia : 4 cách chọn Hoặc chọn nước ngọt : 5 cách chọn Theo qui tắc cộng thực khách có tất cả : 3 + 4 + 5 = 9 cách chọn 1 loại thức uống. SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ. Lop11.com. Trang 1.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP. 2. Qui tắc nhân : - Một công việc nào đó có thể bao gồm 2 công đoạn A và B. Nếu công đoạn A có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thự hiện. - Tổng quát : Một công việc nào đó có thể bao gồm k công đoạn A1 , A2 , A3 ...., Ak .. Nếu công đoạn A1 có n1 cách thực hiện và ứng với mỗi cách trong công đoạn A1 có n2 cách thực hiện công đoạn A2 , ứng với mỗi cách trong công đoạn A2 có n3 cách thực hiện công đoạn A3 ,…, ứng với mỗi cách trong công đoạn Ak 1 có n k cách thực hiện công đoạn Ak . Khi đó công việc có thể thực hiện theo : n1.n2 .n3 ...nk cách.. Ví dụ : Từ Hà Nội đến Huế có 3 cách đi : máy bay, ô tô, tàu hỏa. Từ Huế đến Sài Gòn có 4 cách đi: máy bay, ô tô, tàu hỏa, tàu thủy. Hỏi có bao nhiêu cách đi Hà Nội – Huế - Sài Gòn ? Giải Ta có thể xem việc đi Hà Nội – Huế - Sài Gòn như một công việc tiến hành theo 2 giai đoạn liên tiếp nhau : Giai đoạn 1 : đi từ Hà Nội đến Huế : có 3 cách đi. Giai đoạn 2 : từ Huế đến Sài Gòn : ứng với mỗi cách đi ở giai đoạn 1 ta đều có 4 cách để hoàn thành giai đoạn 2. Vậy theo nguyên lí nhân có tất cả : 3.4  12 cách đi Hà Nội – Huế - Sài Gòn.. Ví dụ : Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau có thể được tạo thành từ các chữ số 5, 6, 7, 8, 9 ? Giải Số cần lập có dạng : a1a2 a3 , (a1  0) , để lập được số như thế ta thực hiện các giai đoạn sau : Chọn a1 : có 4 cách chọn. Chọn a2 : với mỗi cách chọn a1 có 3 cách chọn  a1  a2  Chọn a3 : với mỗi cách chọn a2 có 2 cách chọn  a1  a2  a3  Vậy theo nguyên tác nhân có tất cả : 4.3.2  24 số thỏa yêu cầu bài toán.. SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ. Lop11.com. Trang 2.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP. II. HOÁN VỊ : - Định nghĩa : Cho tập A gồm n phần tử  n  1 . Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.. - Nhận xét : Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp. Chẳng hạn hai hoán vị abc và acb của 3 phần tử a, b, c là khác nhau. - Số các hoán vị : Kí hiệu Pn là số các hoán vị của n phần tử : Pn  n. n -1 ....2.1  n !. Thật vậy để có một hoán vị ta có thể chọn phần tử đứng đầu theo n cách, sau đó ta chọn phần tử thứ 2 theo (n-1) cách,…, chọn phần tử n theo 1 cách duy nhất. Do đó ta có tổng số hoán vị là : n.(n-1)…2.1 - Qui ước : 0!  1.. Ví dụ : Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 bạn A, B, C ngồi vào một bàn dài có 3 chỗ ngồi ? Giải Cần sắp xếp 3 bạn vào 3 chỗ vậy mỗi cách sắp là hoán vị của 3 phần tử, có tất cả P3  1.2.3  3!  6 cách sắp. Các hoán vị đó là : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Ví dụ : Có bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các số 2, 6, 7, 9 ? Giải Mỗi số được thành lập là một hoán vị của 4 phần tử. Vậy ta có tất cả là : P4  4!  24 (số). - Hoán vị vòng : Cho tập A gồm n phần tử  n  1 . Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A theo một vòng kép kín được gọi là một hoán vị vòng của n phần tử đó. - Số hoán vị vòng của n phần tử là : Pn1   n -1!.. Ví dụ : Có bao nhiêu cách sắp xếp n đại biểu ngồi quanh một bàn tròn ? Giải Vị trí tương đối giữa các đại biểu hoàn toàn không đổi nếu ta hoán vị vòng họ theo một chiều nhất định ( chẳng hạn n hoán vị ABC…KL, BCA…LA, CD…LAB là như nhau ) nghĩa là trong các hoán vị vòng không có phần tử nào là cuối cùng hoặc phần tử thứ nhất. Vậy số cách sắp xếp là :. SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ. Lop11.com. Trang 3.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP. n!   n -1!  Pn-1 . n Ví dụ : Có bao nhiêu đa giác nhận n điểm A, B, …, L làm đỉnh ? Giải Ta có thể hoán vị vòng các đỉnh theo cả hai chiều theo 2n cách khác nhau mà đa giác vẫn không thay đổi nên số đa giác là : Pn-1  n -1!  . 2 2. III. CHỈNH HỢP : - Định nghĩa : Cho tập A gồm n phần tử  n  1 . Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. - Số các chỉnh hợp : Kí hiệu A kn là số chỉnh hợp chập k của n phần tử. 1  k  n  Ank  n.  n -1 ...  n - k  1 . n!  n - k !. Thật vậy để lập một chỉnh hợp chập k của n phần tử ta chọn phần tử đứng đầu theo n cách, sau đó chọn phần tử thứ hai theo ( n - 1) cách,…, phần tử thứ k theo n - ( k-1) cách. Do đó ta có tổng số chỉnh hợp chập k của n phần tử là n.  n -1 ...  n - k  1 .. - Chú ý : Mỗi hoán vị n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy : Pn  Ann. Ví dụ : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, … 9 ? Giải Mỗi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy 5 chữ số khác nhau từ chín chữ số đã cho và xếp theo một thứ tự nhất định. Mỗi số như vậy được coi là một chỉnh hợp chập 5 của 9. Vậy số các số đó là : A95  120 .. SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ. Lop11.com. Trang 4.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP. IV. TỔ HỢP : - Định nghĩa : Cho tập A có n phần tử  n  1 . Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. - Chú ý : Số k trong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện 1  k  n .Tuy vậy tập hợp không có phần từ nào là tập rỗng nên ta qui ước gọi tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng. - Số các tổ hợp : Kí hiệu Cnk là số các tổ hợp chập k của n phần tử.  0  k  n  , ta có : Cnk . n! k ! n - k !. Để tính tổng số tổ hợp ta lập luận như sau : Giả sử từ n phần tử đã cho ta tạo nên Cnk chỉnh hợp. Đem mỗi tổ hợp chập k này hoàn vị theo mọi cách sẽ có k! chỉnh hợp chập k. Do đó toàn bộ Cnk tổ hợp chập k của n phần tử sẽ ứng với k! Cnk chỉnh hợp chập k. Do đó :. k !Cnk  Ank. - Tính chất của các số Cnk : Cnk  Cnn k ,  0  k  n  Cnk11  Cnk1  Cnk , 1  k  n  .. Ví dụ : Cho tập A  1, 2,3, 4,5 . Có bao nhiêu tổ hợp chập 3 của 5 phần tử của A ? Liệt kê chúng. Giải 5!  10 tổ hợp chập 3 của 5 phần tử của A. Có tất cả C53  3! 5  3 ! Các tổ hợp đó là : 1, 2,3 ;1, 2, 4 ;1, 2,5;2,3, 4 ;2,3,5 ;3, 4,5;1,3, 4 ,1,3,5;2,3, 4 ,1, 4,5 .. Ví dụ : Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Cần lập một đoàn đại biểu gồm 5 người. Hỏi : a) Có bao nhiêu cách lập ? b) Có bao nhiêu cách lập đoàn dại biểu trong đó có 3 nam, 2 nữ ? Giải a) Mỗi đoàn đại biểu được lập là một tổ hợp chập 5 của 10. Vì vậy số 10!  252 . đoàn đại biểu có thể có là : C105  5!(10 - 5)! b) Chọn 3 người từ 6 người nam : có C63 cách chọn Chọn 2 người từ 4 người nữ. : có C42 cách chọn. Theo nguyên tắc nhân có tất cả C63 .C42  120 cách lập đoàn. SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ. Lop11.com. Trang 5.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP. V. CÁC CHÚ Ý KHI GIẢI BÀI TẬP : 1. Trong bài toán đếm thì ta ưu tiên đếm các trường hợp có điều kiện đặc biệt (trường hợp số 0 đứng đầu trong bài toán đếm số, các điều kiện ràng buộc khác của bài toán… ). 2. Phân biệt hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp :. Hoán vị. Tổ hợp. Chỉnh hợp. - Các phần tử chỉ xuất - Các phần tử chỉ xuất hiện một lần. hiện một lần. - Lấy ra hết n phần tử - Lấy ra k phần tử để sắp xếp. trong n phần tử để sắp xếp. - Các phần tử xếp có - Các phần tử xếp có. - Các phần tử chỉ xuất hiện một lần. - Lấy ra k phần tử trong n phần tử để sắp xếp. - Các phần tử xếp. thứ tự.. không có thứ tự.. thứ tự.. 3. Ta thường bị lẫn lộn giữa tổ hợp và chỉnh hợp, điểm khác nhau cơ bản là sắp xếp có thứ tự hay không. Để phân biệt ta làm như sau : đầu tiên ta đưa ra một đáp án của bài toán sau đó ta đảo vị trí các phần tử trong đáp án , nếu :  Tạo nên đáp án mới  có thứ tự  tổ hợp  Không tạo nên đáp án mới  không có thứ tự  chỉnh hợp.. Ví dụ : Một lớp có 37 người, hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một tổ 3 người để : a) Phân công trực nhật lớp b) Bầu ban cán sự : 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 thủ quĩ.. Phân tích Giả sử ba bạn được chọn theo thứ tự là A, B, C Đối với câu a : nếu ta đổi lại tổ được chọn là B, C, A ta thấy tổ này vẫn không thay đổi so với tổ ban đầu  tổ hợp Đối với câu b : theo cách chọn thì A : lớp trưởng, B : lớp phó, C : thủ quĩ, nếu ta đổi lại tổ được chọn là B, C, A ta được ban cán sự mới là B : lớp trưởng, C : lớp phó, A : thủ quĩ tổ này đổi khác so với tổ ban đầu  chỉnh hợp.. 4. Dựa vào công thức liên hệ tổ hợp và chỉnh hợp : Ank  k !Cnk ta còn có thể giải bài toán đếm bằng cách " chọn và sắp ".. SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ. Lop11.com. Trang 6.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP. Lấy lại ví dụ ở trên : Một lớp có 37 người, chọn ra một tổ 3 người để : a) Phân công trực nhật lớp b) Bầu ban cán sự : 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 thủ quĩ. Giải a) Đầu tiên ta chọn 3 người tùy ý trong 37 người có : C 337 cách Sau đó ta sắp 3 người được chọn để thành lập 1 tổ : có 1 cách sắp duy nhất. Vậy ta có tất cả : 1. C337 = 7770 (cách). b) Đầu tiên ta chọn 3 người tùy ý trong 37 người có : C 337 cách Sau đó ta sắp 3 người được chọn vào 3 chỗ để thành lập 1 tổ : có 3! cách sắp. Vậy ta có tất cả : 3!. C337 = 46620 (cách).. 5. Khi giải bài toán đếm người ta có thể giải theo hai cách chính sau đây :  Tính trực tiếp : tính thẳng yêu cầu bài toán nêu ra  Tính gián tiếp : đôi khi tính trực tiếp yêu cầu bài toán trở nên khó khăn, phức tạp, có nhiều khả năng có thể xảy ra người ta thường nghĩ ngay đến phương pháp tính gián tiếp. Cách tính gián tiếp dựa trên nguyên lí. “ Đếm những cái không cần đếm ( dễ dàng ) để biết những cái cần đếm ( phức tạp) ”. Các từ cần lưu ý : “có ít nhất 1”, "có tối đa 1", ”A và B không đứng cạnh nhau”, “không đồng thời có mặt”, " bắt đầu bởi"…. Ví dụ : Có bao nhiêu cách xếp 5 người thành một hàng ngang sao cho A không đứng cạnh B ? Phân tích Gọi các vị trí trong hàng theo thứ tự là 1, 2, 3, 4, 5. Nếu ta đếm trực tiếp : xuất phát từ A, trong mỗi trường hợp của A sẽ xuất hiện nhiều trường hợp khác nhau của B lúc này việc tính toán trở nên khó khăn. Nếu ta đếm gián tiếp : đếm phần không cần đếm “A, B luôn đứng cạnh nhau” xem như A, B là một chỗ, ta lấy cách xếp 5 người tùy ý trừ đi trường hợp “A, B luôn đứng cạnh nhau” sẽ thu được kết quả bài toán. Việc đếm gián tiếp trong trường hợp này dễ dàng hơn nhiều.. Giải Xem A và B như một chỗ, ta có 4! = 24 cách xếp. Nhưng A có thể đứng bên trái hoặc bên phải B nên ta có 24.2 = 48 cách xếp A đứng cạnh B. Toàn bộ có 5! = 120 cách xếp Vậy số cách xếp A không đứng cạnh B là : 120 – 48 = 72 cách.. SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ. Lop11.com. Trang 7.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP. VI. MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG MẮC PHẢI TRONG KHI GIẢI TOÁN : 1. Sai lầm 1 : nhầm lẫn giữa tổ hợp và chỉnh hợp. * Bài toán 1 : "Một tổ có 12 học sinh nữ và 10 học sinh nam. Cần chọn ra 6 học sinh gồm 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 đôi diễn văn nghệ. Hỏi có bao nhiêu cách ghép ? ". Lời giải 1 : - Chọn 3 nam trong 10 nam : có A103  720 cách - Chọn 3 nữ trong 12 nam : có A123  1320 cách Vậy số cách chọn 3 đôi nam nữ là : 720.1320  950400 cách. Lời giải 2 : - Chọn 3 nam trong 10 nam : có C103  120 cách - Chọn 3 nữ trong 12 nam : có C123  220 cách Vậy số cách chọn 3 đôi nam nữ là : 120.220  26400 cách. Lời giải 3 : - Chọn 3 nam trong 10 nam : có C103  120 cách - Chọn 3 nữ trong 12 nam : có C123  220 cách Do đó số cách chọn 6 học sinh 3 nam, 3 nữ là : 120.220  26400 cách Vì một đôi gồm 2 bạn ( 1 nam, 1 nữ ) nên chọn ra 1 bạn nam ( trong 3 bạn nam ) và một bạn nữ ( trong 3 bạn nữ ) có : 3.3 = 9 cách. Vậy có tất cả là : 9.C103 .C123  9.120.220  237600 cách. Lời giải 4 : - Chọn 3 nam trong 10 nam : có C103  120 cách - Chọn 3 nữ trong 12 nam : có C123  220 cách Do đó số cách chọn 6 học sinh 3 nam, 3 nữ là : 120.220  26400 cách Trong 6 học sinh chọn ra thì có 3! cách ghép các đôi này với nhau ( là số hoán vị 3 học sinh nam hoặc 3 học sinh nữ ). Vậy có tất cả là : 3!.C103 .C123  6.120.220  158400 cách.. Phân tích Lời giải 1 : là lời giải sai vì bài toán không yêu cầu thứ tự khi chọn ra các học sinh.. Lời giải 2 : lời giải sai chọn ra 6 học sinh thỏa yêu cầu bài toán hoàn toàn đúng nhưng bài toán chưa dừng lại ở đó mà cần đưa ra kết quả là số cách ghép đôi. Lời giải 3 : lời giải sai nhầm lẫn trong bước cuối là chỉ chọn ra 1 đôi nam và nữ ( đề bài yêu cầu chọn ra 3 đôi ). Lời giải 4 : là lời giải đúng.. SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ. Lop11.com. Trang 8.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP. 2. Sai lầm 2 : Sai lầm trong việc chọn các phần tử còn lại : * Bài toán 2 : " Một nhóm học sinh gồm các bạn A, B, C, D, E. Cần chọn ra 3 bạn hỏi có bao nhiêu cách chọn ?". Lời giải 1 : - Đầu tiên chọn 1 bạn : có 5 cách chọn. - Chọn tiếp 1 bạn trong 4 bạn còn lại : có 4 cách chọn. - Cuối cùng chọn 1 bạn trong 3 bạn còn lại : có 3 cách chọn. Vậy theo qui tắc nhân ta có tất cả : 5.4.3 = 60 cách chọn.. Lời giải 2 : - Đầu tiên chọn 1 bạn : có 5 cách chọn. - Chọn 2 bạn trong 4 bạn còn lại : có C42  6 cách chọn. Vậy ta có tất cả : 5.C42  5.6  30 cách chọn.. Lời giải 3 : Chọn 3 bạn trong 5 bạn là số chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử. Số cách chọn là : C53  10 cách.. Phân tích Lời giải 1 : đây là lời giải sai, ở đây ta đã sắp đặt thứ tự cho việc chọn ra 3 bạn trong khi đề bài không yêu cầu dẫn đến kết quả đếm bị trùng nhau, ví dụ : Đầu tiên chọn một bạn trong 5 bạn ta có 5 cách chọn - Giả sử lần đầu ta chọn A, lần 2 ta chọn B, lần 3 ta chọn C thì kết quả 3 bạn được chọn là A, B, C. - Giả sử lần đầu ta chọn B, lần 2 ta chọn A, lần 3 ta chọn C thì kết quả 3 bạn được chọn là B, A, C. Do yêu cầu bài toán là chỉ cần chọn ra 3 bạn không phân biệt bạn nào trước bạn nào sau nên kết quả A, B, C và B, A, C là như nhau, vì vậy cách chọn sẽ bị trùng. Lời giải 2 : lời giải sai, chọn 2 bạn trong 4 bạn còn lại ta dùng chỉnh hợp là chính xác nhưng ở đây ta đã ấn định thứ tự cho vị trí thứ nhất nên kết quả là sai. Lời giải 3 : lời giải đúng.. * Bài toán 3 : "Một nhóm gồm 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Chọn ra 6 học sinh sao cho có ít nhất 6 học sinh nữ được chọn ?" Lời giải 1 : Tính trực tiếp : - Trường hợp 1 : 2 nữ, 4 nam có : C152 C304 cách chọn. - Trường hợp 2 : 3 nữ, 3 nam có : C153 C303 cách chọn. - Trường hợp 3 : 4 nữ, 2 nam có : C154 C302 cách chọn. 1 - Trường hợp 4 : 5 nữ, 1 nam có : C155 C30 cách chọn.. - Trường hợp 5 : 6 nữ có. : C156 cách chọn.. SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ. Lop11.com. Trang 9.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1 Vậy có tất cả : C152 C304 . C153 C303 . C154 C302 . C155 C30 . C156 = 5413695 cách chọn.. Lời giải 2 : Tính gián tiếp : - Chọn 6 học sinh bất kì : có C456 cách chọn. - Chọn 1 nữ, 5 nam : có C151 .C305 cách chọn. - Chọn 6 nam : có C306 cách chọn. Vậy ta có tất cả : C456 - ( C151 .C305 + C306 ) = 5413695 cách chọn.. Lời giải 3 : - Bước 1 : chọn 2 nữ ( vì có ít nhất 2 nữ ) có C152 cách chọn. - Bước 2 : chọn 4 bạn còn lại trong 43 bạn có C434 cách chọn. Khi đó 6 bạn được chọn luôn thỏa mãn điều kiện có ít nhất 2 bạn nữ. Vậy có tất cả : C152 . C434 = 12958050 cách chọn.. Phân tích Lời giải 1 +2 : đều là lời giải đúng. Lời giải 3 : là lời giải sai. Thoạt tiên ta có cảm giác đây là lời giải hay, chính xác, ngắn gọn nhưng trong lời giải mắc phải sai lầm. Chọn 2 bạn nữ và 4 bạn nam ta dùng tổ hợp là chính xác nhưng kết quả lại sai. Nguyên nhân sai lầm : qui tắc nhân là có phân biệt thứ tự : Đầu tiên chọn 2 bạn nữ không biệt thứ tự là đúng, ta coi hai bạn nữ làm thành nhóm 1, nhưng khi ta dùng qui tắc nhân ta đã đặt thứ tự cho nhóm 1 nên cách đếm có thể bị trùng. Chẳng hạn : - Giả sử 2 bạn nữ được chọn là A, B; sau đó chọn tiếp 4 bạn là D, E, F, G giả sử rằng trong 4 bạn vừa được chọn có bạn G là nữ. Vậy 6 bạn là : A, B, D ,E ,F, G. - Giả sử trường hợp khác 2 bạn nữ được chọn là A, G; sau đó chọn tiếp 4 bạn là D, E, F, B. Vậy 6 bạn là : A, G, D ,E ,F, B. Nhóm này trùng với nhóm ở trường hợp trên.. 3. Sai lầm 3 : Xét thiếu các trường hợp trong bài toán giải bằng phương pháp gián tiếp. * Bài toán 4 : “ Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó người ta chọn ra 10 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra ? ” Giải 10  Loại 1 : chọn 10 câu tùy ý trong 20 câu có C20 cách..  Loại 2: chọn 10 câu ko thoả mãn đầu bài ( có không quá 2 trong 3 loại dễ, trung bình và khó). - Trường hợp 1: chọn 10 câu dễ và trung bình trong 16 câu có C1610 cách. SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ. Lop11.com. Trang 10.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP. - Trường hợp 2 : chọn 10 câu dễ và khó trong 13 câu có C1310 cách. - Trường hợp 3 : chọn 10 câu trung bình và khó trong 11 câu có C1110 cách. 10 Vậy có tất cả C20   C1610  C1310  C1110   176541 đề kiểm tra.. Lời giải trên là đúng nhưng khi thay đổi đề một chút đôi khi ta phạm phải sai lầm là liệt kê thiếu trường hợp khi dùng cách giải gián tiếp : * Bài toán 5 : “ Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó người ta chọn ra 7 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra ? ”. Lời giải 1 :  Loại 1: chọn 7 câu tùy ý trong 20 câu có C207 cách.  Loại 2: chọn 7 câu không thỏa yêu cầu. - Trường hợp 1 : chọn 7 câu dễ trong 9 câu có C97 cách. - Trường hợp 2 : chọn 7 câu trung bình có 1 cách. - Trường hợp 3 : chọn 7 câu dễ và trung bình trong 16 câu có C167 cách. - Trường hợp 4 : chọn 7 câu dễ và khó trong 13 câu có C137 cách. - Trường hợp 5 : chọn 7 câu trung bình và khó trong 11 câu có C117 cách. Vậy có C207  1  C97  C167  C137  C117   63997 đề kiểm tra.. Lời giải 2 :  Loại 1 : chọn 7 câu tùy ý trong 20 câu có C207 cách.  Loại 2 : chọn 7 câu không thỏa yêu cầu. - Trường hợp 1 : chọn 7 câu dễ và trung bình trong 16 câu có C167 cách. - Trường hợp 2 : chọn 7 câu dễ và khó trong 13 câu có C137 cách. - Trường hợp 3 : chọn 7 câu trung bình và khó trong 11 câu có cách. Vậy có C207   C167  C137  C117   64034 đề kiểm tra.. Lời giải 3 :  Loại 1: chọn 7 câu tùy ý trong 20 câu có C207 cách.  Loại 2: chọn 7 câu không thỏa yêu cầu. - Trường hợp 1 : 7 câu chọn ra chỉ có 1 loại : C97  C77 ( là một loại dễ hoặc trung bình ). - Trường hợp 2 : 7 câu chọn ra có đủ hai loại : * Dễ và trung bình : C167   C97  C77  ( trong 16 câu dễ và trung bình thì khi chọn ra 7 câu thì 7 câu đó hoặc thuộc cả 2 loại hoặc chỉ thuộc một loại ) * Dễ và khó : C137  C97 * Trung bình và khó : C117  C77. SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ. Lop11.com. Trang 11.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP 7 Vậy có C20   C167  C137  C97  C117  1  64071 đề kiểm tra.. Phân tích Lời giải 1 : lời giải sai, quên loại trừ các trường hợp có thể trùng nhau, ví dụ như ở Loại 2 : Trường hợp 3 chứa cả Trường hợp 1 và Trường hợp 2 nên kết quả cuối cùng là không chính xác. Lời giải 2 : lời giải sai, tương tự Lời giải 1, thiếu liệt kê các trường hợp bị trùng nhau, ví dụ ở Loại 2 : Trường hợp 1 và Trường hợp 2 số lần đếm bị trùng nhau ( 7 câu toàn dễ đều xuất hiện trong 2 trường hợp).. Lời giải 3 : lời giải đúng.. SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ. Lop11.com. Trang 12.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP. B. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP I. VẤN ĐỀ 1 : BÀI TOÁN ĐẾM SỐ 1. Dạng 1 : Bài toán đếm số cơ bản : Ví dụ : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau ? Giải Gọi n  a1a2 a3a4 là số cần lập Để lập được số n ta phải thực hiện các công đoạn sau : Chọn a1 : 9 cách chọn ( do a1  0 ) Chọn a2 : 9 cách chọn Chọn a3 : 8 cách chọn Chọn a4 : 7 cách chọn Vậy ta có tất cả 9.9.8.7  4536 số n. Ví dụ : Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số thỏa mãn : a. Bắt đầu bởi chữ số 5. b. Bắt đầu bởi 23. Giải a. Gọi n  a1a2 a3a4 a5 là số cần lập với a1 = 5. Để lập được số n ta tiến hành : Chọn a2 : 4 cách chọn Chọn a3 : 3 cách chọn Chọn a4 : 2 cách chọn Chọn a5 : 1 cách chọn Vậy theo nguyên lí nhân ta có tất cả 1.4.3.2.1  24 số n. b. Gọi n  a1a2 a3a4 a5 là số cần lập với a1 = 2, a2 = 3 Chọn a3 : 3 cách chọn Chọn a4 : 2 cách chọn Chọn a5 : 1 cách chọn Vậy ta có tất cả 1.1.3.2.1  6 số n. Ví dụ : Cho các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau trong đó có 2 chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau ? Giải Xem 1 và 2 như một số, ta có 4! = 24 số sao cho 1 đứng cạnh 2. Nhưng 1 có thể đứng bên trái hoặc bên phải 2 nên ta có 24.2 = 48 số sao cho 1 đứng cạnh 2. Toàn bộ có 5! = 120 số Vậy có tất cả : 120 – 48 = 72 số sao cho 1 không đứng cạnh 2.. SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ. Lop11.com. Trang 13.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP. Ví dụ : Có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ 0, 2, 3, 6, 9 ? Giải Gọi n  a1a2 a3a4 a5 là số cần lập Vì n chẵn  a5 chẵn nên a5  0, 2, 6 Có 2 trường hợp :.  Trường hợp 1 : a5  0 Chọn a1 có 4 cách chọn Chọn a2 có 3 cách chọn Chọn a3 có 2 cách chọn Chọn a4 có 1 cách chọn Vậy trường hợp này có 1.4.3.2.1  24 số n.  Trường hợp 2 : a5  0 Chọn a5 có 2 cách chọn Chọn a1 có 3 cách chọn Chọn a2 có 3 cách chọn Chọn a3 có 2 cách chọn Chọn a4 có 1 cách chọn Vậy trường hợp này có 2.3.3.2.1  36 số n. Kết luận : Cả hai trường hợp ta có : 24 + 36 = 60 số n. Ví dụ : Từ các chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5 ? Giải  Gọi n  a1a2 a3a4 là số có 4 chữ số khác nhau bất kì Chọn a1 : có 4 cách chọn Chọn a2 : có 4 cách chọn Chọn a3 : có 3 cách chọn Chọn a4 : có 2 cách chọn Vậy ta có : 4.4.3.2 = 96 số n  Để n chia hết cho 5 thì a4  0,5. Trường hợp : a4  0 Chọn a1 : có 4 cách chọn Chọn a2 : có 3 cách chọn Chọn a3 : có 2 cách chọn Vậy ta có : 1.4.3.2 = 24 số Trường hợp : a4  5 Chọn a1 : có 3 cách chọn SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ. Lop11.com. Trang 14.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP. Chọn a2 : có 3 cách chọn Chọn a3 : có 2 cách chọn Vậy ta có : 1.3.3.2 = 18 số Vậy ta có tất cả : 96 - (24+18) = 54 số n thỏa yêu cầu bài toán. Ví dụ : Cho các số 1, 2, 5, 7, 8 có bao nhiêu cách lặp ra một số gồm 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số đã cho, sao cho : a. Số tạo thành là một số chẵn. b. Số tạo thành là một số không có chữ số 7. c. Số tạo thành là một số nhỏ hơn 278. Giải Gọi a1a2 a3 là số cần lặp a. Vì n chẵn nên a3 chẵn, do đó Có 2 cách chọn a1 Có 4 cách chọn a2 Có 3 cách chọn a3 Vậy ta có 2.3.4 = 24 số b. Số tạo thành là một số không có chữ số 7 nên có tất cả A43  24 số. c. Có hai trường hợp :  Trường hợp a1  1 ta có 1 cách chọn a1 4 cách chọn a2 3 cách chọn a3 Ta có : 1.3.4 = 12 số  Trường hợp a1  2 ta có 1 cách chọn a1 Nếu a2  7 : có 2 cách chọn a2 , 3 cách chọn a3 . Vậy có 1.2.3 = 6 số Nếu a2  7 : có 1 cách chọn a2 , cách chọn a3 . Vậy có 1.1.2 = 2 số Vậy khi a1  2 có 6 + 2 = 8 số Theo qui tắc cộng ta có : 12 + 8 = 20 số n thỏa yêu cầu bài toán. Ví dụ : Có bao nhiêu số nguyên dương bé hơn 1000 mà mỗi số đều có các chữ số đôi 1 khác nhau ? Giải Gọi n  N và 0 < n < 1000  n có tối đa 3 chữ số  Nếu n có 1 chữ số : có 9 số 10! 9! 2  Nếu n có 2 chữ số : có A 10 - A 19 = - = 81 số (trong đó A 19 là số các 8! 8! số bắt đầu là 0 ). 10! 9! 3 - A 29 = - = 684 số (trong đó A 29 là số các  Nếu n có 3 chữ số : có A 10 7! 7! số bắt đầu là 0 ). Vậy có tất cả là : 9 + 81 + 684 = 738 số. SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ. Lop11.com. Trang 15.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP. Ví dụ : Cho 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 600.000 ? Giải Gọi n  a1a2 a3a4 a5 a6 là số cần lập Để số n < 600.000 thì 1  a1  5, a6  1,3,5, 7,9 . Ta xét riêng hai trường hợp:.  Trường hợp 1 : a6  1,3,5 Chọn a6 : có 3 cách chọn Chọn a1 : có 4 cách chọn Chọn a2 , a3 , a4 , a4 : có A84 cách.  Trường hợp 2 : a6  7,9 Chọn a6 : có 2 cách chọn Chọn a1 : có 5 cách chọn Chọn a2 , a3 , a4 , a4 : có A84 cách Vậy có tất cả : 3.4. A84  2.5. A84  36960 .. Ví dụ : Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số khác nhau lớn hơn 500.000 ? Giải Gọi n  a1a2 a3a4 a5 a6 là số cần lập  a1  5, 6, 7,8,9 ; a6  1,3,5, 7,9.  Trường hợp a1 lẻ : Chọn a1 : có 3 cách Chọn a6 : có 4 cách Chọn a2 , a3 , a4 , a4 : có A84 cách  Trường hợp a1 chẵn : Chọn a1 : có 2 cách Chọn a6 : có 5 cách Chọn a2 , a3 , a4 , a4 : có A84 cách Vậy ta có tất cả : 3.4. A84  2.5. A84  36960 số n.. Ví dụ : Có bao nhiêu số nguyên dương gồm các chữ số khác nhau nhỏ hơn 104 ? Giải Gọi n là số thỏa yêu cầu bài toán. T a có các trường hợp sau ( loại trừ cả trường hợp số 0 đứng đầu ) :  Trường hợp 1 : n có 1 chữ số : có 9 số  Trường hợp 2 : n có 2 chữ số : có 9.A91 số.  Trường hợp 3 : n có 3 chữ số : có 9.A92 số  Trường hợp 4 : n có 4 chữ số : có 9.A93 số SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ. Lop11.com. Trang 16.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP. Vậy có tất cả 9  9. A91  9. A92  9. A93  5274 số.. Ví dụ : Tìm tất cả các số tự nhiên có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước ? Giải Các số phải tìm có 5 chữ số chọn trong tập hợp : E  1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 Với mỗi cách chọn 5 số bất kì trong E thì chỉ có một cách sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Do đó số các số tự nhiên cần tìm là số tổ hợp chập 5 của 9 phần tử. Vậy ta có tất cả là C95  126 số..  Mở rộng yêu cầu bài toán : 1. Tìm tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số sao cho trong số đó chữ số đằng sau nhỏ hơn chữ số đứng liền trước ? Giải Lúc này số có 5 chữ số phải tìm có các chữ số được chọn trong tập hợp E  0,1, 2,3, 4,5, 6,7,8,9 Với cách chọn 5 số bất kì trong E thì chỉ có một cách xếp theo thứ tự giảm dần. Lập luận như trên số các số phải tìm là : C105  252 số 2. Tìm tất cả các số lẻ có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số đằng sau lớn hơn số đứng liền trước ? Giải Gọi A là tập hợp các số có dạng a1a2 a3a4 9  9  a4  a3  a2  a1  0  Gọi B là tập hợp các số có dạng b1b2b3b4 7  7  b4  b3  b2  b1  0  Gọi A là tập hợp các số có dạng c1c2 c3c4 5  5  c4  c3  c2  c1  0  Ta nhận thấy :. a1 , a2 , a3 , a4  1, 2,3, 4,5, 6, 7,8 b1 , b2 , b3 , b4  1, 2,3, 4,5, 6 c1 , c2 , c3 , c4  1, 2,3, 4 Lập luận tương tự như trên ta có : Tập A có : C84 số Tập B có : C64 số Tập C có : C44 số Vậy có tất cả : C84 + C64 + C44 = 86 số thỏa yêu cầu bài toán.. SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ. Lop11.com. Trang 17.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP. Ví dụ : Có bao nhiêu số từ 100 đến 999 gồm 3 chữ số theo thứ tự tăng dần hay giảm dần ? Giải Số có 3 chữ số theo thứ tự tăng dần : C103 Số có 3 chữ số theo thứ tự giảm dần : C103 Số có số 0 đứng ở đầu : C92 Vậy có tất cả : C103  C103  C92  204 số .. Ví dụ : Từ các chữ số 1, 2, ,3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau thỏa tổng 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng 3 chữ số sau một đơn vị ? Giải Ta có : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Vậy tổng 3 chữ số đầu là 10. Dễ thấy : 1 + 3 + 6 = 1 + 4 + 5 = 2 + 3 + 5 Vậy có 3 cách chọn cho nhóm 3 chữ số đầu là 1, 3, 6 hoặc 1, 4, 5 hoặc 2, 3, 5. Với 1 cách chọn nhóm 3 chữ số thì có 3! cách để lập ra a1a 2 a 3 Với 3 số còn lại thì có 3! cách lập ra a 4a 5a 6 Vậy ta có tất cả : 3 . 3! . 3! = 108 số thỏa yêu cầu bài toán.. 2. Dạng 2 : Bài toán đếm phối hợp điều kiện nâng cao ( đếm có lập, các bài toán về chia hết, tìm tất cả các ước số …). Các dấu hiệu chia hết : - Số chẵn : tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8. - Số lẻ : tận cùng là 1, 3, 5, 7, 9. - Số chia hết cho 2 : số chẵn - Số chia hết cho 3 : có tổng các chữ số chia hết cho 3. Ví dụ : 276, 801,… - Số chia hết cho 4 : có tận cùng là 00 hayhai chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4. Ví dụ : 1800, 19708,… - Số chia hết cho 5 : tận cùng là 0 hoặc 5. Ví dụ : 90, 95,… - Số chia hết cho 6 : số chia hết cho 2 và 3. Ví dụ : 30, 210,… - Số chia hết cho 8 : có tận cùng là 000 hay ba chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8. Ví dụ : 81000, 197080, 98016… - Số chia hết cho 9 : có tổng các số chia hết cho 9. Ví dụ : 450, 981,… - Số chia hết cho 10 : số tận cùng là 0.. SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ. Lop11.com. Trang 18.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>