Kiến thức cơ bản phương trình lượng giác

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I) KIẾN THỨC CƠ BẢN 1) Bảng giá trị lượng giác    rad - 2 3 4 x độ -180o -90o. -60o.  6. 0.  6. -45o. -30o. 0. 30o 45o 60o 90o 120o. 2 2. 1 2. 0. 1 2. 3 2. 1. -. sin. 0. -1. 3 2. cos. -1. 0. 1 2. 2 2. tan. 0. ||. - 3. -1. -. 1 3. cot. ||. 0. -. 1 3. -1. - 3.  4.  3.  2. 2 3. 2 2. 3 2. 1. 3 2. 3 2. 2 2. 1 2. 0. -. 0. 1 3. 1. 3. ||. ||. 3. 1. 1 3. 0. -. 1 2. 3 4. 5 6. . 135o. 150o. 180o. 2 2. 1 2. 0. 2 2. -. 3 2. -1. - 3. -1. -. 1 3. 0. 1 3. -1. - 3. ||. -. 2) Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt Góc đối nhau. cos( )  cos. sin( )   sin. tan( )   tan. cot( )   cot . Góc bù nhau sin(   )  sin. Góc phụ nhau.   sin      cos 2 . Góc hơn kém . Góc hơn kém.  2. sin(   )   sin.   sin      cos 2 . cos(   )   cos.   cos     sin 2 . cos(   )   cos.   cos      sin 2 . tan(   )   tan.   tan      cot  2 . tan(   )  tan.   tan       cot  2 . cot(   )   cot .   cot      tan 2 . Nguyễn Hoài Nam 0979160543. Lop11.com. cot(   )  cot .   cot       tan 2 . Dạy kèm học sinh từ L6 – L12.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 3) Công thức lượng giác 1) Công thức cộng:. 5) Công thức tích thành tổng..  cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb  cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb tana - tanb  tan(a - b) = 1 + tana.tanb  sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb tana + tanb  tan(a + b) = 1 - tana.tanb  sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb 2) Công thức nhân đôi :.  cosxcosy=.  sin2x = 2sinxcosx = (sinx+cox)2 - 1  cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x - 1 = 1 – 2sin2x.  x y  x y  sinx + siny = 2sin   cos    2   2   x y  x y  sinx – siny = 2cos   sin    2   2 . 1  cos( x  y )  cos( x  y ) 2 1  sinxcosy= Sin ( x  y )  Sin ( x  y ) 2 1  sinxsiny=   cos( x  y )  cos( x  y ) 2.  cos x.sin y =. 1 [sin( x + y ) - sin( x - y )] 2. 6) Công thức tổng(hiệu) thành tích:. 2tanx 1  tan 2 x cot 2 x  1  cot2x = 2cotx.  tan2x =.  x y  x y  cos    2   2   x y  x y  cosx–cosy = 2sin   sin    2   2  sin( x  y )  tanx + tany = cos xcosy.  cosx + cosy = 2 cos . 3) Công thức nhân 3:  cos3x = 4cos3 x - 3cos x  sin3x = 3sin x - 4sin3 x 3tan x - tan 3 x  tan 3x = 1- 3tan 2 x 3cot x - cot 3 x  cot 3x = 1- 3cot 2 x. sin( x  y ) cos xcosy sin( x  y )  cotx + coty = sin xsiny sin( y  x)  cotx – coty = sin xsiny.  tanx – tany =. 4) Công thức hạ bậc: 1  cos 2 x 2 1  c os2 x  sin 2 x  2 1  cos2  tan2   1  cos2 1  cos2  cot 2   1  cos2.  cos 2 x . 1 (3sin x - sin 3 x) 4 1  cos3 x = (cos3 x + 3cos x) 4.  sin 3 x =. Nguyễn Hoài Nam 0979160543. Lop11.com. Dạy kèm học sinh từ L6 – L12.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>  tanx=. sinx  ,(x   k) cosx 2. cosx ,(x  k) sinx 2 2  sin x  cos x  1  cotx= 1 2  cos x. 1 2.  1  tan 2 x,(x .   k) 2.  1  cot 2 x,(x  k).  sin x  tanx.cotx=1,(x  k ) 2. 3 3  sin x  cos x  (sinx  cos x)(1  sinx.cos x) 3 3  sin x  cos x  (sinx  cos x)(1  sinx.cos x) 1 3  1cos 4 x  sin 4 x  cos4 x  1  sin 2 2 x  2 4 3 5  3 cos 4 x  sin 6 x  cos6 x  1  sin 2 2 x  4 8 2  1  sin 2 x   sin x  cos x .     sin x  cos x  2 sin  x    2cos  x   4 4        sin x  cos x  2sin  x     2cos  x   4 4   . 4) Phương trình lượng giác a) Phương trình lượng giác cơ bản éx = a + k2p Dạng: sin x = sin a Û êê êëx = p - a + k2p. éx = a + k2p. Dạng: cos x = cos a Û êê êx = - a + k2p ë. t an x = t an a Û x = a + k p Dạng: p Ðk : x, a ¹ + kp 2. cot x = cot a Û x = a + kp Dạng: Ðk : x, a ¹ kp.  x  arcsin a +k 2 ,k  +) sin x  a   x    arc sin a + k 2    x  arc cosa +k 2 ,k  +) cosx  a    x  arccosa +k 2. Nguyễn Hoài Nam 0979160543. ìï ïï sin x = 0 Þ x = k p ïï ï p Đặc biệt: ïí sin x = 1 Þ x = + k2p ïï 2 ïï p ïï sin x = - 1 Þ x = - + k2p 2 ïî ìï ïï cos x = 0 Þ x = p + kp ïï 2 Đặc biệt: ïí cos x = 1 Þ x = k2p ïï ïï cos x = - 1 Þ x = p + k2p ïï î ìï t an x = 0 Û x = k p ïï í ïï t an x = ± 1 Û x = ± p + kp 4 Đặc biệt: ïî. ìï ïï cot x = 0 Û x = p + k p 2 Đặc biệt: ïí ïï p ïï cot x = ± 1 Û x = ± + k p 4 ïî. +) tanx  a  x  arc tana +k , k  +) cotx  a  x  arccot a+k , k . Lop11.com. Dạy kèm học sinh từ L6 – L12.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Bài 1: Giải các phương trình sau: a) 2cos x b). e) s in(x-600 ) =. 3= 0. 3 tan 3 x - 3 = 0. c) s inx+. 3 = 0 2. d) s in2x = 1. -. 2 2. i) sin(3x 1) sin(x- 2). n) sin2x cot x = 0 o) sin 3x + sin 5 x = 0. f) cos(2x+500 ) =. 3 2. k)cos3x sin 2x. g) tan(2 x - 1) =. 3. l) (1- 2cox)(4 - cos x) = 0. p) tanxtan2x= -1. x x m) (cot - 1)(cot + 1) = 0 3 2 2 r) cos( x - 2 x) = 0. q) sin 2 x = 0. h) cot(2 x -. p )= 1 3. b) Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác  Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức lượng giác để đưa phương trình về phương trình lượng giác cơ bản.  Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình này ta đặt t bằng hàm số lượng giác.(Chú ý điều kiện của t khi đặt t=sinx hoặc t=cosx). Dạng. Đặt ẩn phụ. Điều kiện. a sin 2 x + b sin x + c = 0. t = sin x. - 1£ t £ 1. a cos2 x + b cos x + c = 0. t = cos x. - 1£ t £ 1. a tan 2 x + b tan x + c = 0. t = tan x. a cot 2 x + b cot x + c = 0. t = cot x. x¹. p + kp , (k Î ¢ ) 2. x ¹ kp, (k Î ¢ ). Nếu đặt t = sin 2 x hoặc t = sin x thì điều kiện là 0 £ t £ 1. Một số hằng đẳng thức lượng giác và mối liên hệ 2. . 1 + sin 2x = sin 2 x + cos2 x + 2 sin x cos x = (sin x + cos x ) 2.    . 1 - sin 2x = sin 2 x + cos2 x - 2 sin x cos x = (sin x - cos x ) sin x cos x =. sin 2x 2. sin 3 x + cos3 x = (sin x + cos x )(1 - sin x cos x ) sin 3 x - cos3 x = (sin x - cos x )(1 + sin x cos x ). Nguyễn Hoài Nam 0979160543. Lop11.com. Dạy kèm học sinh từ L6 – L12.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>         . t an x + cot x =. sin x cos x sin 2 x + cos2 x 2 + = = cos x sin x sin x cos x sin 2x. cos x sin x cos2 x - sin 2 x 2 cos2x cot x - t an x = = = = 2 cot x sin x cos x sin x cos x sin 2x 1 1 1 3 + 1cos 4x sin 4 x + cos4 x = 1 - sin 2 2x = + cos2 2x = 2 2 2 4. (. )(. ). cos4 x - sin 4 x = sin 2 x + cos2 x cos2 x - sin 2 x = cos 2x. sin 6 x + cos6 x = sin 4 x + cos4 x - sin 2 x cos2 x = 1 -. 3 2 5 + 3 cos 4x sin 2x = 4 8. (. cos6 x - sin 6 x = cos 2x sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x cos2 x. x 1 = 2 cos x æ pö ÷ sin x ± cos x = 2 sin çççx ± ÷ = ÷ ÷ 4ø è. ). 1 + t an x t an. æ pö ÷ 2 cos çççx m ÷ ÷ ÷ 4ø è. cos x cos2 x 1 - sin 2 x 1 + sin x = = = (mối liên hệ giữa sinx và cosx) 1 - sin x cos x cos x (1 - sin x ) cos x (1 - sin x ). Bài 2: Giải các phương trình sau: æ. pö. æ. pö. a) 2cos2 x - 3cos x + 1 = 0. k) cos ççç2x + ÷÷÷+ cos ççç2x - ÷÷÷+ 4 sin x = 2 + 2 (1 - sin x ) 4 ø÷ 4 ø÷ è è. b) 2cos2 2x + 3sin 2 x = 2. l) 4 sin 5 x cos x - 4 cos5 x sin x = sin 2 4x. c) 3cos2 x - 2sin x + 2 = 0. m) cos x + 3cos + 2 = 0. d) 5sin 2 x + 3cos x + 3 = 0. 2 n) cot 2x+3cot2x+2=0. e) 2sin 2 x + 3sinx-5 = 0. 2 o) 2cos 2x  2. f) tanx+cotx=2. 2 2 p) 3cot x  2 2 sin x   2  3 2  cosx. g) 3sin 2 2x  4cos 2x  4  0. 2 q) tan x . h) sin 2 x  2sin 2 2x  1. 2 r) 2cos 2x  2. 4  t anx  7 i) cos 2 x. x 2. t). . . . 3  1 cos2x  3  0. . 3  1 tan x  3  0. (. . . 3  1 cos2x  3  0. ). 2 cos6 x + sin 6 x - sin x cos x = 0. 2 - 2 sin x. æ. j) (tanx+cotx) 2 -(tanx+cotx)=2. Nguyễn Hoài Nam 0979160543. s). (1 + sin x + cos 2x )sin çççèx + 1 + t an x. Lop11.com. ö p÷ ÷ ÷ 4÷ ø. =. 1. cos x. 2. Dạy kèm học sinh từ L6 – L12.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> c) Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là a 2  b 2  c 2 . Cách 1: asinx+bcosx=c b a Đặt: cos   ; sin    a 2  b2 sin( x   )  c 2 2 2 2 a b a b b   Cách 2: a sin x  cos x   c a   b c Đặt:  tan   a sin x  cos x.tan    c  sin( x   )  cos  a a. 2t 1 t2 x ;cos x  Cách 3: Đặt: t  tan ta có: sin x   (b  c)t 2  2at  b  c  0 2 2 2 1 t 1 t. Bài 3: Giải các phương trình sau: a) 3 sinx - cos x = 1 b) 2sin 3x + 5 cos3 x = - 3 c) sin 3x  cos3x . 3 2. h) sin 2x  cos2x  1 i) sin8x  cos6x  3  sin 6x  cos8x . j) sin 2 x  sin 2x  3cos 2 x p 4. p 3 2 )= 4 2. d) 3sin5x  2cos5x  3. k) 2sin( x + ) + sin( x -. e) 4sin x  cos x  4. l) 4sin x + 3cos x = 4(1 + tan x) -. f) sin 2x  cos2x  1. æ x ö2 x ÷ m) çççsin + cos ÷÷ = ÷ 2ø è 2. g) sin x 1  sin x   cos x  cos x  1. n) cos 7x -. 1 cos x. 3 cos x = 2. 3 sin 7x = -. æ2p 6p ö ÷ 2 , " x Î ççç ; ÷ ÷ è 5 7 ø÷. d) Phương trình lượng giác đẳng cấp  Dạng: a. sin 2 X + b. sin x cos x + c. cos2 x = d. (1). " a, b, c, d Î ¡. Cách 1: ìï cos x = 0 ï í 2 (Hay x = kp ) có phải là nghiệm của ïï sin x = 1 ïî phương trình (1) hay không ? Nếu phải thì nhận nghiệm này.. p  Bước 1. Kiểm tra xem x = + kp, (k Î ¢ ) Û 2. p + kp, (k Î ¢ ) Û  Bước 2. Khi x ¹ 2. ìï cos x ¹ 0 ï í 2 (Hay x ¹ kp ) . Chia hai vế của (1) cho cos2 x ïï sin x ¹ 1 ïî. (hay sin 2 x ), ta được:. Nguyễn Hoài Nam 0979160543. Lop11.com. Dạy kèm học sinh từ L6 – L12.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> (1) Û a.. sin 2 x sin x cos x cos2 x d + b. + c. = 2 2 2 cos x cos x cos x cos2 x. (. Û a t an 2 x + b t an x + c = d 1 + t an 2 x. ). Û (a - d )t an 2 x + b t an x + c - d = 0  Bước 3: Đặt t = tan x để đưa về phương trình bậc hai đã biết cách giải. Cách 2: Sử dụng công thức hạ bậc và nhân đôi 1 - cos 2x sin 2x 1 + cos 2x ; cos2 x = và sin x cos x = vào (1) và rút gọn lại, 2 2 2 ta được: b sin 2x + (c - a )cos 2x = 2d - a - c (*).  Bước 1: Thế sin 2 x =.  Bước 2: Giải phương trình (*) , tìm nghiệm. Đây là phương trình bậc nhất đối với sin 2x và cos 2x mà đã biết cách giải.. éa. sin 3 x + b. sin 2 x cos x + c. sin x cos2 x + d. cos 3 x = 0 (2) ê  Dạng: ê 4 3 2 2 3 4 êëa. sin x + b. sin x cos x + c. sin x cos x + d. sin x cos x + e. cos x = 0 (3). Cách giải: Chia hai vế của (2) cho cos3 X (hay sin 3 X ) hoặc chia hai vế của (3) cho cos4 X (hay sin 4 X ) và giải tương tự như trên.. Bài 4: Giải phương trình lượng giác: a) cos2 x -. 3 sin 2x = 1 + sin 2 x. b) 2 sin 2 x + (1 -. 3) sin x cos x + (1 -. 3) cos2 x = 1. c) 4 sin 2 x - 5sin x cos x - 6cos2 x = 0 d) sin 2 x -. 3 sin x cos x + 2cos2 x = 1. e) 2sin 2 x + 3 3 sin x cos x - cos2 x = 4 f) 3 sin 2 x + 4 sin 2x + (8 3 - 9) cos2 x = 0 g) sin 2 x + 2 sin x cos x - 2 cos2 x =. 1 2. h) - sin 2 x + 3 sin x cos x + 4 cos2 x = 3 i) 2sin 2 x - cos2 x - sin x cos x = 2 j) 4 sin 2 x + 3 cos2 x - 4 sin x cos x = 1 k) 3 sin 2 x + 4 cos2 x - 3 sin x cos x = 1 l) 5 sin 2 x + cos2 x + sin 2x = 2. Nguyễn Hoài Nam 0979160543. Lop11.com. Dạy kèm học sinh từ L6 – L12.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> e) Phương trình lượng giác đối xứng Dạng 1. Dạng 2. Dạng 3.. a (sin x + cos x ) + b sin x cos x + c = 0 Þ P P : t = sin x + cos x, t £. t2 - 1 2 Þ sin x cos x = 2. a (sin x - cos x ) + b sin x cos x + c = 0 Þ P P : t = sin x - cos x, t £. 2 Þ sin x cos x =. (. 1- t2 2. ). a t an 2 x + cot 2 x + b (t an x + cot x ) + c = 0. ìï sin x ¹ 0 kp ÐK : ïí Û sin 2x ¹ 0 Û x ¹ , (k Î ¢ ) ïï cos x ¹ 0 2 î Þ P P : t = t an x + cot x , t ³ 2 Þ t an 2 x + cot 2 x = t 2 - 2. Dạng 4.. (. ). a t an 2 x + cot 2 x + b (t an x - cot x ) + c = 0. ìï sin x ¹ 0 kp ÐK : ïí Û sin 2x ¹ 0 Û x ¹ , (k Î ¢ ) ïï cos x ¹ 0 2 î Þ P P : t = t an x - cot x , t ³ 2 Þ t an 2 x + cot 2 x = t 2 + 2. Dạng 5.. (. ). a sin 4 x + cos4 x + b sin 2x + c = 0. 1 2 1 sin 2x = 1 - t 2 2 2. Þ P P : t = sin 2x, t £ 1 Þ sin 4 x + cos 4 x = 1 -. Dạng 6.. (. ). a sin 4 x + cos4 x + b cos 2x + c = 0. 1 2 1 1 1 1 sin 2x = + cos2 2x = + t 2 2 2 2 2 2. Þ P P : t = cos 2x, t £ 1 Þ sin 4 x + cos 4 x = 1 -. Dạng 7.. (. ). a sin 6 x + cos6 x + b sin 2x + c = 0. Þ P P : t = sin 2x, t £ 1 Þ sin 6 x + cos 6 x = 1 -. Dạng 8.. (. 3 2 3 sin 2x = 1 - t 2 4 4. ). a sin 6 x + cos6 x + b cos 2x + c = 0. Þ P P : t = cos 2x, t £ 1 Þ sin 6 x + cos6 x = 1 -. Dạng 9.. 3 2 1 3 1 3 sin 2x = + cos2 2x = + t 2 4 4 4 4 4. a sin 4 x + b cos4 x + c cos2x + d = 0. 2 ìï ìï 2 ïï 4 1- t) ( 1 cos 2x 1 t ïï sin x = ï sin x = = 2 2 Þ ïïí 4 Þ P P : t = cos 2x, t £ 1 Þ ïí 2 ïï ï 1 + cos 2x 1 + t 2 1 + t ï ( ) cos x = = 4 ïï ï 2 2 ïî ïïîï cos x = 4. Nguyễn Hoài Nam 0979160543. Lop11.com. Dạy kèm học sinh từ L6 – L12.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Bài 5: Giải các phương trình sau:. a) 2  sin x  cos x   6sin x cos x  2  0. k) sin x  cos x  4sin x cos x  1  0. b) sin x cos x  2  sin x  cos x   1  0. l) 6  sin x  cos x   1  sin x cos x. c) sin x  cos x  2 6 sin xcos x. m) 2 2  sin x  cos x   3sin 2x. d) 2sin 2x  3 3  sin x  cos x   8  0. n) sin x  2sin 2x   cos x. e) sin 3 x + cos3 x - 1 =. 3 sin 2x 2. f) 2 (sin x + cos x ) = tan x + cot x 3 3 g) 1 + cos x - sin x = sin x. h) cot x - tan x = sin x + cos x i) 1 + tan x = sin x + cos x æ. j) sin 2x + 2 sin çççx çè. p ö÷ ÷= 1 ÷ 4 ø÷. Nguyễn Hoài Nam 0979160543. 1 2. o) p) q). cos3 x + sin 3 x = cos 2x cos3 x - sin 3 x = 1 sin 2x - 12 (sin x - cos x ) + 12 = 0. sin x + cos x = 1 r) sin 2x + 1 sin x cos x + 2sin x + 2cos x = 2. s). sin 6 x + cos6 x = sin 2x. t). Lop11.com. Dạy kèm học sinh từ L6 – L12.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> f) Một số dạng phương trình khác  PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA CĂN VÀ CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp:  Phương trình chứa căn thức: Áp dụng công thức A=. ìï B ³ 0 A = B Û ïí ïï A = B2 ïî. ìï A ³ 0 ìï B ³ 0 B Û ïí Û ïí ïï A = B ïï A = B î î. ● ● Lưu ý: Khi giải B ³ 0 , ta áp dụng phương pháp thử lại.  Phương trình chứa giá trị tuyệt đối Cách 1. Mở giá trị tuyệt đối dựa vào định nghĩa Cách 2. Áp dụng công thức. éìï A ³ êï ìï B ³ 0 êíï A = ïï ê ï ● A = B Û í éêA = B Û êïîì ïï ê êïï A < ïï êA = - B êí îë êïï A = ëî. éA = B A = B Û êê êëA = - B ●. 0 B 0 - B.  PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC  Loại 1. Tổng hai số không âm:. ìï A ³ 0 ïï ïí B ³ 0 Þ ïï ïï A + B = 0 î. ìï A = 0 ï í ïï B = 0 î.  Loại 2. Phương pháp đối lập dạng 1:. ìï A £ M ïï ì ïí B ³ M Þ íïï A = M ïï ïï B = M î ïï A = B î.  Loại 3. Phương pháp đối lập dạng 2:. ìï ìï A £ M ïï ï ï íï B £ N Þ í ïî ïï ïï A + B = M + N î. ìï A = M ï í ïï B = N î. ìï sin u = 1 Đặc biệt ● sin u ± sin v = 2 Û ïí. ìï sin u = - 1 ● sin u + sin v = - 2 Û ïí. ìï cos u = 1 ● cos u ± cos v = 2 Û ïí. ìï cos u = - 1 ● cos u + cos v = - 2 Û ïí. ïï sin v = ± 1 î ïï cos v = ± 1 î. Nguyễn Hoài Nam 0979160543. ïï sin v = - 1 î. ïï cos v = - 1 î. Lop11.com. Dạy kèm học sinh từ L6 – L12.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> éìï sin u êï êíï sin v ê ● sin u. sin v = 1 Û êïîì êïï sin u êí êïï sin v ëî. = 1 = 1 = - 1 = - 1. éìï cos u = êï êíï cos v = ê ● cos u. cos v = 1 Û êïîì êïï cos u = êí êïï cos v = ëî. Nguyễn Hoài Nam 0979160543. 1 1 - 1 - 1. éìï sin u êï êíï sin v ê ● sin u. sin v = - 1 Û êïîì êïï sin u êí êïï sin v ëî éìï cos u êï êíï cos v ê ● cos u. cos v = - 1 Û êïîì êïï cos u êí êïï cos v ëî. Lop11.com. = - 1 = 1 = 1 = - 1. = - 1 = 1 = 1 = - 1. Dạy kèm học sinh từ L6 – L12.

<span class='text_page_counter'>(12)</span>