Bài tập Đạo hàm

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Nguyễn Vũ Minh. 1. BÀI TẬP ĐẠO HÀM Bài 1: Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của hàm số: y = 2x  1 tại x0 = 5 1  Giải: Tập xác định D =  x : x   2   Với  x là số gia của x0 = 5 sao cho 5+  x   thì   y = 2(5  x)  1 - 10  1 . Ta có:. . = lim. x  0. 9  2x  9 y = x x. 9  2x  9. x. . 9  2x  3. . y = lim x  0 x x  0. Khi đó: y’(5)= lim. = lim. x  0. Bài 2 : Chứng minh hàm số y . . 2 9  2x  3. . =. . 9  2x  3 x. . . 9  2x  3. 9  2x  3. . . 1 3. x liên tục tại x0 = 0, nhưng không có đạo hàm tại điểm đó. x 1. x HD: Chú ý định nghĩa: x =  -x. ,neáu x  0 ,neáu x<0. Cho x0 = 0 một số gia  x.  y = f(x0+  x) –f(x0) = f(  x) –f(0) =. x x  1. x y = x x  x  1 . Khi  x  0+ ( thì  x > 0) Ta có: lim x  0.  x 2 Bài 3: Cho hàm số y = f(x) =  x. x 1 y = lim = lim =1  x  0  x  0 x  x  1 x  x  1. , neáu x  0 , neáu x<0. a) Cm rằng hàm số liên tục tại x = 0 b) Hàm số này có đạo hàm tại điểm x = 0 hay không ? Tại sao?. (x  1) 2 , neáu x  0 Bài 4: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) =  2 , neáu x<0 -x hàm số đó có đạo hàm hay không ? (x  1) 2 , neáu x  0 Bài 5: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) =  2 (x+1) , neáu x<0 tục tại đó. HD:a) f(0) = (0-1)2 = 1;. lim. x  0. không có đạo hàm tại x = 0. Tại x = 2. không có đạo hàm tại x0 = 0, nhưng liên. y y y y  lim = -2; lim = 2  lim  hàm số không có đạo x  0 x x  0 x x  0 x x. hàm tại x0 = 0 b) Vì lim f (x) =1; lim f (x) =1; f(0) = 1  lim f (x) = lim f (x) = f(0) = 1 x  0. x  0. x  0. x  0.  hàm số liên tục tại x0 = 0 1 Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Nguyễn Vũ Minh. 2. cos x, Neáu x  0 Bài 6: Cho hàm số y = f(x) =   sin x Neáu x<0 a) Chứng minh rằng hàm số không có đạo hàm tại x = 0. b) Tính đạo hàm của f(x) tại x =.  4. HD:a) Vì lim f (x) = lim cos x =1 và lim f (x) = lim ( sin x) = 0; x 0. x 0. x 0. x 0. f(0) = cos0 = 1  lim f (x)  x 0. lim f (x). x 0.  hàm số không liên tục tại x0 = 0 (hàm số gián đoạn tại x0 = 0) Bài 7: Tính đạo hàm các hàm số sau: 1. y = ( x 2 -3x+3)( x 2 +2x-1); Đs: y’ = 4x3-3x2 – 8x+ 9 2. y = ( x 3 -3x+2)( x 4 + x 2 -1); Đs: y’ =7*x^6-12*x^2+3-10*x^4+8*x^3+4*x 2  3. Tìm đạo hàm của hàm số: y =   3x  x  1 x  2  2   2  2  1  Giải: y’ =   3x  ' x  1 +   3x  x  1 ' =   2  3  x  1 =   3x    x  x   x  x  2 x  1 3x  2   =   2  3 x 1 + x x 2 x  x   1  3. y = x  1   1  x . . . . 4..  y= . 3. . . . . . . .  x  2  1 . 3. x 2  3x. . 5. y = ( x 2 -1)( x 2 -4)( x 2 -9); Đs: 6*x^5-56*x^3+98*x 6. y = (1+ x )(1+ 2x )(1+ 3x ) 7. y =. 1 x 1  2x. 8. y =. 1  3 2x 1  3 2x. 9. y =. x 1 1 ; Đs:x 1 (x  1)(x  1)3. 2x 1 x2 ; Đs:2 1 x (1  x 2 )(1  x 2 )3  1 x   1 x  1 2  ; 11. y = cos  Đs: sin  2   1 x  x (1  x ) 2  1 x  12. y = (1+sin2x)4; Đs: (1  sin 2 x)3 sin 2x 13. y =sin2(cos3x); Đs: -3sin(2cos3x)sin3x 2 sin x  cos x 14. y = ; Đs: (sin x  cos x) 2 sin x  cos x sin 3x 15. y = 2 sin x.cos x 10. y =. 2 Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Nguyễn Vũ Minh. 518) y = f(x) =. x 1  cos x  x sin x ; y’ = 2 1  cos x 1  cos x . 3. tan x x  sin x cos x ; y’ = x x 2 cos 2 x sin x 1 522) y = f(x) = ; y’ = 1  cos x 1  cos x x sin x  cos x  x(sin x  cos x) 523) y = f(x) = ; y’ = sin x  cos x 1  sin 2x 1 1 526) y = f(x) = tan 4 x ; y’ = tan3x. 4 cos 2 x 1 527) y = f(x) = cosx  cos3 x ; y’ = -sin3x 3 3 528) y = f(x) = 3sin2x –sin3x; y’ = sin 2x(2  sin x) 2 1 3 529) y = f(x) = tan x –tanx + x; y’ = tan4x 3 1 x 1 535) y = f(x) = tan ; y’ = x 1 2 2 cos 2 2 3 2 539) y = f(x) = cos 4x; y’ = -12cos 4x.sin4x. 519) y = f(x) =. 1  544) y = f(x) = 1  tan  x   ; y’ = x . x2 1 1 1   2x 2 cos 2  x   1  tan  x   x x  . 3 sin2x(cosx-2) 2 2sin 2 x 2sin 2x y = f(x) = ; y’ = cos 2x cos 2 2x x x tan  cot 2 2 ; y’ =  2(x cos x  sin x) y = f(x) = x 2 sin 2 x x x x 1 x 2x 1 2 x  sin …. y = f(x) = sin 2 cot ; y’ = cot sin 3 2 3 2 3 2 2 tan x(1  2 tan 2 x) 2 4 y = f(x) = 1  tan x  tan x ; y’ = cos 2 x 1  tan 2 x  tan 4 x 1 1 sin 6 3x  sin 8 3x ; y’ = sin53xcos33x y = f(x) = 18 24 2sin 3 x y = f(x) = cosx. 1  sin 2 x ; y’ =  1  sin 2 x. 672) y = f(x) = 3cos2x –cos3x; y’ = 682). 684) 685) 689) 694) 705). . . 2. 2x  1 2x  1 2x  1       sin 0.8x   sin  cos 0.8x  706) y = f(x) = 0.4  cos  sin 0.8x  ; y’ = -0.8  cos 2 2 2      1 sin 2x 713) y = f(x) = ; y’ =  3 1  sin 2 x 2 1  sin 2 x . 721) y = f(x) = sin2x.sinx2; y’ =2sinx(xsinx.cosx2+cosx.sinx2) 3 Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Nguyễn Vũ Minh. 722) y = f(x) =. 4. 2 cos x 2sin x ; y’ = cos 2x cos 2x cos 2x. BÀI TẬP ĐẠO HÀM BỔ SUNG 1.Tìm đạo hàm của hàm số: y =. x cot2x Giải: y’ = ( x )cot2x+ x (cot2x)’ =. 1 2 x. cot2x . 2 x sin 2 2x. 3sin2xcosx+cos2x. 2. Tìm đạo hàm của hàm số: y = y’ = 2(sin2x)’cosx+3(sin2x)(cosx)’+(cos2x)’ = 6sinxcos2x-3sin3x-2cosxsinx =sinx(6cos2x-3sin2x-2cosx) x 3. Cho hàm số : y = x2  x 1 Tìm TXĐ và tính đạo hàm của hàm số ? TXĐ: D = R 2x  1 x 2  x  1  x. 2 2 x 2  x  1 = 2(x  x  1)  x(2x  1) =… y’ = 3 x2  x 1 x2  x 1. . . Bài : Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x: a) y = sin6x + cos6x +3sin2xcos2x; HD: Cách 1: y = (sin2x)3+(cos2x)3+3sin2xcos2x= (sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x) +3sin2xcos2x = [(sin2x)2+[(cos2x)2+2sin2xcos2x-3sin2xcos2x] +3sin2xcos2x =[(sin2x+cos2x)2-3sin2xcos2x] +3sin2xcos2x =1  y’ = 0 (đpcm) Cách 2: y’ = 6sin5x.(sinx)’ +6cos5x.(cosx)’+3[(sin2x)’.cos2x+sin2x(cos2x)’] = 6sin5x.cosx -6cos5x.sinx + 3[2sinx(sinx)’.cos2x+sin2x.2cosx.(cosx)’] = 6sinx.cosx(sin4x-cos4x) + 3[2sinx.cosx. cos2x-sin2x.2cosx.sinx] = 6sinx.cosx(sin4x-cos4x) + 6sinx.cosx(cos2x – sin2x)      2   2  b) y = cos2  3  x  +cos2  3  x  +cos2  3  x  +cos2  3  x  -2sin2x.         Bài : Cho hàm số y = f(x) = 2cos2(4x-1) a) Tìm f'(x); b)Tìm tập giá trị của hàm số f'(x) Bài : Cho hàm số y = f(x) = 3cos2(6x-1) a) Tìm f'(x); b)Tìm tập giá trị của hàm số f'(x) Bài : Chứng minh rằng các hàm số sau thỏa mãn phương trình : a) y = 2x  x 2 ; y3y"+1 = 0. b) y = e4x+2e-x; y''' –13y' –12y = 0. c) y = e2xsin5x; y"-4y'+29y = 0. . . 2. d) y = x 3 [cos(lnx)+sin(lnx)]; x 2 y"-5xy'+10y = 0. e) y = x  x 2  1 ; (1+ x 2 )y"+xy'-4y = 0 Bài : Cho hàm số y= f(x) = 2x2 + 16 cosx – cos2x. 1/. Tính f’(x) và f”(x), từ đó tính f’(0) và f”(  ). 2/. Giải phương trình f”(x) = 0. x 1 Bài : Cho hàm số y = f(x) = cos2x 2 a) Tính f'(x) b) Giải phương trình f(x) -(x-1)f'(x) = 0 Bài : Giải phương trình f’(x) = 0 biết rằng: cos 3x  60 64 sin 3x   3 +5; f(x) = 3x+ b) f(x) = +cosx- 3  sin x   3  x x 3  4 Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Nguyễn Vũ Minh. 5. Giải: 60 64.3x 2 60 64.3  20 64  + == 3  2 + 4 == 3 1  2  4  6 2 x  x x x x  x  20 64  f’(x) = 0  1  2  4  = 0  x4-20x2+64 = 0 (x  0)  … 2; 4 x   x. f’(x) = 3 . 5 Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>