Nội dung sách giáo khoa tiếng anh thí điểm lớp 10

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Bài 1:</b>

<b> </b>

Cho ABC có các đường cao BD và CE.Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại
hai điểm M và N.

<b>1.</b> Chứng minh:BEDC nội tiếp.
<b>2.</b> Chứng minh: góc DEA=ACB.

<b>3.</b> Chứng minh: DE // với tiếp tuyến tai A của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

<b>4.</b> Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Chứng minh: OA là phân giác của góc MAN.
<b>5.</b> Chứng tỏ: AM2_=AE.AB.

Gơiï ý:
1.C/m BEDC nội tiếp:

C/m góc BEC=BDE=1v. Hia điểm D và E cùng làm với hai đầu đoạn thẳng BC một góc vng.
2.C/m góc DEA=ACB .

Do BECD ntDMB+DCB=2v.
Maø DEB+AED=2v

AED=ACB

3.Gọi tiếp tuyến tại A của (O) là đường thẳng xy (Hình 1)
Ta phải c/m xy//DE.

Do xy là tiếp tuyến,AB là dây cung nên sđ góc xAB= 1₂ sđ cung AB.
Mà sđ ACB= 1₂ sđ AB. góc xAB=ACB mà góc ACB=AED(cmt)
xAB=AED hay xy//DE.

4.C/m OA là phân giác của góc MAN.

Do xy//DE hay xy//MN mà OAxyOAMN.OA là đường trung trực của MN.(Đường kính vng
góc với một dây)AMN cân ở A AO là phân giác của góc MAN.

5.C/m :AM2_=AE.AB.

Do AMN cân ở A AM=AN cung AM=cung AN.góc MBA=AMN(Góc nội tiếp chắn hai cung
bằng nhau);góc MAB chung

MAE ∽ BAM MA_AB =_MAAE  MA2=AE.AB.

<b>Bài 2:</b>

<b> </b>

Cho(O) đường kính AC.trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm O’, đường kính BC.Gọi
M là trung điểm của đoạn AB.Từ M vẽ dây cung DE vng góc với AB;DC cắt đường tròn tâm O’ tại I.
1.Tứ giác ADBE là hình gì?

2.C/m DMBI nội tiếp.

3.C/m B;I;C thẳng hàng và MI=MD.
4.C/m MC.DB=MI.DC

5.C/m MI là tiếp tuyến của (O’)
Gợi ý:

1.Do MA=MB vaø ABDE tại M nên ta có DM=ME.
ADBE là hình bình haønh.

Mà BD=BE(AB là đường trung trực của DE) vậy ADBE ;là hình thoi.
2.C/m DMBI nội tiếp.

BC là đường kính,I(O’) nên Góc BID=1v.Mà góc DMB=1v(gt)
BID+DMB=2vđpcm.

3.C/m B;I;E thẳng hàng .

Do AEBD là hình thoi BE//AD mà ADDC (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)BEDC;

CMDE(gt).Do góc BIC=1v BIDC.Qua 1 điểm B có hai đường thẳng BI và BE cùng vng góc với
DC B;I;E thẳng hàng.

C/m MI=MD: Do M là trung điểm DE; EID vuông ở IMI là đường trung tuyến của tam giác vuông
DEI MI=MD.

Hinh1

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

4. C/m MC.DB=MI.DC.

hãy chứng minh MCI∽DCB (góc C chung;BDI=IMB cùng chắn cung MI do DMBI nội tiếp)
5.C/m MI là tiếp tuyến của (O’)

-Ta có O’IC Cân góc O’IC=O’CI. MBID nội tiếp MIB=MDB (cùng chắn cung MB) BDE cân ở
B góc MDB=MEB .Do MECI nội tiếp góc MEB=MCI (cùng chắn cung MI)

Từ đó suy ra góc O’IC=MIB MIB+BIO’=O’IC+BIO’=1v

Vậy MI O’I tại I nằm trên đường tròn (O’) MI là tiếp tuyến của (O’).

<b>Bài 3:</b>

Cho ABC có góc A=1v.Trên AC lấy điểm M sao cho AM<MC.Vẽ đường trịn tâm O đường kính
CM;đường thẳng BM cắt (O) tại D;AD kéo dài cắt (O) tại S.

1. C/m BADC noäi tieáp.

2. BC cắt (O) ở E.Cmr:MR là phân giác của góc AED.
3. C/m CA là phân giác của góc BCS.

Gợi ý:
1.C/m ABCD nội tiếp:

C/m A và D cùng làm với hai đầu đoạn thẳng BC một góc vng..
2.C/m ME là phân giác của góc AED.

Hãy c/m AMEB nội tiếp.

Góc ABM=AEM( cùng chắn cung AM)
Góc ABM=ACD( Cùng chắn cung MD)
Góc ACD=DME( Cùng chắn cung MD)
AEM=MED.

3.C/m CA là phân giác của góc BCS.
-Góc ACB=ADB (Cùng chắn cung AB)

-Góc ADB=DMS+DSM (góc ngồi tam giác MDS)
-Mà góc DSM=DCM(Cùng chắn cung MD)

DMS=DCS(Cùng chắn cung DS)
Góc MDS+DSM=SDC+DCM=SCA.
Vậy góc ADB=SCAđpcm.

<b>Bài 4: </b>

Cho ABC có góc A=1v.Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM>MC.Dựng đường trịn tâm O đường

kính MC;đường trịn này cắt BC tại E.Đường thẳng BM cắt (O) tại D và đường thẳng AD cắt (O) tại S.

1. C/m ADCB nội tiếp.

2. C/m ME là phân giác của góc AED.
3. C/m: Góc ASM=ACD.

4. Chứng tỏ ME là phân giác của góc AED.
5. C/m ba đường thẳng BA;EM;CD đồng quy.
Gợi ý:

1.C/m ADCB nội tiếp:
Hãy chứng minh:
Góc MDC=BDC=1v

Từ đó suy ra A vad D cùng làm với hai đầu đoạn thẳng BC một góc vng…
2.C/m ME là phân giác của góc AED.

Do ABCD nội tiếp nên

ABD=ACD (Cùng chắn cung AD)

Do MECD nội tiếp nên MCD=MED (Cùng chắn cung MD)

Do MC là đường kính;E(O)Góc MEC=1vMEB=1v ABEM nội tiếpGóc MEA=ABD. Góc
MEA=MEDđpcm

Hinh3

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

3.C/m góc ASM=ACD.

Ta có A SM=SMD+SDM(Góc ngồi tam giác SMD)

Mà góc SMD=SCD(Cùng chắn cung SD) và Góc SDM=SCM(Cùng chắn cung
SM)SMD+SDM=SCD+SCM=MCD.

Vậy Góc A SM=ACD.

4.C/m ME là phân giác của góc AED (Chứng minh như câu 2 bài 2)
5.Chứng minh AB;ME;CD đồng quy.

Gọi giao điểm AB;CD là K.Ta chứng minh 3 điểm K;M;E thẳng hàng.

Do CAAB(gt);BDDC(cmt) và AC cắt BD ở MM là trực tâm của tam giác KBCKM là đường
cao thứ 3 nên KMBC.Mà MEBC(cmt) nên K;M;E thẳng hàng đpcm.

Baøi 5:

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AB<AC nội tiếp trong đường tròn tâm O.Kẻ đường cao AD
và đường kính AA’.Gọi E:F theo thứ tự là chân đường vng góc kẻ từ B và C xuống đường kính AA’.

1. C/m AEDB nội tiếp.
2. C/m DB.A’A=AD.A’C
3. C/m:DEAC.

4. Gọi M là trung điểm BC.Chứng minh MD=ME=MF.
Gợi ý:

1/C/m AEDB nội tiếp.(Sử dụng hai điểm D;E cùng làm
với hai đầu đoạn AB…)

2/C/m: DB.A’A=AD.A’C .Chứng minh được hai tam
giác vuông DBA và A’CA đồng dạng.
3/ C/m DE AC .

Do ABDE nội tiếp nên góc EDC=BAE(Cùng bù với góc BDE).Mà góc BAE=BCA’(cùng chắn cung
BA’) suy ra góc CDE=DCA’. Suy ra DE//A’C. Mà góc ACA’=1v nên DEAC.

4/C/m MD=ME=MF.

Gọi N là trung điểm AB.Nên N là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDE. Do M;N là trung
điểm BC và AB MN//AC(Tính chất đường trung bình)

Do DEAC MNDE (Đường kính đi qua trung điểm một dây…)MN là đường trung trực của DE
ME=MD.

 Gọi I là trung điểm AC.MI//AB(tính chất đường trung bình)
A’BC=A’AC (Cùng chắn cung A’C).

Do ADFC nội tiếp Góc FAC=FDC(Cùng chắn cung FC) Góc A’BC=FDC hay DF//BA’ Mà
ABA’=1vMIDF.Đường kính MIdây cung DFMI là đường trung trực của DFMD=MF. Vậy
MD=ME=MF.

<b>Baøi 6: </b>

Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường trịn tâm O.Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung
nhỏ AC.Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến BC và AC.P là trung điểm AB;Q
là trung điểm FE.

1/C/m MFEC nội tiếp.

2/C/m BM.EF=BA.EM
3/C/M AMP∽FMQ.
4/C/m goùc PQM=90o_.
Giải:

1/C/m MFEC nội tiếp:

(Sử dụng hai điểm E;F cung làm với hai đầu đoạn thẳng CM…)
2/C/m BM.EF=BA.EM

C/m:EFM∽ABM:

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Ta có góc ABM=ACM (Vì cùng chắn cung AM)

Do MFEC nội tiếp nên góc ACM=FEM(Cùng chắn cung FM).
Góc ABM=FEM.(1)

Ta lại có góc AMB=ACB(Cùng chắn cung AB).Do MFEC nội tiếp nên góc FME=FCM(Cùng chắn cung
FE).Goùc AMB=FME.(2)

Từ (1)và(2) suy ra :EFM∽ABM đpcm.
3/C/m  AMP ∽ FMQ .

Ta coù EFM∽ABM (theo c/m treân) AB_FE =AM

MF maØ AM=2AP;FE=2FQ (gt) 
2 AP

2 FQ=
AM

MF <i>⇒</i>

AP

FQ=

AM

FM và góc PAM=MFQ (suy ra từ EFM∽ABM)

Vậy: AMP∽FMQ.
4/C/m góc:PQM=90_.o

Do góc AMP=FMQ PMQ=AMF PQM∽AFM góc MQP=AFM Mà góc
AFM=1vMQP=1v(đpcm).

<b>Bài 7:</b>

Cho (O) đường kính BC,điểm A nằm trên cung BC.Trên tia AC lấy điểm D sao cho AB=AD.Dựng
hình vng ABED;AE cắt (O) tại điểm thứ hai F;Tiếp tuyến tại B cắt đường thẳng DE tại G.

1. C/m BGDC nội tiếp.Xác định tâm I của đường trịn này.

2. C/m BFC vng cân và F là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD.
3. C/m GEFB nội tiếp.

4. Chứng tỏ:C;F;G thẳng hàng và G cũng nằm trên đường trịn ngoại tiếp BCD.Có nhận xét gì
về I và F

1/C/m BGEC nội tiếp:
-Sử dụng tổng hai góc đối…
-I là trung điểm GC.

2/

 C/m  BFC vuông cân :

Góc BCF=FBA(Cùng chắn cung BF) mà góc FBA=45o
(tính chất hình vuông)

Góc BCF=45o.

Góc BFC=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)đpcm.

C/m F là tâm đường tròn ngoại tiếp BDC.ta C/m F cách đều các đỉnh B;C;D
Do BFC vng cân nên BC=FC.

Xét hai tam giác FEB và FED có:E F chung;

Góc BE F=FED =45o_{;BE=ED(hai cạnh của hình vuông ABED).}

BFE=E FD
BF=FDBF=FC=FD.đpcm.

3/C/m GE FB nội tiếp:

Do BFC vuông cân ở F Cung BF=FC=90o. sđgóc GBF= 1₂ Sđ cung BF= 1₂ .90o=45o.(Góc
giữa tiếp tuyến BG và dây BF)

Mà góc FED=45o_{(tính chất hình vuông)}

Góc FED=GBF=45o.ta lại có góc FED+FEG=2v Góc
GBF+FEG=2v GEFB nội tiếp.

4/ C/m C;F;G thẳng hàng :Do GEFB nội tiếp Góc BFG=BEG mà BEG=1vBFG=1v.Do BFG vng
cân ở FGóc BFC=1v.Góc BFG+CFB=2vG;F;C thẳng hàng. C/m G cũng nằm trên… :Do

GBC=GDC=1vtâm đường tròn ngt tứ giác BGDC là FG nằn trên đường tròn ngoại tiếp BCD. Dễ
dàng c/m được I F.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong (O).Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn cắt nhau tại D.Từ D
kẻ đường thẳng song song với AB,đường này cắt đường tròn ở E và F,cắt AC ở I(E nằm trên cung nhỏ
BC).

1. C/m BDCO nội tiếp.
2. C/m: DC2_=DE.DF.
3. C/m:DOIC nội tiếp.

4. Chứng tỏ I là trung điểm FE.

1/C/m:BDCO nội tiếp(Dùng tổng hai góc đối)
2/C/m:DC2_=DE.DF_.

Xét hai tam giác:DEC và DCF có góc D chung.

SđgócECD= 1₂ sđ cung EC(Góc giữa tiếp tuyến và một dây)
Sđ góc E FC= 1₂ sđ cung EC(Góc nội tiếp)góc ECD=DFC.
DCE ∽DFCđpcm.

3/C/m DOIC nội tiếp:

Ta có: sđgóc BAC= 1₂ sđcung BC(Góc nội tiếp) (1)

Sđ góc BOC=sđcung BC(Góc ở tâm);OB=OC;DB=DC(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau);OD
chungBOD=CODGóc BOD=COD

2sđ gócDOC=sđ cung BC sđgóc DOC= 1

2 sđcungBC (2)

Từ (1)và (2)Góc DOC=BAC.

Do DF//ABgóc BAC=DIC(Đồng vị) Góc DOC=DIC Hai điểm O và I cùng làm với hai đầu đoạn
thẳng Dc những góc bằng nhau…đpcm

4/Chứng tỏ I là trung điểm EF:

Do DOIC nội tiếp  góc OID=OCD(cùng chắn cung OD)

Mà Góc OCD=1v(tính chất tiếp tuyến)Góc OID=1v hay OIID OIFE.Bán kính OI vng góc với
dây cung EFI là trung điểmEF.

<b>Bài 9</b>

:

Cho (O),dây cung AB.Từ điểm M bất kỳ trên cung AB(MA và MB),kẻ dây cung MN vng góc
với AB tại H.Gọi MQ là đường cao của tam giác MAN.

1. C/m 4 điểm A;M;H;Q cùng nằm trên một đường trịn.
2. C/m:NQ.NA=NH.NM

3. C/m MN là phân giác của góc BMQ.

4. Hạ đoạn thẳng MP vng góc với BN;xác định vị trí của M trên cung AB để MQ.AN+MP.BN
có giác trị lớn nhất.

Giải:

1/ C/m:A,Q,H,M cùng nằm trên một đường trịn.

(Tuỳ vào hình vẽ để sử dụng một trong các phương pháp sau:
-Cùng làm với hai đàu …một góc vng.

-Tổng hai góc đối.
2/C/m: NQ.NA=NH.NM.

Xét hai vng NQM và NAH đồng dạng.

3/C/m MN là phân giác của góc BMQ. Có hai caùch:

 Cách 1:Gọi giao điểm MQ và AB là I.C/m tam giác MIB cân ở M
 Cách 2: Góc QMN=NAH(Cùng phụ với góc ANH)

Góc NAH=NMB(Cùng chắn cung NB)đpcm

4/ xác định vị trí của M trên cung AB để MQ.AN+MP.BN có giác trị lớn nhất.
Hinh8

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Ta coù 2SMAN=MQ.AN

2SMBN=MP.BN.

2SMAN + 2SMBN = MQ.AN+MP.BN

Ta lại có: 2SMAN + 2SMBN =2(SMAN + SMBN)=2SAMBN=2.

AB<i>×</i>MN

2 =AB.MN

Vậy: MQ.AN+MP.BN=AB.MN

Mà AB khơng đổi nên tích AB.MN lớn nhất MN lớn nhấtMN là đường kính
M là điểm chính giữa cung AB.

<b>Baøi 10:</b>

Cho (O;R) và (I;r) tiếp xúc ngoài tại A (R> r) .Dựng tiếp tuyến chung ngoài BC (B nằm trên
đường tròn tâm O và C nằm trên đư ờng tròn tâm (I).Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến tại A của hai đường
tròn ở E.

1/ Chứng minh tam giác ABC vuông ở A.

2/ O E cắt AB ở N ; IE cắt AC tại F .Chứng minh N;E;F;A cùng nằm trên một đường tròn .
3/ Chứng tỏ : BC2_{= 4 Rr}

4/ Tính diện tích tứ giác BCIO theo R;r
Giải:

1/C/m  ABC vuông : Do BE và AE là hai tiếp tuyến cắt nhau nên

AE=BE; Tương tự AE=ECAE=EB=EC= 1₂ BC.ABC vuông ở A.
2/C/m A;E;N;F cùng nằm trên…

-Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì EO là phân giác của tam giác cân
AEBEO là đường trung trực của AB hay OEAB hay góc ENA=1v

Tương tự góc EFA=2vtổng hai góc đối……4 điểm…
3/C/m BC_=4Rr2 _.

Ta có tứ giác FANE có 3 góc vng(Cmt)FANE là hình vngOEI vng ở E và EAOI(Tính chất
tiếp tuyến).Aùp dụng hệ thức lượng trong tam giác vng có: AH2_{=OA.AI(Bình phương đường cao bằng}
tích hai hình chiếu)

Mà AH= BC₂ và OA=R;AI=r BC

2

4 =¿ RrBC

2_=Rr

4/SBCIO=? Ta có BCIO là hình thang vuông SBCIO= OB₂+IC<i>×</i>BC
S= (<i>r</i>+<i>R</i>)

√

rR

2

Baøi 11:

Trên hai cạnh góc vng xOy lấy hai điểm A và B sao cho OA=OB. Một đường thẳng qua A cắt
OB tại M(M nằm trên đoạn OB).Từ B hạ đường vuông góc với AM tại H,cắt AO kéo dài tại I.

1. C/m OMHI nội tiếp.
2. Tính góc OMI.

3. Từ O vẽ đường vng góc với BI tại K.C/m OK=KH
4. Tìm tập hợp các điểm K khi M thay đổi trên OB.
Giải:

1/C/m OMHI nội tiếp:
Sử dụng tổng hai góc đối.
2/Tính góc OMI

Do OBAI;AHAB(gt) và OBAH=M
Nên M là trực tâm của tam giác ABI
IM là đường cao thứ 3 IMAB

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Mà  vng OAB có OA=OB OAB vng cân ở O góc OBA=45o_{góc OMI=45}o
3/C/m OK=KH

Ta có OHK=HOB+HBO
(Góc ngồi OHB)

Do AOHB nội tiếp(Vì góc AOB=AHB=1v) Góc HOB=HAB (Cùng chắn cung HB) và
OBH=OAH(Cùng chắn

Cùng chắn cung OH)OHK=HAB+HAO=OAB=45o.
OKH vng cân ở KOH=KH

4/Tập hợp các điểm K…

Do OKKB OKB=1v;OB không đổi khi M di động K nằm trên đường trịn đường kính OB.
Khi M≡Othì K≡O Khi M≡B thì K là điểm chính giữa cung AB.Vậy quỹ tích điểm K là 1₄ đường
trịn đường kính OB.

<b>Bài 12:</b>

Cho (O) đường kính AB và dây CD vng góc với AB tại F.Trên cung BC lấy điểm M.Nối A với
M cắt CD tại E.

1. C/m AM laø phân giác của góc CMD.
2. C/m EFBM nội tiếp.

3. Chứng tỏ:AC2=AE.AM

4. Gọi giao điểm CB với AM là N;MD với AB là I.C/m NI//CD
5. Chứng minh N là tâm đường trèon nội tiếp CIM

Giải:

1/C/m AM là phân giác của góc CMD

Do ABCD AB là phân giác của tam giác cân COD. COA=AOD.

Các góc ở tâm AOC và AOD bằng nhau nên các cung bị chắn bằng nhau cung AC=ADcác
góc nội tiếp chắn các cung này bằng nhau.Vậy CMA=AMD.

2/C/m EFBM nội tiếp.

Ta có AMB=1v(Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)
EFB=1v(Do ABEF)

AMB+EFB=2vđpcm.
3/C/m AC2_=AE.AM

C/m hai ACE∽AMC (A chung;góc ACD=AMD cùng chắn cung AD và AMD=CMA cmt
ACE=AMC)…

4/C/m NI//CD. Do cung AC=AD CBA=AMD(Góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau) hay
NMI=NBIM và B cùng làm với hai đầu đoạn thẳng NI những góc bằng nhauMNIB nội
tiếpNMB+NIM=2v. mà NMB=1v(cmt)NIB=1v hay NIAB.Mà CDAB(gt) NI//CD.
5/Chứng tỏ N là tâm đường tròn nội tiếp  ICM .

Ta phải C/m N là giao điểm 3 đường phân giác của CIM.
Theo c/m ta có MN là phân giác của CMI

Do MNIB nội tiếp(cmt) NIM=NBM(cùng chắn cung MN)
Góc MBC=MAC(cùng chắn cung CM)

Ta lại có CAN=1v(góc nội tiếpACB=1v);NIA=1v(vì NIB=1v)ACNI nội tiếpCAN=CIN(cùng
chắn cung CN)CIN=NIMIN là phân giác CIM

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>Bài 13</b>

<b> </b>

<b>:</b>

Cho (O) và điểm A nằm ngồi đường trịn.Vẽ các tiếp tuyến AB;AC và cát tuyến ADE.Gọi H là
trung điểm DE.

1. C/m A;B;H;O;C cùng nằm trên 1 đường tròn.
2. C/m HA là phân giác của góc BHC.

3. Gọi I là giao điểm của BC và DE.C/m AB2_=AI.AH.

4. BH cắt (O) ở K.C/m AE//CK.

1/C/m:A;B;O;C;H cùng nằm trên một đường tròn: H là trung điểm EBOHED(đường kính đi qua
trung điểm của dây …)AHO=1v. Mà OBA=OCA=1v (Tính chất tiếp tuyến) A;B;O;H;C cùng nằm
trên đường trịn đường kính OA.

2/C/m HA là phân giác của góc BHC.

Do AB;AC là 2 tiếp tuyến cắt nhau BAO=OAC và AB=AC

cung AB=AC(hai dây băøng nhau của đường trịn đkOA) mà BHA=BOA(Cùng chắn cung AB) và
COA=CHA(cùng chắn cung AC) mà cung AB=AC COA=BOH CHA=AHBđpcm.

3/Xét hai tam giác ABH và AIB (có A chung và CBA=BHA hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
ABH∽AIBđpcm.

4/C/m AE//CK.

Do góc BHA=BCA(cùng chắn cung AB) và sđ BKC= 1₂ Sđ cungBC(góc nội tiếp)
Sđ BCA= 1₂ sđ cung BC(góc giữa tt và 1 dây)

BHA=BKCCK//AB

<b>Baøi 14:</b>

Cho (O) đường kính AB=2R;xy là tiếp tuyến với (O) tại B. CD là 1 đường kính bất kỳ.Gọi giao
điểm của AC;AD với xy theo thứ tự là M;N.

1. Cmr:MCDN nội tiếp.
2. Chứng tỏ:AC.AM=AD.AN

3. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN và H là trung điểm MN.Cmr:AOIH là
hình bình hành.

4. Khi đường kính CD quay xung quanh điểm O thì I di động trên đường nào?
1/ C/m MCDN nội tiếp:

AOC cân ở OOCA=CAO; góc

CAO=ANB(cùng phụ với góc AMB)góc ACD=ANM.
Mà góc ACD+DCM=2v

DCM+DNM=2v DCMB nội tiếp.
2/C/m: AC.AM=AD.AN

Hãy c/m ACD∽ANM.
3/C/m AOIH là hình bình hành.

 Xác định I:I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDNI là giao
điểm dường trung trực của CD và MNIHMN là IOCD.

Do ABMN;IHMNAO//IH. Vậy cách dựng I:Từ O dựng đường vng góc với CD.Từ trung điểm
H của MN dựng đường vng góc với MN.Hai đường này cách nhau ở I.

Do H laø trung điểm MNAhlà trung tuyến của vuông AMNANM=NAH.Mà
ANM=BAM=ACD(cmt)DAH=ACD.

Gọi K là giao điểm AH và DO do ADC+ACD=1vDAK+ADK=1v hay AKD vuông ở KAHCD
mà OICDOI//AH vậy AHIO là hình bình hành.

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Do AOIH là hình bình hành IH=AO=R khơng đổiCD quay xung quanh O thì I nằm trên đường

thẳng // với xy và cách xy một khoảng bằng R

<b>Baøi 15:</b>

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O.Gọi D là 1 điểm trên cung nhỏ BC. Kẻ DE;
DF; DG lần lượt vng góc với các cạnh AB;BC;AC. Gọi H là hình chiếu của D lên tiếp tuyến Ax của
(O).

1. C/m AHED noäi tieáp

2. Gọi giao điểm của DH với HB và với (O) là P và Q;ED cắt (O) tại M.C/m HA.DP=PA.DE
3. C/m:QM=AB

4. C/m DE.DG=DF.DH

5. C/m:E;F;G thẳng hàng.(đường thẳng Sim sơn)

1/C/m AHED nội tiếp(Sử dụng hai điểm H;E cùng làm hành với hai đầu đoạn thẳng AD…)
2/C/m HA.DP=PA.DE

Xét hai tam giác vuông đồng dạng:
HAP và EPD (Có HPA=EPD đđ)
3/C/m QM=AB:

Do HPA∽EDPHAB=HDM

Mà sđHAB= 1₂ sñ cung AB;

SñHDM= 1₂ sñ cung QM cung AM=QMAB=QM

4/C/m: DE.DG=DF.DH .

Xét hai tam giác DEH và DFG có:

Do EHAD nội tiếp HAE=HDE(cùng chắn cung HE)(1)
Và EHD=EAD(cùng chắn cung ED)(2)

Vì F=G=90oDFGC nội tiếpFDG=FCG(cùng chắn cung FG)(3)
FGD=FCD(cùng chắn cung FD)(4)

Nhưng FCG=BCA=HAB(5).Từ (1)(3)(5)EDH=FDG(6).
Từ (2);(4) và BCD=BAD(cùng chắn cungBD)EHD=FGD(7)
Từ (6)và (7)EDH∽FDG ED_DF =DH_DG đpcm.

5/C/m: E;F;G thẳng hàng:

Ta có BFE=BDE(cmt)và GFC=CDG(cmt)

Do ABCD nội tiếpBAC+BMC=2v;do GDEA nội tiếpEDG+EAG=2v. EDG=BDC mà
EDG=EDB+BDG và BCD=BDG+CDGEDB=CDG GFC=BEFE;F;G thẳng hàng.

<b>Bài 16:</b>

Cho tam giác ABC có A=1v;AB<AC.Gọi I là trung điểm BC;qua I kẻ IKBC(K nằm trên
BC).Trên tia đối của tia AC lấy điểm M sao cho MA=AK.

1. Chứng minh:ABIK nội tiếp được trong đường trịn tâm O.
2. C/m góc BMC=2ACB

3. Chứng tỏ BC2_=2AC.KC

4. AI kéo dài cắt đường thẳng BM tại N.Chứng minh AC=BN
5. C/m: NMIC nội tiếp.

1/C/m ABIK nội tiếp (tự C/m)
2/C/m BMC=2ACB

do ABMK và MA=AK(gt)BMK cân ở BBMA=AKB
Mà AKB=KBC+KCB (Góc ngồi tam giac KBC).

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

KBC=KCB Vậy BMC=2ACB
3/C/m BC_=2AC.KC2

Xét 2  vuông ACB và ICK có C chungACB∽ICK
 AC

IC =

CB

CK IC=

BC

2 

AC
BC
2

=BC

CK đpcm

4/C/m AC=BN

Do AIB=IAC+ICA(góc ngồi IAC) và IAC Cân ở IIAC=ICA AIB=2IAC(1). Ta lại có
BKM=BMK và BKM=AIB(cùng chắn cung AB-tứ giác AKIB nội tiếp)

AIB=BMK(2) mà BMK=MNA+MAN(góc ngồi tam giác MNA) Do MNA cân ở
M(gt)MAN=MNABMK=2MNA(3)

Từ (1);(2);(3)IAC=MNA và MAN=IAC(đ đ)…
5/C/m NMIC nội tiếp:

do MNA=ACI hay MNI=MCI hai điểm N;C cùng làm thành với hai đầu…)

<b>Bài 17:</b>

Cho (O) đường kính AB cố định,điểm C di động trên nửa đường tròn.Tia phân giác của ACB cắt
(O) tai M.Gọi H;K là hình chiếu của M lên AC và AB.

1. C/m:MOBK nội tiếp.

2. Tứ giác CKMH là hình vng.
3. C/m H;O;K thẳng hàng.

4. Gọi giao điểm HKvà CM là I.Khi C di động trên nửa đường trịn thì I chạy trên đường nào?
1/C/m:BOMK nội tiếp:

Ta có BCA=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)
CM là tia phân giác của góc BCAACM=MCB=45o_.

cungAM=MB=90o_.

dây AM=MB có O là trung điểm AB OMAB
hay gócBOM=BKM=1vBOMK nội tiếp.

2/C/m CHMK là hình vuông:

Do  vng HCM có 1 góc bằng 45o nên CHM vng cân ở H
HC=HM,

tương tự CK=MK Do C=H=K=1v

CHMK là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau CHMK là hình vuông.
3/C/m H,O,K thẳng hàng:

Gọi I là giao điểm HK và MC;do MHCK là hình vngHKMC tại trung điểm I của MC.Do I là trung
điểm MCOIMC(đường kính đi qua trung điểm một dây…)

Vậy HIMC;OIMC và KIMCH;O;I thẳng hàng.

4/Do góc OIM=1v;OM cố địnhI nằm trên đường trịn đường kính OM.

<b>Bài 18:</b>

Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB=2a,chiều rộng BC=a.Kẻ tia phân giác của góc ACD,từ A
hạ AH vng góc với đường phân giác nói trên.

1/Chứng minhAHDC nt trong đường tròn tâm O mà ta phải định rõ tâm và bán kính theo a.
2/HB cắt AD tại I và cắt AC tại M;HC cắt DB tại N.Chứng tỏ HB=HC. Và AB.AC=BH.BI
3/Chứng tỏ MN song song với tiếp tuyến tại H của (O)

4/Từ D kẻ đường thẳng song song với BH;đường này cắt HC ở K và cắt (O) ở J.Chứng minh
HOKD nt.

Xét hai HCAABI có A=H=1v và ABH=ACH(cùng chắn cung AH)
HCA∽ABI  HC_AB=AC_BI mà HB=HCđpcm

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

DoAH=HD;AO=HO=DOAHO=HODAOH=HOD
màAOD cân ở OOHAD và OHHx(tính chất tiếp tuyến)
nên AD//Hx(1)

Do cung AH=HD ABH=ACH=HBDHBD=ACH hay MBN=MCN hay 2 điểm B;C cùng làm với
hai đầu đoạn MN những góc bằng nhau MNCB nội tiếpNMC=NBC(cùng chắn cung NC) mà
DBC=DAC (cùng chắn cung DC) NMC=DAC MN//DA(2).Từ (1)và (2)MN//Hx.

4/C/m HOKD nội tiếp:

Do DJ//BHHBD=BDJ (so le)cung BJ=HD=AH= AD₂ mà cung AD=BCcung BJ=JCH;O;J
thẳng hàng tức HJ là đường kính HDJ= 1v .Góc HJD=ACH(cùng chắn 2 cung bằng

nhau)OJK=OCKCJ cùng làm với hai đầu đoạn OK những góc bằng nhauOKCJ nội tiếp
KOC=KJC (cùng chắn cung KC); KJC=DAC(cùng chắn cung DC)KOC=DACOK//AD mà
ADHJOKHOHDKC nội tiếp.

<b>Baøi 19</b>

:

<b> </b>

Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB,bán kính OCAB.Gọi M là 1 điểm trên cung BC.Kẻ đường
cao CH của tam giác ACM.

1. Chứng minh AOHC nội tiếp.

2. Chứng tỏ CHM vng cân và OH là phân giác của góc COM.

3. Gọi giao điểm của OH với BC là I.MI cắt (O) tại D.Cmr:CDBM là hình thang cân.
4. BM cắt OH tại N.Chứng minh BNI và AMC đồng dạng,từ đó suy ra: BN.MC=IN.MA.
1/C/m AOHC nội tiếp:

(học sinh tự chứng minh)
2/C/mCHM vuông cân:

Do OCAB trại trung điểm OCung AC=CB=90o_.
Ta lại có:

Sđ CMA= 1₂ sđcung AC=45o_.

CHM vng cân ở M.

C/m OH là phân giác của góc COM:Do CHM vng cân ở HCH=HM; CO=OB(bán kính);OH
chungCHO=HOMCOH=HOMđpcm.

3/C/m:CDBM là thang cân:

Do OCM cân ở O có OH là phân giácOH là đường trung trực của CM mà IOHICM cân ở
IICM=IMC mà ICM=MDB(cùng chắn cung BM)

IMC=IDB hay CM//DB.Do IDB cân ở IIDB=IBD và MBC=MDC(cùng chắn cungCM) nên
CDB=MBDCDBM là thang cân.

4/C/m BNI và AMC đồng dạng:

Do OH là đường trung trực của CM và NOH CN=NM.

Do AMB=1vHMB=1v hay NMAM mà CHAMCH//NM,có góc CMH=45oNHM=45oMNH
vng cân ở M vậy CHMN là hình vng INB=CMA=45o.

Do CMBD là thang cânCD=BM cungCD=BM mà cung AC=CBcungAD=CM…
và CAM=CBM(cùng chắn cung CM)

INB=CMA đpcm

<b>Bài 20:</b>

Cho  đều ABC nội tiếp trong (O;R).Trên cnạh AB và AC lấy hai điểm M;N sao cho BM=AN.
1. Chứng tỏ OMN cân.

2. C/m :OMAN nội tiếp.

3. BO kéo dài cắt AC tại D và cắt (O) ở E.C/m BC2_+DC2_=3R2_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

1/C/m OMN caân:

Do ABC là tam giác đều nội tiếp trong (O)AO và BO là phân giác của ABC OAN=OBM=30o; OA=OB=R
và BM=AN(gt)OMB=ONA

OM=ON OMN cân ở O.
2/C/m OMAN nội tiếp:

do OBM=ONA(cmt)BMO=ANO
mà BMO+AMO=2vANO+AMO=2v.
AMON nội tiếp.

3/C/m BC2_+DC2_=3R2_.

Do BO là phân giác của đều BOAC hay BOD vuông ở D.
Aùp dụng hệ thức Pitago ta có:

BC2_=DB2_+CD2_=(BO+OD)2_+CD2₌

=BO2_+2.OB.OD+OD2_+CD2_.(1)

Mà OB=R.AOC cân ở O có OAC=30o.

AOC=120oAOE=60oAOE là tam giác đều có ADOEOD=ED= <i>R</i>₂
Aùp dụng Pitago ta có:OD2_=OC2_-CD2_=R2_-CD2_.(2)

Từ (1)và (2)BC2=R2+2.R. <i>R</i>₂ +CD2-CD2=3R2.
4/Gọi K là giao điểm của BI với AJ.

Ta có BCE=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)có B=60o

BFC=30o.

BC= 1₂ BF mà AB=BC=AB=AF.Do AOAI(t/c tt) và AJBCAI//BC có A là trung điểm BFI là
trung điểm CF. Hay FI=IC.

Do AK//FI.p dụng hệ quả Talét trong BFI có: AK_EI =BK_BI
Do KJ//CI.p dụng hệ quả Talét trong BIC có: KJ_CJ =BK

BI

Mà FI=CIAK=KJ (đpcm)

<b>Bài 21:</b>

Cho ABC (A=1v)nội tiếp trong đường tròn tâm (O).Gọi M là trung điểm cạnh AC.Đường tròn tâm
I đường kính MC cắt cạnh BC ở N và cắt (O) tại D.

1. C/m ABNM nội tiếp và CN.AB=AC.MN.

2. Chứng tỏ B,M,D thẳng hàng và OM là tiếp tuyến của (I).
3. Tia IO cắt đường thẳng AB tại E.C/m BMOE là hình bình hành.
4. C/m NM là phân giác của góc AND.

1/C/m ABNM nội tiếp:
(dùng tổng hai góc đối)
C/m CN.AB=AC.MN

Chứng minh hai tam giác vuông ABC và NMC đồng dạng.

2/C/m B;M;D thẳng hàng. Ta có MDC=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm I) hay MD 
DC. BDC=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn tâm O)

Hay BDDC. Qua điểm D có hai đường thẳng BD và DM cùng vng góc với DCB;M;D thẳng hàng.
C/m OM là tiếp tuyến của (I):Ta có MO là đường trung bình của ABC (vì M;O là trung điểm của
AC;BC-gt)MO//AB mà ABAC(gt)MOAC hay MOIC;M(I)MO là tiếp tuyến của đường tròn
tâm I.

3/C/m BMOE là hình bình hành: MO//AB hay MO//EB.Mà I là trung điểm MC;O là trung điểm BCOI
là đường trung bình của MBCOI//BM hay OE//BMBMOE là hình bình hành.

4/C/m MN là phân giác của góc AND:

Do ABNM nội tiếp MBA=MNA(cùng chắn cung AM)

MBA=ACD(cùng chắn cung AD)

AK

FI =

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Do MNCD nội tiếp ACD=MND(cùng chắn cung MD)
ANM=MNDđpcm.

<b>Bài 22:</b>

Cho hình vng ABCD có cạnh bằng a.Gọi I là điểm bất kỳ trên đường chéo AC.Qua I kẻ các đường
thẳng song song với AB;BC,các đường này cắt AB;BC;CD;DA lần lượt ở P;Q;N;M.

1. C/m INCQ là hình vng.
2. Chứng tỏ NQ//DB.

3. BI kéo dài cắt MN tại E; MP cắt AC tại F. C/m MFIN nội tiếp được trong đường tròn. Xác định
tâm.

4. Chứng tỏ MPQN nội tiếp.Tính diện tích của nó theo a.
5. C/m MFIE nội tiếp.

1/C/m INCQ là hình vuông:
MI//AP//BN(gt)MI=AP=BN

NC=IQ=PD NIC vng ở N có ICN=45o

(Tính chất đường chéo hình vng)NIC vng cân ở N
INCQ là hình vng.

2/C/m:NQ//DB:

Do ABCD là hình vuông DBAC
Do IQCN là hình vuông NQIC
Hay NQACNQ//DB.

3/C/m MFIN nội tiếp: Do MPAI(tính chất hình vng)MFI=1v;MIN=1v(gt)
hai điểm F;I cùng làm với hai đầu đoạn MN…MFIN nội tiếp.

Tâm của đường tròn này là giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật MFIN.
4/C/m MPQN nội tiếp:

Do NQ//PMMNQP là hình thang có PN=MQMNQP là thang cân.Dễ dàng C/m thang cân nội tiếp.
TÍnh SMNQP=SMIP+SMNI+SNIQ+SPIQ= 1₂ SAMIP+ 1₂ SMDNI+ 1₂ SNIQC+ 1₂ SPIQB

= 1₂ SABCD= 1₂ a2_.
5/C/m MFIE nội tiếp:

Ta có các tam giác vuông BPI=IMN(do PI=IM;PB=IN;P=I=1v.
PIB=IMN mà PBI=EIN(đ đ)IMN=EIN

Ta lại có IMN+ENI=1vEIN+ENI=1vIEN=1v mà MFI=1vIEM+MFI=2v FMEI nội tiếp

<b>Bài 23:</b>

Cho hình vng ABCD,N là trung điểm DC;BN cắt AC tại F,Vẽ đường tròn tâm O đường kính BN.(O)
cắt AC tại E.BE kéo dài cắt AD ở M;MN cắt (O) tại I.

1. C/m MDNE nội tiếp.

2. Chứng tỏ BEN vng cân.

3. C/m MF đi qua trực tâm H của BMN.
4. C/m BI=BC và IE F vng.

5. C/m FIE là tam giác vuông.
1/C/m MDNE nội tiếp.

Ta có NEB=1v(góc nt chắn nửa đường trịn)

MEN=1v;MDN=1v(t/c hình vuông) MEN+MDN=2vđpcm
2/C/m BEN vuông cân:

NEB vuông(cmt)
Do CBNE nội tiếp

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Ta có BIN=1v(góc nt chắn nửa đtrịn)

BIMN. Mà ENBM(cmt)BI và EN là hai đường cao của BMNGiao điểm của EN và BI là trực
tâm H.Ta phải C/m M;H;F thẳng hàng.

Do H là trực tâm BMNMHBN(1)
MAF=45o_{(t/c hv);MBF=45}o_(cmt)

MAF=MBF=45oMABF nội tiếp.MAB+MFB=2v maø
MAB=1v(gt)MFB=1v hay MFBM(2)

Từ (1)và (2)M;H;F thẳng hàng.

4/C/m BI=BC: Xét 2vng BCN và BIN có cạnh huyền BN chung;NBC=NEC (cùng chắn cung

NC).Do MEN=MFN=1vMEFN nội tiếpNEC=FMN(cùng chắn cung FN);FMN=IBN(cùng phụ với
góc INB)IBN=NBCBCN=BIN.BC=BI

*C/m IEF vuông:Ta có EIB=ECB(cùng chắn cung EB) vaø ECB=45oEIB=45o

Do HIN+HFN=2vIHFN nội tiếpHIF=HNF (cùng chắn cung HF);mà HNF=45o(do EBN vuông
cân)HIF=45o. Từuvà vEIF=1v đpcm

5/ * C/mBM là đường trung trực của QH:Do AI=BC=AB(gt và cmt)ABI cân ở B.Hai vng ABM
và BIM có cạnh huyền BM chung;AB=BIABM=BIMABM=MBI;ABI cân ở B có BM là phân
giác BM là đường trung trực của QH.

*C/mMQBN là thang cân: Tứ giác AMEQ có A+QEN=2v(do ENBM theo cmt) AMEQ nội
tiếpMAE=MQE(cùng chắn cung ME) mà MAE=45o và ENB=45o(cmt) MQN=BNQ=45o
MQ//BN.ta lại có MBI=ENI(cùng chắn cungEN) và MBI=ABM vàIBN=NBC(cmt)

 QBN=ABM+MBN=ABM+45o(vì MBN=45o)MNB=MNE+ENB=MBI+45o
MNB=QBNMQBN là thang cân.

<b>Bài 24:</b>

Cho ABC có 3 góc nhọn(AB<AC).Vẽ đường cao AH.Từ H kẻ HK;HM lần lượt vng góc với
AB;AC.Gọi J là giao điểm của AH và MK.

1. C/m AMHK nội tiếp.
2. C/m JA.JH=JK.JM

3. Từ C kẻ tia Cxvới AC và Cx cắt AH kéo dài ở D.Vẽ HI;HN lần lượt vuông góc với DB và DC.
Cmr : HKM=HCN

4. C/m M;N;I;K cùng nằm trên một đường tròn.
1/C/m AMHK nội tiếp: (Dùng tổng hai góc đối)
2/C/m: JA.JH=JK.JM

Xét hai tam giác:JAM và JHK có: AJM=KJH

(đđ).Do AKHM nt HAM=HKM( cùng chắn cung HM)
JAM∽JKHđpcm

3/C/m HKM=HCN

vì AKHM nội tiếp HKM=HAM(cùng chắn cung HM)
Mà HAM=MHC (cùng phụ với góc ACH).

Do HMC=MCN=CNH=1v(gt)MCNH là hình chữ nhật MH//CN hay MHC=HCNHKM=HCN.
4/C/m: M;N;I;K cùng nằm trên một đường tròn.

_Do BKHI nội tiếpBKI=BHI(cùng chắn cung BI);BHI=IDH(cùng phụ với góc IBH)
_Do IHND nội tiếpIDH=INH(cùng chắn cung IH)BKI=HNI

_Do AKHM nội tiếpAKM=AHM(cùng chắn cung AM);AHM=MCH(cùng phụ với HAM)
_Do HMCN nội tiếpMCH=MNH(cùng chắn cung MH)AKM=MNH

mà BKI+AKM+MKI=2vHNI+MNH+MKI=2v hay IKM+MNI=2v M;N;I;K cùng nằm trên một
đường trịn.

<b>Bài 25</b>

:

<b> </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

1. Chứng minh D;H;E thẳng hàng.

2. C/m BDCE nội tiếp.Xác định tâm O của đường tròn này.
3. C/m AMDE.

4. C/m AHOM là hình bình hành.
1/C/m D;H;E thẳng hàng:

Do DAE=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn tâm H)
DE là đường kính D;E;H thẳng hàng.

2/C/m BDCE nội tiếp:

HAD cân ở H(vì HD=HA=bán kính của đt tâm H)
HAD=HAD mà HAD=HCA(Cùng phụ với HAB)

BDE=BCEHai điểm D;C cùng làm với hai đầu đoạn thẳng BE…
Xác định tâm O:O là giao điểm hai đường trung trực của DE và BC.
3/C/m:AMDE:

Do M laø trung điểm BCAM=MC=MB= BC₂ MAC=MCA;mà ABE=ACB(cmt)MAC=ADE.
Ta lại có:ADE+AED=1v(vì A=1v)CAM+AED=1vAIE=1v vậy AMED.

4/C/m AHOM là hình bình hành:

Do O là tâm đường trịn ngoại tiếp BECDOM là đường trung trực của BC OMBCOM//AH.
Do H là trung điểm DE(DE là đường kính của đường trịn tâm H)OHDE mà

AMDEAM//OHAHOM là hình bình hành.

<b>Bài 26:</b>

Cho ABC có 2 góc nhọn,đường cao AH.Gọi K là điểm dối xứng của H qua AB;I là điểm đối xứng

của H qua AC.E;F là giao điểm của KI với AB và AC.

1. Chứng minh AICH nội tiếp.
2. C/m AI=AK

3. C/m các điểm: A;E;H;C;I cùng nằm trên một đường tròn.
4. C/m CE;BF là các đường cao của ABC.

5. Chứng tỏ giao điểm 3 đường phân giác của HFE chính là trực tâm của ABC.
1/C/m AICH nội tiếp:

Do I đx với H qua ACAC là trung trực của HIAI=AH và HC=IC;AC chung
AHC=AIC(ccc)

AHC=AIC mà AHC=1v(gt)AIC=1v
AIC+AHC=2v AICH nội tiếp.
2/C/m AI=AK:

Theo chứng minh trên ta có:AI=AH.Do K đx với H qua AB
nên AB là đường trung trực của KHAH=AK AI=AK(=AH)
3/C/m A;E;H;C;I cùng nằm trên một đường tròn:

DoEABvà ABlà trung trực của KHEK=EH;EA chung;
AH=AKAKE=AHEAKE=EHA màAKI cân ở A
(theo c/m trên AK=AI) AKI=AIK.EHA=AIE

 hai điểm I và K cung làm với hai đầu đoạn AE…A;E;H;I cùng nằm trên một đường tròn ký hiệu là
(<i><b>C</b></i>)

Theo cmt thì A;I;CV;H cùng nằm trên đường tròn(<i><b>C’</b></i>)  (<i><b>C) </b></i>và <i><b>(C’</b></i>) trùng nhau vì có chung 3 điểm

A;H;I không thẳng hàng)

4/C/m:CE;BF là đường cao của ABC.

Do AEHCI cùng nằm trên một đường trịn có AIC=1vAC là đường kính.AEC=1v

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

5/Gọi M là giao điểmAH và EC.Ta C/m M là giao điểm 3 đường phân giác của HFE.
EBHM nt MHE=MBE(cùng chắn cungEM)

BEFC nt FBE=ECF (Cuøng chắn cung EF)
HMFC ntFCM=FMH(cùng chắn cung MF)

C/m tương tự có EC là phân giác của FHEđpcm.

<b>Bài 27:</b>

Cho ABC(AB=AC) nội tiếp trong (O).Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC.Trên tia BM lấy
MK=MC và trên tia BA lấy AD=AC.

1. C/m: BAC=2BKC

2. C/m BCKD nội tiếp.,xác định tâm của đường tròn này.
3. Gọi giao điểm của DC với (O) là I.C/m B;O;I thẳng hàng.
4. C/m DI=BI.

1/Chứng tỏ:BAC=BMC (cùng chắn cung BC)
BMC=MKC+MCK(góc ngồi MKC)

Mà MK=MC(gt)MKC cân ở MMKC=MCK
BMC=2BKC.

BAC=2BKC.

2/C/mBCKD nội tiếp:

Ta có BAC=ADC+ACD(góc ngồi ADC) mà
AD=AC(gt)ADC cân ở AADC=ACDBAC=2BDC

Nhưng ta lại có:BAC=2BKC(cmt)BDC=BKC BCKD nội tiếp.

ưXác định tâm:Do AB=AC=ADA là trung điểm BD trung tuyến CA= 1₂ BDBCD vuông ở C
.Do BCKD nội tiếp DKB=DCB(cùng chắn cungBD).Mà BCD=1vBKD=1vBKD vng ở K có
trung tuyến KAKA= 1₂ BD AD=AB=AC=AK A là tâm đường tròn…

3/C/m B;O;I thẳng hàng:Do góc BCI=1v,mà B;C;I(O) BI là đường kính B;O;I thẳng hàng.
4/C/mBI=DI:

ưCách 1: Ta có BAI=1v(góc nội tiếp chắn nử đường trịn)hay AIDB,có A là trung điểmAI là đường
trung trực của BDIBD cân ở IID=BI

ưCách 2: ACI=ABI(cùng chắn cung AI)ADC cân ở DACI=ADIBDC=ACDIDB=IBDBID cân
ở Iđpcm.

<b>Baøi 28:</b>

Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong(O).Gọi I là điểm chính giữa cung AB(Cung AB không chứa điểm
C;D).IC và ID cắt AB ở M;N.

1. C/m D;M;N;C cùng nằm trên một đường tròn.
2. C/m NA.NB=NI.NC

3. DI kéo dài cắt đường thẳng BC ở F;đường thẳng IC cắt đường thẳng AD ở E.C/m:EF//AB.
4. C/m :IA2_=IM.ID.

1/C/m D;M;N;C cùng nằm trên một đường tròn.
Sđ IMB= 1₂ sđcung(IB+AD)

Sđ NCD= 1₂ Sđ cungDI. Mà cung IB=IAIMB=NCD
IMB=NCD.

Ta lại có IMN+DMN=2v NCD+DMN=2vMNCD nộitiếp.
2/Xét 2NBC và NAI có:

IAB=ICB(cùng chắn cung BI)

INA=BNC(đ ñ)NAI∽NCBñpcm.

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

3/C/m EF//AB:

Do IDA=ICB(cùng chắn hai cung hai cung bằng nhau IA=IB) hay EDF=ECF
hai điểm D và C cùng làm với hai đầu đoạn EF…EDCF nội tiếp

 EFD=ECD(cuøng chắn cung ED),mà ECD=IMN(cmt) EFD=FMN EF//AB.
4/C/m: IA2_=IM.ID.

2 AIM∽DIA vì: I chung;IAM=IDA(hai góc nt chắn hai cung bằng nhau)
đpcm.

<b>Bài 29:</b>

Cho hình vuông ABCD,trên cạnh BC lấy điểm E.Dựng tia Ax vuông góc với AE, Ax cắt cạnh CD

kéo dài tại F.Kẻ trung tuyến AI của AEF,AI kéo dài cắt CD tại K.qua E dựng đường thẳng song song
với AB,cắt AI tại G.

1. C/m AECF nội tiếp.
2. C/m: AF2_=KF.CF
3. C/m:EGFK là hình thoi.

4. Cmr:khi E di động trên BC thì EK=BE+DK
5. và chu vi CKE có giá trị khơng đổi.

6. Gọi giao điểm của EF với AD là J.C/m:GJJK.
1/C/m AECF nội tiếp:

FAE=DCE=1v(gt)
 AECF nội tiếp
2/C/m: AF2_=KF.CF.

Do AECF nội tiếp DCA=FEA(cung chắn cung AF).Mà DCA=45o
(Tính chất hình vuông)

FEA=45oFAE vng cân ở A có FI=IEAIFE
FAK=45o.

FKA=ACF=45o.Và KFA chung
FKA∽FCA

 FA

FC=

FK

FA đpcm.

3/C/m: EGFK là hình thoi. -Do AK là đường trung trực của FEGFE cân ở G

GFE=GEF.Mà GE//CF (cùng vng góc với AD)GEF=EFK(so le) GFI=IFKFI là đường trung
trực của GKGI=IK,mà I F=IEGFKE là hình thoi.

4/C/m EK=BE+DK: vuông ADF và ABE có AD=AB;AF=AE.(AE F vuông cân)ADF=ABE
BE=DF nà FD+DK=FK VÀ FK=KE(t/v hình thoi)KE=BE+DK

ưC/m chu vi tam giác CKE không đổi:Gọi chu vi là <i><b>C</b></i>= KC+EC+KE =KC+EC+BE +DK =(KC+DK)+
(BE+EC)=2BC không đổi.

5/C/m IJJK:

Do JIK=JDK=1vIJDK nội tiếp JIK=IDK(cùng chắn cung IK) IDK=45o(T/c hình vuông)
JIK=45o

JIK vuông vân ở IJI=IK,mà IK=GI
JI=IK=GI= 1₂ GKGJK vuông ở J hay GJJK.

<b>Bài 30:</b>

Cho ABC.Gọi H là trực tâm của tam giác.Dựng hình bình hành BHCD. Gọi I là giao điểm của HD
và BC.

1. C/m:ABDC nội tiếp trong đường tròn tâm O;nêu cacùh dựng tâm O.
2. So sánh goc BAH và OAC.

3. CH caét OD taïi E.C/m AB.AE=AH.AC

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

Gọi các đường cao của ABC là AN;BM;CN.

—Do AQH+HMA=2vAQHM nội tiếpBAC+QHM=2v

mà QHM=BHC(đ đ)

BHC=CDB(2 góc đối của hình bình hành)
BAC+CDB=2VABDC nội tiếp.

—Cách xác định tâm O:do CD//BH(t/c hình bình hành)

Và BHACCDAC hay ACD=1v,mà A;D;Cè nằm trên đường trịnAD là đường kính.Vậy O là trung
điểm AD.

2/So sánh BAH và OAC:

BAN=QCB(cùng phụ với ABC) mà CH//BD( do BHCD là hình bình hành) QCB=CBD(so
le);CBD=DAC(cùng chắn cung CD)BAH=OAC.

3/c/m: AB.AE=AH.AC:

Xét hai tam giác ABH và ACE có EAC=HCB(cmt);ACE=HBA(cùng phụ với
BAC)ABH∽ACEđpcm

4/C/m G là trọng tâm của ABC.ta phải cm G là giao điểm ba đường trung tuyến hay GJ= 1₃ AI.
Do IB=ICOIBC mà AHBCOI//AH.Theo định lý Ta Lét trong AGH

 OI

AH=

GI

AG .Do I là trung điểm HDO là trung điểm AD
OI

AH=

1

2 (T/c đường trung bình)
OI

AH=

GI

AG=

1

2 GI=

1

2 AG. Hay GI=
1

3 AIG là trọng tâm của ABC.

Bài 31

:

Cho (O) và cung AB=90o_{.C là một điểm tuỳ ý trên cung lớn AB.Các đường cao AI;BK;CJ của}

ABC
cắt nhau ở H.BK cắt (O) ở N;AH cắt (O) tại M.BM và AN gặp nhau ở D.

1. C/m:B;K;C;J cùng nằm trên một đường tròn.
2. c/m: BI.KC=HI.KB

3. C/m:MN là đường kính của (O)
4. C/m ACBD là hình bình hành.
5. C/m:OC//DH.

Bài này có hai hình vẽ tuỳ vào vị trí của C. Cách c/m tương tự
1/C/m B;K;C;J cùng nằm trên một đường trịn.

-Sử dúng toơng hai góc đoẫi.

-Sử dụng hai góc cùng làm với hai đầu đoạn thẳng một góc vng.
2/C/m: BI.KC=HI.KB.

Xét hai tam giác vuông BIH và BKC có IBH=KBC(đ đ)
đpcm

3/ C/m MN là đường kính của (O).
Do cung AB=90o_{.ACB=ANB=45}o
KBC;AKN là những

Tam giác vuông cânKBC=45oIBH=KBC=45oIBH cũng là tam giác vng cân.Ta lại có:
AMD=MAB+ABM(góc ngồi tam giác MAB).Mà

sđMAB= 1₂ sđMB

SđABM= 1₂ sđAM và cung MA+AM=AB=90o_.

AMD=45o và AMD=BMH(đ đ)

BMI=45oBIM vng cânMBI=45oMBH=MBI+IBH=90o hay MBN=1vMN là đường kính của
(O).

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

Do MN là đường kính MAN=1v(góc nt chắn nửa đtrịn) mà CAN =45o.

MAC=45o hay cung MC=90oMNC=45o.Góc ở tâm MOC chắn cung MC=90oMOC=90oOCMN.
Do DBNH;HADN;AH và DB cắt nhau ở MM là trực tâm của DNH MNDHOC//DH.

Baøi 32:

Cho hình vng ABCD.Gọi N là một điểm bất kỳ trên CD sao cho CN<ND;Vẽ đường tròn tâm O
đường kính BN.(O) cắt AC tại F;BF cắt AD tại M;BN cắt AC tại E.

1. C/m BFN vuông cân.
2. C/m:MEBA nội tiếp

3. Gọi giao điểm của ME và NF là Q.MN cắt (O) ở P.C/m B;Q;P thẳng hàng.
4. Chứng tỏ ME//PC và BP=BC.

5. C/m FPE là tam giác vuông

1/c/m:BFN vuông cân:

ANB=FCB(cùng chắn cung FB).Mà FCB=45o_{(tính chất hình vuông)}
ANB=45o

Mà NFB=1v(góc nt chắn nửa đường trịn)BFN vng cân ở F
2/C/m MEBA Nội tiếp:

DoFBN vng cân ở F

FME=45o và MAC=45o(tính chất hình vuông)FME=MAC=45o.
MABE nội tiếp.

3/C/m B;Q;P thẳng hàng:

Do MABE ntMAB+NEB=2v;mà MAB=1v(t/c hình vng)MEB=1v hay MEBN.Theo cmt
NFBMQ là trực tâm của BMNBQMN(1)

Ta lại có BPN=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) hay BPMN(2).
Từ (1)và(2)B;Q;P thẳng hàng.

4/C/m MF//PC.

Do MFN=MEN=1vMFEN nội tiếpFNM=FEM(cùng chắn cung MF)
Mà FNP=FNM=FCD(cùng chắn cung PF của (O) FEM=FCPME//CP

C/m:BP=BC:Do ME//CP và MEBNCPBN.Đường kính MN vng góc với dây CPBN là đường
trung trực của CP hay BCP cân ở BBC=BP.

5/C/m FPE vuông:

Do FPNB nội tiếpFPB=FNB=45o(cmt)

Dễ dàng cm được QENP nội tiếpQPE=QNE=45ođpcm.

<b>Bài 33:</b>

Trên đường tròn tâm O lần lượt lấy bốn điểm A;B;C;D sao cho AB=DB.AB và CD cắt nhau ở E.BC
cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn(O) ở Q;DB cắt AC tại K.

1. Cm: CB là phân giác của góc ACE.
2. c/m:AQEC nội tiếp.

3. C/m:KA.KC=KB.KD
4. C/m:QE//AD.

1/C/m CB là phân giác của góc ACE:
Do ABCD nội tiếp BCD+BAD=2v
Mà BCE+BCD=2VBCE=BAD.

Do AB=AC(gt)BAD cân ở BBAD=BDA.ta lại có BDA=BCA (Cùng chắn cung AB)
BCE=BCA đpcm.

2/C/m AQEC nội tiếp:

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

Sđ ADB=Sđ 1₂ AB

QAB=ADB=BCE(cmt) QAE=QCDhai điểm A và C cùng làm với hai đầu đoạn QE…đpcm
3/C/m: KA.KC=KB.KD.

C/m KAB∽KDC.

4/C/m:QE//AD:

Do AQEC ntQEA=QCA(cùng chắn cung QA) mà QCA=BAD(cmt) QEA=EADQE//AD.

<b>Baøi 34:</b>

Cho (O) và tiếp tuyến Ax.Trên Ax lấy hai điểm B và C sao cho AB=BC.Kẻ cát tuyến BEF với đường
tròn.CE và CF cắt (O) lần lượt ở M và N.Dựng hình bình hành AECD.

1. C/m:D nằm trên đường thẳng BF.
2. C/m ADCF nội tiếp.

3. C/m: CF.CN=CE.CM
4. C/m:MN//AC.

5. Gọi giao điểm của AF với MN là I.Cmr:DF đi qua trung điểm của NI.
1/C/m:D nằm trên đường thẳng BF.

Do ADCE là hình bình hànhDE và AC là hai đường chéo.
Do B là trung điểm của AC B cũng là trung điểm DE

hay DBE thaúng hàng.Mà B;E;F thẳng hàng D nằm trên BF.
2/C/m ADCF nội tiếp:

Do ADCf là hình bình hành DCA=CAE(so le)

Sđ CAE= 1₂ Cung AE(góc giữa tt và một dây) mà EFA=sđ 1₂ AE CAE=EFADFA=DCA
hai điểm F và C cùng làm với 2 đầu đoạn AD…đpcm

3/C/m: CF.CN=CE.CM. ta c/m CEF∽CNM.
4/C/m:MN//AC.

Do ADCF ntDAC=DFC(cùng chắn cung CD).Mà ADCE là hình bình hành DAC=ACE(so le),ta lại
có CFD=NME(cùng chắn cung EN)ACM=CMN AC//MN.

5/C/m:DF đi qua trung điểm NI:Gọi giao điểm của NI với FE là J
Do NI//AC(vì MN//AB)

NJ//CB,theo hệ quả talét JE_FB=NJ

BC

Tương tự IJ//AB JF_FB=JI_AB
MaØ AB=AC(gt)JI=NJ

<b>Bài 35:</b>

Cho (O;R) và đường kính AB;CD vng góc với nhau.Gọi M là một điểm trên cung nhỏ CB.
<b>1.</b> C/m:ACBD là hình vng.

<b>2.</b> AM cắt CD ;CB lần lượt ở P và I.Gọi J là giao điểm của DM và AB.C/m IB.IC=IA.IM
<b>3.</b> Chứng tỏ IJ//PD và IJ là phân giác của góc CJM.

<b>4.</b> Tính diện tích AID theo R.
1/C/m:ACBD là hình vuông:

Vì O là trung điểm của AB;CD nên ACBD là hình bình hành.
Mà AC=BD(đường kính) và ACDB (gt)

hình bình hành ACBD là hình vuông.
2/C/m: IB.IC=IA.IM

Xét 2 IAC và IBM có CIA=MIB(đ đ)

IAC=IBM(cùng chắn cung CM)IAC∽IBMđpcm.

JI

AB=

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

3/C/m IJ//PD.

Do ACBD là hình vng CBO=45o_{.Và cung AC=CB=BD=DA.AMD=DMB=45}o
IMJ=IBJ=45oM và B cùng làm với hai đầu đoạn IJ…MBIJ nội tiếp.

IJB+IMB=2v maø IMB=1v IJB =1v hay IJAB.Maø PDAB(gt) IJ//PD

— C/m IJ là phân giác của góc CMJ:

-Vi IJAB hay AJI=1v và ACI=1v(t/c hình vuông)ACIJ nội tiếp
 IJC=IAC(cùng chắn cung CI) mà IAC=IBM(cùng chắn cungCM)
-Vì MBJI nội tiếp MBI=MJI(cùng chắn cung IM) IJC= IJMđpcm.
4/Tính diện tích AID theo R:

Do CB//AD(tính chất hình vng) có ICB khoảng cách từ đến AD chính bằng CA.Ta lại có IAD và
CAD chung đáy và đường cao bằng nhau. SIAD=SCAD.Mà SACD= 1₂ SABCD. SIAD= 1₂ SABCD.SABCD=

1

2 AB.CD (diện tích có 2 đường chéo vng góc)SABCD=
1

2 2R.2R=2R2SIAD=R2.

<b>Baøi 37:</b>

Cho ABC(A=1v).Kẻ AHBC.Gọi O và O’ là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác AHB và
AHC.Đường thẳng O O’ cắt cạnh AB;AC tạ M;N.

<b>1.</b> C/m:  OHO’ là tam giác vuông.

<b>2.</b> C/m:HB.HO’=HA.HO
<b>3.</b> C/m: HOO’∽HBA.

<b>4.</b> C/m:Các tứ giác BMHO;HO’NC nội tiếp.
<b>5.</b> C/m AMN vng cân.

1/C/m:OHO’ vuông:

Do AHB=1v và O là tâm đường tròn nội tiếp AHBO là giao điểm ba đường phân giác của
tam giácAHO=OHB=45o_{.Tương tự AHO’=O’HC=45}o_.

O’HO=45o₊₄₅o₌₉₀o_{.hay O’HO vuông ở H.}
2/C/m: HB.HO’=HA.HO

Do ABC vng ở A và AHBCABH=CAH(cùng phụ với góc C) mà OB;O’A lần lượt là
Phân giác của hai góc trênOBH=O’AH và OHB=O’HA=45o.

HBO∽HAO’ HB_HA=OH<i>_{O ' H}</i>(1) ñpcm.
3/c/m HOO’∽HBA.

Từ (1) HB_HA=HO_HO<i>_'</i>  _HAHO<i>'</i>=HO_HB (Tính chất tỉ lệ thức).Các cặp cạnh HO và HO’ của HOO’tỉ lệ
với các cặp cạnh của HBA và góc xen giữa BHA=O’HO=1v HOO’∽HBA.

4/C/m:BMOH nt:Do  HOO’∽HBAO’OH=ABH mà O’OH+MOH=2vMBH+MOH=2vđpcm.
C/m NCHO’ nội tiếp: HOO’∽HBA(cmt) và hai tam giác vngHBA và HAC có góc nhọn
ABH=HAC(cùng phụ với góc ABC) nênHBA∽HAC HOO’ ∽HACOO’H=ACH.Mà
OO’H=NO’H=2v NCH+NO’H=2v đpcm.

5/C/m AMN vuông cân:Do OMBH ntOMB+OHB=2v mà AMO+OMB=2vAMO=OHB mà
OHB=45o

AMO=45o.Do AMN vng ở A có AMO=45o.AMN vng cân ở A.

<b>Bài 37:</b>

Cho nửa đường trịn O,đường kính AB=2R,gọi I là trung điểm AO.Qua I dựng đường thẳng vuông
góc với AB,đường này cắt nửa đường trịn ở K.Trên IK lấy điểm C,AC cắt (O) tại M;MB cắt đường
thẳng IK tại D.Gọi giao điểm của IK với tiếp tuyến tại M là N.

<b>1.</b> C/m:AIMD nội tiếp.
<b>2.</b> C/m CM.CA=CI.CD.
<b>3.</b> C/m ND=NC.

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

<b>5.</b> và C là tâm đường tròn nội tiếp EIM.

<b>6.</b> Giả sử C là trung điểm IK.Tính CD theo R.
1/C/m AIMD nội tiếp:

Sử dụng hai điểm I;M cùng làm với hai đầu đoạn AD…
2/c/m: CM.CA=CI.CD.

C/m hai CMD và CAI đồng dạng.
3/C/m CD=NC:

sđNAM= 1₂ sđ cung AM(góc giữa tt và một dây)
sđMAB= 1₂ sđ cung AMNAM=MAB

Mà MBA=ACI(cùng phụ với góc CAI);CAI=KCM(đ đ)NCM+NMC NMC cân ở NNC=NM. Do
NMD+NMC=1v NCM+NDM=1v và NCM=NMC NDM=NMDNMD cân ở

NND=NMNC=ND(đpcm)

4/C/m C là tâm đường trịn nội tiếp EMI.Ta phải c/m C là giao điểm 3 đường phân giác của EMI
<b>(xem câu 3 bài 35)</b>

5/Tính CD theo R:

Do KI là trung trực của AOAKO cân ở KKA=KO mà KO=AO(bán kính) AKO là  đềuKI=

<i>R</i>

√

3

2 CI=KC=
KI

2 =

<i>R</i>

√

3

4 .p dụng PiTaGo trong tam giác vuông ACI có:CA=

√

CI2+AI2=

√

3<i>R</i>

2
16 +

<i>R</i>2
4 =

<i>R</i>

√

7

4 CIA∽BMA( hai tam giác vuông có góc CAI chung)

CA

BA=

IA

MA MA=

AB<i>×</i>AI

AC = 2R.

<i>R</i>

2 :

<i>R</i>

√

7

4 =¿

= 4<i>R</i>

√

7

7 MC=AM-AC=

9<i>R</i>

√

7

28 áp dụng hệ thức câu 2CD=

3<i>R</i>

√

3

4 .

<b>Baøi 38:</b>

Cho ABC.Gọi P là một điểm nằm trong tam giác sao cho góc PBA=PAC.Gọi H và K lần lượt là
chân các đường vng góc hạ từ P xuống AB;AC.

1. C/m AHPK nội tiếp.
2. C/m HB.KP=HP.KC.

3. Gọi D;E;F lần lượt là trung điểm của PB;PC;BC.Cmr:HD=EF; DF=EK
4. C/m:đường trung trực của HK đi qua F.

1/C/m AHPK nội tiếp(sử dụng tổng hai góc đối)
2/C/m: HB.KP=HP.KC

C/m hai  vuông HPB và KPC đồng dạng.
3/C/m HD=FE:

Do FE//DO và DF//EP (FE và FD là đường trung bình của PBC)

DPEF là hình bình hành.DP=FE.

Do D là trung điểm của BPDH là trung
tuyến của  vuông HBPHD=DPDH=FE
C/m tương tự có:DF=EK.

4/C/m đường trung trực của HK đi qua F.

Ta phải C/m EF là đường trung trực của HK.Hay cần c/m FK=FH.
Do HD=DP+DBHDP=2ABP(góc ngồi tam giác cân ABP)
Tương tự KEP=2ACP

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

Do PEFD là hình bình hành(cmt)PDF=PEF(2)

Từ (1) và (2)HDF=KEF mà HD=FE;KE=DFDHF∽EFK(cgc)FK=FH
đpcm.

<b>Baøi 39:</b>

Cho hình bình hành ABCD(A>90o_{).Từ C kẻ CE;Cf;CG lần lượt vng góc với AD;DB;AB.}
<b>1.</b> C/m DEFC nội tiếp.

<b>2.</b> C/m:CF2_=EF.GF.

<b>3.</b> Gọi O là giao điểm AC và DB.Kẻ OICD.Cmr: OI đi qua trung điểm của AG.

<b>4.</b> Chứng tỏ EOFG nội tiếp.
1/C/mDEFC nội tiếp:

(Sử dụng hai điểm E;F cùng làm với hai đầu đoạn thẳng CD).

2/C/m: CF2_{=EF.GF: Xét 2}

ECF vaø CGF coù:

-Do DE FC ntFCE=FDE(cùng chắn cung FE);FDE=FBC(so le).
Do GBCF nt (tự c/m)FBC=FGC(cùng chắn cung FC)FGC=FCE.
-Do GBCF ntGBF=GCF(cùng chắn cùngG) mà GBF=FDC(so le).

DoDEFC nội tiếp FDC=FCE(cùng chắn cùngC)FCG=FECECF∽CGFđpcm.

3/C/m OI đi qua trung điểm AG.Gọi giao điểm của đường tròn tâm O đường kính AC là J Do AG//CJ và
CGAGAGCJ là hình chữ nhật AG=CJ Vì OICJ nên I là trung điểm CJ(đường kính  với 1

dây…)đpcm.

4/C/m EOFG nội tiếp:Do CEA=AGC=1vAGCE nt trong (O)AOG=2GCE (góc nt bằng nửa góc ở
tâm cùng chắn 1 cung;Và EAG+GCE=2v(2góc đối của tứ giác nt).Mà ADG+ADC=2v(2góc đối của
hbh)EOG=2.ADC(<b>1</b>)

Do DEFC ntEFD=ECD(cùng chắn cungDE);ECD=90o-EDC(2 góc nhọn của  vng EDC)();Do
GBCF ntGFB=GBC(cùng chắn cung GB);BCG=90o-GBC(ßß).Từ (ß)và(ßß)EFD+GFB=90o
-EDC+90o_-GBC=180o_{-2ADC mà EFG=180}o_{-(EFD+GFB)=180}o_-180o_+2ADC=2ADC(<b>₂</b>₎

Từ (<b>1</b>) và (<b>2</b>)EOG=EFGEOFG nt.

<b>Bài 40:</b>

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B.Các đường thẳng AO cắt (O) lần lượt ở C và
D;đường thẳng AO’ cắt (O) và (O’) lần lượt ở E và F.

<b>1.</b>C/m:C;B;F thẳng hàng.

<b>2.</b>C/m CDEF nội tiếp.
<b>3.</b>Chứng tỏ DA.FE=DC.EA

<b>4.</b>C/m A là tâm đường trịn nội tiếp BDE.

<b>5.</b>Tìm điều kiện để DE là

tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O);(O’)
1/C/m:C;B;F thẳng hàng: Ta có:ABF=1v;ABC=1v

(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn). ABC+ABF=2vC;B;F thẳng hàng.

2/C/mCDEF nội tiếp:Ta có AEF=ADC=1vE;D cùng làm với hai đầu đoạn CF…
đpcm

3/C/m: DA.FE=DC.EA. Hai  vuoâng DAC và EAF có DAC=EAF(đ đ)
 DAC ∽ø EAFđpcm.

4/C/m A là tâm đường tròn ngoại tiếp BDE.Ta phải c/m A là giao điểm 3 đường phân giác của DBE.
<b>(Xem cách c/m bài 35 câu 3)</b>

5/Để DE là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn cần điều kiện là:

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

ODO’=OEO’D và E cùng làm với hai đầu đoạn thẳngOO’ những góc bằng nhauODEO’ nt
ODE+EO’O=2v.Vì DE là tt của (O) và (O’)ODE=O’ED=1vEO’O=1vODEO’ là hình chữ nhật
DA=AO’=OA=AE(t/c hcn) hay OA=O’A.

Vậy để DE là tt chung của hai đường tròn thì hai đường trịn có bán kính bằng nhau.(hai đường trịn bằng
nhau)

<b>Bài 41:</b>

Cho (O;R).Một cát tuyến xy cắt (O) ở E và F.Trên xy lấy điểm A nằm ngoài đoạn EF,vẽ 2 tiếp
tuyến AB và AC với (O).Gọi H là trung điểm EF.

<b>1.</b> Chứng tỏ 5 điểm:A;B;C;O;H cùng nằm trên một đường tròn.

<b>2.</b> Đường thẳng BC cắt OA ở I và cắt đường thẳng OH ở K.C/m: OI.OA=OH.OK=R2_.
<b>3.</b> Khi A di động trên xy thì I di động trên đường nào?

<b>4.</b> C/m KE và KF là hai tiếp tyuến của (O)
1/ C/m:A;B;C;H;O cùng nằm trên một đường trịn:
Ta có ABO=ACO(tính chất tiếp tuyến).

Vì H l là trung điểm dây FE nên OHFE

(đường kính đi qua trung điểm 1 dây) hay kính AO.

OHA=1v5 điểm A;B;O;C;H cùng nằm trên đường trịn đường kính AO.
2/C/m: OI.OA=OH.OK=R2

Do ABO vng ở B có BI là đường cao.

Aùp dung hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:OB2_{=OI.OA ;}
mà OB=R.OI.OA=R2.(1)

Xét hai  vuông OHA và OIK có IOH chung.AHO∽KIO OA_OK=OH_OI
OI.OA=OH.OK (2).

Từ (1) và (2)đpcm.

4/C/m KE và KF là hai tt của đuờng tịn (O).

-Xét hai EKO và EHO.Do OH.OK=R2=OE2 OH_OE =OE_OK vaø EOH chung

EOK∽HOE(cgc)OEK=OHE maø OHE=1vOEK=1v hay OEEK tại điểm E nằm trên (O)EK là
tt của (O)

<b>Bài 42:</b>

Cho ABC (AB<AC) có hai đường phân giác CM,BN cắt nhau ở D.Qua A kẻ AE và AF lần lượt
vng góc với BN và CM.Các đường thẳng AE và AF cắt BC ở I;K.

1. C/m AFDE nội tiếp.
2. C/m: AB.NC=BN.AB
3. C/m FE//BC

4. Chứng tỏ ADIC nội tiếp.
Chú ý bài toán vẫn đúng khi AB>AC
1/C/m AFDE nội tiếp.(Hs tự c/m)
2/c/m: AB.NC=BN.AB

Do D là giao điểm các đường phân giác BN và CM củaABN
 BD

DN=

AB

AN (1)

Do CD là phân giác của  CBN BD_DN=_CNBC (2)
Từ (1) và (2)  BC_CN=AB_AN đpcm

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

Do BE là phân giác của ABI và BEAIBE là đường trung trực của AI.Tương tự CF là phân giác của
ACK và CFAKCF là đường trung trực của AK E là F lần lượt là trung điểm của AI và AK FE là
đường trung bình của AKIFE//KI hay EF//BC.

4/C/m ADIC nt:

Do AEDF ntDAE=DFE(cùng chắn cung DE)
Do FE//BCEFD=DCI(so le)

<b>Bài 43:</b>

Cho ABC(A=1v);AB=15;AC=20(cùng đơn vị đo độ dài).Dựng đường trịn tâm O đường kính AB và
(O’) đường kính AC.Hai đường trịn (O) và (O’) cắt nhau tại điểm thứ hai D.

<b>1.</b>Chứng tỏ D nằm trên BC.

<b>2.</b>Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ DC.AM cắt DC ở E và cắt (O) ở N. C/m DE.AC=AE.MC
<b>3.</b>C/m AN=NE và O;N;O’ thẳng hàng.

<b>4.</b>Gọi I là trung điểm MN.C/m góc OIO’=90o_.
<b>5.</b>Tính diện tích tam giác AMC.

1/Chứng tỏ:D nằm trên đường thẳng BC:Do ADB=1v;
ADC=1v(góc nt chắn nửa đường trịn)

ADB+ADC=2vD;B;C thẳng hàng.

-Tính DB: Theo PiTaGo trong  vng ABC có: BC=

√

AC2+AB2=

√

152+202=25 .Aùp dụng hệ thức
lượng trong tam giác vuông ABC có: AD.BC=AB.ACAD=20.15:25=12

2/C/m: DE.AC=AE.MC.Xét hai tam giác ADE và AMC.Có ADE=1v(cmt) và AMC=1v (góc nt chắn nửa
đường trịn).Do cung MC=DB(gt)DAE=MAC(2 góc nt chắn 2 cung bằng nhau) DAE∽MAC

DA

MA=

DE

MC=

AE

AC (1)Ñpcm.

3/C/m:AN=NE:

Do BAAO’(ABC Vuông ở A)BA là tt của (O’)sđBAE= 1₂ sđ AM
SđAED=sđ 1₂ (MC+AD) mà cung MC=DMcung MC+AD=AM

 AED =BAC BAE cân ở B mà BMAENA=NE.

C/m O;N;O’ thẳng hàng:ON là đường TB của ABEON//BE và OO’//BE
O;N;O’ thẳng hàng.

4/Do OO’//BC và cung MC=MD O’MBCO’MOO’NO’M vuông ở O’ có O’I là trung tuyến

INO’ cân ở IIO’M=INO’ mà INO’=ONA(đ đ);OAN cân ở OONA=OANOAI=IO’OOAO’I
ntOAO’+OIO’=2v mà OAO’=1v OIO’=1v.

5/ Tính diện tích AMC.Ta có SAMC= 1₂ AM.MC .Ta có BD= AB

2

BC =9 DC=16

Ta lại có DA2_=CD.BD=16.9

AD=12;BE=AB=15DE=15-9=6AE=

√

AD2+DE2=6

√

5

Từ(1) tính AM;MC rồi tính S.
<b>Bài 44:</b>

Trên (O;R),ta lần lượt đặt theo một chiều,kể từ điểm A một cung AB=60o_{, rồi cung BC=90}o_{và cung}
CD=120o_.

<b>1.</b> C/m ABCD là hình thang cân.
<b>2.</b> Chứng tỏ ACDB.

<b>3.</b> Tính các cạnh và các đường chéo của ABCD.

<b>4.</b> Gọi M;N là trung điểm các cạnh DC và AB.Trên DA kéo dài về phía A lấy điểm P;PN cắt DB
tại Q.C/m MN là phân giác của góc PMQ.

1/C/m:ABCD là hình thang cân:Do cung BC=90o

BAC=45o

(góc nt bằng nửa cung bị chắn).do cung AB=60o_;BC=90o_;CD=120o


AD=90o

ACD=45o BAC=ACD=45o.AB//CD.

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

Vì cung DAB=150o_{.Cung ABC =150}o_.

 BCD=CDA. ABCD là thang cân.
2/C/mACDB:

Gọi I là giao điểm của AC và BD.sđAID= 1₂ sđ cung(AD+BC)=180o₌₉₀o_.
ACDB.

3/Do cung AB=60o

AOB=60oAOB là tam giác đềuAB=R.
Do cung BC=90o

BOC=90oBOC vuông cân ở OBC=AD=R

√

2 Do cung CD=120o
DOC=1200.MNCDDOM=600sin 600= DM_OD DM= <i>R</i>

√

3

2 . CD=2DM=R

√

3

-Tính AC:Do AIB vng cân ở I2IC2=AB2IA=AB

√

2

2 =

<i>R</i>

√

2

2 Tương tự IC=

<i>R</i>

√

6

2 ; AC =

DB=IA+IC =

3
1+√¿

¿

<i>R</i>

√

2

¿

<i>R</i>

√

2

2 +

<i>R</i>

√

6

2 =¿

4/PN cắt CD tại E;MQ cắt AB tại K;PM cắt AB tại J.
Do JN//ME  JN_ME=PN_PE

Do AN//DE  AN_DE =PN_PE

Do NI//ME  NI_ME=NQ_QE
NB//ME  NB_DE=NQ_QE

NI=NJ.Mà MNAB(tc thang cân)JMI cân ởp MMN là phân giác…
<b>Bài45:</b>

Cho  đều ABC có cạnh bằng a.Gọi D là giao điểm hai đường phân giác góc A và góc B của tam
giấcBC.Từ D dựng tia Dx vng góc với DB.Trên Dx lấy điểm E sao cho ED=DB(D và E nằm hai phía
của đường thẳng AB).Từ E kẻ EFBC. Gọi O là trung điểm EB.

<b>1.</b> C/m AEBC và EDFB nội tiếp,xác định tâm và bán kính của các đường trịn ngoại tiếp các tứ
giác trên theo a.

<b>2.</b> Kéo dài FE về phía F,cắt (D) tại M.EC cắt (O) ở N.C/m EBMC là thang cân.Tính diện tích.
<b>3.</b> c/m EC là phân giác của góc DAC.

<b>4.</b> C/m FD là đường trung trực của MB.
<b>5.</b> Chứng tỏ A;D;N thẳng hàng.

<b>6.</b> Tính diện tích phần mặt trăng được tạo bởi cung nhỏ EB của hai đường tròn.

E A

N
O 

D

AN

DE =

JN

ME _{Vì NB=NA}

 JN_ME=NI

ME
NI

ME=

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

B F C
M

1/Do ABC là tam giác đều có D là giao điểm 2 đường phân giác góc A và BBD=DA=DC mà
DB=DEA;B;E;C cách đều DAEBC nt trong (D).

Tính DB.p dụng cơng thức tính bán kính của đường trịn ngoại tiếp đa giác đều ta có: DB=

AB
2 Sin180

<i>o</i>

<i>n</i>

=AB

2sin 60<i>o</i>=¿ <i>a</i>

√

3

3

Do góc EDB=EFB=1vEDFB nội tiếp trong đường trịn tâm O đường kính EB.Theo Pi Ta Go trong tam
giác vng EDB có:EB2_=2ED2_=2.( <i>a</i>

√

3

3 )

2_.
EB= <i>a</i>

√

6

3 OE=

<i>a</i>

√

6
6

2/C/m EBMC là thang cân:

Góc EDB=90o_{là góc ở tâm (D) chắn cung EB}

Cung EB=90ogóc ECN=45o.EFC vng cân ở
FFEC=45oMBC=45o(=MEC=45o) EFC=CBM=45oBM//EC.Ta có FBM vng cân ở FBC=EM
EBMC là thang cân.

Do EBMC là thang cân có hai đường chéo vng gócSEBMC= 1₂ BC.EM (BC=EM=a)SEBMC= 1₂ a2.
3/C/m EC là phân giác của góc DCA:

Ta có ACB=60o_;ECB=45o

ACE=15o.

Do BD;DC là phân giác của đều ABC DCB=ACD=30o và ECA=15o ECD=15o ECA=ECDEC là
phân giác của góc ECA.

4/C/m FD là đường trung trực của MB:

Do BED=BEF+FED=45o_{vaø FEC=FED+DEC=45}o

BEF=DEC và DEC=DCE=15o.Mà BE F=BDF(cùng
chắn cung BF) và NED=NBD(cùng chắn cung ND)NBD=BDFBN//DF mà BNEC(góc nt chắn nửa
đuờng trịn (O) DF EC.Do DC//BM(vì BMCE là hình thang cân)DFBM nhưmg BFM vng cân
ở FFD là đường trung trực của MB.

5/C/m:A;N;D thẳng hàng: Ta có BND=BED=45o_{(cùng chắn cung DB) và ENB=90}o_{(cmt);ENA là góc}
ngồi ANCENA=NAC+CAN=45o

ENA+ENB+BND=180oA;N;D thẳng hàng.
6/Gọi diện tích mặt trăng cần tính là:<b>S</b>.

Ta có:<b> S</b> =Snửa (O)-S viên phân EDB
S(O)=.OE2=.( <i>a</i>

√

6

6 )

2₌ <i>a</i>2<i>π</i>

6 S

1

2 (O)= <i>a</i>

2

<i>π</i>

12

S quạt EBD= <i>π ×</i>BD
2_{. 90}<i>o</i>

360<i>o</i> =

<i>π</i>

4<i>×</i>

(

<i>a</i>

√

6

6

)

2
=<i>a</i>
2
<i>π</i>
12

SEBD=
1

2 DB2= <i>a</i>

2

6

—Sviên phân=S quạt EBD - SEDB=

<i>a</i>2<i>π</i>

12

<i>-a</i>2

6 =

<i>a</i>2(<i>π −</i>2)

12

—<b> S</b> = <i>a</i>

2

<i>π</i>

12

<i>-a</i>2_{(π −}₂₎
12 =

<i>a</i>2

6 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

Cho nửa đường trịn (O) đường kính BC.Gọi a là một điểm bất kỳ trên nửa đường tròn;BA kéo dài cắt
tiếp tuyến Cy ở F.Gọi D là điểm chính giữa cung AC;DB kéo dài cắt tiếp tuyến Cy tại E.

1. C/m BD là phân giác của góc ABC và OD//AB.
2. C/m ADEF nội tiếp.

3. Gọi I là giao điểm BD và AC.Chứng tỏ CI=CE và IA.IC=ID.IB.
4. C/m góc AFD=AED

F
A

F
A

B O C

Hay OD là phân giác của  cân AOCODAC.
Vì BAC là góc nt chắn nửa đường trịn BAAC
2/C/m ADEF nội tiếp:

Do ADB=ACB(cuøng chắn cung AB)

Do ACB=BFC(cùng phụ với góc ABC)

Mà ADB+ADE=2vAFE+ADE=2vADEF nội tiếp.
3/C/m: *CI=CE:

Ta có:sđ DCA= 1₂ sđ cung AD(góc nt chắn cung AD) Sđ ECD= 1₂ sđ cung DC (góc giữa tt và 1 dây)
Mà cung AD=DCDCA=ECD hay CD là phân giác của ICE.Nhưng CDDB (góc nt chắn nửa đt)CD
vừa là đường cao,vừa là phân giác của ICEICE cân ở CIC=CE.

*C/m IAD∽IBC(có DAC=DBC cùng chắn cung DC)
4/Tự c/m:

<b>Bài47:</b>

Cho nửa đtrịn (O);đường kính AD.Trên nửa đường trịn lấy hai điểm B và C sao cho cung AB<AC.AC
cắt BD ở E.Kẻ EFAD tại F.

1. C/m:ABEF nt.

2. Chứng tỏ DE.DB=DF.DA.

3. C/m:I là tâm đường tròn nội tiếp CJD.

4. Gọi I là giao điểm BD với CF.C/m BI2_=BF.BC-IF.IC

C
B

1/* C/mBD là phân giác của góc ABC:Do

cung AD=DC(gt)ABD=

DBC(hai góc nt chắn hai cung bằng
nhau)BD là phân giác của góc ABC.

*Do cung AD=DC góc AOD=DOC(2

cung bằng nhau thì hai góc ở tâm bằng
nhau).

D E
I

Hình 47

OD//BA

ADB=AFE

1/Sử dụng tổng hai góc đối.
2/c/m: DE.DB=DF.DA

Xét hai tam giác vuông BDA và FDE có
góc D chung.

BDA∽FDEđpcm.

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

E

I M

A F O D

Gọi M là trung điểm ED.

*C/m:BCMF nội tiếp: Vì FM là trung tuyến của tam giác vuông FEDFM=EM=MD= 1₂ EDCác tam
giác FEM;MFD cân ở MMFD=MDF và EM F=MFD+MDF=2MDF(góc ngồi MFD)

Vì CA là phân giác của góc BCF2ACF=BCF.Theo cmt thì MDF=ACF
BMF=BCFBCMF nội tiếp.

*Ta có BFM∽BIC vì FBM=CBI(BD là phân giác của FBC-cmt) và BMF=BCI(cmt)  BF_BI =BM_BC
BF.BC=BM.BIu

* IFM∽IBC vì BIC=FIM(đđ).Do BCMF nội tiếpCFM=CBM(cùng chắn cung CM) IB_FI =IC_IM
IC.IF=IM.IB v

Lấy utrừv vế theo vế

 BF.BC-IF.IC=BM.IB-IM.IB=IB.(BM-IM)=BI.BI=BI2.
<b>Baøi 48:</b>

Cho (O) đường kính AB;P là một điểm di động trên cung AB sao cho PA<PB. Dựng hình vng APQR
vào phía trong đường trịn.Tia PR cắt (O) tại C.

1. C/m ACB vuông cân.

2. Vẽ phân giác AI của góc PAB<i>(</i>I nằm trên(O);AI cắt PC tại J.C/m 4 điểm J;A;Q;B cùng nằm
trên một đường tròn.

3. Chứng tỏ: CI.QJ=CJ.QP.
4. RR

I
P

J Q
A
R
C

3/C/m: CI.QJ=CJ.QP.

Ta cần chứng minh CIJ∽QPJ vì AIC=APC(cùng chắn cung AC) và APC=JPQ=45oJIC=QPJ
Hơn nữa PCI=IAP( cùng chắn cung PI);IAP=PQJ(cmt) PQJ=ICJ

4/
<b>Baøi 49:</b>

Cho nửa (O) đường kính AB=2R.Trên nửa đường trịn lấy điểm M sao cho cung AM<MB.Tiếp tuyến
với nửa đường tròn tại M cắt tt Ax và By lần lượt ở D và C.

<b>1.</b> Chứng tỏ ADMO nội tiếp.

Hình 47

1/ C/mABC vuông cân:

Ta có ACB=1v(góc nt chắn nửa đt) Và APB=1v ;Do
APQR là hvng có PC là đường chéo PC là pg

của góc APB cung AC=CB dây AC=CB ABC

vuông cân.

2/C/m JANQ nội tiếp:

Vì APJ=JPQ=45o_{.(t/c hv);PJ}

chung;AP=PQPAJ=QPJ

 góc PAJ=PQJ mà JAB=PAJ vaø PQJ+JQB=2v

JAB+JQB=2vJQBA nt.

—
ÂO

B

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

<b>2.</b> Chứng tỏ AD.BC=R2_.

<b>3.</b> Đường thẳng DC cắt đường thẳng AB tại N;MO cắt Ax ở F;MB cắt Ax ở E. Chứng
minh:AMFN là hình thang cân.

<b>4.</b> Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn để DE=EF
F

C
E

M

D

N A O B
1/C/m ADMO nt:Sử dụng tổng hai góc đối.

2/C/m: AD.BC=R2_.

ßC/m:DOC vng ở O: Theo tính chất hai tt cắt nhau ta có ADO=MDO MOD=DOA.Tương tự
MOC=COB.Mà : MOD+DOA+MOC+COB=2v

AOD+COB=DOM+MOC=1v hay DOC=1v.

ßp dụng hệ thức lượng trong tam giác vng DOC có OM là đường cao ta có:DM.MC=OM2_.Mà
DM=AD;MC=CB(t/c hai tt cắt nhau) và OM=R đpcm.

3/Do AD=MD(t/c hai tt cắt nhau)và ADO=ODM OD là đường trung trực của AM hay DOAM. Vì
FAON;NMFO(t/c tt) và FA cắt MN tại D

D là trực tâm của FNODOFN.Vậy AM//FN.

Vì OAM cân ở OOAM=OMA.Do AM//FN FNO=MAO và AMO=NFO FNO=NFO vậy FNAM là
thang cân.

4/Do DE=FE nên EM là trung tuyến của  vuông FDMED=EM.u Vì DMA=DAM và

DMA+EMD=1v;DAM+DEM=1vEDM=DEM hay EDM cân ở D hay DM=DEv.Từ uvà vEDM là
 đều ODM=60oAOM=60o.Vậy M nằm ở vị trí sao cho cung AM=1/3 nửa đường trịn.

<b> </b> ÐÏ(&(ÐÏ

<b>Baøi 50:</b>

Cho hình vng ABCD,E là một điểm thuộc cạnh BC.Qua B kẻ đường thẳng vng góc với DE ,đường
này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K.

1. Chứng minh:BHCD nt.
2. Tính góc CHK.

3. C/m KC.KD=KH.KB.

4. Khi E di động trên BC thì H di động trên đường nào?
A D

Hình 49

1/ C/m BHCD nt(Sử dụng H và C cùng làm với hai
đầu đoạn thẳng DB…)

2/Tính góc CHK:

Do BDCE nt DBC=DHK(cùng chắn cung DC) mà

DBC=45o _{(tính chất hình vuông)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

B E C
H

K

KCB và KHD đồng dạng.

4/Do BHD=1v không đổi E di chuyển trên BC thì H di động trên đường trịn đường kính DB.

<b> </b> ÐÏ(&(ÐÏ

<b>Hết phần I</b>

</div>

<!--links-->