UNG DUNG CUA KIM LOAI QUY

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (125.99 KB, 11 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

A. đặt vấn đề 
I. Lời mở đầu

Xuất phát từ yêu cầu thực tế. Toán học là một mơn khoa học đợc ra đời từ rất sớm.
Tốn học đã góp phần khơng nhỏ trong sự phát triển của các bộ môn khoa học tự nhiên
cũng nh thúc đẩy các bộ môn khoa học xã hội phát triển, nó là nền tảng để xây dựng
nên các mơn khoa học tự nhiên khác, một khoa học chỉ thực sự phát triển nếu nó có
thể sử dụng đợc phơng pháp toán học.

Ngày nay, đứng trớc những yêu cầu và thách thức mới của thời đại thì tốn học lại
càng cần thiết, nó góp phần phát triển nhân cách cũng nh trí tuệ của lớp cơng dân mới,
lớp cơng dân đủ đức, đủ tài để xây dựng và phát triển đất nớc trong thời kỳ mới.

Các dạng bài tập của mơn Tốn ở phổ thơng rất đa dạng và phong phú. Một trong
những dạng toán cơ bản của Đại số khối THCS mà học sinh còn vớng mắc là các bài tốn
có liên quan đến rút gọn phân thức chiếm một phần quan trọng của Đại số lớp 8 và 9.
Nh-ng thực tế khi giải tốn khơNh-ng phải bất cứ phân thức nào ta gặp đều có một dạNh-ng giốNh-ng
nhau. Vì lẽ đó, chơng trình Đại số 8 đã đề cập đến và đa ra một vài dạng cơ bản nhất mà
học sinh có học lực cịn non yếu đơi khi học sinh học lực trung bình vẫn cịn th ờng mắc
sai lầm khi thực hiện tốn về phân thức.

Để góp phần vào việc giải quyết các vấn đề khó khăn trên tơi đã mạnh dạn thực hiện
su tầm tìm tịi những sai lầm của học sinh khi làm bài tập, làm bài kiểm tra khi lên bảng
đúc kết kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy tơi lần lợt tìm ra biện pháp khắc phục và
giải quyết, tiếp đó nâng cao dần dần bằng những bài toán cơ bản ở các dạng toán khác
nhau về phân thức nhằm giúp cho học sinh có học lực yếu kém vợt qua và trở thành học
sinh khá giỏi

II. Thực trạng vấn đề nghiên cứu

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

số về cách giải. Với mục đích giúp học sinh hiểu sâu sắc về phân thức đại số dới nhiều

góc độ hơn và làm giảm nhẹ gánh nặng giải toán về phân thức đại số ở học sinh. Vì vậy
tơi đa ra tên đề tài “Khắc phục sai lầm khi học sinh thực hiện các phép tính về phân
thức đại số .”

B. Giải quyết vấn đề
I. Các biện phỏp thc hin.

1. Tiến hành điều tra:

- Qua thc t giảng dạy mơn tốn lớp 8 năm học 2008 – 2009 ở trờng THCS Nga
Điền và đặc biệt là công tác bồi dỡng học sinh yếu kém, bồi dỡng học sinh học tự chọn
mơn tốn của ba lớp 8B, 8C, 8D đạt chất lợng rất thấp.

- cơ thĨ nh sau

Lo¹i
Líp - sü sè

giái Kh¸ TB Ỹu

S L % S L % S L % S L %

8B 37 2 5.4 5 13.5 8 21.6 22 59.5

8C 36 0 0 7 19.4 9 25.0 20 55.6

8D 35 1 2.9 6 17.1 10 28.6 18 51.4

Tæng sè: 108 3 2.8 18 16.7 27 25.0 60 55.5

Sau khi khảo sát chung, phân tích điểm yếu trong bài làm của học sinh chủ yếu là sai
lầm khi thực hiện các bài toán về phân thức đại số, các em cha biết vận dụng các kiến
thức đã học vào những bài tập cụ thể trong khi đó các bài tốn về phân thức đại số rất đa
dạng không theo một khuôn mẫu giải nhất định.

2. Các biện pháp thực hiện để nâng cao chất lợng học tập.

- Khắc phục những sai lầm khi thực hiện các bài toán về phân thức đại số mà học sinh
thờng vớng mắc.

- Nâng cao và rèn luyện những kỹ năng trên khi thực hiện các bài tốn mà có liên
quan về biến đổi phân thức đại số.

II. C¸c biƯn ph¸p tỉ chøc thùc hiƯn.

* Khắc phục những sai lầm khi thực hiện các bài toán

a. Rút gọn phân thức:

GV lm rừ và yêu cầu học sinh nắm vững tính chất cơ bản của phân thức đại số.
A

B

BM (với M là đa thức khác không)

A
B=

BN (N là nhân tử chung của A và B)

Ví dụ 1. Rót gän ph©n thøc
a) 2 xy+2

4y+2

b) 2 xy+2

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Vì học sinh cha xác định đợc đa thức M; N để rút gọn M; N chính là nhân tử chung cả
tử và mẫu thức nên thực hiện sai là:

a) 2 xy+2

4y+2 =

x

b) 2 xy+2

4y+4 =

x+1

2+2=

x+1

Vì thế giáo viên chỉ ra ®iĨm sai sãt cđa häc sinh vµ ®iỊu chØnh nh sau:

Học sinh thảo luận nhón và dựa vào tính chất cơ bản của phân thức các em thảo luận
để sác định đa thức N và thực hiện các bớc sau:

Bớc 1: Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử
Bớc 2: Chia cả tử và mẫu thức cho nhân tử chung
chú ý phải xác định rõ các đa thức A, B, N ,M và
Tiến hành giải nh sau:

a) 2 xy+2

4y+2 =

2(xy+1)

2(2y+1)=

xy+1

2y+1

b) 2 xy+2

4y+4 =

2(xy+1)

4(y+1)=

2(xy+1)

2. 2(y+1)=

xy+1

2(y+1)

VÝ dơ2: Thùc hiƯn phÐp tÝnh

(x2- 1) ( 1

x −1−
1

x+1−1)

Học sinh cha thành thạo phép nhân đơn thức với đa thức dẫn đến thực hiện phép cộng
trừ các phân thức sai:

(x2- 1) ( 1

x −1−
1

x+1−1)

=(x2-1)

(

x+1− x+1−(x −1)(x+1)

x2−1

)

=(x2+1)

(

xx22−−11

)

=¿ x

2-1

Giáo viên đa ra thảo luận với lớp và thực hiện đợc kết quả là theo các bớc thực hiện
nh sau:

(x2- 1) ( 1

x −1−
1

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

¿(x2−1)

(

x+1− x+1−(x+1)(x −1)

x2−1

)

(x2−1)

(

2− x

2
+1

x2−1

)

(x2−1)

(

3− x

x2−1

)

3− x2

Nh vậy cơ bản của học sinh cha thành thạo việc nhân đơn thức với đa thức ngồi ra
cịn thiếu sót ở chỗ “khi phá ngoặc đằng trớc ngoặc có dấu “-” mà không đổi đấu các
hạng tử trong ngoặc”

vÝ dơ 3: Thùc hiƯn phÐp tÝnh

(

2x+1

2x −1−
2x −1

2x+1

)

4x

10x −5

HS cha thành thạo việc nhân đơn thức với đa thức dẫn đến kết quả làm sai từ bài toán
thực hiện các phép tớnh nhõn sau .

Trờng hợp học sinh làm sai là

(

2x+1

2x −1−
2x −1

2x+1

)

4x

10x −5

¿(2x+1)(2x+1)−(2x −1)(2x −1)

(2x −1)(2x+1) :

4x

10x −5
¿=4x

+1−4x2−1

4x2−1 .

5(2x −1)

4x =0

học sinh đã thực hiện sai từ khâu nhân đa thức với đa thức hơn nữa học sinh cha có
tính linh hoạt khi tính toán nếu học sinh vận dung hằng đẳng thức đáng nhớ thì đơn giản
rất nhiều ở chỗ (2x+1)(2x+1) = (2x+1)2

Giáo viên yêu cầu thảo luận nhóm học sinh thực hiện đúng là:

(

2x+1

2x −1−
2x −1

2x+1

)

4x

10x −5

2x −1¿2
¿

¿(2x −1)(2x+1): 4x

10x −5
2x+1¿2−¿

¿
¿
¿ ¿

= 2 . 4x

4x2−1 .

5(2x −1)

4x

Thùc hiÖn phÐp tÝnh
céng trõ trong ngoặc
Thu gọn

Làm tính nhân
Kết quả thu gọn

Quy đồng mẫu thức trong
ngoặc

Thùc hiÖn phÐp tÝnh céng
trừ trong ngoặc

Thu gọn
Làm tính nhân
Rút gọn

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

= 10(2x −1)

(2x −1)(2x+1)

= 10

2x+1

VÝ dơ 4. Thùc hiƯn phÐp tÝnh 
x+2

x −1−

x −9

x −1−

x −9
1− x

HS cha thành thạo về phân thức đối dẫn đến thực hiện phép tính về phân thức sai hoặc
cha phù hợp ở các trờng hợp sau:

“Giáo viên treo bảng phụ có nội dung sau để học sinh thảo luận”
(1) x+2

x −1−

x −9

x −1−

x −9
1− x

= x+2
x −1+

− x −9
1− x +

− x −9

1− x ( Sai đổi dấu khi có đấu “-” trớc ngoặc )

( 2) x+2
x −1−

x −9

x −1−

x −9
1− x

= x+2
x −1+

x −9

1− x+

x −9

1− x ( Sai khơng tìm phân thức đối )

(3) x+2
x −1−

x −9

x −1−

x −9
1− x

= x+2
x −1+

9− x

1− x+

9− x

x −1 (Biến đổi 2 lần đối của 1 phân thức )

(4) x+2
x −1−

x −9

x −1−

x −9
1− x

= x+2
x −1+

− x+9

1− x +
− x+9

1− x (Học sinh cha vận dụng cha linh hoạt về phân thức
đối bài dẫn đến thực hiện thêm một bớc tiếp là quy đồng)

Sau đó học sinh thực hiện lại là :
x+2

x −1−

x −9

x −1−

x −9

1− x =

x+2

x −1+

x −9

x −1+

x −9

x −1 =

3x+2

x −1

Tóm lại học sinh phải thực hiện bài này thì phải thành thạo về tìm phân thức đối
Phân thức đối của phân thức A

B là
 A

B hoặc
A

B hoc -
A
B
áp dụng vào từng trờng hợp để vận dụng

b. Phõn thc nghch o

Học sinh cần nắm chắc lí thuyết
Nếu A

B là phân thức khác 0 th×
A
B.

B
A=1

Do đó A

B là phân thức nghịch đảo của phân thức
B

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

B

A là phân thức nghịch đảo của phân thức
A
B
Ví dụ 5: Tìm phân thức nghịch đảo của các phân thức sau:

a) −5x2

2y b)

x2−2x −3

2x −5 c)
1

5x+1 d)x+7

Sau khi học sinh nắm chắc cách thực hiện vận dụng qui tắc trên dẫn đến thực hiện
phép tính chia và nắm quy tắc chia nh sau

Qui t¾c :

Muèn chia ph©n thøc A

B víi ph©n thøc
C

D 0 Ta nh©n
A

B với phân thức
nghịch đảo của phân thức C

D
A
B :
C
D =
A
B .
D

C víi
C
D≠0
VÝ dơ 7. Lµm tÝnh chia:

4x

5y :

6x

5y:

2x

3y

Häc sinh cã thĨ thùc hiƯn sai trong các trờng hợp nh sau

Hc sinh bin i nghch đảo cả phân thức bị chia và phân thức chia, cịn phân thức
cuối cùng cũng khơng nghịch đảo dẫn đến kết quả bài toán sai trong các trờng hợp sau

4x

5y :

6x

5y:

2x

3y =

5y

4x2 .

5y

6x .

3y

2x

4x

5y :

6x

5y:

2x

3y =

4x2

5y .

5y

6x .

2x

3y
Giáo viên đặt ra các câu hỏi dẫn dắt.

Câu hỏi1. Phân thức nghịch đảo của phân thức
6x

5y là phân thức nào ? ( Là phân thức

5y

6x )
Cõu hi2. Phõn thc nghịch đảo của phân thức

2x

3y là phân thức nào? ( Là phân thức

3y

2x )
Câu hỏi3. Råi ghÐp thµnh phÐp tÝnh ?

4x

5y :

6x

5y:

2x

3y =

4x2

5y .

5y

6x .

3y

2x
VÝ dơ 8. Lµm tÝnh chia:

3x3+3

x −1 : (x

2- x + 1)

Häc sinh cã thĨ thùc hiƯn sai

3x3+3

x −1 : (x

2-x+1) = 3x
3

x −1 .

x2− x+1

Hc x −1

3x3+3 .

x2− x
+1

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Nguyên nhân học sinh cha tìm thành thạo phân thức nghịch đảo của phân thức chia là
biểu thức nguyên.

Nªn trong quá trính thực hiện giáo viên cần hớng dẫn cụ thĨ häc sinh tõng bíc

? Phân thức nghịch đảo của phân thức (x2-x+1) là phân thức nào? ( Là phân thức

x2− x+1 )

? Thùc hiÖn phÐp tÝnh nh thÕ nµo?
3x

3
+3

x −1 : (x

2-x+1)

= 3x3+3
x −1 .

x2− x+1

= 3(x+1)(x

− x+1)

x −1 .
1

x2− x+1

= 3(x+1)
x −1

* Nâng cao và rèn luyện kỹ năng trên khi thực hiện một số bài toán về cộng, trừ ,
nhân, chia ... các phân thức đại số

1. áp dụng giải các bài toán cơ bản.
Dạng 1: Rót gän ph©n thøc

VÝ dơ 1: ( 5x+y
x2−5 xy+

5x y
x2+5 xy .

x225y2
x2

+y2

Để thực hiện phép tính này ta cÇn thùc hiƯn bíc nh sau
1. Thùc hiƯn phÐp tÝnh trong ngc

(a) Quy ng

Phân tích các Tìm nhân tử phụ Nh©n NTP víi PT
mÉu thøctnt t¬ng øng

(b) Céng c¸c tư thøc l¹i víi nhau

2. Thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh tiÕp theo
nh nh©n chia rót gän ...

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

5y¿2
¿
¿x2+y2

(5x+y)(x+5y)+(5x − y)(x −5y)

x(x −5y)(x+5y) .

(x −5y)(x+5y)

x2+y2

x2−

¿
¿

(

x5(x −x+5yy)+

5x − y
x(x+5y)

)

.¿

Ví dụ 2:Tìm điều kiện x để phân thức sau xác định và chứng minh rằng với điều kiện đó
biểu thức khơng phụ thuộc vào biến :

x −1

x2+2x+1

x +

2x+2

x

b ,
x
x+1+

x −1
2x+2

x −1 −
4x
x2−1

Học sinh phải nắm đợc qui trình phân thức P

Q xác định khi nào
Phân thức P

Q xác định khi giá trị của phân thức xác định còn giá trị của Q xác
định và khác 0

x xác định khi x 0 ; còn giá trị của

x2+2x+1

x −

2x+2

x =
x2−1

x Khi x 0vµ x

2-1 0. Do đó điều kiện của x là x 0

x ± 1 với điều kiện đó ta có
x −1

x2

+2x+1

x +

2x+2

x

= x

−1

x :

x2−1

x =1

b, x

x+1+

x −1=

x2+1

(x+1)(x −1) có giá trị xác định khi x ± 1

x+1¿2−4x
¿
2¿
2x+2

x −1 −
4x
x2−1=¿

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

x
x+1+

x −1
2x+2

x −1 −

4x
x2−1

= x

2
+1
(x+1)(x −1):

2(x2+1)
(x+1)(x −1)=

1
2

VÝ dơ 3 :

M= x

5−2x4

+2x3−4x2−3x+6

x2+2x −8

a. Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức đợc xác định
b. Rút gọn phân thức

c. Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 0
 Giải

a. Giá trị của M đợc xác đinh khi :
 x2 +2x -8 0

hay (x2+2x+1)2-9 0

hay (x+1)2 -9 0

hay (x-2)(x+4) 0

Suy ra x-2 0 và x+4 0 do đó x 2 và x -4

Vậy với điều kiện x 2 và x -4 thì giá trị của phân thcs m đợc xác định
b. Ta có x5 - 2x4 +2x3 - 4x2 -3x +6 = x4(x-2) + 2x2( x- 2)-3(x - 2).

= (x - 2)(x4 + 2x2 -3)

= (x - 2) x

+1¿2−4
¿
¿

= (x-2)(x2 + 3)(x2 - 1)

=(x - 2 )(x2 +3)(x - 1)(x + 1)

VËy M= ¿(x - 2 )(x

+3)(x - 1)(x + 1)
(x-2)(x+4) =

(x2+3)(x 1)(x+1)

x 4

c. Giá trị của phân thức M bằng 0 khi tử bằng 0 và mẫu khác 0

Ta có x2 +3 >0 với mọi x , do đó(x2 +3)(x - 1)(x + 1)=0 Khi x=1 , x= -1. Hai giá trị

này của x đều thỏa điều kiện để mẫu thức khác 0
Vậy với x=1 , x=-1 thì M= 0

D¹ng 2: Chøng minh:
VÝ dơ 4 ;

a. Cho a, b, c vµ x, y, z là các số khác 0 thỏa mÃn ®iỊu kiƯn
a+b+c=0 ; x+y+z=0 vµ x

a+
y
b+

z

c=0
Chøng minh r»ng a2x+b2y+c2z=0

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

x=by +cz ; y=ax+cz; z=ax+by; x+y+z=0 th× 1

1+a+

1
1+b+

1+c=2

Híng dÉn cơ thĨ :

a, Ta cã a+b+c=0 ⇒ ( a+b+c)(ax + by + cz)=0

⇔ a2x + b2y + c2z + ab(x+y) + ac(z+x) + bc(y+z)

Thay x+y=-z; x+z=-y; y+z=-x vào đẳng thức ttrên ta đợc
a2x + b2y + c2z –abz – acy – bcx

⇔ a2x + b2y + c2z-abc

(

ax+

y
b+

z

c

)

=0
mµ

(

x

a+
y
b+

z

c

)

=0 do đó a2x + b2y + c2z=0
b, Từ đề bài suy ra

x+y=2cx + ax + by=2cz + z

hay 2cz = x + y – z ; do đó c = x+y − z

2z ⇒ 1+c=

x+y+z

2z

nên 1

1+c=

2z
x+y+z

Tơng tự 1

1+a=

2x
x+y+z ;

1
1+b=

2y
x+y+z

vậy 1

1+a+

1
1+b+

1
1+c=

2(x+y+z)

x+y+z =2

C. kết luận

I. Kết quả nghiên cøu:

Sau khi hớng dẫn học sinh thực hiện theo phơng pháp trên thì tơi thu đợc kết quả
học tập của các em ở cuối năm học nh sau:

Lo¹i
Líp - sü sè

giái Kh¸ TB Ỹu

S L % S L % S L % S L %

8B 37 5 13.5 8 21.6 15 40.5 9 24.4

8C 36 4 11.1 12 33.3 15 41.6 5 14.0

8D 35 6 17.1 10 28.6 14 40.0 5 14.3

Tæng: 108 15 13.9 30 27.7 44 40.7 19 17.7

II. Tính hiệu quả so với cách dạy tríc.

- Sè häc sinh cã häc lùc giái khi häc xong chơng này tăng 12 häc sinh/ Tæng sè:
108HS.

- Sè häc sinh cã häc lùc kh¸ khi häc xong ch¬ng này tăng 12 học sinh/ Tæng sè:
108HS.

- Sè häc sinh học lực trung bình tăng lên : 17 Học sinh/ Tæng sè 108 HS
- Sè häc sinh cã häc lùc u, kÐm gi¶m 41 häc sinh/ Tỉng sè: 108HS.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

nhiều thiếu thốn, vì vậy khơng thể tránh khỏi những thiếu sót trong q trình giảng

dạy cũng nh thực hiện đề tài này. Vì vậy tơi rất mong đợc sự đóng góp bổ sung các ý
kiến để đề tài đợc ứng dụng một cách có hiệu quả hơn trong cụng tỏc ging dy.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Nga Điền, ngày 12 tháng 04 năm 2009

Ngời viết sáng kiến

</div>