Tài liệu DE+DAP THI HSG TOAN 9

UBND huyện A Lưới KỲ THI HỌC SINH GIỎI BẬC THCS NĂM HỌC 2008 - 2009
Phòng GD & ĐT A Lưới Môn: TOÁN - Lớp 9
Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian phát đề )
ĐỀ CHÍNH THỨC:
Câu 1: ( 1 điểm ). Tìm các giá trị của x để biểu thức sau đây có nghĩa:


2
2
x
1x6x7- ++

Câu 2: ( 2 điểm ). Cho biểu thức:
A = [(
y
1
x
1
+
).
y
1
x
1
yx
2
++
+
] :
33
33

xyyx
yyxxyx
+
+++
a. Tìm điều kiện để A xác định.
b. Rút gọn A
c. Cho xy = 6. Xác định x, y để A có giá trị nhỏ nhất.
Câu 3: ( 2 điểm ). Giải phương trình:
1x43x -++
+
1-x6 -8x +
= 5
Câu 4: ( 2 điểm ). Giải bài toán cổ:
Trăm trâu trăm cỏ
Trâu đứng ăn năm
Trâu nằm ăn ba
Lụ khụ trâu già
Ba con một bó
Tính số trâu mỗi loại.
Câu 5: ( 2 điểm ). Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có MD = MC (M € DC);
MBC = CAB và AB = BD. Hãy tính các góc của hình thang.
Câu 6: ( 1 điểm ). Chứng minh rằng nếu x = sin
α
(0 <
α
< 90
0
) thì:
αcos-
αcos

1
x-1
x
2
2
=
…………………………………………Hết………………………………………………
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu Nội dung Điểm
Câu 1
Điều kiện để biểu thức có nghĩa là: - 7x
2
+ 6x + 1
≥
0 (1) và x
≠
0 (2)
Để giải quyết (1) ta có: - 7x
2
+ 6x + 1 = -(x - 1)(7x + 1)
Ta có bảng xét dấu:
x -
7
1
1
x - 1 - - 0 +
7x + 1 - 0 + +
(x - 1)(7x + 1) + 0 - 0 +

- 7x
2
+6x + 1 - 0 + 0 -
Như vậy - 7x
2
+6x + 1
≥
0
⇒
-
1x
7
1
≤≤
, kết hợp với (2) ta có:
-
x
7
1
≤
< 0 và 0 < x
≤
1
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 2
a. x > 0; y > 0
b. * (

y
1
x
1
+
)
yx
2
+
=
xy
xy2
xy
2
=
* (
y
1
x
1
+
)
yx
2
+
+
( )
xy
yx
xy

yxy2x
y
1
x
1
xy
xy2
y
1
x
1
2
+
=
++
=++=+
*
xyyxyx
yyyxxyxx
xyyx
yyxxyx
33
33
+
+++
=
+
+++
=
( ) ( )

( )
( )
( )
( )
xy
yx
yxxy
yxyx
yxxy
yxyyxx +
=
+
++
=
+
+++
Vậy A =
( )
xy
yx
2
+
:
xy
yx +
=
( )
xy
yx
2

+
.
xy
yx
yx
xy +
=
+
c. Vì xy = 16
4yx4xy =⇒=⇒
Hai số dương
x
,
y
có tích
yx
= 4 không đổi nên tổng
yx +
Có giá trị nhỏ nhất khi
2yx ==
1
4
22
A =
+
=⇒
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 3
Ta viết x + 3 + 4
=1-x
x - 1 + 4
41-x +
Với nhận xét (
1-x
)
2
= x - 1
Ta có: x - 1 + 4
41-x +
= (
1-x
)
2
+ 2.2
1-x
+ 2
2
⇒
x + 3 + 4
1-x
= (
1-x
+ 2)

2
Tương tự ta có: x + 8 - 6
1-x
= (
1-x
- 3)
2
Phương trình trở thành:
( ) ( )
1≥x,53-1-x21-x
2
2
=++
1≥x,53-1-x21-x⇒ =++
- Với
10≥x⇒9≥1-x ⇒0≥3-1-x
Phương trình trở thành:
53-1-x21-x =++
0,25
0,25
0,5
0,25