phép tính vi phân hàm

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.31 MB, 12 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM

MỘT BIẾN

CHƯƠNG 2

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đạo hàm tại một điểm

• Định nghĩa:Đạo hàm của hàm f tại điểm a, ký hiệu
f’(a) là:

(nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn).
• Chú ý:đặt h=x-a, ta có:

' lim

x a

f x f a

f a

x a

' lim

h

f a h f a
f a

h

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Tìm đạo hàm của hàm:
tại a=2 theo định nghĩa.

Ta xét giới hạn sau:

Vậy:

2 8 9

f x x x

0 0

2 8 2 9 3 4

lim lim 4

h h

h h h h

h h

' 2 4

f

2 2

lim
h

f h f

h

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đạo hàm phải – trái

• Đạo hàm trái của f(x) tại a là:

• Đạo hàm phải của f(x) tại a là:

' lim lim

x a h

f x f a f a h f a

f a

x a h

' lim lim

x a h

f x f a f a h f a

f a

x a h

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Định lý

• Định lý:Hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm a khi và
chỉ khi nó có đạo hàm trái; đạo hàm phải tại a và

hai đạo hàm này bằng nhau.

• Định lý:Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại a thì hàm
số liên tục tại a. Chiều ngược lại có thể không
đúng.

' ' '

f a L f a f a L

' lim

x a

f a L f x f a

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Cho hàm số:

Tìm

Ta có:

Vậy khơng tồn tại đạo hàm của hàm số tại 0.

1/ , 0

0 , 0

x

e x

f x

x

' 0 ; ' 0

f f

0 0

0 0 0

' 0 lim lim lim 0

0 0 0

' 0 lim lim

h

u
h

u

h h

f h f e u

f

h h e

f h f e

f

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm số đạo hàm

• Với a cố định ta có:

• Thay a bằng x ta có:

• Với mỗi giá trị khác nhau của x ta tính được f’(x) nếu

giới hạn tồn tại hữu hạn. Như vậy giá trị của f’(x) phụ
thuộc vào biến độc lập x nên có thể xemf’là một hàm
theo x và gọi làđạo hàm của hàm f.

' lim
h

f a h f a

f a

h

' lim

h

f x h f x

f x

h

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm số đạo hàm

• Hàm số đạo hàm của hàm y=f(x).

• Ký hiệu:

• Tập xác định của hàm f’ là tập các giá trị của x sao cho
f’(x) tồn tại. Nó có thể nhỏ hơn TXĐ của hàm số f(x).

'; ';df dy; ; d

f y f x

dx dx dx

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ 1

• Tìm hàm số đạo hàm của hàm y=x2.
• Ta có:

• Giới hạn này tồn tại hữu hạn với mọi x thuộc
TXĐ.

• Vậy đạo hàm của hàm số:

2 2

0 0

lim lim 2

h h

f x h f x x h x

x

h h

' 2

y x

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ 2

• Tìm đạo hàm của hàm:

• Ta có:

• Vậy:

• Chú ý: tập xác định của hàm f(x) là: [0;)

0 0

' lim lim

h h

f x h f x x h x

f x

h h x

' . D : 0;

f x TX

x

f x x

Qui tắc tính đạo hàm 1

• Cho u, v là hai hàm theo x. Khi đó đạo hàm theo x của
các hàm sau là:

• Đạo hàm dạng:uv

• Cách tính:lấy logarit Nêpehai vế hàm số:
2

. ' ' ' . ' . '

'. . '

. . ' '. . ' .

i u v u v ii ku k u

u u v u v

iii u v u v u v iv

v v

'
'. ln .

v v u

u u v u v

u

v

y u

Qui tắc tính đạo hàm 2

• Đạo hàm của hàm hợp:

• Ví dụ: Hàm là hàm hợp của 2 hàm:

Vậy:

0 x g. x

y f g x y f g

ln cos

y x

ln ; cos

f x x g x x

. . sin tan

cos
x g x

y f g x x

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Cơng thức tính đạo hàm 1

1. 0 2. .

1
4. ln

5. sin cos
6. cos sin

1
7. tan
cos
1
8. cot
sin
x x

C x x

e e

x
x
x x
x x
x
x
x
x

Đạo hàm hàm hợp

2
3. . '

1
4. ln . '
5. sin '. cos
6. cos sin

1
7. tan . '

cos
1
8. cot . '

u u

e e u

u u

u

u u u

u u
u u
u
u
u
u
u

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Cơng thức tính đạo hàm 2

2
9. . ln

1
10. log
. ln
1
11. arcsin
1
1
12. arccos
1
1
13. arctan
1
1
14. arc cot

x x

a

a a a

x
x a

x
x
x
x
x
x
x
x

Đạo hàm hàm hợp
9.

10. log
11. arcsin
12. arccos
13. arctan
14. arc cot

u
a
a
u
u
u
u
u

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Tìm f’(x) biết:

• Ta có:

3
ln
1 cos
x
e
f x
x
1

ln 1 cos
3

1 sin 1 sin

' 1 1

3 1 cos 3 1 cos

y x x

x x

y

x x

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Tìm f’(x) biết:

• Ta có:

• Vậy:

3 4 7

1
. sin

x

f x y

x x

ln ln 1 ln 7 ln sin
3

' 2 4 7 cos

3 sin
1

y x x x

y x x

y x x x

3 4 7

2 4 7 cos

' 1 .

. sin 1 3 sin

x
x
x
y

x x
x
x
x

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm số cho bởi tham số

• Hàm số y=f(x) thỏa điều kiện:

• Khi đó hàm số đã cho gọi là hàm cho bởi phương trình
tham số.

• Ví dụ:Cho hàm

Đặt: ta có dạng tham số sau:

x x t

y y t

lnx
y
x
t
x e
t
t
x e

t
y
e

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Cơng thức đạo hàm tham số

• Cho hàm y=f(x) dạng tham số:

• Khi đó:

• Ví dụ:

x x t

y y t

/
/
t
x
t
y

dy dy dt

y

dx dx dt x

2 2

1
1

1 1 ln
t

t

t t

t

x t t

x e
t
y
e
t
t x
e
y

e e x

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đạo hàm của hàm ngược

• Hàm số có hàm ngược là:

• Khi đó:

• Ví dụ 1:Hàm y=arctanx có hàm ngược x=tany

x f y

1 1

y x

x y

y x

2 2

1 1 1

1 tan 1
x

y

x y x

y f x

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đạo hàm của hàm ngược

• Ví dụ 2:Hàm y=arcsinx có hàm ngược x=siny

• Ví dụ 3:Hàm y=arccosx có hàm ngược x=cosy

2 2

1 1 1 1

cos 1 sin 1

2 2

x
y
y

x y y x

do y

2 2

1 1 1 1

sin 1 cos 1

0
x

y
y

x y y x

do y

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm ẩn

• Hàm y=f(x) với x(a;b) là hàm ẩn cho bởi phương
trình F(x,y)=0 nếu thay y=f(x) vào ta được đẳng
thức đúng.

• Nghĩa là: F(x, f(x))=0 với x(a;b).

• Ví dụ:Phương trình:

xác định hai hàm ẩn:

2 2

, 1

F x y x y

1 1 , 1;1

y x x

2 1 , 1;1

y x x

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đạo hàm hàm ẩn

• Cho phương trình: F(x;y)=0

• Để tính: y’x

• B1. Lấy đạo hàm hai vế phương trình theo x.
Chú ýy là hàm theo x.

• B2. Giải phương trình tìm y’.

• B3. Để tính y’(a) ta thay x=a vào phương trình.
Ví dụ:Cho phương trình:

Tính đạo hàm của y theo x.

3 ln 2y 0

x y x e

Đạo hàm hàm ẩn

• B1. Lấy đạo hàm theo x

• B2. Giải tìm y’

3 ln 2y 0

x

x y x e

2 2

* 3 2 . . 0

3 2 . 1 0

3 2 .

y y

y

x y xy e x ye

x y xy e x

y y

ye
x y xy e

y

x ye
y

2 ' 2

3x y 2x.ey ey.y'.x 0 *
y

Đạo hàm hàm ẩn

• B3. Tính y’(0).

• Ta có:

• Thay x=0 và y(0)=1 vào ta có:

3 ln 2 0

0 ln 0 1 0

y

x y x e

x y y y

3 2 .

1
y

y
x y xy e
y

x ye

1
1

1 1

0 0

3. . 2. . .

' 0 0

. 1

0.1
e
y

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đạo hàm cấp cao

• Cho f là hàm khả vi. Đạo hàm (nếu có) của f’ gọi
làđạo hàm cấp 2của hàm số f(x).

• Ký hiệu:

• Đạo hàm cấp 3của hàm f là đạo hàm của đạo
hàm cấp 2.

2
2

d df d f

f f

dx dx dx

2 3

d d f d f

f f

dx dx dx

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đạo hàm cấp cao

• Đạo hàm cấp ncủa hàm f là đạo hàm của đạo
hàm cấp (n-1).

• Ví dụ: Cho hàm:

Tìm đạo hàm cấp n của hàm số.
Giải:

1
1

n n

d d f d f

f f

dx dx dx

.x
f x x e

.x . x x .x 1 x

f x x e x e e x e x e

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đạo hàm cấp cao

• Ta có:

• Tương tự:

• Tổng qt:

1 x x 1 x 2 x

f x x e e x e x e

3 x; 4 x

f x x e f x x e

n x

f x x n e

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đạo hàm cấp cao thường gặp

) 1 ... 1

1 1

) 1 !

) .

1 !

) ln 1

) sin . sin
2
) cos . cos

n n

n
n

n

n
ax n ax

n n

n

n n

i x a n x a

ii n

x a x a

iii e a e

n

iv x

x

v ax a ax n

vi ax a ax n

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Chú ý

) 1 ... 1 .

1 !

) ln 1 .

) sin . sin

) cos . cos

n

n n

n n

n

n n

n

i ax b n ax b

n

iv ax b

ax b

v ax b a ax b n

vi ax b a ax b n

a
a

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Tính đạo hàm cấp n của:

1 1

) )

3 2
1

a f x b g x

x x

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đạo hàm cấp cao hàm ẩn

• Biết: . CM:

• Đạo hàm 2 vế theo x:

• Do đó:

• Thay y’ vào:

4 4 16

x y 2

7
48x
y

y
3

3 3

3
4x 4 . 'y y 0 y' x

y
2

3 2 3 3 2

3 6 4

3 '

3 3 . ' x xy y

x x y x y y

y

y y y

2 4 4 2

4 7 7

3 48

x x y

x x y x

y y

x
y
y

y

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đạo hàm cấp cao tham số

• Ta đã biết:

• Theo cơng thức đạo hàm hàm hợp:

• Do đó:

'
'
t
x

t

x x t y

y

y y t x

. . x t

x t x x t x t x

t
y

y y x y x y

x

. .

t t t

x

t

y x y x

y

x

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Tìm y’’ biết:

• Ta có:

• Vậy:

2
sin

x t

y t

cos ; sin

2 ; 2

t t

x t x t

y t y

3 3

2 ;
cos

2. cos 2 sin 2. cos 2 sin
cos
cos

x

x
t
y

t

t t t t t t

y

t
t

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Cơng thức Leibnitz

• Dễ thấy:

• Mở rộng:

. . .

. . . . 2 .

f g f g g f

f g f g g f f g f g f g

. .

n

n k k n k

n
k

f g C f g

Gần giống khai triển nhị thức Newton

Ví dụ

• Tính đạo hàm:

3 3 2 2 3

3 4 3 2 2 3 4

. 3 . 3 .

. 4 . 6 . 4 .

f g f g f g f g g f

f g f g f g f g f g g f

2 1 sin ???

f x x x f x

VI PHÂN

• Vi phân tại một điểm

• Vi phân trên một khoảng

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Vi phân tại một điểm

• Định nghĩa. Hàm số f(x) gọi là khả vi tại x0nếu:

0 0 . 0

f x h f x Ah h

: hằng số hữu hạn
VCBù bậc cao hơn
Người ta còn ký hiệu là .

0
0

0 : . lim 0

h

A

h

h h

h

h x

0 0 . 0

f x x f x A x x

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Vi phân tại một điểm

• Cho hàm f khả vi tại x0. Khi đóA.hgọi làvi phân

củahàm số f(x) tại x0.

Ký hiệu:

Định lý:Hàm y= f(x) khả vi tại x0khi và chỉ khi tồn

tại f’(x0).

Ta chứng minh được:

0
0

.
.

df x A h

hay df x A x

A f x

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Vi phân tại một điểm

• Vi phân của hàm số f(x)tại x0.

• Tính chất:

0 0

' .
' .

df x f x h

hay df x f x x

) 0

)
)
)
)

i d C

ii d f df

iii d f g df dg

iv d fg gdf fdg

f gdf fdg

v d

g g

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Vi phân của hàm hợp

• Cho hàm hợp:

• Vi phân:

• Hai cơng thức này có dạng giống nhau

• Vậy vi phân cấp 1 có tính bất biến.

f u x hay f u x

. . ' ' .

df f x dx f u u x dx f u du

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ứng dụng vi phân

0
y

x x0 x

f x

f x x

x

0 0

f x x f x

f

' .

f x x

' . 0

f f x x khi x

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ứng dụng vi phân tính gần đúng

• Cho hàm f(x) khả vi trong lân cận của x0. Ta có:

• Hay cơng thức:

0 0 ' 0 .

f x x f x f x x

0 ' 0 . 0

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Cho hàm số:

a) Tính vi phân cấp 1 của hàm số tại x0=1

b) Tính gần đúng:
Giải:

f x x

4, 03

1 1

2 3 2 3

f x df x dx

x x

1 1 1

1 1

4 4

2 1 3

df dx dx x

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Cho hàm số:

a) Tính vi phân cấp 1 của hàm số tại x0=1

b) Tính gần đúng:
Giải:

Nếu tính bằng máy tính:
3

f x x

4, 03

1 1

1 0, 03

4, 03 1, 03 1 1, 03 1 2 2, 0075

4 4

f x f x

f f

4, 03 2, 00748599..

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Vi phân cấp cao

• Vi phân cấp 1:

• Là một hàm theo x. Nếu hàm số này có vi phân thì vi
phân này gọi là vi phân cấp 2 của hàm f(x).

• Vậy:

• Tương tự vi phân cấp n là vi phân của vi phân cấp
(n-1).

df x f x dx

2
'

. ' . .

d f x d df d f x dx

dx d f x dx f x dx f x dx

1 n .

n n n

d f x d d f f x dx

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Vi phân cấp cao của hàm hợp

• Cho hàm hợp: f(g(x)).

• Vi phân cấp 2:
2

2 2

' . ' .

d f d df d f u du

d f u du f u d d u
f u du f u d u

2 2

d f x f x dx

CÁC ĐỊNH LÝ HÀM KHẢ VI

• Định lý về giá trị trung bình (tham khảo)

• Cơng thức Taylor

• Qui tắc L’ Hospitale

Định lý Fermat

• Cho hàm số y=f(x) xác định trong lân cận x0.
• Nếu f(x) đạt cực đại tại x0và có đạo hàm tại x0

thì:

' 0

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Định lý Rolle

• Nếu hàm f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b)
và f(a)=f(b) thị tồn tại điểm c thuộc (a,b) sao
cho f’(c)=0

• Đặc biệt nếu f(a)=f(b)=0 thì định lý Rolle có
nghĩa giữa hai nghiệm của hàm số có ít nhất
một nghiệm của đạo hàm.

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Định lý Lagrange

• Nếu f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì
tồn tại c thuộc (a,b) sao cho:

f b f a

f c
b a

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Định lý Cauchy

• Nếu f(x), g(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong
(a,b) và g(x) khác 0 trên (a,b) thì tồn tại c thuộc
(a,b) sao cho:

'
'

f b f a f c

g b g a g c

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Cơng thức Taylor

• Khai triển một hàm số phức tạp thành dạng
đơn giản

• Khai triển hàm phức tạp thành hàm đa thức.

• Ví dụ:khai triển Taylor tại x=0

2 5 1 2 1

2 3

arctan ... 1 0

3 5 2 1

1 ... 0

2 ! 3 ! !

n

n n

n

x n

x x x

n

x x x

e x x

n

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Công thức Taylor

Cho hàm số f(x):

• Liên tục trên [a,b]

• Có đạo hàm đến cấp n+1 trên (a,b)

• Xét x0(a,b). Khi đó trên [a,b] ta có:

0 0

0 0 0

1
0

0 0

' "

1! 2 !

...

! 1 !

n n

f x f x

f x f x x x x x

f x f c

x x x x

n n

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Phần dư trong cơng thức Taylor

• Dạng Lagrange:

• Dạng Peano: (thường dùng hơn)

0
1 !

n

n
n

f c

R x x

n

lim n 0

n
x

R

x x 0

0 n

n

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Cơng thức Maclaurin

Cho hàm số f(x):

• Liên tục trên [a,b]

• Có đạo hàm đến cấp n+1 trên (a,b)

• Xét x0=0(a,b). Khi đó trên [a,b] ta có:

' 0 " 0 0

0 ... 0

1! 2 ! !

n

n n

f x

f f f

f x x x x

n

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Cơng thức L’Hospital

• Áp dùng tìm giới hạn dạng:

Định lý: Cho giới hạn: có dạng

Nếu thì

lim ;

lim lim

x a

x a x a

f x
g x

f x f x

L L

g x g x

0;
0

lim lim

x a x a

f x f x

L

g x g x

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

• 1. Ý nghĩa của đạo hàm

• 2. Giá trị cận biên

• 3. Hệ số co dãn

• 4. Lựa chọn tối ưu trong kinh tế

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

1. Ý nghĩa của đạo hàm

• Cho hàm số y=f(x)

• Tại x0khi x thay đổi một lượng Δx
• Thì y thay đổi: Δy = f(x0+ Δx)-f(x0)

• Tốc độ thay đổi của y theo x tại điểm x0chính là

đạo hàm f’(x0)

0 0

0 0

' lim

x

f x x f x

f x

x

0
'

y f x khi x rat nho

x

1. Ý nghĩa của đạo hàm

• Ví dụ 1. Hàm cầu của một loại hàng hóa là
p=50-Q2

• Tìm tốc độ thay đổi giá khi lượng cầu thay đổi

• Giá sẽ thay đổi thế nào khi Q=1

1. Ý nghĩa của đạo hàm

• Ví dụ 2.Hàm cầu của một loại hàng hóa là
𝑝 = 45 − 2 𝑄

• Tìm tốc độ thay đổi giá khi lượng cầu thay đổi

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

2. Giá trị cận biên

• Đo tốc độ thay đổi của y theo x, ký hiệu My(x)

• Ta thường chọn xấp xỉ 𝑀𝑦(𝑥) ≈ ∆𝑦 tức là
My(x) gần bằng lượng thay đổi của y khi x thay
đổi một đơn vị∆𝑥=1

'

My x

f x

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Giá trị cận biên của chi phí

• Cho hàm chi phí C=C(Q)

• Hàm cận biên của chi phí: MC(Q)=C’(Q)

• Lượng thay đổi của chi phí khi Q tăng lên 1 đơn
vị

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Giả sử chi phí trung bình để sản xuất một sản
phẩm là:

• A) Xác định hàm tổng chi phí để sản xuất ra Q
sản phẩm.

• B) Tìm giá trị cận biên của hàm chi phí. Nêu ý
nghĩa khi Q=50.

2 500

0, 0001 0, 02 5

C Q Q

Q

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Giá trị cận biên của doanh thu

• Cho hàm doanh thu R=R(Q)

• Hàm cận biên của doanh thu: MR(Q)=R’(Q)

• Lượng thay đổi của doanh thu khi Q tăng lên 1
đơn vị

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Số vé bán được Q và giá vé p của một hãng xe
bus được cho bởi cơng thức:

• A) Xác định hàm tổng doanh thu

• B) Xác định doanh thu cận biên khi p=30 và
p=32

10000

125 Q

p

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Độ thay đổi tuyệt đối và tương đối

• Định nghĩa: khi đại lượng x thay đổi một lượng
Δx thì ta nói:

• Δx là độ thay đổi tuyệt đối của x

• Tỷ số ∆𝑥

𝑥 . 100% gọi là độ thay đổi tương đối

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hệ số co dãn

• Hệ số co dãn của y theo x là tỷ số giữa độ thay
đổi tương đối của y và của x thay đổi một lượng
Δx.

• Ký hiệu:

• Thể hiện % thay đổi của y khi x thay đổi 1%.
'

. .

y
x

f x

y y y x

x

x x x y f x

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Cho hàm cầu Q=30-4p-p2. Tìm hệ số co dãn khi

p=3

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Lựa chọn tối ưu trong kinh tế

• Trong kinh tế ta quan tâm các bài tốn sau:

• + Tìm p để sản lượng Q đạt tối đa

• + Tìm p hoặc Q để doanh thu R đạt tối đa

• + Tìm Q để chi phí C đạt tối thiểu (cực tiểu)

• Ta đưa các bài tốn trên về dạng tìm cực trị của
hàm một biến số đã học.

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ 1

• Cho hàm cầu Q=300-p, hàm chi phí C=Q3

-19Q2+333Q+10

• Tìm Q để lợi nhuận lớn nhất.

Ví dụ 2

• Cho hàm cầu Q=100-p, hàm chi phí C=Q3

-25Q2+184Q+15

</div>

phép tính vi phân hàm

<b>PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM </b>

<b>MỘT BIẾN</b>

CHƯƠNG 2

Đạo hàm tại một điểm

Ví dụ

Đạo hàm phải – trái

Định lý

Ví dụ

Hàm số đạo hàm

Hàm số đạo hàm

Ví dụ 1

Ví dụ 2

Qui tắc tính đạo hàm 1

Qui tắc tính đạo hàm 2

Cơng thức tính đạo hàm 1

Cơng thức tính đạo hàm 2

Ví dụ

Ví dụ

Hàm số cho bởi tham số

Cơng thức đạo hàm tham số

Đạo hàm của hàm ngược

Đạo hàm của hàm ngược

Hàm ẩn

Đạo hàm hàm ẩn

Đạo hàm hàm ẩn

Đạo hàm hàm ẩn

Đạo hàm cấp cao

Đạo hàm cấp cao

Đạo hàm cấp cao

Đạo hàm cấp cao thường gặp

Chú ý

Ví dụ

Đạo hàm cấp cao hàm ẩn

Đạo hàm cấp cao tham số

Ví dụ

Cơng thức Leibnitz

Ví dụ

VI PHÂN

Vi phân tại một điểm

Vi phân tại một điểm

Vi phân tại một điểm

Vi phân của hàm hợp

Ứng dụng vi phân

Ứng dụng vi phân tính gần đúng

Ví dụ

Ví dụ

Vi phân cấp cao

Vi phân cấp cao của hàm hợp

CÁC ĐỊNH LÝ HÀM KHẢ VI

Định lý Fermat

Định lý Rolle

Định lý Lagrange

Định lý Cauchy

Cơng thức Taylor

Công thức Taylor

Phần dư trong cơng thức Taylor

Cơng thức Maclaurin

Cơng thức L’Hospital

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

1. Ý nghĩa của đạo hàm

1. Ý nghĩa của đạo hàm

1. Ý nghĩa của đạo hàm

2. Giá trị cận biên

'

<i>My x</i>

<i>f x</i>

Giá trị cận biên của chi phí

Ví dụ

Giá trị cận biên của doanh thu

Ví dụ

10000

125

<i>Q</i>

<i>p</i>

Độ thay đổi tuyệt đối và tương đối

Hệ số co dãn

Ví dụ

Lựa chọn tối ưu trong kinh tế

Ví dụ 1