[TOÁN HÌNH 11] Dùng sơ đồ để chứng minh các bài toán phần quan hệ vuông góc

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (258.78 KB, 12 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHUYÊN ĐỀ:

DÙNG SƠ ĐỒ ĐỂ CHỨNG MINH CÁC BÀI TỐN

PHẦN QUAN HỆ VNG GĨC.

* Trong bài viết này chỉ trình bày ba vấn đề quan trọng chứng minh quan hệ vng góc trong 
khơng gian, đó là:

 Chứng minh hai đường thẳng vng góc.

 Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng .
 Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc .

1. Chứng minh hai đường thẳng vng góc: 
a) Phương pháp:

Cho hai đường thẳng a và b .

Để chứng minh ab ta có thể thực hiện theo các cách sau:

 Cách 1: Chứng minh cho a vng góc với mp(P) chứa đường thẳng b.
 Cách 2: Dùng định lý 3 đường vng góc.

Định lý: (Ba đường vng góc)

Cho đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong mp(P), a’ là
hình chiếu của a trên mp(P) .

Khi đó: ba  ba’.

 Cách 3: Sử dụng tích vô hướng:

Đường thẳng a và b có vectơ chỉ phương lần lượt là



a

u

và

u



b :
Khi đó: ab



.

 

a b

u u

=0. 
 Cách 4: Thông qua quan hệ song song.

/ /


   




a b

a c

b c

/ /( )

( )


   




a P

a c
c P

 Cách 5: Nếu a và b cùng nằm trong một mặt phẳng ta sử dụng các tính chất về chứng minh 
vng góc trong hình học phẳng đã biết.

b) Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA=SB = SC = CA = CB = a

2 AS



C



BS



C



60

o. Chứng

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

(Với H là trung điểm của AB).

* Sơ đồ :













AB SH (1)

C1 : AB SCH

AB CH (2)
SC AB

C2 :SC.AB 0



 

  





   

 



 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

* Trình bày lời giải:

Cách1: Gọi H là trung điểm của AB

Theo giả thiết : SA = SB 



SAB

cân tại S 

AB SH (1)



CA = CB 



CAB

cân tại C 

AB CH (2)



SH và CH cắt nhau và cùng thuộc mặt phẳng (ABC)





AB

SCH





,mà SC  (SHC)

 SC  AB (đpcm)
Cách 2: Ta có:

.

 

SC AB

=

 

SC SB SA

 

.(





 

)



 

SC SB SCSA

.



= SC SBc BSC SC SAc ASC. os  . os 
= a 2.a 2 os60c o  a 2.a 2 os60c o = 0
 SC  AB (đpcm)

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

* Sơ đồ : (P là trung điểm SA, I là tâm của hình vng ABCD)













MN / /CP MNCP là hình bình hành
MN / / SAC

CP SAC
MN BD

BD AC
BD SAC

BD SI



 




 



 


















* Trình bày lời giải:

Gọi P là trung điểm SA và I là tâm của hình vng ABCD
 MP là đường trung bình trong tam giác EAD

 MP // AD và MP =

1

2

AD (1) 
Vì N là trung điểm BC  NC // AD và NC =

1

2

BC =

1

2

AD (2) 
( ABCD là hình vng nên BC = AD)

Từ (1) và (2)  MP // NC và MP = NC
 Tứ giác MNCP là hình bình hành

 MN // CP , mà

CP





SAC



 MN // (SAC) (3)
Mặt khác

BD AC



(vì ABCD là hình vng )

BD SI



( SI là đường cao của hình chóp đều)

 BD (SAC) (4)
Từ (3) và (4)  BD MN (đpcm)

c) Bài tập:

Bài 1: (SGK hình học 11- trang 98)

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

a) AB CC' ; b) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
Bài 2: (SGK hình học 11- trang 98)

Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và có ASB BSC CSA   . Chứng minh 
rằng SABC, SBAC,SCAB.

Bài 3: (SGK hình học 11- trang 98)

Trong khơng gian cho hai hình vng ABCD và ABC'D' có chung cạnh AB nằm trong hai mặt
phẳng khác nhau, lần lượt có tâm là O và O'. minh rằng AB OO' , và tứ giác CDD'C' là hình 
chử nhật.

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a , SA vng góc với đáy và SA a . 
Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SB và SD. Gọi I là giao điểm của SC và mặt phẳng (AMN).
Chứng minh SC vng góc với AI.

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, trong đó ABC BAD 90   O;
BA BC a, AD 2a.   Giả sử SA = a 2 và SA vng góc với mặt phẳng (ABCD). Chứng

minh SC CD.

2. Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng :

a) Phương pháp: Để chứng minh đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (P): 
 Cách 1: Chứng minh cho a vng góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (P).

 Cách 2:

   

 

P P

  



  



 



a
a









(Chứng minh: a là giao tuyến của hai mặt phẳngcùng vuông góc với (P) ).

 Cách 3:

   

 

( )








 



 



 



a Q

Q P

a

Q b

a b

(Chứng minh: : Đường thẳng a nằm trong mặt phẳng(Q) và (Q) (P).
 Giao tuyến b của (Q) và (P) cũng vuông góc với a ).

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

 

/ /

 P

   




a b

a

b P

 

( )

( ) / /



   



a Q

a

Q P

b) Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) là tam giác
đều. Gọi E, F là trung điểm của AB và CD. Biết tam giác SCD vuông cân tại S. Chứng minh: SE

(SCD) .
* Hình vẽ:

* Sơ đồ:









2 2 2

CD EF

SE CD (1) CD SEF

SE SCD CD SF

SE SF (2)ΔSEF vuông tai S SE SF EF

  

   

 

    

     


* Trình bày lời giải:

 Do SCD cân tại S có F là trung điểm của CD  CDSF
Mà CDEF (theo tính chất của hình vng)





 CD SEF , mà SE



SEF



 SECD (1)
Ta chứng minh SEF vuông tại S.

SCDvuông tại S có SF là đường trung tuyến nên

2 2

 a

SF CD

.
SAB đều cạnh a có SE là trung tuyến nên

3
2
a

SE

, EF = a.

Ta có :

2 2 2 2

2 2

3 3

2 2 4 4

   

       

 

2+ 2 a a a a

SE SF a EF

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a. Mặt bên SAD là tam giác 
đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy.Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, BC,
CD.Chứng minh BP(MAN) .

* Hình vẽ:

* Sơ đồ : (Với H là trung điểm của AD, E là giao điểm của CH và BP)

















, ( )
( )

( )

BP MAN

   

 



   

 

   

 

 

  

 



(1)
(3)

(2)

AD SH SH SAD

SAD ABCD

BP SH SH ABCD

BP SCH

AD SAD ABCD

BP CH



 

/ /



/ / là hình bình hành
/ / là đ uo ng tr u ng bình













  

   



(4) CH AN ANCH

SCH AMN

SC MN MN SBC

*
Trình bày lời giải:

Gọi H là trung điểm của AD, do SAD là tam giác đều, nên SH AD
Vì (SAD) (ABCD) theo giao tuyến AD

 SH(ABCD)  SH  BP (1) 
Vì: BC = DC , DH = CP

HDC PCB 90   o (ABCD là hình vuông) 
 Hai tam giác vuông BPC và CHD bằng nhau 
 B1C 1 B1C 2 C 1C 2 90o

 Tam giác BEC vuông tại E (E là giao điểm của CH và BP)  BPCH (2) 
Từ (1) và (2) suy ra: BP



SCH



(3)

Do AH // CN, AH = CN =

1

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Mà MN // SC (MN là đường trung bình trong ∆SBC) 



SCH



/ /



AMN



(4) 
Từ (3) và (4) suy ra: BP



MAN



(đpcm)

c) Bài tập:

Bài 1: (SGK hình học 11- trang 104)

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi và có SA = SB = SC = SD. Gọi O là giao
điểm của AC và BD. Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng (ABCD) ;
b) AC (SBD) và BD (SAC).

Bài 2: (SGK hình học 11- trang 104)

Trên mặt phẳng

 

α cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD, S là một
điểm nằm ngoài mặt phẳng

 

α sao cho SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng:

a) SO(α);

b) Nếu trong mặt phẳng (SAB) kẻ SH vng góc với AB tại H thì AB (SOH) .

Bài 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hìnhvng cạnh a, mặt bên (SAB) là tam giác
đều. Gọi E, F là trung điểm của AB và CD.

a) Cho biết tam giác SCD vuông cân tại S. Chứng minh: SE (SCD) và SF (SAB);
b) Gọi H là hình chiếu vng góc của S trên EF. Chứng minh SH AC.

Bài 4: Cho tam giác ABC có BC = 2a và đường cao AD = a. Trên đường thẳng vng góc 
với mp(ABC) tại A lấy điểm S sao cho SA= a 2.Gọi E, F là trung điểmSB,SC.

a) Chứng minh BC  (SAD);
b) Tính diện tích của tam giác AEF.

Bài 5. Cho tứ diện ABCD có DA vng góc với mặt phẳng (DBC) và tam giác ABC vng tại 
A. Kẻ DI BC( I thuộc BC).

a) Chứng minh BC (AID);

b) Kẻ DH  AI( H thuộc AI). Chứng minh DH (ABC).
3. Chứng minh hai mặt phẳng vng góc .

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

( )







 





a

P

Q

a

Q

hoặc

( )











a

Q

a

P

(Ta chứng minh mặt phẳng này chứa một đường vng góc với mặt phẳng kia)

b) Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABC có SA (ABC). Trong tam giác ABC các đường cao AE và
CF cắt nhau tại O. Gọi H là trực tâm của tam giác SBC. Chứng minh: (SBC) (SAE) và
(SBC) (CFH).

* Hình vẽ:

* Sơ đồ :





















BC SA SA ABC
BC SAE

SBC SAE BC AE
BC SBC

    

  



     

 





 



















SB CH

SB CFH CF SA SA ABC

SB CF CF SAB
SBC CFH

CF AB(gt)
SB SBC





      

   

    














* Trình bày lời giải:

* Ta có : SA



ABC



(giả thiết)  BC SA

BC AE ( vì AE là đường cao trong tam giác ABC)
AE và SA cắt nhau tại A và cùng nằm trong mp (SAE)
⇒ BC (SAE) ,mà BC (SBC)

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

* Vì SA (ABC) ⇒ CF SA

CFAB (vì CF là đường cao trong tam giác ABC)

CF (SAB)





,

SB (SAB)



 SB CF

Mặt khác do H là trực tâm tam giác SBC ⇒ CH SB
Từ đó suy ra SB (CFH),

mà SB



(SBC)



(SBC) (CFH)



Vậy (SBC) (SAE) và (SBC) (CFH) (đpcm).

Ví dụ 2: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc BAD = 600
và SA=SB = SD = a.

a) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vng góc mặt phẳng (ABCD).
b) Chứng minh tam giác SAC vng.

* Hình vẽ:

* Sơ đồ :

















SBD cân
BD SO

BD SAC O là trung điêm BD

SAC ABCD

BD AC 2
BD ABCD

  

 

 

   

   





(1)
( )










Tại A hoặc tại C( không xảy ra do SOBD)

SAC

 vuông Tại S

2 2 2

SA SC
AC SA SC
OA OC OS

...








  




   

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

* Trình bày lời giải:

a) Chứng minh (SAC) vng góc với (ABCD)

Gọi O là tâm của hình thoi ABCD.

Ta có :



SBD

cân tại S có O là trung điểm của BD  BD SO (1)
ABCD là hình thoi  BDAC (2)





 BD SAC , màBD



ABCD







SAC







ABCD



.

b) Chứng minh tam giác SAC vuông
Ta chứng minh SO = AO = OC.

 Do ABD cân tại A có BAD 600 ABD đều.
 ABD đều cạnh a có AO là đường trung tuyến

3
2
 AOa

.
 O là trung điểm AC

3
2
 OA OC a
 Xét



SOD

vuông tại O, ta có :

2 2

2 2 2 3 3

2 4 2

 

       

 

a a a

SO SD OD a

.
3

 SOAO OC a

Mà SO là đường trung tuyến của



SAC

 

SAC

vuông tại S.

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chử nhật với AB = a, AD=

a 2

SA = a và SA vng góc với đáy (ABCD). Gọi M là trung điểm của AD. Chứng minh mặt phẳng
(SAC) vng góc với mặt phẳng (SBM).

* Hình vẽ:

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

* Sơ đồ:



AC



BM



I



















 





1 1

BM SA (1) SA ABCD (gt)
BM SAC

SAC SBM BM AC (2) AMI vuông M C
BM SBM

    

 

 

         




* Trình bày lời giải:

Giả sử

AC



BM



I

Theo bài SA(ABCD)



S

A



MB

(1)

Trong tam giác vng AMD có:

1 a 2

AM AD

2 2

 

(M là trung điểm AB), AB = a



AB a

tan M 2

AM a 2
2

   

Trong tam giác vng ADC có: DC = a , AD =

a 2



AD a 2

tan C 2

DC a

   

 tan C1tan M 1 C1M 1

Mà A 1C190o  A 1M 190o  AIM vuông tại I



MB



AC

(2)

Từ (1) và (2)



MB



(

SAC

)

, BM



SBM





(

SMB

) (



SAC

)

(đpcm)

c) Bài tập:

Bài 1:(SGK hình học 11):

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

a) Mặt phẳng (AB'C'D) vng góc với mặt phẳng (BCD'A') ;
b) Đường thẳng AC' vng góc với mặt phẳng (A'BD).

Bài 2:(SGK hình học 11):

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a và có SA = SB = SC = a.
Chứng minh rằng:

a) Mặt phẳng (ABCD) vng góc với mặt phẳng (SBD);
b) Tam giác SBD là tam giác vng.

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy và

SA = a 2. Chứng minh rằng

a) Các mặt bên hình chóp là những tam giác vng;
b) Mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (SBD) .

</div>

[TOÁN HÌNH 11] Dùng sơ đồ để chứng minh các bài toán phần quan hệ vuông góc

<i><b>CHUYÊN ĐỀ:</b></i>

<b>DÙNG SƠ ĐỒ ĐỂ CHỨNG MINH CÁC BÀI TỐN </b>

<b>PHẦN QUAN HỆ VNG GĨC.</b>



<i>u</i>

<i>u</i>





.

 

<i>u u</i>

2

AS



<i>C</i>



BS



<i>C</i>



60















SAB

AB SH (1)





CAB

AB CH (2)







AB

SCH





.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<i>SC AB</i>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<i>SC SB SA</i>

 

.(











