ánh xạ tuyến tính

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.87 MB, 11 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

CHƯƠNG 5

KHÁI NIỆM

Một ánh xạ

được gọi là tuyến tính nếu thỏa mãn:

:

n m

f R



R

(

)

( )

( ),

,

(

)

( ),

,

n
n

f x

y

f x

f y

x y

R

f



x



f x

x

R



R













 

VÍ DỤ

VÍ DỤ 1

Kiểm tra điều kiện đầu tiên.

Đối với điều kiện thứ 2 ta cũng kiểm tra tương tự
Kết luận: f là ánh xạ tuyến tính

VÍ DỤ 2

Các ánh xạ sau đây có phải là ánh xạ tuyến tính hay
khơng?

2 2

) : , ( , ) ( 2 3 ;6 5 )
) : , ( , ) ( 2 3 ;6 5 5)

a f R R f x y x y x y

b f R R f x y x y x y

    

     

MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Cho ánh xạ tuyến tính:
Giả sử:

(𝛼)={𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛}là một cơ sở của𝑅𝑛

(𝛽)={𝛽1, 𝛽2, … , 𝛽𝑚}là một cơ sở của𝑅𝑚

Ma trận cấpmxnvới cột thứ i là tọa độ của vec tơ f(𝛼𝑖)

trong cơ sở(𝛽)của không gian vec tơ𝑅𝑚được gọi là ma

trận của ánh xạ f trong cặp cơ sở 𝛼 và 𝛽 .

:

n m

f R



R

 





, 1 2 ... n

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

XÂY DỰNG MA TRẬN CỦA F

Bước 1. Tìm ảnh của các vec tơ trong cơ sở 𝛼
Bước 2. Biểu diễn qua cơ sở 𝛽 để tìm tọa độ.

Bước 3. Kết hợp lại, viết ma trận của ánh xạ tuyến tính
với các cột là các tọa độ.

Chú ý. Với mọi vec tơ x trong𝑅𝑛ta có:

 

 

f x





A

 

x











VÍ DỤ 3

Cho ánh xạ tuyến tính
Và các cơ sở:

Tìm ma trận của ánh xạ f trong cặp cơ sở 𝐸 và 𝐹 .

3 2

1 2 3 1 2 3 1 3

: , ( , , ) ( 2 3 , 2 )

f R R f x x x  x  x  x x x









(1,1,1);(1,0,1);(1,1,0)
(1,1);(1, 2)
E
F



GIẢI

Ma trận cần tìm:

VÍ DỤ 4

Cho ánh xạ tuyến tính
Và các cơ sở:

Tìm ma trận của ánh xạ f trong cặp cơ sở 𝛼 và 𝛽 .

3 3

1 2 3 1 3 1 2 2 3

: , ( , , ) ( , , )

f R R f x x x  x x x x  x x









1 2 3

( ) (1,1,1); ( 1,1, 2); (1, 2,3)
( ) (0,1,1); (1,0,1); (1,1,0)

   

   

    

   

VÍ DỤ 5

Cho ánh xạ tuyến tính

Tìm ma trận của ánh xạ f trong cặp cơ sở𝑐ℎí𝑛ℎ 𝑡ắ𝑐.

1 2 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2

1 1 2 2

( , , , ) ( , ,

, , )

n nn nn

m m mn n

f x x x a x a x a x a x a x a x
a x a x a x

      

  

: n m,

f R R

VÍ DỤ 6

Cho ánh xạ tuyến tính:

Biết ma trận của f trong cặp cơ sở:
Là:

A) Tìm f(3,1,5)

B) Tìm f(x) với x=(x1,x2,x3)

3 2

f R R



 





1,1,1 , 1,0,1 , 1,1,0





   

1,1 , 2,1



E F

2 1 3
0 3 4

E F

A    

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

VÍ DỤ 6

Câu b) Đầu tiên ta biểu diễn vectơ x qua cơ sở (E)

VÍ DỤ 6

VÍ DỤ 7

Cho ánh xạ tuyến tính:
A) Tìm f(2,1,5)

B) Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở:
C) Tính f(2,1,5) theo cơng thức và so sánh với a)

3 3

f R R

 



1, 2, 3

 

1 2 3, 21 2 3,31 4 2 3



f x f x x x  x x x x x x x x x



 





1,1,1 , 1, 2,1 , 1,1, 2



E

GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VÉC TƠ RIÊNG

Cho A là ma trận vuông cấp n

Số𝜆 ∈ 𝑅gọi là giá trị riêng của ma trận A nếu tồn tại vec
tơ x khác 0 sao cho:

Khi này vec tơ x gọi là vec tơ riêng của ma trận A ứng với
trị riêng𝜆

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n n nn

a a a

A

a a a

 

 



 

 

.

A x





x

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

VÍ DỤ 9

GIÁ TRỊ RIÊNG – VEC TƠ RIÊNG

ĐA THỨC ĐẶC TRƯNG

Đa thức đặc trưng của ma trận A là đa thức bậc n đối với

𝜆, được xác định như sau:

Phương trình đặc trưng của ma trận A:

11 12 1

21 22 2

1 2

( )

n
n
A

n n nn

a a a

P

a a a














( )

0

A

P





TÌM TRỊ RIÊNG, VEC TƠ RIÊNG

KHƠNG GIAN CON RIÊNG

Định nghĩa. Các nghiệm của hệ phương trình:

𝐴 − 𝜆𝐼𝑛𝑋 = 0

tạo thành một không gian vec tơ và được gọi là không
gian con riêng ứng với giá trị riêng𝜆.

Chú ý. Cách tìm khơng gian con riêng đưa về bài tốn tìm
khơng gian nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính
thuần nhất. Việc tìm cơ sở và số chiều của không gian này
cũng tương tự.

BỘI ĐẠI SỐ - BỘI HÌNH HỌC CỦA TRỊ RIÊNG

Định nghĩa. Bội đại số của giá trị riêng𝜆là bội của trị
riêng đó trong phương trình đặc trưng

Định nghĩa. Bội hình học của trị riêng là số chiều của
không gian con riêng tương ứng với giá trị riêng đó.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

VÍ DỤ 10

Tìm giá trị riêng,véc tơ riêng của ma trận

3

1

2

4

2

1

3 A









 











VÍ DỤ 10

VÍ DỤ 11

Tìm giá trị riêng,véc tơ riêng của ma trận

2

1

0

1

0

2

4 A

























ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH CỦA CÁC VECTƠ RIÊNG

Định lý. Các vec tơ riêng ứng với các giá trị riêng khác
nhau thì độc lập tuyến tính.

CHÉO HĨA MỘT MA TRẬN VNG

Khái niệm.Cho A là ma trận vng cấp n. Ma trận A gọi là
chéo hóa được nếu tồn tại ma trận vuông không suy biến
T cấp n sao cho𝑇−1𝐴𝑇 = 𝐷là ma trận chéo.

Chéo hóa ma trận A nghĩa là tìm các ma trận T và D sao
cho:

1

T AT





D

CHÉO HĨA MA TRẬN

- Tìm các véc tơ riêng độc lập tuyến tính của A.
- Nếu số véc tơ riêng độc lập tuyến tính nhỏ hơn nma
trận A khơng chéo hóa được

- Nếu A có đủ n véc tơ riêng độc lập tuyến tính thì A chéo
hóa được. Ma trận T cần tìm là ma trận mà các cột của T
là các véc tơ riêng độc lập tuyến tính.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

VÍ DỤ 12

Ma trận nào sau đây chéo hóa được?

5

4

6 3 1

1

4

5

6

7

5

1

4

5

6

2 A

B

























 



























VÍ DỤ 13

Hãy chéo hóa ma trận sau nếu được.

1 3 3

3 5 3

3 3 1

A

 

 

    

 

 

VÍ DỤ 13

VÍ DỤ 14

Hãy chéo hóa ma trận sau nếu được.

2 4 3

4 6 3

3 3 1

A

 

 

    

 

 

VÍ DỤ 15

A) Hãy chéo hóa ma trận A nếu được:

B) Tính A100
Giải.

5 0 0 0
0 5 0 0
1 4 3 0
1 2 0 3

A

 

 



  

   

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

VÍ DỤ 15

B) Ta có:

Sinh viên tự tính kết quả sau cùng.

VÍ DỤ 16

DẠNG TỒN PHƯƠNG

Định nghĩa. Dạng tồn phương trong khơng gian Rnlà
một hàm số thực:

Được xác định bởi:

Với A là ma trận đối xứng (thực) và được gọi là ma trận
của dạng tồn phương (trong cơ sở chính tắc)

1
2

,

...

T n
n

x

f x

x Ax

x

:

n

f

VÍ DỤ 17

Cho:

Ta có dạng tồn phương trong R2

Nhận xét các phần tử của A và các hệ số của dạng toàn
phương.
1
2
2 3
3 4
x
x A
x
1 1

1 21 2 1 2 1 2

2 2

2 2 2 1

2 2 2 2

1 1 2 1 2 2 1 1 2 2

2 3

2 3 3 4
3 4

2 3 3 4 2 6 4

T

x x

x Ax x x x x x x

x x

x Ax x x x x x x x x x x

DẠNG TOÀN PHƯƠNG TRONG R

3

Thường được ghi dưới dạng sau:

Ma tận dạng toàn phương:

Dễ thấy:

2 2 2

1,2,3 1 2 3 2 1 2 2 2 3 2 3 1

f x f x x x Ax Bx Cx Dx x Ex x Fx x

A D F

M D B E

F E C

1 2 3 2

T

x

A D F

f x x x x D B E x x Mx

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

VÍ DỤ 18

Cho dạng tồn phương trong R3

Tìm ma trận A của q(x).

Đáp án

2 2 2

1 2 3 1 2 2 3 1 3

( )

2

3

4

6 .

q x



x



x



x



x x



x x



x x

2 3

2
1

3 2 .
2

3 2 1

A

  

 

  

  

 

 

DẠNG CHÍNH TẮC

Trong dạng chính tắc, các số hạng đều có dạng bình
phương.

Ma trận A của dạng tồn phương ban đầu là ma trận xét
trong cơ sở chính tắc.

Ma trận D cũng là ma trận của dạng toàn phương nhưng
xét trong cơ sở khác (cơ sở trực giao)

ĐƯA VỀ DẠNG CHÍNH TẮC

Phép biến đổi Lagrange

-Sử dụng các phép biến đổi không suy biến đưa dạng
tồn phương về dạng chính tắc

-Dễ thực hiện vì chỉ dùng các phép biến đổi sơ cấp,
khơng cần tìm các giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận.

-Cơ sở không phải là trực chuẩn nên sẽ khó khăn.

Chú ý. Phép biến đổi x=Py gọi là không suy biến nếu ma

trận P không suy biến.

PP LAGRANGE

Bước 1. Chọn một số hạng bình phương có hệ số khác 0,
chẳng hạn𝑥𝑘2

Bước 2. Lập hai nhóm: một nhóm gồm tất cả các số hạng
có chứa𝑥𝑘, nhóm cịn lại khơng chứa số hạng này.
Bước 3. Đưa nhóm đầu tiên về dạng tổng bình phương
theo𝑥𝑘. Khi này ta có một tổng bình phương và các số

hạng cịn lại khơng chứa𝑥𝑘.

Bước 4. Lặp lại bước 1,2,3 cho đến hết.

Chú ý. Nếu ban đầu khơng có𝑥𝑘2có hệ số khác 0 thì ta

chọn một số hạng tích𝑥𝑖𝑥𝑗có hệ số khác 0 và đổi biến:

𝑥𝑘2

i i j j i j

xyy x  y y

VÍ DỤ 19

Bước 1. Chọn số hạng3𝑥12

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

VÍ DỤ 19

Bước 3. Lập thành dạng tổng bình phương ở nhóm 1

Ta có:

Bước 4. Lặp lại cho dạng tồn phương sau:

VÍ DỤ 19

Một cách tương tự:
+ Chọn số hạng:
+ Tạo 2 nhóm:

+ Lập dạng tổng bình phương:

2
2

14
3x

VÍ DỤ 19

Ta có dạng:

Phép biến đổi cần tìm:

Dạng chính tắc cần tìm:

VÍ DỤ 20

Dạng tồn phương này khơng có số hạng bình phương.
Ta đổi biến trước (chọn 4x1x2):

VÍ DỤ 20

Ta có:

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

PHƯƠNG PHÁP GAUSS

DẤU CỦA DẠNG TOÀN PHƯƠNG

Định nghĩa. Dạng toàn phương𝑓 𝑥 = 𝑥𝑇𝐴𝑥được gọi là:

i) Xác định dương nếu:

ii) Xác định âm nếu:

iii) Nửa xác định dương nếu:

iv) Nửa xác định âm nếu:

v) Không xác định dấu nếu:

 

0, 0
f x   x

 

0, 0
f x   x

 

0, 1:

 

1 0

f x  x x f x 

 

0, 1:

 

1 0

f x  x x f x 

 

1, 2: 1 0, 1 0

x x f x f x

  

DẤU CỦA DẠNG TOÀN PHƯƠNG

LUẬT QUÁN TÍNH

ĐỊNH THỨC CON CHÍNH

Ký hiệu các định thức con chính:

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11></div>

ánh xạ tuyến tính

<b>ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH</b>

<b>CHƯƠNG 5</b>

<b>KHÁI NIỆM</b>

:

<i>f R</i>



<i>R</i>

(

)

( )

( ),

,

(

)

( ),

,

<i>f x</i>

<i>y</i>

<i>f x</i>

<i>f y</i>

<i>x y</i>

<i>R</i>

<i>f</i>



<i>x</i>



<i>f x</i>

<i>x</i>

<i>R</i>



<i>R</i>













 

 

<b>VÍ DỤ</b>

<b>VÍ DỤ 1</b>

<b>VÍ DỤ 2</b>

<b>MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH</b>

:

<i>f R</i>



<i>R</i>

 

 

 





<b>XÂY DỰNG MA TRẬN CỦA F</b>

 

 

<i>f x</i>



<i>A</i>

<i>x</i>









<b>VÍ DỤ 3</b>









<b>GIẢI</b>

<b>VÍ DỤ 4</b>









<b>VÍ DỤ 5</b>

<b>VÍ DỤ 6</b>



 

 