Vấn đề duy nhất của lũy thừa một hàm phân hình chung nhau một tập với đạo hàm cấp cao của chúng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TỐNG THÁI DƯƠNG

VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA LŨY THỪA MỘT
HÀM PHÂN HÌNH CHUNG NHAU MỘT TẬP
VỚI ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA CHÚNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2020


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TỐNG THÁI DƯƠNG

VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA LŨY THỪA MỘT
HÀM PHÂN HÌNH CHUNG NHAU MỘT TẬP
VỚI ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA CHÚNG

Chuyên ngành : TỐN GIẢI TÍCH
Mã số : 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS HÀ TRẦN PHƯƠNG

Thái Nguyên - 2020


Lời cam đoan

Tơi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung
thực và không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng các
kết quả nêu trong luận văn, tài liệu tham khảo và nội dung trích dẫn đảm
bảo tính trung thực chính xác.

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2020
Người viết luận văn

Tống Thái Dương

Xác nhận
của trưởng khoa Toán

Xác nhận
của người hướng dẫn

Trần Nguyên An

PGS. TS. Hà Trần Phương

i


Lời cảm ơn

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm
- Đại học Thái Nguyên. Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cơ
giáo Khoa Tốn, Ban Giám hiệu, Phịng Đào tạo nhà trường và các Quý
Thầy Cô giảng dạy lớp Cao học K26 trường Đại học Sư phạm- Đại học
Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu, đã trang bị
kiến thức cơ bản và tạo điều kiện tốt nhất cho tơi trong q trình học tập
và nghiên cứu.
Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS. TS. Hà Trần Phương,
người đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tơi có thêm nhiều kiến
thức, khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn một
cách hồn chỉnh.
Tơi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp đã
động viên, giúp đỡ tơi q trình học tập của mình.
Do thời gian và trình độ cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi
những thiếu sót. Chúng tơi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cơ
và các bạn để luận văn được hồn thiện hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2020
Người viết luận văn

Tống Thái Dương

ii


Mục lục
Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

iii

Mở đầu

1

1 Một số kiến thức chuẩn bị
1.1 Các hàm Nevanlinna và định lý cơ bản thứ nhất . . . . . .
1.2 Định lý cơ bản thứ hai và quan hệ số khuyết . . . . . . . .
1.3 Một số tính chất nâng cao . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3
3
8
10

2 Vấn
2.1
2.2
2.3

16
16
31

35

đề duy nhất
Một số bổ đề chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trường hợp hàm nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trường hợp hàm phân hình . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kết luận

40

Tài liệu tham khảo

42

iii


Mở đầu
Cho f là một hàm phân hình trên mặt phẳng phức C. Ta kí hiệu

E f (a) = f −1 (a) = {z ∈ C : f (z) = a}
Ef (a) = {(z, n) ∈ C × N : f (z) = a, ordf −a (z) = n}.
Cho S là một tập con của mặt phẳng phức mở rộng, ta kí hiệu

E(S) =

E f (a) và Ef (S) =
a∈S

Ef (a).
a∈S

Cho f và g là hai hàm trên mặt phẳng phức C và a là một giá trị phức. Ta
nói rằng f và g chung nhau a kể cả bội nếu Ef (a) = Eg (a). Ta nói rằng f
và g chung nhau a không kể bội nếu E f (a) = E g (a). Tương tự, ta nói f và

g tập S kể cả bội nếu Ef (S) = Eg (S), ta nói rằng f và g chung nhau tập
S không kể bội nếu E f (S) = E g (S).
Cho f là một hàm phân hình, một hàm phân hình a(z) được gọi là hàm
nhỏ của f nếu T (r, a) = o(T (r, f )). Với hàm phân hình f , ta ký hiệu

ρ2 (f ) = lim sup
r→∞

log log T (r, f )
.
log r

Năm 1976, Rubel và Yang ([3]) đã chứng minh: Cho f là một hàm nguyên
khác hằng, nếu f và f chung nhau hai giá trị hữu hạn phân biệt a và b
kể cả bội thì f = f . Năm 1979, Mues và Steinmetz ([2]) đã chứng minh
kết quả tương tự khi thay điều kiện chung nhau kể cả bội bởi chung nhau
không kể bội. Từ những cơng trình này của các tác giả đã nảy sinh vấn đề
duy nhất cho các hàm phân hình với đạo hàm của chúng.
1


Năm 2008, Yang ([4]) đã xem xét vấn đề nghiên cứu của Rubel và Yang
khi thay thế f với lũy thừa bậc n của nó và đã chứng minh: Nếu F và

F chung nhau nhau giá trị 1 kể cả bội thì F = F , trong đó F = f n ,
với f là hàm nguyên và n > 7 hoặc f là hàm phân hình và n > 12. Năm
2009, Zhang ([4]) đã nghiên cứu lại vấn đề trên theo hướng giảm n xuống
và chứng minh được các kết quả đó vẫn cịn đúng khi n > 6 đối với hàm
nguyên và n > 7 đối với hàm phân hình. Gần đây các tác giả xem xét mở
rộng kết quả của Rubel, Yang và Zhang theo các hướng:
❼ Xem xét lại các vấn đề trên khi thay đạo hàm bậc nhất bởi đạo hàm

bậc cao.
❼ Xem xét lại các vấn đề trên khi thay giá trị 1 bởi một tập hợp.
❼ Xem xét lại các vấn đề trên khi thay giá điều kiện chung nhau kể cả

bội bởi chung nhau khơng kể bội.
Mục đích chính của luận văn là giới thiệu một số nghiên cứu gần đây
của Zhang, Yang, Banerjee, Chakraborty một số tác giả khác theo hướng
nghiên cứu nói trên.
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2020
Người viết luận văn

Tống Thái Dương

2


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1

Các hàm Nevanlinna và định lý cơ bản thứ nhất

Định nghĩa 1.1.1. Cho f là một hàm xác định trên mặt phẳng phức C,
lấy giá trị trên C, D ⊂ C là một miền. Ta nói f chỉnh hình tại z0 ∈ C nếu
tồn tại một lân cận U của z0 sao cho
∞

cn (z − z0 )n

f (z) =
n=0

với mọi z ∈ U , trong đó cn ∈ C là các hằng số. Hàm f (z) được gọi là chỉnh
hình trên D nếu nó chỉnh hình tại mọi z ∈ D.
Ví dụ 1.1.2. Hàm f (z) = z chỉnh hình trên tập mở bất kỳ trong C. Bất
kỳ đa thức

P (z) = a0 + a1 z + · · · + an z n
chỉnh hình trên tồn bộ mặt phẳng thức.
Ví dụ 1.1.3. Hàm 1/z chỉnh hình trong tập mở bất kỳ của C mà không
chứa điểm gốc tọa độ.
Định nghĩa 1.1.4. Hàm f (z) được gọi là hàm ngun nếu nó chỉnh hình
trong tồn mặt phẳng phức C.
2

Ví dụ 1.1.5. Hàm f (z) = ez , g(z) = e−πz chỉnh hình trên tồn mặt phẳng
phức C nên chúng là hàm nguyên.
3


Với hàm f : C → C, điểm z0 ∈ C được gọi là điểm bất thường cô lập của

hàm f (z) nếu f (z) chỉnh hình trong một lân cận nào đó của z0 , trừ ra tại
chính z0 . Điểm bất thường cô lập của z0 của hàm f (z) được gọi là
(i) Điểm bất thường khử được nếu tồn tại giới hạn hữu hạn lim f (z).
z→z0

(ii) Cực điểm của f (z) nếu lim f (z) = ∞.
z→z0

(iii) Điểm bất thường cốt yếu của hàm f (z) nếu không tồn tại lim f (z).
z→z0

Định nghĩa 1.1.6. Hàm f (z) được gọi là phân hình trong miền D ⊂ C nếu
nó chỉnh hình trong miền D, trừ ra một số hữu hạn các điểm bất thường
cực điểm. Nếu D = C thì ta nói f (z) là hàm phân hình trên C, hay đơn
giản là hàm phân hình.
Nhận xét 1.1.7. Nếu f (z) là hàm phân hình trên D thì trong mỗi lân cận
của z ∈ D hàm f (z) biểu diễn được dưới dạng thương của hai hàm chỉnh
hình.
Định nghĩa 1.1.8. Điểm z0 được gọi là khơng điểm cấp m của hàm f (z)
nếu trong lân cận của z0 , hàm f (z) có biểu diễn f (z) = (z − z0 )m h(z),
trong đó h(z) chỉnh hình trong lân cận của z0 và h(z0 ) = 0. Điểm z0 được
gọi là cực điểm cấp m ≥ 0 của hàm f (z) nếu z0 là không điểm cấp m của
1
.
hàm
f (z)
Với hàm phân hình f , ta kí hiệu


nếu z0 là khơng điểm cấp m của f (z)


m
ordf (z0 ) =

0
nếu f (z0 ) = 0, ∞


−m nếu z là cực điểm cấp m của f (z)
0

Nhận xét 1.1.9. Nếu f (z) là hàm phân hình trên D thì f (z) cũng là hàm
phân hình trên D. Hàm f (z) và f (z) có cùng cực điểm, đồng thời nếu z0
là cực điểm cấp m ≥ 0 của f (z) thì nó là cực điểm cấp m + 1 của f (z).
Hơn nữa, hàm f (z) có không quá đếm được các cực điểm trên D.
4


Bây giờ ta định nghĩa hàm đếm, hàm xấp xỉ và hàm đặc trưng Nevanlinna
của một hàm phân hình. Với mỗi số thực dương x ∈ R∗+ , kí hiệu

log+ (x) =

log x

nếu x ≥ 1

0

nếu 0 < x < 1.

Như vậy

log+ (x) = max{log x, 0}
và

1
log x = log+ x − log+ .
x
Cho f : C → C là một hàm phân hình, với một số thực R > 0, ta có
2π

1
2π

log f (Reiϕ ) dϕ
0
2π

=

1
2π

2π

log+ f (Reiϕ ) dϕ −
0

1

2π

log+

1
dϕ
f (Reiϕ )

0

Định nghĩa 1.1.10. Hàm
2π

1
m(R, f ) =
2π

log+ f (Reiϕ ) dϕ
0

được gọi là hàm xấp xỉ của hàm phân hình f .
Bây giờ ta định nghĩa các hàm đếm. Cho f là hàm phân hình và t > 0.
Kí hiệu n(t, f ) là số cực điểm kể cả bội của hàm f (z) trong hình trịn

{|z| < t} và n(0, f ) = limt→0 n(t, f ). Ký hiệu n(t, f ) là số cực điểm không
kể bội của f , và n(0, f ) = limt→0 n(t, f ). Ký hiệu n(t, 1/f ) là số không
điểm kể cả bội, n(t, 1/f ) là số khơng điểm kể cả bội của f trong hình trịn

{|z| < t}.
Định nghĩa 1.1.11. Hàm

r

N (r, ∞; f ) = N (r, f ) =

n(t, f ) − n(0, f )
dt + n(0, f ) log r
t

0

5


được gọi là hàm đếm kể cả bội của f (còn gọi là hàm đếm tại các cực điểm).
Hàm
r

N (r, ∞; f ) = N (r, f ) =

n(t, f ) − n(0, f )
dt + n(0, f ) log r
t

0

được gọi là hàm đếm không kể bội của f .
Định nghĩa 1.1.12. Hàm

T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f )
gọi là hàm đặc trưng của hàm f.

Các hàm đặc trưng T (r, f ), hàm xấp xỉ m(r, f ) và hàm đếm N (r, f )
là ba hàm cơ bản trong lý thuyết phân bố giá trị, nó cịn gọi là các hàm
Nevanlinna. Định lý sau đây cho thấy một số tính chất của các hàm này.
Định lý 1.1.13. Cho các hàm phân hình f1 , f2 , . . . , fp . Khi đó
p

(1)

p

fν ) ≤

m(r,
ν=1
p

(2)

ν=1
p

fν ) ≤

m(r,
ν=1
p

(3)

ν=1

p

ν=1
p

ν=1
p

ν=1
p

N (r, fν )
ν=1
p

fν ) ≤

T (r,
ν=1
p

(6)

N (r, fν )

fν ) ≤

N (r,

(5)

m(r, fν )

fν ) ≤

N (r,

(4)

m(r, fν ) + log p;

T (r, fν ) + log p;
ν=1
p

fν ) ≤

T (r,
ν=1

T (r, fν ).
ν=1

Việc chứng minh các tính chất này dựa theo tính chất: nếu a1 , . . . , ap là
các số phức phân biệt thì
p

log

+

p

log+ |aν |

aν ≤
ν=1

ν=1

6


và

p

log

+

p
+

log+ |aν | + log p.

aν ≤ log (p max |aν |) ≤
ν=1,...,p

ν=1

ν=1

Định lý 1.1.14 (Công thức Poisson–Jensen). Cho f (z) ≡ 0 là một hàm
phân hình trong hình trịn {|z| ≤ R} với 0 < R < ∞. Giả sử a1 , . . . , ap
là các không điểm kể cả bội, b1 , . . . , bq là các cực điểm kể cả bội trong hình
trịn đó. Khi đó với mỗi z trong {|z| ≤ R} không phải là không điểm hay
cực điểm của f , ta có
2π

1
log |f (z)| =
2π
0
p

−
i=1

R2 − |z|2
log |f (Reiϕ )|dθ
iθ
2
|Re − z|

R 2 − ai z
log
+
R(z − ai )

q

R 2 − bj z
log
.
R(z
−
b
)
j
j=1

Nhận xét 1.1.15. Công thức Poisson–Jensen chỉ ra rằng, nếu biết giá trị
của |f (z)| trên biên, biết các cực điểm và không điểm của hàm f (z) trong

|z| < R thì ta có thể tìm được giá trị của môđun |f (z)| tại các giá trị z
khác bên trong đĩa |z| ≤ R.
Hệ quả 1.1.16. Với |z| < R, ta có
2π

dθ
1
=
.
|R2 eiθ − z|2 2π
R2 − |z|2
1

0

Hệ quả 1.1.17 (Công thức Jensen). Cho f (z) ≡ 0 là một hàm phân hình
trong hình trịn {|z| ≤ R} với 0 < R < ∞. Giả sử a1 , . . . , ap là các không
điểm kể cả bội, b1 , . . . , bq là các cực điểm kể cả bội trong hình trịn đó trừ
bỏ đi điểm 0. Khi đó
2π

1
log |cf | =
2π

p

log |f (Reiθ )|dθ −
i=1

0

R
log
+
ai

q

log
j=1

R
bj

− (ord0 f ) log R,
trong đó f (z) = cf z ord0 f + · · · , ord0 f ∈ Z, cf là hằng số khác không nhỏ
nhất trong khai triển Laurent của f tại 0.
7


Định lý sau đây là một cách viết lại của công thức Jensen, được gọi là
Định lý cơ bản thứ nhất.
Định lý 1.1.18 (Định lý cơ bản thứ nhất). Cho f (z) ≡ 0 là một hàm phân
hình trên C. Khi đó, với mỗi r > 0, ta có
(1) T (r, f ) = m r,

1
f

+ N r,

1
f

+ log |cf |;

(2) Với mỗi số phức a ∈ C,

T (r, f ) − m r,

1
f −a

− N r,

1
f −a

≤ log

c1
+log+ |a|+log 2,
f −a

trong đó cf là hệ số khác khơng nhỏ nhất trong khai triển Taylor của hàm

f trong lân cận điểm 0, c1 /(f − a) là hệ số khác không nhỏ nhất trong khai
triển Taylor của hàm 1/(f − a) trong lân cận điểm 0.
Nhận xét 1.1.19. Ta thường dùng (2) của Định lý cơ bản thứ nhất dưới
dạng

T

r,

1
f −a

= T (r, f ) + O(1),

trong đó O(1) là đại lượng bị chặn khi r → ∞.

1.2

Định lý cơ bản thứ hai và quan hệ số khuyết

Cho f là một hàm phân hình, r > 0. Kí hiệu

Nram (r, f ) = N r,

1
f

+ 2N (r, f ) − N (r, f )

và gọi là hàm giá trị phân nhánh của hàm f . Hiển nhiên Nram (r, f ) ≥ 0.
Định lý 1.2.1 (Định lý cơ bản thứ hai). Giả sử f là hàm phân hình khác
hằng trên C, a1 , . . . , aq ∈ C, (q > 2) là các hằng số phân biệt, khi đó với

8


mỗi ε > 0, bất đẳng thức
q

(q − 1)T (r, f ) ≤

N r,
j=1

1
+ N (r, f ) − Nram (r, f ) + log T (r, f )
f − aj

+ (1 + ε) log+ log T (r, f ) + O(1)
q

≤

N r,
j=1

1
+ N (r, f ) − Nram (r, f ) + log T (r, f )
f − aj

+ (1 + ε) log+ log T (r, f ) + O(1)
đúng với mọi r ≥ r0 nằm ngoài một tập E có độ đo Lebesgue hữu hạn.
Giả sử f (z) là hàm phân hình trên C, a ∈ C ∪ {∞} và k là một số
nguyên dương. Ta kí hiệu
1
m r, f −a

1
N r, f −a

= 1 − lim sup
T (r, f )
T (r, f )
r→∞
1
N r, f −a
Θ(a, f ) = 1 − lim sup
T (r, f )

r→∞
1
1
− N r, f −a
N r, f −a
θ(a, f ) = lim inf
.
r→∞
T (r, f )
δ(a, f ) = lim inf
r→∞

Định nghĩa 1.2.2. δ(a, f ) được gọi là số khuyết, Θ(a, f ) gọi là số khuyết
không kể bội, θ(a, f ) gọi là bậc của bội của số khuyết.
Nhận xét 1.2.3.

1
1. Nếu f (z) = a vơ nghiệm thì N r, f −a
= 0 với mọi

r suy ra δ(a, f ) = 1. Chẳng hạn f (z) = ez thì δ(0, f ) = 1.
1
= o(T (r, f )) khi đó δ(a, f ) = 1. Như vậy số khuyết
2. Nếu N r, f −a

bằng 1 khi số nghiệm của phương trình q ít so với cấp tăng của nó.
3. Với mỗi hàm phân hình f và a ∈ C, ta ln có

0 ≤ δ(a, f ) ≤ Θ(a, f ) ≤ 1.
Định lý sau cho ta một tính chất của số khuyết, thường được gọi là Bổ

đề quan hệ số khuyết.
9


Định lý 1.2.4. Cho f là hàm phân hình khác hằng trên C. Khi đó tập hợp
các giá trị của a mà Θ(a, f ) > 0 cùng lắm là đếm được, đồng thời ta có

(δ(a, f ) + θ(a, f )) ≤
ˆ
z∈C

Θ(a, f ) ≤ 2.
ˆ
a∈C

Hệ quả 1.2.5. Giả sử f là hàm phân hình trên C, nếu f không nhận 3 giá
trị a1 , a2 , a3 ∈ C ∪ {∞} thì f là hàm hằng.

1.3

Một số tính chất nâng cao

Trong luận văn này, ta xét hàm phân hình là hàm phân hình trên tồn bộ
mặt phẳng phức. Ta sẽ sử dụng các ký hiệu thông thường của lý thuyết hàm
phân phối giá trị Nevanlinna về hàm phân hình như T (r, f ), N (r, f ), m(r, f ).
Với hàm phân hình f khác hằng, ký hiệu S(r, f ) là đại lượng thỏa mãn

S(r, f )
= 0,
r→∞ T (r, f )

lim

có thể bên ngồi tập độ đo hữu hạn tuyến tính trong R+ . Hàm phân hình

a(z) được gọi là hàm nhỏ của f nếu T (r, a) = S(r, f ).
Định nghĩa 1.3.1. ([1]) Cho f và g là hàm hàm phân hình khác hằng và
cho a là số phức hữu hạn. Ta nói rằng f và g chung nhau giá trị a CM (kể
cả bội) nếu f − a và g − a có cùng số khơng điểm và các khơng điểm có
bội như nhau. Tương tự, ta nói f và g chung nhau giá trị a IM (không kể
bội) nếu f − a và g − a có cùng số khơng điểm phân biệt và khơng tính
đến bội của các khơng điểm. Ta nói rằng f và g chung nhau ∞ kể cả bội
(tương ứng không kể bội) nếu 1/f và 1/g chung nhau 0 kể cả bội (tương
ứng không kể bội).
Định nghĩa 1.3.2. ([4]) Ta nói rằng hai hàm phân hình f và g chung nhau
hàm nhỏ a không kể bội (tương ứng không kể bội) nếu f − a và g − a chung
nhau giá trị 0 kể cả bội (tương ứng không kể bội).

10


Định nghĩa 1.3.3. ([1]) Cho k là số nguyên không âm hoặc vô cùng, với

a ∈ C ∪ {∞}, ta định nghĩa tập Ek (a; f ) là tập các a-điểm của f , trong
đó a-điểm bội m được tính m lần nếu m ≤ k và được tính k + 1 lần nếu

m > k.
Định nghĩa 1.3.4. ([1]) Ta nói rằng f và g chung nhau giá trị a với trọng
số k nếu Ek (a; f ) = Ek (a; g). Khi đó, ta nói rằng f và g chung nhau (a, k).
Rõ ràng, nếu f và g chung nhau (a, k) thì f và g cũng chung nhau (a, p)
với bất kỳ số nguyên p thỏa mãn 0 ≤ p < k . Ngoài ra, chú ý rằng f và g

chung nhau giá trị a kể cả bội (không kể bội) khi và chỉ khi f và g chung
nhau (a, ∞) (tương ứng chung nhau (a, 0)).
Định nghĩa 1.3.5. ([1]) Gọi S là tập các phần tử phân biệt của C ∪{∞} và

k là số nguyên không âm hoặc ∞. Ký hiệu Ef (S, k) là tập

a∈S

Ek (a; f ). Ta

nói rằng f và g chung nhau tập S với trọng số k nếu Ef (S, k) = Eg (S, k).
Định nghĩa 1.3.6. ([1]) Tập S ⊂ C ∪ {∞} được gọi là tập xác định duy
nhất của hàm phân hình (tương ứng, hàm nguyên) với trọng số k , viết là

U RSMk (tương ứng, U RSEk ) nếu với hai hàm phân hình (tương ứng, hàm
nguyên) khác hằng f và g bất kỳ thì điều kiện Ef (S, k) = Eg (S, k) kéo
theo f ≡ g .
Định nghĩa 1.3.7. ([1]) Cho f, g là hai hàm phân hình và a là một số
phức hữu hạn. Kí hiệu
(i) N L (r, 1/(f − a)) = N L (r, a; f ) là hàm đếm không kể bội tại các ađiểm chung của f và g sao cho bội tại a-điểm này đối với f lớn hơn
đối với g .
(ii) NL (r, 1/(f − a)) = NL (r, a; f ) là hàm đếm kể cả bội tại các a-điểm
của f sao cho bội tại a-điểm này đối với f lớn hơn đối với g .
1)

1)

(iii) NE (r, 1/(f − a)) = NE (r, a; f ) là hàm đếm kể cả bội tại các a-điểm
chung của f và g sao cho bội tại các a-điểm này đối với f bằng đối với

g và bằng 1.
11


(2

(2

(iii) N E (r, 1/(f − a)) = N E (r, a; f ) là hàm đếm không kể bội tại các ađiểm chung của f và g sao cho bội tại các a-điểm này đối với f bằng
đối với g và lớn hơn hay bằng 2.
Định nghĩa 1.3.8. ([1]) Giả sử f và g chung nhau (a, 0). Khi đó, ký hiệu

N ∗ (r, a; f, g) là hàm đếm khơng kể bội các a-điểm của f mà có bội khác
với bội của a-điểm tương ứng của g. Do đó

N ∗ (r, a; f, g) ≡ N ∗ (r, a; g, f )
và

N ∗ (r, a; f, g) = N L (r, a; f ) + N L (r, a; g).
1
) là hàm
Cho p là số nguyên dương và a ∈ C ∪ {∞}. Ký hiệu Np) (1, f −a
1
đếm các khơng điểm của f − a có bội nhỏ hơn hoặc bằng p, N(p+1 (1, f −a
) là
1
hàm đếm các khơng điểm của f − a có bội lớn hơn p. Ký hiệu N p) (1, f −a
)
1
và N (p+1 (1, f −a

) tương ứng là hàm các hàm đếm không kể bội của f − a với
1
) là hàm
bội nhỏ hơn hay bằng p tương ứng lớn hơn p. Ký hiệu Np (r, f −a

đếm các không điểm của f − a trong đó các khơng điểm cấp m được đếm

m lần nếu m ≤ p và được đếm p lần nếu m > p. Hiển nhiên
N (r,

1
1
) = N1 (r,
).
f −a
f −a

Cho F và G là hai hàm phân hình khác hằng chung nhau giá trị 1 không
kể bội. Từ các khái niệm trên ta thấy nếu F và G chung nhau giá trị 1 kể
cả bội thì

1
1
= NL r,
= 0.
F −1
G−1
Nếu F và G chung nhau 1 khơng kể bội thì
NL r,

N r,

(1.1)

1
1
1
1)
= NE 1,
+ NL 1,
F −1
F −1
F −1
1
1
1
(2
+ NL 1,
+ NE 1,
= N r,
. (1.2)
G−1
G−1
G−1

12


Bổ đề 1.3.9. ([4]) Giả sử

H=

2F
F
−
F
F −1

−

2G
G
−
,
G
G−1

(1.3)

trong đó F và G là hàm phân hình khác hằng. Nếu H = 0 thì
1)

NE

r,

1
F −1

≤ N (r, H) + S(r, F ) + S(r, G).

(1.4)

Bổ đề 1.3.10. ([4]) Giả sử f là hàm phân hình khác hằng và k, p là các số
nguyên dương. Khi đó

Np (r, 1/f (k) ) ≤ T (r, f (k) ) − T (r, f ) + Np+k (r, 1/f ) + S(r, f ),

(1.5)

Np (r, 1/f (k) ) ≤ kN (r, f ) + Np+k (r, 1/f ) + S(r, f ).

(1.6)

Bổ đề 1.3.11. ([4]) Giả sử f là hàm phân hình khác hằng, n, k là các số
nguyên dương và a(z) là hàm phân hình nhỏ đối với f thỏa mãn a(z) ≡

0, ∞. Giả sử f n − a và (f n )(k) − a chung nhau giá trị 0 không kể bội và H
xác định bởi (1.3), trong đó F =

fn
a ,G

=

(f n )(k)
a .

Nếu H = 0 và n > k + 1

thì

T (r, f ) = O(N (r, f ) + N (r, 1/f )).

(1.7)

Chứng minh. Vì f n − a và (f n )(k) − a chung nhau giá trị 0 không kể bội
và F và G chung nhau giá trị 1 khơng kể bội, có thể trừ ra tại các không
điểm và cực điểm của a(z). Theo định nghĩa của H , ta có

1
1
1
+ N (2 r,
+ N (r, F ) + NL r,
F
G
F −1
1
1
1
r,
+ N 0 r,
+ N 0 r,
+ S(r, f ),
G−1
F
G

N (r, H) ≤ N (2 r,

+ NL
trong đó N0 r, F1

(1.8)

là hàm đếm các khơng điểm của F mà không là không

điểm của F và F − 1, và tương tự đối với G .

13


Từ (1.2), (1.4) và (1.8), ta thu được

1
1
+ N r,
(1.9)
F −1
G−1
1
1
1
1
1)
(2
= 2NE r,
+ 2NL r,
+ 2NL r,
+ 2NE r,

F −1
F −1
G−1
G−1
1
1
1
1
1)
≤ N (2 r,
+ N (2 r,
+ N (r, F ) + NE r,
+ 3NL r,
F
G
F −1
F −1
1
1
1
1
(2
+ 3NL r,
+ 2NE r,
+ N 0 r,
+ N 0 r,
.
G−1
G−1
F

G

N r,

Chú ý rằng

1
1
1
1
(2
+ 2NL r,
+ NL r,
+ 2NE r,
F −1
F −1
G−1
G−1
1
≤ N r,
≤ T (r, F ) + O(1),
F −1
1)

NE r,

nên (1.9) kéo theo

1
1

+ N r,
(1.10)
F −1
G−1
1
1
1
+ N (2 r,
+ N (r, F ) + NL r,
≤ N (2 r,
F
G
F −1
1
1
1
+ 2NL r,
+ N 0 r,
+ O(1).
+ T (r, F ) + N 0 r,
G−1
F
G

N r,

Theo Định lý cơ bản thứ hai, ta có

T (r, F ) ≤ N r,

1
F

+ N (r, F ) + N r,

1
1
− N 0 r,
F −1
F

+ S(r, F )
(1.11)

T (r, G) ≤ N r,

1
1
1
+ N (r, G) + N r,
− N 0 r,
G
G−1
G

+ S(r, G).
(1.12)

Kết hợp (1.10), (1.11) và (1.12), ta thu được

T (r, F ) + T (r, G) ≤ N2 r,

1
F

+ 2NL r,

+ N2 r,

1
1
+ 3N (r, f ) + NL r,
G
F −1

1
+ T (r, F ) + S(r, f ),
G−1

14


hay

1
1
+ 3N (r, f )
+
N
r,

2
fn
(f n )(k)
1
1
r,
+ 2NL r,
+ S(r, f ).
F −1
G−1

T (r, (f n )(k) ) ≤ N2 r,
+ NL

Từ bất đẳng thức trên và (1.5) ta có

1
1
+
N
r,
+ 3N (r, f )
2+k
fn
fn
1
1
+ 2NL r,
+ S(r, f ).
r,

F −1
G−1

T (r, f n ) ≤ N2 r,
+ NL

(1.13)

Theo định nghĩa ta có

N r,

1
1
1
= N1 r,
≤ N1 r, n (k) + S(r, f ).
G
G
(f )

Kết hợp điều này với (1.6), ta thu được

N r,

1
1
≤ N1+k r, n + kN (r, f ) + S(r, f )
G
f

1
≤ (k + 1)N r,
+ kN (r, f ) + S(r, f ).
f

(1.14)

Chú ý rằng n > k + 1, theo (1.14) ta thu được

1
F
F
≤ N r,
≤ N r,
+ S(r, f ) ≤
F −1
F
F
1
≤ N r,
+ N (r, F ) + S(r, f )
F
1
≤ N r,
+ N (r, f ) + S(r, f ),
f
1
G
G
r,

≤ N r,
≤ N r,
+ S(r, f )
G−1
G
G
1
≤ N r,
+ N (r, G) + S(r, f )
G
1
≤ (k + 1)N r,
+ (k + 1)N (r, f ) + S(r, f ),
f

NL r,

NL

(1.15)

(1.16)

Thay (1.15) và (1.16) vào (1.13) ta thu được kết luận của Bổ đề 1.3.11.

15


Chương 2
Vấn đề duy nhất

Trong vài thập niên qua, vấn đề duy nhất của các hàm nguyên và hàm
phân hình đã phát triển mạnh mẽ trở thành lĩnh vực con quan trọng của
lý thuyết phân bố giá trị. Một trong những hướng nghiên cứu thu hút được
sự quan tâm của nhiều tác giả là khảo sát tính duy nhất của hàm phân
hình và các đạo hàm của nó chung nhau giá trị hàm nhỏ. Người khởi sướng
cho hướng nghiên cứu này là Rubel-Yang ([3]). Trong phần này chúng tôi
sẽ giới thiệu một số kết quả nghiên cứu trong thời gian gần đây cho các
hàm nguyên và hàm phân hình.

2.1

Một số bổ đề chuẩn bị

Bổ đề 2.1.1. ([4]) Giả sử

V =

F
F
−
F −1
F

−

G
G
−
G−1
G

(2.1)

trong đó F và G xác định bởi Bổ đề 1.3.11. Nếu V = 0 và n ≥ 2 thì F = G.
Chứng minh. Vì V = 0 nên ta có

1−

1
B
=B− ,
F
G

với B là hằng số khác hằng. Ta chia làm hai trường hợp sau.

16

(2.2)


Trường hợp 1. Giả sử N (r, f ) = N (r, f ). Khi đó tồn tại điểm z0 không là
1
G(z0 )

= 0.

Trường hợp 2. Giả sử N (r, f ) = S(r, f ). Nếu B = 1 thì N 1, F −1 1

=

khơng điểm hay cực điểm của a sao cho

1
f (z0 )

= 0, do đó

1
F (z0 )

=

Từ (2.2) ta thu được B = 1.
1−B

N (r, G) = S(r, f ). Theo Định lý cơ bản thứ hai, ta có
T (r, F ) ≤ N (r, F ) + N r,
≤ N r,

1
F

+ N 1,

1
+ S(r, F )
1
F − 1−B

1
+ S(r, f ),
f

mâu thuẫn vì n ≥ 2. Do đó B = 1. Vậy F = G, điều phải chứng minh.
Bổ đề 2.1.2. ([4]) Giả sử V được xác định bởi (2.1) và V = 0 thì

(n − 1)N (r, f ) ≤ N (r, V ) + S(r, f ).

(2.3)

Chứng minh. Theo (2.1), ta có

V =

G
F
−
.
F (F − 1) G(G − 1)

Giả sử z0 là cực điểm của f với bội p thỏa mãn a(z0 ) = 0 và a(z0 ) = ∞.
Khi đó z0 là không điểm của f racF F (F − 1) với bội np − 1 và là không
điểm của

G
G(G−1)

với bội np + k − 1. Do đó z0 là khơng điểm của V với bội

ít nhất n − 1. Chú ý rằng m(r, V ) = S(r, f ) nên ta có

(n−1)N (r, f ) ≤ N r,

1
+S(r, f ) ≤ T (r, V )+S(r, f ) ≤ N (r, V )+S(r, f ).
V

Bổ đề 2.1.3. ([4]) Giả sử các điều kiện của Bổ đề 2.1.2 được thỏa mãn và

n > k + 1.
(1) Nếu F và G chung nhau giá trị 1 kể cả bội thì

(n − k − 1)N (r, f ) ≤ (k + 1)N r,

17

1
+ S(r, f ).
f

(2.4)


(2) Nếu F và G chung nhau giá trị 1 khơng kể bội thì

(n − 2k − 3)N (r, f ) ≤ (2k + 3)N r,

1
+ S(r, f ).

f

(2.5)

Chứng minh. (1) Từ (2.1), ta có

N (r, V ) ≤ N r,

1
+ S(r, f ).
G

Kết hợp bất đẳng thức này với (2.3) và (1.14), ta thu được (2.4).
(2) Từ (2.1), ta có

N (r, V ) ≤ N r,

1
1
1
+ NL r,
+ NL r,
+ S(r, f ).
G
F −1
G−1

Thay (1.14), (1.15) và (1.16) vào bất đẳng thức bên trên và sử dụng (2.3),
ta thu được (2.5).
Bổ đề 2.1.4. ([4]) Giả sử

U=

F
G
−
F −1 G−1

(2.6)

trong đó F và G xác định như trong Bổ đề 1.3.11. Nếu U = 0 và n > k + 1
thì F = G.
Chứng minh. Giả sử phản chứng F = G. Do U = 0, ta thu được

F = DG + 1 − D,

(2.7)

trong đó D là hằng số khác không. Theo (2.7) ta thấy D = 1, N (r, f ) =

S(r, f ). Giả sử tồn tại điểm z0 sao cho f (z0 ) = 0 và a(z0 ) = 0. Vì n > k +1,
ta có F (z0 ) = G(z0 ) = 0. Nên D = 1, mâu thuẫn. Do đó N (r, 1/f ) =

18


S(r, f ). Theo Định lý cơ bản thứ hai, từ (2.7) và (1.14) ta có
nT (r, f ) ≤ T (r, F ) + S(r, f )
1
1

+ N r,
+ S(r, f )
≤ N (r, F ) + N r,
F
F +D−1
1
1
≤ N r,
+ N (r, f ) + N r,
+ S(r, f )
f
G
1
≤ N r,
+ S(r, f )
G
1
+ kN (r, f ) + S(r, f )
≤ (k + 1)N r,
f
≤ S(r, f ),
mâu thuẫn. Điều phải chứng minh.
Bổ đề 2.1.5. ([4]) Giả sử U như trong Bổ đề 2.1.4. Nếu U = 0 và n > k+1
thì

(n − k − 1)N (r, 1/f ) ≤ N (r, U ) + S(r, f ).

(2.8)

Chứng minh. Giả sử z0 là không điểm của f với bội p và thỏa mãn a(z0 ) = 0

và a(z0 ) = ∞. Khi đó z0 là không điểm của
điểm của

G
G−1

F
F −1

với bội np − 1 và là không

với bội np − k − 1. Nên z0 là khơng điểm của U với bội ít

nhất là n − k − 1. Chú ý rằng m(r, U ) = S(r, f ), nên ta có

1
+ S(r, f ) ≤ T (r, U ) + S(r, f )
U
≤ N (r, U ) + S(r, f ).

(n − k − 1)N (r, 1/f ) ≤ N r,

Bổ đề 2.1.6. ([4]) Giả sử các điều kiện của Bổ đề 2.1.5 được thỏa mãn.
(1) Nếu F và G chung nhau giá trị 1 kể cả bội thì

(n − k − 1)N (r, 1/f ) ≤ N (r, f ) + S(r, f ).

(2.9)

(2) Nếu F và G chung nhau giá trị 1 khơng kể bội thì

(n − 2k − 3)N (r, 1/f ) ≤ (k + 3)N (r, f ) + S(r, f ).
19

(2.10)


Chứng minh. (1) Từ (2.6) ta có

N (r, U ) ≤ N (r, f ) + S(r, f ).
Kết hợp với (2.8), ta thu được (2.9).
(2) Từ (2.6) ta có

N (r, U ) ≤ N (r, f ) + NL r,

1
1
+ NL r,
+ S(r, f ).
F −1
G−1

Kết hợp với (2.8), (1.15) và (1.16) ta thu được (2.10).
Bổ đề 2.1.7. ([4]) Cho F và G như trong Bổ đề 1.3.11. Giả sử F = G và

n > k + 1 thì f có dạng
λ

f (z) = ce n z ,
trong đó c là hằng số khác không và λk = 1.

Chứng minh. Vì F = G nên

f n = (f n )(k) .

(2.11)

Ta khẳng định rằng 0 là giá trị bỏ được Picard của f. Thật vậy, nếu z0 là
không điểm của f với bội p thì z0 là khơng điểm của f n với bội np và là
không điểm của (f n )(k) với bội np − k , mâu với (2.11). Do đó, theo (2.11)
ta có
λ

f (z) = ce n z ,
với c là hằng số khác không và λk = 1.
Bổ đề 2.1.8. ([4]) Cho H như trong Bổ đề 1.3.11 và

N (r, f ) = N (r, 1/f ) = S(r, f ).

(2.12)

Giả sử H = 0 thì F = G.
Chứng minh. Từ (2.7) lấy tích phân ta được

1
A
=
+ B,
F −1 G−1
20

(2.13)