Bài tập tổng ôn KTQD

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (932.29 KB, 42 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

Bài 1 Xột nền kinh tế cú 2 ngành với ma trận hệ số chi phớ trực tiếp dạng giỏ trị:

1. Giải thớch ý nghĩa kinh tế của phần tử ; tổng cỏc phần tử của dũng 1; tổng cỏc phần tử của
cột 2.

2. Tỡm ma trận và giải thớch ý nghĩa kinh tế của cỏc phần tử của ma trận này.

3. Lập bảng I/O nếu ma trận tổng cầu là: .

4. Lập bảng I/O nếu cầu cuối cựng của về sản phẩm của ngành 1 là 120 và tổng cầu về sản phẩm
của ngành 2 là 400.

5. Xác định ma trận tổng cầu nếu ma trận cầu cuối cùng là .

6. Cho biết muốn tăng cầu cuối cùng về sản phẩm của ngành 1 lên 1 đơn vị thỡ tổng cung của
ngành 2 phải tăng bao nhiêu?

Giải 
Cõu 1

+ Phần tử a12 = 0,15 là lượng giá trị sản phẩm ngành 1 cần thiết để làm ra một đơn vị giá trị sản

phẩm ngành 2.

+ Tổng cỏc phần tử dũng 1: a11 + a12 = 0,25 là lượng giá trị sản phẩm ngành 1 cần thiết để ngành 1

và ngành 2 mỗi ngành làm ra 1 đơn vị giá trị sản phẩm.

+ Tổng cỏc phần tử cột 2: a12 + a22 = 0,25 là lượng giá trị sản phẩm của 2 ngành cần thiết để ngành

2 làm ra 1 đơn vị giá trị sản phẩm.

Cõu 2 Ta cú: 























9
,
0
2
,
0

15
,
0
9
,
0
)
(
1
,
0
2
,
0

15
,
0
1
,
0

A
E
A

Khi đó: và 









 

9
,
0
2
,
0

15
,
0
9
,
0
)

(E A

Ta lại cú:



E A



C

A
E
A

E 





















  

153
,
1
256
,
0

192
,
0
153
,
1
9
,
0
2
,
0

15
,
0
9
,
0
78

,
0

1
1

)

( 1

Xột phần tử c12 0,192: Để NKT tăng thêm một đơn vị giá trị cầu cuối cùng về sản phẩm 2 thỡ
tổng cầu về sản phẩm 1 phải tăng một lượng giá trị là c12 0,192.

Cõu 3 Áp dụng cụng thức: cú:

Tương tự tính: x12 = 60; x22 = 40. Ta nhận được bảng I/O sau:

Tổng cầu Cầu trung gian
1 2

Cầu cuối cựng
200

400

20 60
40 40

120
320











1
,
0
2
,
0

15
,
0
1
,
0

A

12
a
1

)

(  

 E A

C



200 400







X



10 10






x

78
,
0


A
E

)
(ij
X

a

xij  ij j 

40
200
.
2
,
0
;

20
200
.
1
,

0 21 21 1

1
11

11a X   x a X  

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

2
Cõu 4 Ta có hệ phương trỡnh:




























320
200
120
400
.
1
,
0
400
.
15
,
0
2
,
0
1
,
0
400 2
1
2
1
1
1
2
1
2
22
2

12
1
21
1
11
2
1
x
X
x
X
X
X
x
x
X
a
X
a
X
a
X
a
X
X gt

Bảng I/O nhận được trùng với bảng đó cú ở cõu 3.

Cõu 5 Ta sử dụng cụng thức:

Thay vào (*) cú: 



























10
,

14
46
,
13
10
10
9
,
0
2
,
0
15
,
0
9
,
0
78
,
0
1
2
1
X
X

X là ma trận tổng cầu cần tỡm.

Cõu 6 Đây là câu hỏi về ý nghĩa kinh tế của phần tử c21 trong ma trận hệ số chi phớ toàn bộ

. Ta cú: . Để NKT tăng cầu cuối cùng sản phẩm 1 lên 1 đơn vị

giá trị đơn vị thỡ tổng cầu về sản phẩm 2 (hay tổng cung của ngành 2) phải tăng lên 0,256 đơn vị
giá trị.

Bài 2 Cho mụ hỡnh thị trường 2 hàng hoá:

1. Hai mặt hàng trong mụ hỡnh là cỏc mặt hàng thay thế hay bổ sung? vỡ sao?
2. Xác định trạng thái cân bằng của thị trường khi m = 90.

3. Xác định số % biến động của lượng cân bằng hàng hoá thứ nhất khi m tăng 1% tại m=90.

Giải

Cõu 1 48 2 0,5 0,5 0

2
1
2

1  








p
Q
p
p
Q d

d có nghĩa là khi giá hàng thứ 1 không đổi giá hàng

2 tăng lên thỡ cầu hàng 1 tăng; như vậy 2 hàng hoá trong mô hỡnh là cỏc hàng hoỏ thay thế nhau.
Ta cũng nhận được kết quả tương tự nếu sử dụng hàm cầu của hàng 2.

Cõu 2 ĐKCB:
















20

3
5
,
0
60
5
,
0
4
2
1
2
1
2
2
1
1
m
p
p
p
p
Q
Q
Q
Q
s
d
s
d

Theo qui tắc Cramer cú:

75
,
11
5
,
0
190
1
m

p   ;

75
,
11
110
4
2


 m

p (p1,p2 0 thỡ: m27,5).
Ta cú:
75
,
11

15
8
;
75
,
11
239
2
1



 
 m
Q
m

Q (Q1,Q20m15/8)

Thay m = 90 vào kết quả trờn cú: p1 20;p240&Q128;Q260.

Cõu 3 Ta cú:

75
,
11
1
75
,
11

239
1
1
1
/
1
1 


 





 
Q
m
m
Q
Q
m
m
Q
m
Q

Khi m = 90 cú: / 0,273


 m

Q

 .

Bài 3 Cho mụ hỡnh thị trường một hàng hoá:

)
(
)

(  1 

 E A  x
X

)

(  

 E A

C 0,256

,
0
2
,
0

21 

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

Trong đó: M0 – thu nhập, I0 – đầu tư với M0, I0 > 0.

1. Xác định trạng thái cân bằng thị trường bằng qui tắc Cramer.

2. Cú ý kiến cho rằng khi I0 = M0 = 10 và cả hai đại lượng này cùng tăng 1% thỡ giỏ cõn bằng

khụng đổi; ý kiến này có đúng khơng?

Giải

Cõu 1 Đặt: QS = QD= Q; khi đó có hệ:














0
0

1
,
0
9
3

3
,
0
32
2

I
p

Q

M
p

Q

Áp dụng qui tắc Cramer cú:

78
2
,
0
9
,

0 0 0



 M I

Q ;

41
1
,
0
3
,

0 0 0



 M I

p với điều kiện

0
41
1
,
0
3
,

0 M0 I0  .

Cõu 2 Ta cú: p p(M0,I0) và nếu M0 và I0 đều tăng 1% thỡ số % biến động của giá cân bằng


p là:

0 /

/M p I

p  

 

 (*)

Khi M0 = I0 =10 thỡ p 8,6; 0,06; 0,02

0
0









  

I
p
M

p

. Cỏc hệ số co gión là:

024
,
0
;

070
,
0

0 /

/   

 M p I

p 

 . Thay kết quả vào (*) cú:

046
,
0
024
,
0
070
,

0  





Như vậy, tại mức M0 = I0 = 10 và M0, I0 cùng tăng 1% thỡ giỏ cõn bằng ptăng 0,046%. Túm lại,

nhận định giá cân bằng p không đổi là nhận định sai.

Bài 4 Cho mụ hỡnh:

Trong đó: Y-thu nhập; C-tiêu dùng; T0-thuế; I0- đầu tư; G-chi tiêu chính phủ.

1. Giải thớch ý nghĩa kinh tế của a, b, g.

2. Xác định trạng thỏi cõn bằng (Y*, C*, G*) bằng qui tắc Cramer.

3. Cú ý kiến cho rằng nếu thuế T0 tăng thỡ thu nhập cõn bằng giảm, nhưng chi tiêu chính phủ ở

trạng thái cân bằng tăng; ý kiến đó có thoả đáng?

4. Cho b = 0,7; a = 50, g = 0,1; I0 = 500; T0 = 50. Hóy cho biết nếu chỉ có thuế tăng 1% thỡ thu

nhập cõn bằng giảm bao nhiờu %?

Giải

Cõu 1 Ta cú a là mức tiờu dựng khi thu nhập sau thuế: Y-T0 = 0; b là MPC(Y-T0); g- suất chi tiêu

chính phủ - hay mức tăng lên của chi tiêu chính phủ khi thu nhập quốc dân Y tăng 1 đơn vị.

Cõu 2 Áp dụng qui tắc Cramer ta cú kết quả:

















0
0
1
,
0
3
9

3
,
0
2
32

I
P
Q

M
P

Q
Q
Q

S
D




























1
&

)
1
0

(

)
;

1
0

0
(
)

( 0 0

g
b
g

gY
G

a
bT
b
a

T
Y
b
a
C

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

)
(

)
1
)(
(

0
0

bT
a
I
g
D

bT
g
bT

a

D

bT
a
I
D

b
g
D

G
C
Y




















Khi đó:

)
,
,
,
,
(

1 0 0

0 f a b g I T

g
b

bT
a
I

Y 










)
,
,
,
,
(
1

)
(

0
0
0

T
I
g
b
a
g
g

b
bT
a
I
g

G 










Cõu 3 Ta cú: 0

1
0









 

g
b

b
T

Y

hay khi thuế tăng thu nhập cân bằng giảm là nhận định đúng. Ta

lại có: 0

1
0









 

g
b

gb
T

G

hay khi thuế tăng thỡ chi tiờu chớnh phủ tăng là nhận định sai.

Cõu 4 Thay cỏc số liệu trong giả thiết vào biểu thức thu nhập cõn bằng cú:

2575; 3,5

0





 



T
Y

Y .

Khi đó: ( 3,5) 0,068

2575

50
0

/ 0     



  



T
Y
Y
T
T
Y

 - thu nhập cõn bằng giảm 0,068%.

Bài 5 Cho mụ hỡnh thu nhập quốc dõn:

Trong đó: Y-thu nhập quốc dân; C-tiêu dùng; I0-đầu tư; X0-xuất khẩu; M-nhập khẩu; Yd-thu nhập

sau thuế.

1. Giải thớch ý nghĩa kinh tế của t?

2. Xác định thu nhập ở trạng thái cân bằng.

3. Cho Cho biết nền kinh tế có thặng dư hay

thâm hụt thương mại; có thặng dư hay thâm hụt ngân sách?

Giải

Cõu 1 Ta cú: Yd Y T (1t)Y T tY- như vậy t là mức tăng lên của thuế khi thu nhập Y
tăng 1 đơn vị hay t là thuế suất.

Cõu 2 Thay Yd vào cỏc biểu thức của C và M ta cú:

)
3
(

)
2
(

)
1
(

)

1
(

0
0
0
















Y
t
M

Y

t
C

M
X
G
I
C
Y




Ta có thể thay (2),(3) vào (1) để có:

)
1
(
)
1
(
1

0
0
0

t
t

X
G
I
Y














 (4)


























)
1
0
(
)
1
(

)
1
0

(

)
1
0

(
0
0
0

t
Y

Y
M

Y
C

M
X
G
I
C
Y

d
d
d







.
1
,
0
;
250
;

400
;

250
;

2
,
0
;
8
,

0  0 0 0 

  I G X t

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN 
Cõu 3 Thay cỏc số liệu trong giả thiết vào (4) cú:

52
,
1956
* 

Y .Ta lại cú: M* (1t)Y 0,2(10,1)1956,52352,17. Tương tự:
65

,
195
52
,
1956
1
,
0

*   





tY

T . Khi đó: X0M250352,170- nền kinh tế có thâm hụt

thương mại; T*G0 195,654000-nền kinh tế cú thõm hụt ngõn sỏch.

Bài 6 Cho mụ hỡnh nền kinh tế:

Trong đó: Y-thu nhập quốc dân; C-tiêu dùng; I-đầu tư; X0-xuất khẩu; M-nhập khẩu; L-cầu tiền;

r-lói xuất, Ms-cung tiền, Yd-thu nhập sau thuế.

1. Hóy xỏc định thu nhập và lói suất cõn bằng .

2. Cho G0 = 400; I0 = 20; X0 = 150; t = 0,1; Ms = 400; cho biết hiện trạng của cán cân thương mại

và tỡnh trạng ngõn sỏch chớnh phủ. Tỡm hệ số co gión của Y* theo M

s, giải thớch ý nghĩa kinh tế

của hệ số này?

Giải

Cõu 1 Điều kiện cân bằng trên thị trường tiền tệ:
)
1
(
1200

4
,

0 s

s Y r M

M

L   

Thay Yd vào C, M; tiếp đó thay I, C, M vào phương trỡnh của Y ta cú:

)
2
(
2000

)
7
,
0
3
,
0
(

)
1
(

1
,
0
2000

)
1
(
8
,
0

0
0
0

X
G
I
r
Y

t

Y
t

X

G
r
I

Y
t
Y



















Ghộp (1) và (2) ta cú hệ:

)
3
(
2000

)
7
,
0
3
,
0
(

1200
4

,
0

0
0
0
















X
G
I
r
Y

t

M
r

Y s

Áp dụng qui tắc Cramer với (3) ta cú:

t

M
X

G

I

Y s

840
1160

2000
)

(

1200 0 0 0









t

M
t
X

G
I

r s

840
1160

)
7
,
0
3
,
0
(
)
(

4
,

0 0 0 0











Cõu 2 Thay giả thiết vào kết quả trên nhận được:
064

,
0
;
93
,

1192 

 



r
Y

Nhập khẩu cõn bằng: M 0,1.0,9.Y 107,36150 X0-Nền kinh tế có thặng dư thương mại.
Thuế cõn bằng: T 0,1Y 119,293400G0-Nền kinh tế cú thõm hụt ngõn sỏch.

Bài 7 Cho mụ hỡnh:




























s
d

d
d

M
L

r
Y

L

r
I

I

Y
t
Y

Y
M

Y
C

M
X
G
I

C
Y

1200
4

,
0

2000
)
1
(

1
,
0

8
,
0

0
0

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

1. Trong mụ hỡnh trờn cỏc biến kinh tế nào là cỏc biến nội sinh, cỏc biến nào là cỏc biến ngoại
sinh?

2. Tỡm Y*, r* cõn bằng. Dựng lý thuyết hệ hàm ẩn phân tích tác động của M

s, G0 tới thu nhập và

lói suất cõn bằng.

3. Cho Ms=1500; xác định mức chi tiêu chính phủ để cân đối được ngân sách.

4. Cho G0=94, Ms=1500; tỡm cỏc hệ số co gión của Y* theo G0, M0 và giải thớch ý nghĩa của kết

quả. Cho biết tỡnh trạng của ngõn sỏch chớnh phủ.

Giải

Cõu 1 Mụ hỡnh cú 6 phương trỡnh nờn cỏc biến nội sinh là 6 gồm: Y, C, I, T, L, T; cỏc biến ngoại
sinh là: G0, Ms.

Cõu 2 Ta cú kết quả:

)
100
(

50 0 





 M G

Y s và

500
4

,
0

5 0  



 G Ms

r .

Phõn tớch tĩnh so sỏnh

Ta cú hệ: (*)

100
4

,
0

50
5

0
















G
r
Y

M
r

Y s

Trong đó: Y Y(Ms,G0);r r(Ms,G0).

Lấy đạo hàm riêng toàn phần hệ (*) theo Ms ta cú:

(**)
0

4
,
0

1
50






























s
s

M
r
M

Y

M
r
M

Y

Hệ (**) cú nghiệm:

0
25

1




 

s
M

Y

- hay lượng cung tiền Ms tăng thỡ thu nhập cõn bằng tăng.

0
25

4
,
0






 
s
M

r

-hay lượng cung tiền Ms tăng thỡ lói suất cõn bằng giảm.

Tương tự lấy đạo hàm riêng toàn phần hệ (*) theo G0 ta sẽ tỡm được

0
0

G

r
G
Y





  

Cõu 3 Ms = 1500 thỡ cú:

25
50

6500 G0

Y   . Điều kiện cân đối được ngân sách là:

.
80
25

,
0

25 0 0

0    

 



G
G
Y
G

T

Cõu 4 Khi G0 = 94, Ms = 1500 cú: Y* = 448; ta cú:
































s
M
L

r
Y
L

r
I

Y
T

T
Y
C

G
I
C
Y

50
5
65

25
,
0
25

)
(
8
,
0
15

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

42
,
0

;

13
,
0

0
/

/   

 M Y G

Y s 



Bài 8 Cho mụ hỡnh:

Trong đó: Y-thu nhập quốc dân; C-tổng tiêu dùng; I-tổng đầu tư; Ms-lượng cung tiền; G0-chi tiờu

chớnh phủ, r-lói suất.

1. Xác định thu nhập, tiêu dùng và lói suất cõn bằng.

2. Cho biết khi b tăng lên, các yếu tố khác không đổi thỡ thu nhập cõn bằng tăng hay giảm vỡ sao?
3. Cho biết khi b giảm đi, các yếu tố khác khơng đổi thỡ lói suất cõn bằng tăng hay giảm, vỡ sao?

Giải

Cõu 1 Thay I, C vào biểu thức của thu nhập Y cú:



1b(1t)



Y lraeG0.

Ta cú hệ:



1 (1 )



0 (*)















s
M
hr
kY

G
e
a
lr
Y
t
b

Áp dụng quy tắc Cramer cú:





lk
t
b
h

lM
G
e
a
h

Y s












)
1
(

)

( 0







b t



lk

h

t
b
M
G
e
a
k

r s














)
1
(
1

)
1
(
1
)

( 0

Y* > 0 theo giả thiết; r* > 0 nếu k(aeG0)Ms



1b(1t)



0 (**).

Cõu 2 Ta cú:











1 (1 )



)
1
(
)

(

0 













 

lk
t
b
h

t
h
lM
G
e

a
h
b

Y s

hay b tăng thỡ thu nhập cõn bằng tăng.

Cõu 3 Tương tự có:







1 (1 )



)
1
(
)

1
(

2 












 

lk
t
b
h

t
TSh
MS
t
M
b

r s

hay b tăng thỡ lói suất cõn bằng tăng.

Bài 9 Hàm doanh thu trung bỡnh của một hóng độc quyền dạng: AR=240-0,5Q

1. Tỡm hệ số co gión của cầu theo giỏ tại mức giỏ p = 190; giải thớch ý nghĩa kinh tế của hệ số
này?

2. Tỡm hàm doanh thu biờn; giải thớch ý nghĩa kinh tế của tỷ số khi Q=100.

3. Xác định mức biến động của TR(Q) khi doanh nghiệp tăng lượng hàng bán ra từ 80 lên 100 đơn
vị?

4. Cho hàm chi phớ . Điểm hồ vốn của hóng cú thuộc khoảng

(30,40) khụng? Vỡ sao?

Giải

Cõu 1 Do AR(Q) = p nên có hàm cầu ngược: p = 240-0,5Q. Khi p = 190 thỡ Q = 100; và hệ số co

gión của cầu theo giỏ: 3,8

)
5
,
0
(

1
100
190
/

/      

dQ
dp

Q

p
dp
dQ
Q

p
p
Q

 . Tại mức giá p = 190 nếu

giá tăng 1% cầu giảm 3,8%.

Cõu 2 Hàm TR(Q)=AR(Q).Q=240Q-0,5Q2



































)
0
,
(

)
1
;

0
,
(

)
1
,
0
;
0
(
)
1
(

)
0
( 0
0

h
k
hr
kY
M

b
l
l
e

lr

e
I

t
b
a

Y
t
b
a
C

G
G

I
C
Y

s

)
(

Q
AR

Q
MR

3
2 0,25
2

40 Q Q Q

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

khi đó hàm doanh thu biên MR(Q)TR(Q)240Q.

Ta cú: 0,73

190
140
5

,
0
240

240
)

(
)

(
/

)
(

)
(
)

(
)

( 100

/ 











 TR Q Q



Q
Q
dQ

Q
dTR
Q

TR
Q
Q

Q
TR

Q
R
T
Q
AR

Q

MR 

- hay tại mức
sản lượng Q = 100 mà tăng Q lên 1% thỡ doanh thu tăng 0,73%.

Cõu 3 Mức tăng lên của tổng doanh thu là: 







 
100

80
100

)
240
(
)

(Q dQ Q dQ

MR
A

.
3000
|

2
240 10080


Q

Q

Cõu 4 Ta cú hàm lợi nhuận: (Q)TR(Q)TC(Q)0,25Q31,5Q2 228Q40
(Q)0,75Q2 3Q2280Q1 15,54;Q2 19,54
Bảng xét dấu:

Q  -15,54 0 19,54 
- 0 | + 0 -

)
(Q

 | đồng biến | nghịch biến 
Nhận thấy hàm (Q) nghịch biến khi Q > 19,54. Mặt khác lại có:












4520
)

40
(

0
1400
)

30
(



Kết hợp cả 3 ý trên thì ta kết luận phương trình (Q)0có duy nhất một nghiệm Q(30,40)-
chính là điểm hồ vốn của hãng.

Bài 10 Cho mụ hỡnh thị trường hàng hoá:

Với: p-giá một đơn vị hàng hoỏ (p >0) .

Chứng minh rằng thị trường trên luôn tồn tại trạng thái cân bằng và giá cân bằng không thể lớn
hơn 1.

Giải Xét hàm dư cung:      

p
p

f( ) 10 21 15 là hàm liờn tục khi p > 0.
Giỏ cõn bằng nếu cú ký hiệu là 

p thỡ tại đó ln có:
S(p)D(p) f(p)S(p)D(p)0

Như vậy, ta phải chứng minh phương trỡnh f(p)0 cú duy nhất một nghiệm (01).

Ta đó cú:      

p
p

f( ) 10 21 15 là hàm liờn tục khi p > 0.

Mặt khỏc: f(p)10p121p115p10 p0 hay f(p) đồng biến.
Ta lại cú: f(1)1021150

Và:  

 ( )

lim

p
f
p

Từ 3 điều trên thỡ phương trỡnh f(p)0 cú duy nhất một nghiệm (01) hay giá cân bằng tồn
tại và không thể lớn hơn 1.

Bài 11 Cho mụ hỡnh thị trường hàng hố A có dạng;

)
(Q













 

)
1

,
,
(
21

10
15










p
p

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

Trong đó: p-giá hàng A (p > 0), Y0 (Y0 > 0) là thu nhập.

1. Chứng minh rằng thị trường hàng A luôn tồn tại trạng thái cân bằng.

2. Dùng đạo hàm hàm ẩn phân tích biến động của giá cân bằng khi thu nhập Y0 thay đổi. Sử dụng

hàm cung, hóy phõn tớch biến động của lượng cân bằng khi Y0 thay đổi.

3. Sử dụng qui tắc tính đạo hàm của hệ hàm ẩn để phân tích biến động của trạng thái cân bằng khi
Y0 thay đổi.

Giải

Cõu 1 Hàm dư cung: f(p)1,5p0,24p0,12Y02 Y0
+ Hàm dư cung xác định, liờn tục p0.

+ Ta lại cú: f(p)0,3p0,80,4p1,1 0 p0
khi đó hàm dư cung là hàm đồng biến p0.

+ Mặt khỏc lại cú:

0
0

2
4
5
,
1
)
1

(    Y02 Y0  Y0 

f





 f(p)
Lim
p

Khi đó theo định lý về giá trị trung gian của hàm liên tục phương trỡnh f(p) = 0 cú duy nhất một
nghiệm và nghiệm đó lớn hơn 1- nghiệm này chính là giá cân bằng.

Cõu 2 Ta luụn cú: ( , ) 1,5( ) 4( ) 2 0 0

2
0
1
,
0
2

,
0

0     







Y

Y
p

p
Y

p

F xác định ẩn hàm p  p(Y0).

Theo qui tắc đạo hàm hàm ẩn có: 0

)
(
4
,
0
)
(
3
,
0

1
4
/

,
1
8

,
0

0
0














     



p

Y
p

F
Y
F
dY

dp

Hay Y0 tăng thỡ giỏ cõn bằng p

* tăng.

Ta lại cú:
















)
(

)
(
5
,
1
)
(

2
,
0

Y
p
p

p
p

S
Q

Khi đó: 0,3( ) 0

0
8
,
0
0




    





dY
dp
p

dY
dp
dp
dQ

dY

dQ

- hay khi Y0 tăng thỡ lượng cân bằng Q* tăng.
Cõu 3 Sử dụng cả hai hàm cung và cầu ta cú hệ:

(*)
0
2

)
(
4

0
)
(
5
,
1

0
2
0
1
,
0

,
0





















Y
Y
p

Q

p

Q

xác định ẩn hai hàm số: QQ(Y0);p p(Y0).
Lấy đạo hàm toàn phần hệ (*) theo Y0 cú kết quả:

(**)
1

4
)

(
4
,
0

0
)

(
3
,
0

0
0
1
,
1
0

0
8
,
0
0



























Y
dY
dp
p

dY
dQ

dY
dp
p

dY
dQ

Ta có định thức Jacobi dạng:














0
2
0
1
,
0

2
,
0

2
4

5
,
1

Y
Y
p

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

8
,

0
1

,
1
1

,
1

8
,
0

)
(
3
,
0
)
(
4
,
0
)

(
4
,
0

)
(
3
,
0

1   









 p p

p
p
J

Theo qui tắc Cramer cú:

)
1
4
(
)
(
3
,
0
)

(
4
,
0
1
4

)
(
3
,
0
0

0
8
,
0
1

,
1
0

8
,
0








    





J
Y
p

J
p

Y

p
dY

dQ

0
1
4
1
4
1

0
1

0
0









J
Y
J

Y
dY

dp

Ta dễ nhận thấy các kết quả nhận được trùng với các kết quả đó cú ở phần trên. Như vậy, khi thu
nhập Y0 tăng thỡ cả giỏ cõn bằng và lượng cân bằng đều tăng.

Bài 12 Cho mụ hỡnh thị trường A dạng:

Trong đó: Y0-thu nhập; T0-thuế; p-giỏ; Y0,T0, p > 0.

1. Chứng minh rằng thị trường hàng A luôn tồn tại trạng thái cân bằng.

2. Dùng đạo hàm hàm ẩn phân tích biến động của giá cân bằng khi thu nhập Y0 thay đổi; khi T0

thay đổi.

3. Sử dụng hàm cung, hóy phõn tớch biến động của lượng cân bằng khi Y0 thay đổi; sử dụng hàm

cầu để phân tích sự biến động của lượng cân bằng khi T0 thay đổi.

4. Sử dụng qui tắc tính đạo hàm của hệ hàm ẩn để phân tích biến động của trạng thái cân bằng khi
Y0, T0 thay đổi.

Giải

Cõu 1 Trước hết ta đặt điều kiện để cung và cầu đều dương:

Ta giải hệ: 60 50 0,15 (*)

)
0
(

60
15
,
0
50
0

0
0

Y
p

p
do
p

Y
p

S
D























Ta có hàm dư cung:

0
0

3
,
0
2
100
1

2
,
0
12
)
(
)
(
)

( p Y

T
p
p

D
p

S
p

f   







 với điều kiện (*).

Ta lại cú: 2 0

1
4
,
0
)
(

0






T

p
p

f - hàm dư cung là hàm đồng biến.

Mặt khỏc cú: f( 60)D( 60)1002 600,3Y0 0

0
1

)
15
0225

,
0
2500
(
2
,
0
12
)
15
,
0
50
(
)
15

,
0
50
(

0
2
0
0

0  












T

Y
Y

Y
S

Y
f

Khi đó theo định lý về giá trị trung bỡnh của hàm liờn tục phương trỡnh f(p) cú duy nhất một
nghiệm và nghiệm đó thoả món (*)- hay đó chính là giá cân bằng.

Cõu 2 Giỏ cõn bằng thoả món:
















0
2

1
2
,
0
12

3
,
0
2
100

T
p
S

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN 
)
,
,
(
0
3
,
0
)
(
2
100

1
)
(
2
,
0
12
)
(
)
(
)

( 0 0 0

0
2
T
Y
p
F
Y
p
T
p
p
D
p
S
p

f  




     





 (**)

Hệ thức (**) xác định ẩn hàm hai biến p  p(Y0,T0); khi đó theo qui tắc tính đạo hàm hàm ẩn có
kết quả sau:

0
1
4
,
0
2
3
,
0
1
4
,
0

2
3
,
0
/
/
0
0
0
0






















T
p
T
p
p
F
Y
F
Y
p

-hay Y0 tăng thỡ giỏ cõn bằng

tăng.

Tương tự có: 0

1
4
,
0
2
)
1
(
)
(
2
,

0
12
/
/
0
2
0
2
0
0



















T

p
T
p
p
F
T
F
T
p

vỡ giỏ cõn bằng p* thoả món (*).

Cõu 3 Ta cú:


















)
,
(
1
)
(
2
,
0
12
)
(
0
0
0
2
T
Y
p
p
T
p
p
S
Q

Khi đó có: 0

1
4

,
0
0
0
0
0











   



Y
p
T
p
Y
p
p
Q
Y

Q

- hay Y0 tăng thỡ Q* tăng (với điều kiện T0 không đổi).

Tương tự ta cũng cú:














)
,
(
3
,
0
2
100
)
(
0

0
0
T
Y
p
p
Y
p
p
D
Q

Khi đó có: 2 0

0
0
0











  




T
p
T
p
p
Q
T
Q

-hay thuế tăng lượng cân bằng giảm.

Ta dùng hàm cung để phân tích biến động của lượng cân bằng khi T0 tăng, dùng hàm cầu để phân

tích biến động của lượng cân bằng khi thu nhập Y0 thay đổi; tuy nhiên cách làm này thường khơng

thuận lợi bằng cách ta đó làm trờn.

Cõu 4 Ta cú hệ:





































0
1
)
(

2
,
0
12
0
3
,
0
2
100
1
)
(
2
,
0
12
3
,
0
2
100
0
2
0
0
2
0
T
p

Q
Y
p
Q
T
p
Q
Y
p
Q
(*)

Hệ (*) xác định ẩn hai hàm số hai biến số là: Q Q(Y0,T0) và p  p(Y0,T0).
Lấy đạo hàm riêng toàn phần hệ (*) theo Y0 ta cú:























































0
1
4
,
0
3
,
0
2
0
1
4
,
0
0
3
,
0
2
0
0
0
0

0
0
0
0
0
0
Y
p
T
p
Y
Q
Y
p
Y
Q
Y
p
T
p
Y
Q
Y
p
Y
Q
(**)

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Ngô văn Mỹ-Toán Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

0
0

1
4
,
0
2
1

4
,
0
1

2
1

T
p
T

p
J









  

Theo qui tắc Cramer cú:

0
1

12
,
0
1

4
,
0
0

2
3
,
0

0
0

















J
T

p
J

T
p
Y

Q

- hay khi Y0 tăng lên thỡ Q* tăng.

Tương tự có:

0
3
.
0
0

1
3
,
0
1







 

J
J

Y
p

-hay Y0 tăng thỡ giỏ p* tăng.

Các kết quả nhận được đều trùng với các kết quả đó cú. Tương tự nếu lấy đạo hàm riêng tồn phần
hệ trên theo T0 ta sẽ tính được các đạo hàm cũn lại.

Bài 13 Cho mụ hỡnh thị trường 1 hàng hoá:

1. Xác định trạng thái cân bằng.

2. Giả sử Chính phủ đánh một lượng thuế là t trên một đơn vị hàng bán ra; hỏi phải định t là bao
nhiêu thỡ tổng thuế thu được là cực đại.

3. Phải chăng khi thuế tăng 1% thỡ giỏ cõn bằng tăng 1%?

Giải

Cõu 1 Trạng thái cân bằng là nghiệm của hệ;

























150
60
2

30
5
,
0
180

2
2

p
Q
Q

p

Q
p

Cõu 2 Khi có thuế t thì trạng thái cân bằng mới là nghiệm của hệ:

















0
;

2
30

5
,

0
180

2
2

t
p

Q
p

Q
t

p

s
s
s

Ta có lượng cân bằng: (0 150)

5
,
2
150

~   

t
t

Q

Tổng thuế thu được: max

5
,
2
150

~  

tQ t t

T

Nhận thấy T đạt lớn nhất cùng với 2,5T3 hay xét: f(t)t2(150t)max

Ta ln có:

0
100
0

3
300
0

)
(










t t t tt

f

f (100)0












2
30

5
,
0
180

s
d
Q
p

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Ngô văn Mỹ-Toán Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

Vậy lượng thuế thu được đạt cực đại tại t*=100.

Câu 3 Khi có thuế giá cân bằng thị trường là giá người mua:

5
150
5

4
150

~p p t t t t

s     



có: 1

750
~
~
/

~ 





t
t
dt

p
d
p
t
t
p

 - vậy khi tăng t lên 1% thì p~tăng chưa tới 1%.

Bài 14 Cho hàm: ; với Q là sản lượng (Q  0).
1. Tỡm hàm VC(Q); AVC(Q). Xỏc định FC.

2. Tỡm hệ số co gión của tổng chi phớ theo Q tại mức Q = 10 và giải thớch ý nghĩa kinh tế của nú.
3*. Tỡm cỏc hàm MC(Q) và AC(Q); chứng minh rằng MC cắt AC tại điểm mà AC(Q) đạt cực tiểu.

Giải

Câu 1 Ta có: FCTC(0)75; VC(Q)TC(Q)FCQ35Q214Q.

Khi đó có: ( ) ( )  25 14

Q
Q
Q

Q
VC
Q
AVC

Câu 2 Ta có TC(10) = 715; lại có: MC(Q)TC(Q)3Q210Q14MC(10)214

Khi đó: .214 2,99

715
10
)

(

.
)
(

/   


Q
Q

TC MC Q

Q
TC

Q



Ý nghĩa kinh tế: Tại mức Q = 10 mà ta tăng Q lên 1% thì tổng chi phí tăng lên xấp xỉ 2,99%.

Câu 3 Ta có:

Q
Q

Q
TC
Q

AC( ) ( )  25 1475

( ) 2 5 75 0

2 






Q
Q

Q
C

A (1)

Vế trái của (1) là hàm số liên tục khi Q > 0 và có:

( ) 2 150 0 0

3   




 Q

Q
Q

C

A - vế trái của (1) đồng biến khi Q>0

Mặt khác lại có:















Q

Q
C
LimA

C
A

)
(

0
)
1
(

Từ các kết quả trên ta kết luận hàm AC(Q) đạt cực tiểu tại một điểm Q* > 0 thoả mãn:

0
)
(

75
5
2

2 



 



Q

Q (2)

Xét: ( ) ( ) 25 14753 210 142 25 750

Q
Q
Q
Q

Q
Q
Q

Q
Q
MC
Q

AC

0
75
5
2

0
)
75
5
2

(   2     2 

Q
Q

Q (3)

Để ý đến (2) thì (3) có nghiệm là Q* hay MC(Q) cắt AC(Q) tại điểm mà AC(Q) đạt cực tiểu.

(Ta cũng có thể dùng máy tính để tính gần đúng Q*). 
Bài 15 (Quan hệ giữa hàm tổng và cỏc hàm suy dẫn)

Cho hàm tổng T(x) (chẳng hạn đó là hàm tổng chi phớ, hàm tổng doanh thu,…)
75

14
5

)

(Q Q3  Q2 Q

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

1. Hóy viết hàm cận biờn M(x); hàm trung bỡnh A(x).
2. Giải thớch ý nghĩa của tỷ số: .

3. Chứng tỏ rằng, khi A(x) đạt cực trị tại x* thỡ M(x*)=A(x*).

4. Hóy nờu qui tắc chung để vẽ các đường A(x) và M(x) lên cùng một hệ trục toạ độ khi A(x) có
cực trị.

5. Cú kết luận gỡ về hệ số co gión của T theo x tại điểm mà A(x) đạt cực trị.

Giải

Câu 1 Hàm cận biên M(x)T(x); hàm trung bình ( ) ( ) (x0)

x
x
T
x

A .

Câu 2 Ta có: T x

dx
x

dT
x
T

x
x

A
x
M

/
)
(
)
(
)
(

)

(  

- hệ số co giãn của hàm T(x).

Câu 3 và 4 Ta có: ( ) ( ) (x0)

x
x
T

x
A

)
(
).
(
)
(

x
x
T
x
x
T
x

A   

Khi A(x) đạt cực trị tại x* thì:

)
(
)
(

)
(
)
(
0
)
(
)
(
0
)

(    




          

 T x A x M x

x
x
T
x

T

x
x
T
x

A

a. Nếu A(x) đạt cực tiểu tại x* thì:

+ Khi xx có: ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) M(x) A(x)

x
x
T
x
T
x

T
x
x
T
x

A           (1)

Hệ thức (1) chứng tỏ khi xxthì đồ thị của đường M(x) thấp hơn đồ thị của A(x).

+ Khi xx có: ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) M(x) A(x)

x
x
T
x
T
x

T
x
x
T
x

A           (2)

Hệ thức (2) chứng tỏ khi xxthì đồ thị của đường M(x) cao hơn đồ thị của A(x).

b. Nếu A(x) đạt cực đại tại x* thì:

+ Khi xx có: ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) M(x) A(x)

x
x
T
x
T
x

T
x

x
T
x

A           (3)

Hệ thức (3) chứng tỏ khi xxthì đồ thị của đường M(x) cao hơn đồ thị của A(x).

+ Khi xx có: ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) M(x) A(x)

x
x
T
x
T
x

T
x
x
T
x

A           (4)

Hệ thức (4) chứng tỏ khi xxthì đồ thị của đường M(x) cao hơn đồ thị của A(x).

Câu 5 Ta có: 1

)

(

)
(
)
(
)
(

/     








x
A

x
M
x

T
x
T

x

x
T


Bài 16 Lượng cầu về hàng hoá A phụ thuộc vào giá p dạng:

1. Hệ số co gión của DA cú phụ thuộc vào giỏ p hay khụng?

)
(

x
A

x
M

)
0
,

( 

 k n

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

2. Với n = 1; hóy tớnh và giải thớch ý nghĩa kinh tế của cỏc kết quả đạt được.

Giải

Câu 1 Ta có:

 

/  




 kp n

p
k

p
dp

dD
D

p n

n
A

A
p
A
D

 - hệ số co giãn không phụ thuộc giá.

Câu 2 Khi n = 1 có: DA kp1DA (1)kp20DA 2kp30 p0

Đây là tình huống kinh tế mà giá tăng lên cầu giảm và tốc độ giảm của cầu theo giá tăng khi giá
tăng (hoặc nói đơn giản: giá tăng cầu giảm với nhịp tăng).

Bài 17 Dõn số của một quốc gia là: ; tổng tiờu dựng của quốc gia này là:
; trong đó t là biến thời gian.

1. Giải thớch ý nghĩa của H0, C0.

2. Tỡm nhịp tăng trưởng của tiêu dùng tính trên đầu người của quốc gia trên.

Giải

Câu 1 Xét H(t)H02at H(0)H02a.0H00- vậy H0 là dân số vào thời điểm gốc.

Tương tự xét: C(t)C0ebt C(0)C0eb.0 C00- Vậy C0 là tiêu dùng vào thời điểm gốc.

Câu 2 Từ . 2 . ..ln2 ln2

2
1
1

2
)

( 0

0 H a a

H
dt
dH
H
r
H

t

H at

at
H

at    



Tương tự có: rC b. Tiêu dùng tính trên đầu ngưịi là C/H; khi đó áp dụng cơng thức nhịp tăng

trưởng của một thương có:

2
ln

/ r r b a

rC H  C  H  

Bài 18 Cho G = G(t), S = S(t) lần lượt là các hàm xuất khẩu hàng hoá và dịch vụ của Việt nam;
biết nhịp tăng trưởng của xuất khẩu hàng hoá rG = a (a > 0), nhịp tăng trưởng của xuất khẩu dịch

vụ rS = b (b > 0). Hóy viết biểu thức của nhịp tăng trưởng của tổng xuất khẩu X(t) = G(t) + S(t).
Giải

Áp dụng công thức nhịp tăng trưởng của một tổng có:

b
t
S
t
G

t
S
a

t
S
t

G

t
G
r

t
S
t
G

t
S
r

t
S
t
G

t
G

rX G S

)
(
)
(

)
(
)

(
)
(

)
(
)

(
)
(

)
(
)

(
)
(

)
(













Bài 19 Cho xuất khẩu của Việt nam là: ; nhập khẩu của Việt nam là:
.

1. Giải thớch ý nghĩa kinh tế của X0, M0, a, b.

2. Tỡm nhịp tăng trưởng của xuất khẩu rũng NX(t) = X(t) - M(t).

3*. Giả sử vào thời điểm gốc có thâm hụt thương mại; hóy cho biết diễn biến của cỏn cõn thương
mại trong tương lai.

Giải

Câu 1 Lập luận tương tự các bài tập đã có thì:

X0 - xuất khẩu vào thời điểm gốc; M0 - nhập khẩu vào thời điểm gốc; và có: rX a,rM b.
Câu 2 Áp dụng công thức nhịp tăng trưởng của một hiệu có:

2
2

dp

D
d

D A

A 

)
0
,
(

2 0

0 

H H a

H at

)
0
,
( 0

0 

Ce C b

C bt

)
0
,
(
)

(t X0e X0 a

X at

)
0
,
( 0

0 

M e M b

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

b
t
M
t
X

t
M
a

t
M
t
X

t
X
r

t
M
t
X

t
M
r

t
M
t
X

t
X

rEX X M

)
(
)
(

)
(
)

(
)
(

)
(
)

(
)
(

)
(
)

(
)
(

)
(













Câu 3 Theo giả thiết có thâm hụt thương mại vào thời điểm gốc nên có: M0 > X0 (1). Khi đó có 2

tình huống xảy ra:

a. Nếu nhịp tăng trưởng của xuất khẩu không vượt quá nhịp tăng trưởng của nhập khẩu thì thâm
hụt thương mại duy trì vĩnh viễn. Thật vậy:





























0
0

0
)

2
(

)
1
(

0
0

t
e
X
e
M
t

e
X
e

M
t

at
X
bt

M
a

X
b

M bt at

at
bt

b. Nếu nhịp tăng trưởng của xuất khẩu lớn hơn nhịp tăng trưởng của nhập khẩu thì sẽ có một thời
điểm EX = 0 và sau thời điểm đó EX > 0. Thật vậy:

0
0
)
(
0

0
)

(
)
(

X
M
e

e
M
e
X
t
M
t

X   at  bt  abt  (3)

Do có giả thiết (1) và a > b nên phương trình (3) có 1 nghiệm dương duy nhất:

b
a

X
M
t




 ln( 0/ 0)

Dễ thấy khi t t X(t)M(t)EX(t)0.

Bài 20 Một hóng độc quyền có hàm sản xuất ngắn hạn là: ; hàm cầu ngược đối với sản
phẩm của hóng là: . Hóng cú thể thuờ lao động với mức lương cố định là 8$/1 đơn
vị.

1. Xác định số đơn vị lao động L cần thuê để lợi nhuận của hóng đạt cực đại.

2. Tỡm hệ số co gión của lợi nhuận theo L tại mức L = 25; giải thớch ý nghĩa kinh tế của hệ số
này?

3. Cho biết hàm thu hút lao động của hóng cú dạng với t là biến thời gian. Hóy tớnh
nhịp tăng trưởng của sản lượng Q.

Giải

Cõu 1 Ta cú:

16
4

2
5

0 Q

L
L

Q   ;

2
8
16

2
2

Q
Q

Lp

TC     ; TR pQ(2002Q)Q. Khi đó:

)
0
(
200

5
,

2 2  



 Q Q Max Q



40
0

200

5    




 

Q
Q



0
5




 ; hàm lợi nhuận là hàm lừm, nờn mức sản lượng cực đại lợi nhuận là Q 40.
Mức sử dụng lao động tối ưu là: L 100.

Cõu 2 Ta cú quan hệ:








)
(

L
Q
Q

Q




Nờn theo qui tắc tớnh hệ số co gión của hàm hợp cú: /L /QQ/L (*)
Khi L = 25 thỡ Q4 2520; (20)3000.

5
,

4L
Q
Q

p2002

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

3
2
)
200
5

(

3000
20
/









 

 





Q

Q Q

Q
dQ
d
Q

; Ta lại cú: /  0,5
dL
dQ
Q

L
L
Q

 . Thay các kết quả

nhận được vào (*) có: 0,33

3
1
/L  



 . Ý nghĩa kinh tế: nếu doanh nghiệp tăng 1% lao động thỡ

lợi nhuận tăng xấp xỉ 0,33%.

Cõu 3 Ta cú quan hệ:

(**)
)

(
)
(

/L L
Q

Q r

r
t
L
L

L

Q
Q














Khi thỡ rL 0,03; và ta đó cú Q/L 0,5 nên từ (**) xác định được: rQ 0,015- có
nghĩa là nhịp tăng trưởng của sản lượng là 1,5% năm (khi đơn vị thời gian là năm).

Bài 21 Cho hàm lợi nhuận bậc hai:

Hóy cho biết cỏc điều kiện đối với các hệ số h, j, k để hàm lợi nhuận trên thoả món đồng thời các
điều kiện kinh tế sau:

1. Khi sản lượng bán ra Q = 0 thỡ lợi nhuận õm
2. Hàm lợi nhuận là hàm lồi ngặt (thực lồi)
3. Lợi nhuận đạt cực đại tại Q* > 0

Giải

Câu 1 Ta phải có: (0)0k0 (1)

Câu 2 Mặt khác: (Q)2hQ j0 và do theo giả thiết h khác khơng nên có nghiệm:
0

2 






h
j

Q khi jh < 0 (2). Để hàm lợi nhuận đạt cực đại tại Q* phải có (Q)0. Ta có:
0

2   



 h h

 (3); kết hợp với (2) thì có: j > 0.

Câu 3 Hơn nữa về mặt kinh tế thì lợi nhuận cực đại phải dương:

0
4
0

2
4
)

( 2

)
3
(
2










hk
j

h
hk
j

Q

 (4)

Tóm lại các hệ số j, h, k thoả mãn cụm điều kiện sau:















0
4
0
0
0

2 hk

j
h
j
k

Bài 22 Cho hàm số:

1. Tỡm ; xác định giao của y với oy; khảo sát tính tăng giảm ; tính lồi lừm của y; vẽ đồ thị
của y.

2. Nếu ta dùng hàm số trên làm hàm chi tiêu (a consumption function) với x là thu nhập; y là lượng
tiêu dựng, thỡ cỏc hệ số a, b, c phải thoả món thờm điều kiện gỡ để có được tính hợp lý về mặt
kinh tế?

Giải

t
e
L1,2 0.03

)
0
(
)

(Q hQ2  jQk Q



)
(Q



)
0
;
0
,
,

(  




 a b c x

x
c

b
a
y



x

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Ngô văn Mỹ-Toán Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

Câu 1 Ta có: a

x
c

b
a
y

x
x










 lim ( )

lim - hay y = a là tiệm cận ngang của đường cong trên khi





x . Ta lại có:

c
b
a

y(0)  là tung độ giao điểm của đường cong đã cho với trục tung. Mặt
khác:








 0 0

)

( 2

x
c

x
b

y hàm số luôn đồng biến









 0 0

)
(

3 x

x
c

b

y hàm đã cho lồi

(Tự vẽ đồ thị)

Câu 2 Để hàm số trên có thể dùng làm hàm tiêu dùng ta cần có điều kiện là:  0

c
b

a (*). Khi đó

tính hợp lý về mặt kinh tế được giải thích như sau:

+ Điều kiện (*) chỉ ra tiêu dùng tự định (tiêu dùng khi thu nhập x = 0 luôn dương)

+ y0- hàm số đồng biến theo x, hay thu nhập x tăng thì tiêu dùng tăng. Thêm vào đó có y0

thì tốc độ tăng của y theo x giảm- có nghĩa là thu nhập tăng thì tiêu dùng tăng nhưng tốc độ tăng

này giảm dần khi x tăng. Hơn nữa, từ a

x
c

b
a
y

x
x










 lim ( )

lim ta thấy khi thu nhập x ở mức

rất rất cao thì tiêu dùng có xu thế bão hồ.

Bài 23 Tỡm hàm tổng chi phớ trong các trường hợp sau:

1. .

2. .

Giải

Câu 1 Họ hàm tổng chi phí có dạng:

C
Q
Q
Q
dQ
Q

Q

dQ

Q
MC
Q

TC( ) ( ) (15 28 3) 5 34 23  (1)
Mặt khác có:

100
)

0
(
100

)
1
(






FC TC C C -hay hàm chi phí thoả mãn đầu bài có dạng:

100
3

4
5
)

(Q  Q3 Q2 Q
TC

Câu 2 Họ hàm tổng chi phí có dạng:

 

 MC Q dQ Qe dQ

Q

TC( ) ( ) 3 . 0,5Q (1)

Áp dụng cơng thức tích phân từng phần: udvuvvdu với:
Q

Q

e
dQ
e

v
dQ
du
Q

u3  3 ;  0,5 2 0,5 khi đó họ hàm chi phí có dạng:

C
e

Qe
dQ
e

Qe
Q

TC( )6 0,5Q6 0,5Q 6 0,5Q12 0,5Q (2)
Thay Q = 0 vào (2) có:

30 = TC(0) = -12 + C, vậy có C = 42 – hay hàm chi phí thoả mãn đầu bài là:

42
12

6
)

(Q  Qe0,5Q e0,5Q 

TC

Câu 3 Họ hàm tổng chi phí có dạng:

100
;

3
8
15
)
(
)

(   2  

 Q MC Q Q Q FC

C

30
;

3 0,5 

 Qe FC

MC Q

90
;

2 0,2 

 e FC

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

     

 MC Q dQ e dQ e d Q e C

Q

TC( ) ( ) 2 0,2Q 10 0,2Q (0,2 ) 10 0,2Q (1)
Thay Q = 0 vào (1) có:

80
10

)
0
(

90FCTC  CC

Hàm chi phí thoả mãn đầu bài có dạng:

80
10

)

(Q  e0,2Q 

TC

Bài 24 Cho khuynh hướng tiết kiệm biên:

1. Hóy tỡm hàm tiết kiệm nếu biết tiết kiệm bằng khụng khi thu nhập Y = 81 $.

2. Cho biết mức tăng lên của tổng tiết kiệm nếu thu nhập tăng từ Y = 100 lờn Y = 200?

Giải

Câu 1 Họ hàm tiết kiệm có dạng:

C
Y
Y
dY

Y
dY

Y
S
Y

S( )



( ) 



(0,30,1 0,5) 0,3 0,2 1/2 (1)
Thay Y = 81 vào (1) có:

5
,
22

2
,
0
81
.
3
,
0
)
81
(

0S   CC

Hàm tiết kiệm thoả mãn đầu bài có dạng:

5
,
22
2

,
0
3
,
0
)

(Y  Y  Y1/2
S

Câu 2 Mức tăng lên của tổng tiết kiệm là:

2
2
32
)

2
,
0
3
,
0
(
)
1
,
0
3
,
0
(
)

(
)

(
)
100
(
)
200

( 200

100
2
/
1
200

100

5
,
0
200

100
200

100       









Y
Y

dY
Y
dY

Y
MPS
Y

S
S

S

Bài 25 Tỡm các hàm tổng doanh thu R(Q) trong các trường hợp sau:
1.

Giải (Ta luôn thừa nhận điều kiện biên là TR(0)=0)

Câu 1 Họ hàm tổng doanh thu có dạng:

C
e

Q

dQ
e

Q
dQ

Q
MR
Q

TR    0,3Q  2 0,3Q

3
10
14

)
28

(
)

( (1)

Thay Q = 0 vào (1) có:

10
3

10
)
0
(

0TR  CC

Hàm tổng doanh thu thoả mãn đầu bài là:
3
10
3

10
14

)

(Q  Q2 e0,3Q
TR

Câu 2 Họ hàm tổng doanh thu có dạng:

C
Q

Q
d

Q
dQ

Q
MR
Q

TR( ) ( ) 10(1 )2 (1 )10(1 )1 (1)
Thay Q = 0 vào (1) có:

10
10

)
0
(

0TR  CC
Hàm tổng doanh thu thoả mãn đầu bài là:

5
,
0
1
,
0
3
,
0
)

(
)

(    

Y MPS Y Y

S

Q
e
Q
Q

R( )28  0,3
2
)
1
(
10
)

(   

Q Q

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

10
1

10
)

( 





Q
Q

TR

Bài 26 Tỡm hàm tổng nhập khẩu M(Y) với Y là thu nhập quốc dõn nếu khuynh hướng nhập khẩu
biên là và M = 20 khi Y = 0. Xác định mức gia tăng của tổng nhập khẩu nếu thu
nhập quốc dân Y tăng từ Y = 2000 lên Y = 2500?

Giải

Họ hàm nhập khẩu có dạng:

C
Y
dY
dY

Y
M
Y

M( ) ( ) 0,1 0,1  (1)
Thay Y = 0 vào (1) có:

20 = M(0) = C hay hàm nhập khẩu thoả mãn đầu bài có dạng:
M(Y)=0,1Y+20

Mức tăng lên của nhập khẩu là:

50
1

,
0
1
,
0
)

(
)

(
)
2000
(
)

2500

( 25002000

2500

2000
2500

2000     



M M Y



M Y dY



dY Y

M

Bài 27 Biết tiêu dùng C bằng thu nhập Y khi Y=100 $ và khuynh hướng tiờu dựng biờn là:
.

1.Tỡm hàm tiờu dựng.

2. Cho biết mức tăng lên của tiêu dùng khi thu nhập tăng từ 100 $ lên 200 $.

3. Tớnh hệ số co gión của tiờu dựng tại mức thu nhập Y = 200 $, giải thớch ý nghĩa kinh tế của nú.

Giải

Câu 1 Họ hàm tiêu dùng có dạng:

C
Y

Y
dY

Y
MPC
Y

C( ) ( ) (0,80,1 0,5) 0,8 0,2 1/2 (1)
Thay Y = 100 vào (1) có:

18
2

80
)
100
(

100C   CC

Hàm tiêu dùng thoả mãn đầu bài có dạng:

18
2

,
0
8
,
0
)

(Y  Y Y1/2
C

Câu 2 Mức tăng lên của tiêu dùng là:



   




 200 

100

5
,
0

200

100

2
2
60
)

1
,
0
8
,
0
(
)

(
100

200
)
(
)
100
(
)
200

( C C Y MPC Y dY Y dY

C

Câu 3 Khi Y = 200 có C(200)1782 2 và

2
2

1
,
0
8
,
0
)
200

(  



C

Ta có:

dY
dC
C
Y

Y
C/ 

 , tại Y=200 có: C/Y 0,924

Tại mức thu nhập Y = 200 nếu thu nhập tăng 1% thì tiêu dùng tăng xấp xỉ 0,924%.

Bài 28 Một hóng cú hàm chi phớ biờn . Hàm doanh thu trung bỡnh
.

1. Hóy xỏc định mức tăng lên của tổng chi phí khi sản lượng tăng từ 10 sản phẩm lên 20 sản phẩm.

1
,
0
)
( 

Y
M

5
,
0
1
,
0
8
,

0
)
(
)

(    

Y MPC Y Y

C

700
2

3 2  

 Q Q

MC
Q

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

2. Cho FC = 30; hóy xỏc định mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận của hóng. Cú ý kiến cho rằng tại
mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận của hóng thỡ TC đạt cực tiểu, đồng thời TR đạt cực đại; ý kiến
này có đúng hay khơng?

3. Cho FC = 30; chứng tỏ rằng đường AC đạt giá trị bé nhất tại

Giải

Cõu 1 Mức tăng lên của tổng chi phí là:

13700
700

)
700
2

3
(
)

(
)

(
)
10
(
)
20

( 20

10
2

10
2
20

10
20

10        



TC TC Q



MC Q dQ



Q Q dQ Q Q Q

TC

Cõu 2 Ta cú: TC(Q)Q3Q2 700Q30; TR(Q)QAR(Q)1900QQ2; khi đó:
)

0
(
max
30

1200
)

(  3   

 Q Q Q Q



20
0

1200
3

)
(

2   




  

Q
Q

Q

Q


0
0

6
)

(    

Q Q Q

 ; do vậy lợi nhuận đạt cực đại tại mức sản lượng Q*=20.

Rừ ràng ý kiến đó là sai vỡ hàm TC(Q) khụng cú cực tiểu; hàm TR(Q) đạt cực đại tại Q**=950. 
Cõu 3 Ta cú: ( ) ( )  2 70030 (Q0)

Q
Q

Q
TC
Q
AC

(*)
0
30
1

2
)
(
)

(     2 



Q
Q

Q
g
Q
C
A

0
0

60
2
)
(
)

(     3   

 Q

Q
Q

g
Q
C

A (**)

Dễ nhận thấy:

+ AC(Q)g(Q) là hàm liờn tục khi Q > 0.
+ Do cú (**) thỡ g(Q) là hàm đồng biến khi Q > 0

+ Ta lại cú: 0.

25
30
5
)
3
(
;
0
30
1
2
)
1

(     g   

g

Ta khẳng định phương trỡnh (*) cú một nghiệm duy nhất Q(1,3) ; đồng thời tại Q* hàm
AC(Q) đạt cực tiểu vỡ (**) chứng tỏ nú là hàm lồi khi Q > 0.

Bài 29 Một công ty độc quyền có hàm cầu ngược: ; hàm chi phớ biờn:
.

1. Tỡm cỏc giỏ trị Q dương để đảm bảo khi công ty tăng sản lượng thỡ doanh thu tăng.

2. Cú ý kiến cho rằng mức sản lượng tối đa hóa doanh thu của cơng ty cũng sẽ tối đa hóa lợi nhuận.
Hóy nhận xột ý kiến này.

Giải

Cõu 1 Ta cú: TR(Q)PQ400Q0,3Q2MR(Q)4000,6Q

Để khi công ty tăng sản lượng doanh thu tăng ta phải có MR(Q) > 0; ta có hệ:
6

,
0
400
0

0
6

,
0
400

0
0

)
(






















Q
Q

MR
Q

Cõu 2 Ta cú: TR(Q)PQ400Q0,3Q2MR(Q)4000,6Q

).
3
,
1
(



Q

Q
P4000,3
100

;
3

0 

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

3
2000
0

)

(Q  Q 

MR

Q
Q

R
T
Q
R

M ( ) ( )0,60 
Hàm TR(Q) đạt giá trị lớn nhất tại

2000




Q .

Từ giả thiết ta cú: TC(Q)0,15Q2100; khi đó hàm lợi nhuận dạng:
100

400
45

,
0
)

(Q  Q2 Q



Dễ chỉ ra được hàm lợi nhuận đạt cực đại tại

9
4000
ˆ 

Q . Tóm lại ý kiến của đầu bài là ý kiến sai.
Bài 30 Một cơng ty độc quyền có hàm doanh thu trung bỡnh ; hàm chi phớ biờn:

và chi phí cố định là FC.

1. Tỡm hàm chi phớ bỡnh quõn của cụng ty trờn. Cho , chứng minh rằng hàm chi phớ
bỡnh quõn đạt giá trị bé nhất tại . Tỡm và cho biết ý nghĩa kinh tế của tỷ số
trờn.

2. Tỡm mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận khi FC thay đổi.

3. Cho biết nếu FC tác động tới mức cung tối ưu; tới lợi nhuận tối ưu của công ty như thế nào?

Giải

Cõu 1 Hàm tổng chi phớ:

)
0
(
25

)
(
25

)

(  3 2     2   Q

Q
FC
Q

Q
Q
AC
FC
Q
Q

Q
Q
TC

(*)
0
1

2
)
(
)

(     2 



Q
FC
Q

Q

g
Q
C
A

0
0

2
)
(
)

(     3   

 Q

Q
FC
Q

g
Q
C

A (**)

Dễ nhận thấy:

+ AC(Q)g(Q) là hàm liờn tục khi Q > 0.

+ Do cú (**) thỡ g(Q) là hàm đồng biến khi Q > 0

+ Ta lại cú: 0

9
5
)
3
(
;
0
1

)
1

(  FC g  FC 

g nếu .

Ta khẳng định phương trỡnh (*) cú một nghiệm duy nhất Q(1,3) ; đồng thời tại
Q* hàm AC(Q) đạt cực tiểu vỡ (**) chứng tỏ nú là hàm lồi khi Q > 0.

Xột hiệu: ( ) ( ) 2 (2 1 ) 0 2 1 2 0

0
2

2          



 

Q
FC
Q

Q
Q
FC
Q
Q
Q
AC
Q
MC

Q

. Để ý đến
(*) ta nhận thấy:

Q
TR
dQ

Q
dTC
Q
TC

Q
Q

Q
TC

dQ
Q
dTC
Q

AC
Q
MC
Q

AC
Q

MC ( ) /

)
(
/

)
(

/
)
(
1

)
(

)
(
)

(
)

(       















Túm lại tỷ số chớnh là hệ số co gión của TC(Q) theo Q tớnh tại Q*- nó cho biết nếu tại
điểm Q* mà sản lượng tăng 1% thỡ tổng chi phớ tăng 1%.

100
;

3
,

0 

 Q FC
MC

Q
AR 325

25
2

3 2 

 Q Q

MC

45
5FC

)
3
,
1
(



Q

)
(



Q
AC

Q
MC

45
5FC

)
(



Q
AC

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN 
Cõu 2 Hàm lợi nhuận: (Q)Q3 300QFCmax

10
0

300
3

)
(

2   




  

Q
Q

Q

Q


0
0

6
)

(    

Q Q Q



Vậy lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất khi Q 10.

Cõu 3 Sản lượng tối đa hoá lợi nhuận không phụ thuộc vào FC. Mặt khỏc ta lại cú:

FC








2000
)

10
(



Khi đó: 10


dFC

d

-hay FC tăng 1 đơn vị thỡ lợi nhuận tối ưu giảm 1 đơn vị.

Bài 31 Cho hàm đầu tư (trong đó t là biến thời gian).
1. Xác định hàm vốn K(t) khi K(0) = 25.

2. Xác định tổng lượng vốn tích luỹ được trong khoảng thời gian .

Giải

Câu 1 Ta có họ hàm vốn dạng:

C
t

dt
t
dt

t
I
t

K( ) ( ) (121/3) 9 4/3 (1)
Thay t = 0 vào (1) có:

25
)

0
(

25K CC

Hàm vốn thoả mãn đầu bài là: K(t)9t4/325.

Câu 2 Lượng vốn tích luỹ được trong khoảng thời gian [1,10] là:

899
,
184
1
10
9
)
(
1
10
)
(
)
1
(
)
10

( 4/3







K K t



I t dt t

K

Bài 32 Một doanh nghiệp cạnh tranh cú hàm chi phớ biờn:
với Q là sản lượng.

1. Xác định mức tăng lên của tổng chi phí khi doanh nghiệp quyết định tăng sản lượng từ Q=5 lên
Q = 10 đơn vị.

2. Cho giá thị trường của sản phẩm của doanh nghiệp là p = 39 và FC = 20. Hóy xỏc định lượng
cung cho lợi nhuận cực đại.

3*. Cho p tăng 1 đơn vị ; hóy xỏc định mức tăng của lượng cung tối ưu Q* và lợi nhuận tối ưu
.

4*. Cho p tăng 1%, hóy xỏc định số % biến động của Q* và .

Giải

Câu 1 Mức tăng của chi phí là:

33
,
258
)

25
12
2

(
)

(
5

10
)
(
)
5
(
)
10
(

5
2
10










TC TC Q



MC Q dQ



Q Q dQ

TC

Câu 2 Với FC = 20 ta có hàm tổng chi phí có dạng:
20

25
6

3
2
)

(Q  Q3 Q2 Q

TC và TR(Q)39Q; khi đó:

max
20

14
6

3
2

)

(Q  Q3 Q2 Q 



3
1

12
)
(t t

I 

 

1,10


t

25
12
2

)

(Q  Q2  Q

MC







</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

7
0

14
12
2

)
(

2    




  

Q

Q
Q

Q


0
)
7
(
12
4
)

(     

 

 Q Q và hàm lợi nhuận là hàm lõm với mọi Q > 0.

Kết luận Lợi nhuận đạt lớn nhất khi Q* = 7 và khi đó (7)143,33.

Câu 3 Đây là một câu khó, phải sử dụng lý thuyết hàm ẩn. Thí sinh đi thi được sử dụng các cơng
thức đã có. Sau đây là chứng minh cho trường hợp tổng quát cho trường hợp công ty cạnh tranh-
hay giá p = const. Khi đó:

max
)

(
)

(Q  pQTC Q 



Điều kiện cần: (Q) pTC(Q)0 (1)

Giả sử nghiệm của (1) là Q* hay có: pTC(Q)0 (2)

Điều kiện đủ:  (Q)TC(Q)0TC(Q)0 (3)

Để phân tích tĩnh so sánh ta phải coi (2) xác định ẩn một hàm Q h(p) hay có:


















)
(

0
)
(
)

,
(

p
h
Q

Q
C
T
p
Q
p
F

Theo quy tắc lấy đạo hàm hàm ẩn:

0
)

(
1
)

(
1
/

/ 














   



Q
C
T

Q
C
T
Q

F
p
F
dp

dQ

do có (3).

Như vậy, nếu giá thị trường p tăng lên thì người sản xuất quyết định cung một lượng lớn hơn.
Ta lại có:

)
5
(

)
4
(
)

(

)
(

















p
h
Q

Q
TC
pQ



Lấy đạo hàm toàn phần (4) theo p có:



























 Q

dp
dQ
dQ
dTC

p
Q
dp
dQ
dQ
dTC
Q

dp
dQ
p
dp
dQ
dQ
d
dp
d

)
(




do có (2).

Trong bài này có: TC(Q)TC(7)16; nên có:

16
1





dp
dQ

và  7



Q
dp
d

4. Ta có: 0,348

16
1
7
39

/   





dp
dQ
Q

p

p
Q


7 1,9

33
,
143

/    





dp
d
p

p







Bài 33 Một doanh nghiệp cú hàm doanh thu biờn : . Hóy tỡm tổng doanh thu
nếu doanh nghiệp định giỏ bỏn sản phẩm p = 715.

Giải

2
3

05
,
0
960
)
(
05

,
0
960
)
(
15

,
0
960
)

(Q Q TR Q Q Q AR Q Q

MR         ; khi đó hàm cầu

ngược của công ty là: p9600,05Q2

Thay p = 715 vào hàm cầu ngược có: 715 960 0,05 70.

2 



  

Q
Q

Q

Khi đó tổng doanh thu là: TR pQ7157050050.

15
,
0

960 Q

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

Bài 34 Công ty độc quyền cú hàm doanh thu biờn .

1. Xác định mức tăng lên của tổng doanh thu khi sản lượng tăng từ Q = 50 đơn vị lên Q = 60 đơn
vị.

2. Xác định doanh thu của công ty khi giá bán sản phẩm p = 70.

3. Cho hàm chi phớ biờn của cụng ty là: và FC = 75. Hóy xỏc định lượng

cung cho lợi nhuận cực đại.

Giải

Cõu 1 Mức tăng lên của tổng doanh thu là:

100
120

)
2
120
(

)

(
)

50
(
)
60

( 60

50
2
60

50
60







TR



MR Q dQ



Q dQ Q Q

TR .

Cõu 2 Ta cú: TR(Q)120QQ2 AR(Q)120Q p (*). Thay p =70 vào (*) thỡ sản lượng
tương ứng Q = 50; hay tại mức giá đó cú: TR50703500.

Cõu 3 Từ giả thiết và FC = 75; sử dụng tích phân bất định tỡm được:

75
110
2

11
3
)
(

2
3






 Q Q Q

Q

TC

Hàm lợi nhuận: 10 75 max

2
9
3
)
(







 Q Q Q

Q



Dễ tỡm được mức sản lượng cực đại lợi nhuận là Q 10.

Bài 35 Xột mụ hỡnh thị trường một hàng hố:

trong đó p là giá.

1. Với giỏ trị nào của p thỡ .

2. Tỡm trạng thỏi cõn bằng.

3. Viết hàm dư cung và hàm dư cầu; khảo sát tính đồng nghịch biến của các hàm này.
4. Xỏc định lượng dư cung và lượng dư cầu.

Giải

Cõu 1 Ta xột hệ:

)
1
(
39
3

0
2
43

0
1
2
0



























p
p

p
Q

Q

d
s

Cõu 2 Note Giá cân bằng là nghiệm của phương trỡnh: Qs = Qd; tuy vậy đây là phương trỡnh vụ

tỷ cú thể gõy khú khăn cho một số thí sinh khơng chắc tốn sơ cấp. Ta có thể trỏnh rắc rối này bằng
cỏch tỡm hàm cung và hàm cầu ngược:

)
3
(
39
4

43
2

)
2
(
3
2
2

2
2



















d
d

d

s
s

s

Q
Q

p

p
Q

Q
Q

p
p

Q

Lượng cân bằng thoả món: 2 3 4 39 3

0
2

2      

Q
Q

Q

. Thay Q* = 3 vào (2) hoặc (3)
xác định được giá cân bằng p* = 18.

Q
MR1202

110
11

)

(Q Q2 Q
MC

110
11

)

(Q Q2 Q
MC










2
43

1
2

p
Q

d
s

0
& d 

s Q

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

Cõu 3 Hàm dư cung là: f(p)QsQd  p2 43 p1 với điều kiện (1)

p
p

f  







 0

43
2

1
2

2
1
)

( thoả món (1)

Hàm dư cung là hàm đồng biến; hàm dư cầu là g(p)Qd Qs f(p)-nờn nú là hàm nghịch

biến.

Cõu 4 Lượng dư cung kí hiệu là PS(Producer, Surplus) tớnh theo cụng thức:

27
)

3
2
(
3
18
)

(

0
2
0

1      













dQ
Q

Q
dQ

Q
S
Q
p
P

Q
S

Lượng dư cầu kớ hiệu là CS (Consumer, Surplus) tớnh theo cụng thức:

36
3
18
)

39
4
(

)

(

0
2
0

1        





  





dQ
Q

Q
Q

p
dQ
Q
D
C

Q
S

Bài 36 Một doanh nhân bỏ ra K $ vào thời điểm hiện tại mua tích trữ một loại rượu nho để bán

vào một thời điểm nào đó bất kỳ trong tương lai; biết giá trị của lô rượu này tăng theo qui luật

(t là biến thời gian); giả sử chi phí bảo quản khơng đáng kể (có thể bỏ qua).
1. Cho biết nhịp tăng trưởng của giá trị lơ hàng trên.

2. Cho lói suất gộp liờn tục là r; hóy xỏc định thời điểm bán lơ rượu có lợi nhất.

3. Chứng tỏ rằng, thời điểm bán có lợi nhất là thời điểm mà tại đó nhịp tăng trưởng của giá trị lơ
rượu bằng lói suất gộp liờn tục trờn.

Giải

Câu 1 Ta có: V(t)Ke t

Khi đó:

t
t
Ke

Ke
dt
dV
V

r t

t
V

2
1
2

1
1








Câu 2 Ta có: NPV Ke t ert K Ke trt K max

Để đơn giản ta có thể nhận xét rằng: NPV đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi f(t) t rtmax.

Điều kiện cần: 2

4
1
2

1
0
2

1
)
(

r
t
r
t
r

t
t

f         (1)

Điều kiện đủ: 0 0

4
1
)

(

2
/

3   




 r

r
t

f - hàm f(t) lõm nên nó đạt lớn nhất tại t*.

Câu 3 Rõ ràng tại t* ta ln có: r
t





2
1

- hay thời điểm bán có lợi nhất là thời điểm mà tại đó r
bằng nhịp tăng trưởng của lơ hàng.

Bài 37 Hàm cung (S) và hàm cầu (D) của hàng A cú dạng:

Trong đó: p-giá hàng A, M thu nhập.

1. Cú ý kiến cho rằng lượng cân bằng khụng phụ thuộc thu nhập; ý kiến này đúng hay sai?

2. Giả sử Nhà nước đánh thuế thu nhập với thuế suất t; phân tích tác động của thuế tới mức giá cân
bằng.

t

Ke
t
V( )












120
5

,
0
3
,
0

150
7

p
M

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN 
Giải

Câu 1 Điều kiện cân bằng: S D

hay nếu ký hiệu giá cân bằng là p* thì có:

120
5
,
0
3
,
0
150
7
,

0 p  M  p

nhận thấy giá cân bằng là hàm của M nên lượng cân bằng phải là hàm của M. Tóm lại, ý kiến đưa
ra là ý kiến sai.

Câu 2 Thuế suất là t thì thu nhập khả dụng Md (1t)M với t(0,1); và điều kiện cân bằng là:

0
270
)
1
(
3
,
0
2
,
1
)
,
,
(
120
5
,
0
)
1
(
3
,
0
150
7
,

0 p  t M p F p M t  p t M  (1)

Hệ thức (1) xác định ẩn hàm pg(M,t), khi đó:

0
2
,
1
3
,
0
/
/
0
2
,
1
)
1
(
3
,
0
/
/



























M
p
F
t
F
t
p
t
p
F

M
F
M
p

Bài 38 Gọi p là giỏ hàng A; q là giỏ hàng B; M là thu nhập; T là thuế. Mụ hỡnh thị trường hàng A
có dạng:

1. Cho biết quan hệ giữa hai hàng hoỏ A và B.

2. Phân tích tác động của M, T tới giá cân bằng mặt hàng A.

3. Lượng cung SA thay đổi thế nào khi giá hàng A tăng 1% và thuế cũng tăng 1%?
Giải

Câu 1 Ta có: 0,1.0,8. 0,4 0,5 0,90

  
q
p
M
q
DA

-hai mặt hàng thay thế nhau; vì khi giá hàng B
tăng mà giá hàng A khơng đổi thì cầu hàng A tăng.

Câu 2 Giá cân bằng mặt hàng A là p* thoả mãn hệ thức:

)

,
,
,
(
)
(
4
,
5
)
(
8
,
0
)
(
4
,
5
)
(
8
,

0 M0,4 p 0,5q0,1 p 0,3T0.05  M0,4 p 0,5q0,1 p 0,3T0.05 F p* M T q (1)
Hệ thức (1) xác định ẩn hàm 3 biến số là: p  p(M,T,q) (2).

Áp dụng qui tắc tính đạo hàm hàm ẩn ta có:

)
(
62
,
1
)
(
4
,
0
)
(
32
,
0
/
/
05
.
0
7
,
0
1
,
0
5
,
1
4

,
0
1
,
0
5
,
0
6
,
0
























T
p
q
p
M
q
p
M
p
F
M
F
M
p

hay khi M tăng, thuế và giá hàng B khơng đổi thì giá cân bằng hàng A tăng.

Tương tự có: 0

)
(
62
,
1
)
(

4
,
0
)
(
27
,
0
/
/
05
.
0
7
,
0
1
,
0
5
,
1
4
,
0
005
.
1
3
,

0






















T
p
q
p
M
T
p

p
F
T
F
T
p

hay khi T tăng, thu nhập và giá hàng B khơng đổi thì giá cân bằng hàng A tăng. Ta cũng có thể tính
thêm đạo hàm của p* theo q:

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

hay khi q tăng, thu nhập và thuế khơng đổi thì giá cân bằng hàng A tăng.

Câu 3 Áp dụng công thức nhịp tăng trưởng của hàm hợp:

%
75
,
1
%
7
).
05
,
0
(
%

7
.
3
,
0
.

. /

/     

 SA p p SA T T

A

S r r

r   .

Bài 39 Cho mụ hỡnh thị trường hàng A dạng:

Trong đó: p-giá hàng A; Y0-thu nhập;T0-thuế.

1. Phân tích ảnh hưởng của Y0,T0 tới giá cân bằng; giải thích ý nghĩa kinh tế của các kết quả nhận

được.

2. Dùng hàm cung phân tích ảnh hưởng của Y0 tới lượng cân bằng; dùng hàm cầu phân tích ảnh

hưởng của T0 tới lượng cân bằng.

Giải

Câu 1 Đặt giá cân bằng là p* thì có:

0
)
,
(
)
,
(
)
,
,
(
)
,
(
)
,

(pY0 S p T0 F p Y0 T0 D pY0 S pT0 

D (1)

Hệ thức (1) xác định ẩn hàm pg(Y0,T0)(2). Theo quy tắc đạo hàm của hàm ẩn:

0
/

0
0








































p
p

T
p
p

Y

S
D

S
p

F
T
F
T

p

S
D

D
p

F
Y
F
Y

p

Câu 2 Ta ln có:

0
)

,
(

)
,
(

0
0

0 



















 








T
p
p
D
T

Q
T

Y
g
p

Y
p
D
Q

0
)

,
(

)
,
(

0
0

0 


















 








Y
p
p

S
Y
Q
T

Y
g
p

T
p
S
Q

Bài 40 Cho mụ hỡnh thị trường một hàng hố:

Trong đó: S,D là các hàm cung và hàm cầu của hàng A; p-giá hàng A, M là thu nhập khả dụng, q
giá hàng B.

1. Giải thớch ý nghĩa kinh tế của ?

2. Hai hàng hoỏ nờu trong mụ hỡnh cú quan hệ thay thế hay bổ sung?

3. Tỡm mối liờn hệ giữa để khi p, M, q thay đổi cùng một tỷ lệ thỡ cầu D khụng đổi.
4. Giả sử A và B là hai mặt hàng bổ sung nhau; phân tích ảnh hưởng của M, của q tới giỏ cõn bằng.
5. Phân tích ảnh hưởng của M tới lượng cân bằng.

Giải

Câu 1 Ta có:   

dp
dS
S

p
p
S/


















)
0
,
0

(
)
,
(

)
0
,

0
(
)
,
(

0
0
0

T
p

s

Y
p

d

S
S

T
p
S
Q

D
D

Y
p
D
Q

















)
0
;
1
0

;
0
(
1

,
0

)
1
0

(
3

,
0












q
M
p
D

p
S

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Ngơ văn Mỹ-Toán Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN 
Câu 2 Xét hàm cầu: D0,1pMq

Nhận thấy:  (0,1 1)



    

q
M
p
q

D

cùng dấu với . Do vậy:

a. Khi đó: 0 0






p
D

 - A và B là hai mặt hàng thay thế nhau.

b. khi đó: 0 0






p
D

 -A và B là hai mặt hàng bổ sung nhau.

Câu 3 Giả sử tỷ lệ thay đổi của các biến là (0,1), ta có:
0
1

)
,
,
(
)
,
,

(p M q D p M q    
D

Câu 4 (Ở đây dùng hàm ẩn là hợp lý hơn là tính trực tiếp)
Ta xét trường hợp 0 và ký hiệu giá cân bằng là p* thì có:

0
)

(
1
,
0
)
(
3
,
0
)
,
,

(
)

(
1
,
0
)
(
3
,

0 p   p Mq F p M q  p   p Mq  (1)
Hệ thức (1) xác định ẩn hàm pg(M,q); áp dụng quy tắc đạo hàm hàm ẩn có:

0
)

(
1
,
0
)

(
3
,
0

)

(
1
,
0
/

1
1









































q
M
p

p

q

M
p
p

F
M
F
M

p

Tương tự: 0

/ 














p
F

q
F
q

p

Câu 5Lưu ý muốn phân tích ảnh hưởng của M tới lượng cân bằng thì có thể dùng hàm cung 
hoặc hàm cầu, nhưng ta thường dùng hàm cung là hàm khơng chứa M.

Ta có: Q S 0,3(p); trong đó: pg(M,q). Khi đó đạo hàm riêng tồn phần:
0









 





M
p
p
S
M
Q

- hay M tăng (p, q khơng đổi) thì Q* tăng.

Bài 41 Cho hàm sản xuất COBB-DOUGLAS: ; trong đó: Q-sản lượng,
K-vốn, L- lao động.

1. Tỡm và giải thớch ý nghĩa kinh tế của tại điểm K = 27 và L = 64.

2. Tỡm cỏc hệ số co gión riờng của Q theo K và L.
3. Nếu K và L cùng tăng 1% thỡ Q tăng bao nhiêu %?

4. Hàm sản xuất trờn cú phải là hàm thuần nhất khụng? Nếu thuần nhất thỡ bậc mấy? Nếu doanh
nghiệp tăng qui mơ thỡ hiệu quả có tăng hay khơng?

5. Chứng minh rằng: ; cho biết phần đóng góp của vốn K , của lao động L trong

tổng sản lượng làm ra Q?

6. Hai yếu tố K và L trong hàm trờn cú quan hệ bổ sung hay thay thế nhau? Xác định tỷ lệ thay thế
K cho L tại mức k = 27; L = 64; núi rừ ý nghĩa kinh tế của tỷ lệ này? Nếu trong thực tế giỏ một
đơn vị vốn là 40 USD, giá một đơn vị lao động là 2 USD thỡ về mặt kinh tế cú nờn thực hiện tỷ lệ
thay thế trờn hay khụng?

7. Hàm số đó cho cú thoả món luật lợi ớch cận biờn giảm dần khụng?

)
0
,
(

30 3

1
3
2



 K L K L

Q

1; Q Q

L
Q
Q
Q
K
Q

L

K   












L
L
k

k
AP
MP
AP

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

8. Giả sử vốn K có nhịp tăng 3% năm và lao động L có nhịp tăng 1% năm thỡ nhịp tăng của Q là
bao nhiêu %?

9. Tại mức sử dụng đầu vào K = 27, L = 64; giả sử dK = 0,1; dL = -0,3 là các mức biến động của
vốn và lao động. Tỡm cỏc mức thay đổi riờng dKQ và dLQ và giải thớch ý nghĩa kinh tế của cỏc

đại lượng đó? Tỡm và giải thớch ý nghĩa của vi phõn toàn phần dQ.

10. Đường đẳng lượng có mức sản lượng Q0 = 1080 có đi qua điểm có K= 27, L= 64 hay không?

Xác định độ dốc của đường đẳng lượng này? độ đốc này thay đổi thế nào khi vốn K tăng? giải thích
ý nghĩa kinh tế của hiện tượng trên?

Giải

Câu 1 Ta có:

3
/
1
3

/
1
3
/
1

20 












 

K
L
L

K
MP

K
Q

k

Khi K = 27; L = 64 thì 26,66

64
20

3
/
1










k

MP - hay tại mức sử dụng đầu vào K = 27, L = 64 nếu

giữ nguyên lao động tăng L lên 1 đơn vị thì Q tăng xấp xỉ 26,66. Tương tự, ta cũng có:
3

/
2

10 









L
K

MPL và tại k = 27, L = 64 thì: 5,625.

L

MP

Câu 2 Ta ln có hệ số co giãn riêng:

3
/
2
20

3
/
1
3
/
1
3

/
1
3
/
2

/   




 

L
K
L

K
K
K

Q
Q
K
K
Q


Tương tự có: Q/L 1/3. Hệ số co giãn Q/L 1/3 có nghĩa là khi giữ nguyên K và tăng L lên

1% thì Q tăng 2/3%.

Câu 3 Nếu K và L cùng tăng lên 1% thì số % tăng lên của Q là:
1

/  

Q K Q L

 (tức Q tăng 1%).

Câu 4 Hàm sản xuất đang xét là hàm thuần nhất bậc 1 và nú ứng với trường hợp tăng quy mô mà
hiệu quả không đổi vì:

1
)

,
(
30

)
(
)
(
30
)
,

(K L  K 2/3 L 1/3  K2/3L1/3Q K L 
Q

Cõu 5 Vỡ hàm sản xuất là hàm thuần nhất bậc nờn định lý Euler có dạng:
)

1
(

Q
L
Q
L
K
Q

K 






Trong (1) thỡ

K
Q
K




là phần sản phẩm do vốn tạo ra, tương tự

L
Q
L




là phần sản phẩm do lao động
tạo ra; và đó cũng là các phần đóng góp tương ứng vào Q của vốn và lao động. Nếu chia cả hai vế
của (1) cho Q thỡ cú:

1
1

1
/
/
/

/
1

)
1

(           /  / 







 Q K Q L

L
L
K

K
AP
MP
AP

MP
L

Q
L
Q
K

Q
K
Q

L

Q
Q

L
K
Q
Q

K  

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

Câu 6 Ta xét: 0

/ 









K
Q

L
Q
dL

dK

-hai yếu tố thay thế nhau vì ta giảm L thì phải tăng K một lượng

dL
dK

để Q không đổi. Về mặt toỏn học thỡ

dL
dK

là độ dốc của đường đẳng lượng; khi độ dốc này
âm thỡ K và L biến thiờn ngược chiều nhau và đó là hai yếu tố thay thế nhau. Trong kinh tế học
thỡ

dL
dK

đó chính là MRTS-tỷ lệ thay thế kỹ thuật biên. Đương nhiên, tỷ lệ thay thế này thay đổi
vỡ độ dốc của đường đẳng lượng tại các điểm khác nhau của đường này khác nhau. Khi K = 27; L
= 64 thỡ cú:

21
,

0
66
,
26

625
,
5










K
L
MP
MP
dL

dK

Có nghĩa là tại mức sử dụng đầu vào trên nếu giảm một đơn vị L thỡ phải tăng K là 0,21 đơn vị thỡ
sản lượng Q sẽ khơng đổi. Tuy nhiên đó là tỷ lệ thay thế kỹ thuật. Bõy giờ ta xột về mặt kinh tế:

Theo giả thiết thỡ tiết kiệm một đơn vị lao động sẽ tiết kiệm được 2 USD chi phí; trong khi đó nếu
tăng 0,21 đơn vị vốn thỡ phải chi phớ thờm 0,21.40 = 8,4 USD. Như vậy, thay thế khơng có lợi về
mặt kinh tế.

Câu 7 Ta có: 20 2 20/3 4/3 1/3 0 . 0

2
3
/
1
3
/

1      








  

L
K
L

K
Q

K
Q
L

K
K

Q

KK

Hoàn tồn tương tự có: QLL 0. Vậy hàm số đã cho thoả mãn luật lợi ích cận biên giảm dần.

Câu 8 Áp dụng công thức: rQQ/KrK Q/LrL2/33%1/31%2.33%.

Câu 9 Ta tính các vi phân riêng:

666
,
2
1
,
0
66
,

26  





 dK

K
Q
Q

dK và 5,625(0,3)1,6875




 dL

L
Q
Q
dL

Vi phân toàn phần: dQdKQdLQ2,6661,68750,9785.

Cõu 10 Thay K = 27, L = 64 vào hàm sản xuất cú:
1080

64
27

30 2/3 1/3


Q

Như vậy đường mức dạng: 30K2/3L1/31080 có đi qua điểm K = 27; L = 64. Độ dốc của đường
mức này là:

L
K
L

K
L
K
K

Q
L
Q
dL

dK

2
20

10
/

3
/
1
3
/
1

3
/
2
3
/
2













   .

Độ dốc nay là hàm của hai biến K, L; ta có: 0

2
1
)
(







L
K

dL
dK

- cú nghĩa là khi vốn K tăng thỡ

dL
dK

giảm do vậy lượng vốn phải bỏ ra để thay thế cho một đơn vị lao động giảm đi sẽ tăng lên.

Bài 42 Thu nhập của một cỏ nhõn (Y) là: trong đó L là số giờ lao động; R là lói
suất.

1. Do lói suất tăng 1% trong năm nên cá nhân đó giảm số giờ làm việc 1% và tin rằng thu nhập của

mỡnh sẽ tăng. Niềm tin đó có căn cứ hay khơng?

05
,
0
1
,
0
6
,

0 L R

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

2. Có ý kiến cho rằng thu nhập tăng cựng một nhịp với lói suất và số giờ làm việc. Nhận định đó
đúng hay sai?

Giải

Cõu 1 Ta cú cụng thức: rY Y/LrLY/RrR (1)

Theo giả thiết ta luụn cú: Y/L 0,1;Y/R 0,05;rL 1%;rR1%; thay cỏc kết quả này vào (1)
thỡ: (1)rY 0,1(1%)0,051%0,05%- hay thu nhập của cá nhân trên giảm 0,05%; vậy
niềm tin trên là khơng có căn cứ.

Cõu 2 Giả sử nhịp tăng của thu nhập và lói suất là (1), khi đó có:

)
,
(
)

,
(
)

( 1

1
15

,
0

R
L
Y
R
L
Y
R

L

Y    





 -hay nhịp tăng của Y nhỏ hơn nhịp tăng của L và R;

nhận xét trong đầu bài là sai.

Bài 43

1. Cho hàm sản xuất: Q = Q(K,L,t) với K-vốn,L-lao động, t-biến thời gian. Giả sử K = K(t), L =
L(t). Hóy phõn tớch tốc độ biến thiên của Q theo t?

2. Trả lời câu hỏi trên cho trường hợp cụ thể sau:

và A(t) là hàm đồng biến theo t; A(t) > 0 với mọi

Giải

Câu 1 Tốc độ biến thiên của Q theo t chính là đạo hàm tồn phần của Q theo t:

dt
Q
dt
dL
L
Q
dt
dK

K
Q
dt

dQ 









Câu 2 Trước hết do A(t) là hàm đồng biến theo t thì có A(t)0 t0. Ta ln có:
0

0
)
(
)

(
)

( 1  1     

  

t

A
L
K
b
L
K
t
A
a
L
K
t
A
dt

dQ        

Kết luận Sản lượng Q tăng theo thời gian.

Bài 44 Cho cầu về một loại hàng hố (D) phụ thuộc vào giá của hàng hố đó (p) và thu nhập (Y)
dạng:

1. Tớnh và giải thớch ý nghĩa kinh tế của cỏc hệ số co gión riờng của D theo p, theo Y.

2. Tại mức cầu D0 cho trước, giả sử giá p tăng 1 đơn vị thỡ thu nhập Y phải tăng bao nhiêu thỡ cầu

khụng đổi.

Giải

Câu 1 Ta có: /  1 0





D
p
D
D

p
p
D


0
2

/  





D

Y
Y

D
D
Y
Y
D


Câu 2 Mức tăng cần thiết của Y để duy trì cầu khơng đổi chính là hệ số thay thế Y cho p:
)

1
,
0
(
)

(  

    

L
K
t
A
Q

)

0
,
( 0

0 

K at K a

K

)
0
,
( 0

0 

L bt L b

L

.
0


t

2
ln
4 0,5 

 Y p

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

0
2

1
/

/  









Y
p
Y
D

p
D
dp

dY

Bài 45 Cầu về cà phờ nhập khẩu của Nhật (D) phụ thuộc vào giỏ cà phờ thế giới (p) và thu nhập
bỡnh quõn đầu người của Nhật (Y) dạng:

1. Tớnh và giải thớch ý nghĩa kinh tế của cỏc hệ số co gión riờng của D theo p, Y.

2. Giả sử tại mức nhập khẩu D0 cho trước, giá p tăng 1 đơn vị thỡ Y phải thay đổi như thế nào để

mức cầu này khơng đổi.

Giải

Câu 1 Ta có: 0

/  

D
Y
Y
D



0
2
)
2

(

/ 






D
p
p

D
p
p
D



Câu 2 Ta có: 4 0

/
/

3 











p
Y
Y

D
p
D
dp

dY

(*)

Giả sử ta đang ở mức thu nhập 1000 $ và giá p = 10$ thì từ (*) có:
126

,
0
10

1000
4

3 



dp
dY

- là mức tăng của thu nhập Y đảm bảo cầu không đổi dù giá
tăng thêm một đơn vị.

Bài 46 Công ty cạnh tranh sản xuất hai sản phẩm với giá thị trường tương ứng p1 =15, p2=30; chi

phí cố định C0. Hàm chi phớ cú dạng: .

1. Xác định lượng cung các sản phẩm để lợi nhuận đạt cực đại.

2. Chi phí cố định C0 ảnh hưởng thế nào tới lượng cung và lợi nhuận tối ưu?
Giải

Cõu 1 Theo giả thiết thỡ cú: TR(Q)15Q130Q2

Hàm lợi nhuận dạng: (Q)Q125Q1Q210Q2215Q130Q2 C0 max

Điều kiện cần: (1)

0
30
20

0
15
5

2
1

2
1
1


















Q
Q




Áp dụng quy tắc Cramer hoặc phương pháp ma trận nghich đảo hoặc bấm máy ta có điểm dừng là:
9

;

30 2

1  




Q

Q .

Điều kiện đủ: Ma trận HESS cú dạng:

0
15
;

0
2
20

5
5
2

1     













 H H H

H

Do ta có một điểm dừng duy nhất, điều kiện đủ thoả món với mọi giỏ trị của cỏc biến số; nờn lợi
nhuận đạt giá trị lớn nhất tại mức sản lượng Q130;Q29.

Cõu 2 Mức sản lượng tối ưu không phụ thuộc chi phí cố định C0 là Q130;Q29; vỡ điều kiện

cần là hệ (1) khụng chứa C0. Ta lại có lợi nhuận tối ưu:

2
5
,

0  

Y p

D

0
2
2
2

1
2

1 5 10

)

(Q Q QQ Q C

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

0
1
360

0   



 



dC
d

C 



Hay khi C0 tăng 1 đơn vị thỡ lợi nhuận tối ưu giảm 1 đơn vị.
Bài 47 Doanh nghiệp cú cỏc hàm cầu với hai mặt hàng là:

và hàm chi phớ kết hợp: (C0 > 0).

1. Tỡm cỏc hàm cầu ngược bằng phương pháp ma trận nghịch đảo.

2. Với chi phí cố định C0 = 5000; hóy xỏc định lượng cung và giá bán các mặt hàng để lợi nhuận

đạt cực đại.

3. Phân tích ảnh hưởng của C0 tới lượng cung, giá bán và lợi nhuận cực đại. Tỡm hệ số co gión của

lợi nhuận cực đại theo C0 khi C0= 5000 và giải thớch ý nghĩa kinh tế của hệ số co gión này.
Giải

Cõu 1 Từ giả thiết cú:

)
1
(
340

2
340

2
2

1
2














Q
p

p

Q
p

p

Áp dụng phương pháp ma trận nghịch đảo dễ tỡm được các hàm cầu ngược là:

)
2
(
680

2
1020

2
1
2

2
1
1









Q
Q
p

Ta xột hàm lợi nhuận tổng quỏt (cú chứa C0):

max
600

800
4

2
3
)

(Q  Q12  Q22 Q1Q2 Q1 Q2 C0 


Điều kiện cần:























50
100
)

3
(

0
600
4

0
800
4

2
1
2

1
2

2
1
1

Q
Q
Q




Điều kiện đủ: Ma trận HESS cú dạng:

0
8
;

0
6
4

4
4
6

1     













 H H H

H

Do ta có một điểm dừng duy nhất, điều kiện đủ thoả món với mọi giá trị của các biến số; nên lợi
nhuận đạt giá trị lớn nhất tại mức sản lượng Q1100;Q2 50.Thay cỏc lượng cầu tối ưu vào (2)
tỡm được giỏ tối ưu làp1770;p2530. Mức sản lượng tối ưu không phụ thuộc chi phí cố định
C0 vỡ điều kiện cần là hệ (3) khụng chứa tham số này; giỏ tối ưu cũng khụng phụ thuộc C0 vỡ hệ

(2) khụng chứa tham số này. Ta lại có lợi nhuận tối ưu:
0

55000C







Cõu 2 Khi C0 = 5000 thỡ  55000500050000; mức sản lượng cực đại lợi nhuận là

;

100 2

1  




Q

Q .

Cõu 3 Ta cú: 0,1

50000
5000
5000

0
0

0
/

0
0











    



C
C

C
dC

d
C





 -có nghĩa là tại mức chi phí cố định C0

= 5000, nếu chi phí này tăng 1% thỡ lợi nhuận tối ưu giảm đi 0,1%.














2
1
2

2
1
1

2
340

340

p
p
Q

0
2
1

2
2
2
1
2

1 2 220 80

)

(Q Q QQ Q Q Q C

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

Bài 48 Một hóng độc quyền sản xuất một mặt hàng với hàm chi phí:
C = 2000 + 10Q

Sản phẩm được tiêu thụ ở hai thị trường với các hàm cầu tương ứng là:

1. Giả sử cụng ty cú chớnh sỏch phõn biệt giỏ thỡ phải chọn chiến lược nào thỡ lợi nhuận là cực
đại.

2. Trong trường hợp không được phân biệt giá (do hiệp định thương mại) thỡ lựa chọn chiến lược
nào?

Giải

Câu 1 Khi hàm TC là bậc nhất nên biểu diễn hàm doanh thu và lợi nhuận qua giá.



















2
1
2

1
2

25
10
125
210
4

,
0

1
,
0
50
21

Q
Q
p

p
p

p
Q

Q

Khi đó hàm lợi nhuận:

max
2710

54
22
4

,
0
1
,

0 12 22 1 2 



 p p p p


Điều kiện cần

















 

)
5
,
67
;
110
(
0

0
54
22
8
,
0

2
,
0

2
1
2

p
p

p



Điều kiện đủ

.
0
16
,
0
;

0
2
,
0
8

0
0

0
2
,
0

1    













 H H

H

Kết luận Lợi nhuận đạt cực đại khi p(110;67,5);Q (10,23); 322,5.

Câu 2 Khi không được phân biệt giá, ta đặt p1 = p2 = p thì:

max
2710

76
5

0 2  



 p p



Điều kiện cần p760 p76
dp

d

Điều kiện đủ 2 1 0





dp
d 

Kết luận Lợi nhuận đạt cực đại khi p1 p276;Q (13,4;19,6); 178

Như vậy khi không được phân biệt giá thì lợi nhuận của cơng ty giảm đi đáng kể, trong khi tổng
lượng hàng bán trên hai thị trường không đổi.

Chú ý: Nếu biểu diễn hàm lợi nhuận qua sản lượng thì có:

2000
115

200
25

10 12 22 1 2



 Q Q Q Q



Trong trường hợp không phân biệt giá thì có thêm điều kiện:
85

10 1 2

1 p  Q  Q 

p

Ta gặp bài toán cực trị có ràng buộc.
2
2

1
1

4
,
0
50

1
,
0
21

p
Q




</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

Bài 49 Cho hàm thoả dụng U = (x + 2)(y + 1); trong đó; x,y là số đơn vị hàng các loại được tiêu
dùng. Cho p1 = 4, p2 = 6 là giá tương ứng của cỏc loại hàng hoỏ; cho ngõn sỏch chi cho tiờu dựng

B = 130.

1. Hóy xỏc định hành vi tiêu dùng tối ưu. Cho biết nếu khi giá các mặt hàng p1,p2 không đổi nếu

ngân sách cho tiêu dùng tăng 1 đơn vị thỡ độ thoả dụng tối ưu U* tăng lên bao nhiêu?

2. Tỡm độ dốc của đường bàng quan và cho biết ý nghĩa kinh tế của độ dốc này. Giải thớch cụ thể
độ dốc này khi x = 16, y = 11.

3*. Giải bài tốn với hàm thoả dụng đó cho và đường ngân sách tổng quát:

Giả sử phương án tiêu dùng tối ưu nhận được là (x*,y*); hóy tớnh và giải thớch ý nghĩa kinh tế của:

Giải

Câu 1 Bài tốn có dạng:

















0
,

130
6

max
2

y

x

y
x

y
x
xy
U

Hàm Lagrange: L(x,y,)xyx2y2(1304x6y) với x,y0 (*)
Điều kiện cần


































3
11
16

0
6
4
130

0
6
2

0
4
1






y
x

y
x
L

x
L

y
L

y

x

thoả mãn điều kiện (*).

Điều kiện đủ

Ma trận HESS biên có dạng:

0
48
0

1
6

1
0
4

6
4
0
0

2
2
































 H H

L
L
g

g
g
H

yy
yx

xy
xx

Kết luận Phương án tiêu dùng tối ưu: x 16;y 11. Độ thoả dụng tối ưu U 216.

Khi giá các mặt hàng không đổi, ngân sách tiêu dùng tăng 1 đơn vị thì độ thoả dụng tối ưu tăng
một lượng đúng bằng ; hay có:




  

B
U

(Người thi được phép sử dụng ngay công thức trên; không yêu cầu chứng minh).

Câu 2 Đây là câu hỏi về tỷ lệ thay thế của mặt hàng thứ 2 cho mặt hàng thứ nhất, ta áp dụng công
thức:

2
1
/













x
y
y
U

x
U
dx

dy

(*)
)
0
,
,
( 1 2
2

1x p yB p p B

p

B

x
p
x
p
x







   

;
,

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

Với x,y0; thì từ (*) ta chỉ có thể khẳng định 0

dx
dy

nếu ta xét tại mức tiêu dùng tối ưu x16;y11 thì có:
66

,
0




dx
dy

có nghĩa là tại mức tiêu dùng trên mà ta giảm mặt hàng 1 một đơn vị thì để duy trì mức thoả dụng
216





U thì phải tăng mức sử dụng hàng 2 lên 0,66 đơn vị.

Câu 3 Ta giải bài toán tổng quát:


















0
,

max
2

2
2
1

y
x

B
y
p
x
p

y
x
xy
U

Hàm Lagrange: L(x,y,)xyx2y2(Bp1xp2y)
Điều kiện cần



















0
0
2

2
1

y
p
x
p
B
L

p
x

L

p
y

L
y
x



(1)

Giải hệ (1) bằng quy tắc Cramer; ta có:

2
1
1
2
1
2

2
2
1
2
2

1 ; 2 ; 2

2p p D Bp p p p D p p Bp p

D x   y   

Ta nhận được các hàm cầu Marshall:
2

1
2

1
2
1

2
2
;

2
2

p
p
B
p
y

p
p
p
B

x      

Dễ chứng minh được điều kiện đủ luôn thoả mãn vì có: H 2p1p2 0.
Do có:

1
2

1
2
2

p
p
p
B

x   

dễ chỉ ra được: 0

2
1
;

0
2

1
;

0
2

)
(

2
2

1
2
1















   

p
B
x
p

p
x
p

p
B
p

x

Từ kết quả trên có thể thấy mặt hàng 2 là mặt hàng thay thế mặt hàng 1; mặt hàng 1 là hàng hố
bình thường.

Bài 50 Một nhóm dân cư có hàm thoả dụng giỏ cỏc mặt hàng tương ứng là p1=12;

P2=3.

1. Hóy xỏc định phương án tiêu dùng cho cụm dân cư trên để có thể đạt được độ thoả dụng U0=1250

với chi phớ bộ nhất.

2*. Giả sử chi tiêu cực tiểu là C*; phân tích sự biến động của C* khi p1, p2, U0 thay đổi.
Giải

Câu 1 Bài tốn có dang:










1250
25

min
3

5
,
0
5
,
0

y
x

y
x
C

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

Điều kiện cần















































48
,
0
25
/
12
100
25

0
25

1250

0
5

,
12
3

0
5

,
12
12

5
,
0
5
,
0






y
x

y
x
L

x
y
L

y
x

Điều kiện đủ Ma trận HESS biên có dạng:





























5
,
1
5
,
0
5

,
0
5
,
0
5

,
0

5
,
0

5
,
0
5
,
0
5

,
0
5
,
1
5

,
0
5
,
0

5
,
0
5
,

0
5

,
0
5
,
0

25
,
6
25

,
6
5

,
12

25
,
6
25

,
6
5

,
12

5
,
12
5

,
12
0

y
x
y

x
y

x

y
x
y

x
y

x

y
x
y

x
H

Để chứng tỏ H 0 thì khơng nên tính trực tiếp mà khai triển Laplas định thức trên theo các phần
tử của dịng 1.

Câu 2 Áp dụng các cơng thức đã có:

100
25

25
/
12

2
1
0




















y
p
C

x
p
C
U
C 

Bài 51 Một hóng cú hàm chi phớ TC = 35 + 40Q. Cầu về loại hàng này trong nước và ngoài nước
tương ứng là: Q1 = 24 - 0,2P1; Q2 = 10 - 0,05P2 trong đó: Q=Q1+Q2.

1. Phải lựa chọn giá như thế nào để lợi nhuận lớn nhất trong mỗi trường hợp sau:
a. Có thể phân biệt giá trong và ngồi nước.

b. Chỉ có thể đặt một giá thống nhất.

2. Lợi nhuận cực đại sẽ thay đổi thế nào trong mỗi trường hợp trên khi cầu tối đa trong nước thay
đổi?

Giải

Câu 1 Ta có hai trường hợp:

a. Phân biệt giá trên hai thị trường

Về ngun tắc thì hàm lợi nhuận có thể biểu diễn là hàm của sản lượng hoặc là hàm của giá. 
Trong bài này hàm tổng chi là hàm bậc nhất của sản lượng và các hàm cầu đều là các hàm cầu 
xi thì biểu diễn lợi nhuận qua giá có lợi hơn.

Ta có: QQ1Q2 340,2P10,05P2TC3540(340,2P10,05P2)
Khi đó có hàm lợi nhuận:

max
1395

12
32
05

,
0

2
,

0 12 22 1 2 



 P P P P


Điều kiện cần






















120
80
0

12
1
,
0

0
32
4
,
0

2
1
2

P
P
P

P

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Ngô văn Mỹ-Toán Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

Điều kiện đủ Ta có ma trận HESS:

0
04
,
0
;

0
4
,
0
1

,
0
0

0
4

,
0

1     













 H H H

H

Kết luận Chiến lược tối ưu của hãng:

605
);

4
,

8
(
);
120
,
80

(  

  

 

Q

P .

b. Hai thị trường chỉ áp dụng một giá thống nhất

Ta đặt P = P1 = P2 thì có hàm lợi nhuận:

max
1395

44
25

,
0
)

(P  P2 P 



0
5
,
0
)
(

88
0

44
5
,
0
)
(














 

P

P
P

P




Kết luận Chiến lược tối ưu của hãng:
541
;

6
,
5
;
4
,
6
;

88 1  2  

   

 

Q
Q

P .

Câu 2 Ta có hàm cầu trong nước là: Q1a0,2P1; nếu giá P1=0 thì cầu tối đa chính là a (a >0).

Theo giả thiết hàm cầu nước ngồi khơng đổi. Ta lại xét hai trường hợp.

a. Phân biệt giá trên hai thị trường

max
435

40
12
)
8
(
05
,
0
2
,

0 12 22  1 2  



 P P a P P a



Điều kiện cần































120

0
0

4
,
0

8
0

12
1
,
0

0
8
4

,
0

2
1
2

1
1

P

a
a

P
P

a
P




Điều kiện đủ Ta có ma trận HESS:

0
04

,
0
;

0
4
,
0
1

,
0
0

0
4
,
0

1     














 H H H

H
Kết luận

4
;
120

)
8
(
2

8
;

4
,
0

2
*

1
1
















Q
P

a
a

Q
a
P

Khi đó: ( 8) 40 285 ( 8)

5  2  





a
a

a



8
0

20
2
5









a
khi
a

da
d

Hay lợi nhuận tối ưu trong trường hợp này tăng khi cầu tối đa trong nước tăng.

b. Hai thị trường chỉ áp dụng một giá thống nhất

Ta đặt P = P1 = P2 thì có hàm lợi nhuận:

max
40

435
)

20
(
25
,
0
)

(P  P2 a P  a



0
5
,
0
)
(

0
0

40
2
0

20
5

,
0
)
(



















 

P

a
a

P
a

P
P

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

3
40

8
6
,
0

1    



a
khi
a

Q

80
0

8
1
,
0

2    



a

khi
a

Q

Ta có: 0,25(2a40)2(a20)(2a40)43540aa235














 



80
,
3
40
0

0
0

2 a

da
d
a

a
da

d 

Hay lợi nhuận tối ưu đồng biến theo a.

Bài 52 Hàm thoả dụng của một nhóm dân cư được xác định ẩn bởi hệ thức:

(*)

1. Tớnh khi x = 1,y = 2; giải thớch ý nghĩa của cỏc kết quả.

2. Tớnh khi x = 1,y = 2; giải thớch ý nghĩa của kết quả.

Giải

Cõu 1 Thay x = 1; y = 2 vào (*) ta cú: (*)(u1)(u2u3)0u1

Ta lại cú: 3 5 0

1
;
2
;
1

2  








 y U
x
yx
U
U

F

. Như vậy, hệ thức (*) xác định ẩn hàm U=U(x,y) tai
điểm M(1,2,1). Theo quy tắc lấy đạo hàm của hàm ẩn ta có:

)
1
(
3

2
/

2
3
1

yx
U

yU
x
y
F

F
U
F

x
F
MU

x
U

U

x






















Thay M(1,2,1) vào (1) ta cú:

5
14

1

MU - có nghĩa là tại mức tiêu dùng trên nếu tăng lượng tiêu
dùng mặt hàng thứ nhất 1 một đơn vị (giữ nguyên lượng tiêu dùng mặt hàng 2) thỡ độ thoả dụng
U tăng 14/5 đơn vị.

Tương tự có:

)
2
(
3

3
/

2
2
2
2

yx
U

xU
x
y
F

F
U
F

y
F
MU

y
U

U
y






















Thay M(1,2,1) vào (2) ta cú:

5
11
2 

MU - có nghĩa là tại mức tiêu dùng trên nếu tăng lượng tiêu
dùng mặt hàng thứ 2 một đơn vị (giữ nguyên lượng tiêu dùng mặt hàng 1) thỡ độ thoả dụng U tăng
11/5 đơn vị.

Ta cú:

x
MU
x

x
U
x

U










 ( ) ( 1)

2
2

Khi đó ta phải lấy đạo hàm riêng (1) theo x và phải lưu ý rằng U là hàm của x; thỡ cú kết quả sau:
)

3
(
)

3
(

)
6

)(
2

(
)
3

)(
2

(
3

2
2

3
2

yx
U

y
UU
yU
x
y
yx
U
yU
y
yx

U
yU
x
y
x

U x x

x 





























Thay x = 1, y = 2; U = 1; Ux14/5vào (3) cú:

)
,
(x y
U
U 

0
5
)

,
,

(u x y y3x2U3yxU 
F

2
2
2
2
2

1; ; ,

,
,

y
U
x

U
MU
MU
y
U
x
U












</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

Ngô văn Mỹ-Toán Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

0
448
,
8

2
2








x
U

í nghĩa: cú nghĩa là tại mức tiờu thụ trờn nếu tăng thêm một đơn vị mặt hàng 1 (giữ nguyên lượng

tiêu dùng mặt hàng 2) thỡ độ thoả dụng biên mặt hàng 1 giảm đi 8,488 đơn vị.

Tương tự có:

y
MU
y

y
U
y

U












 ( ) ( 2)

2
2

(tự làm).

Cõu 2 Ta cú khi x =1; y = 2 thỡ U=1 cú nghĩa là phương án tiêu dùng trên nằm trên đường bàng
quan có phương trỡnh: G(x,y) y3x2yx60 (4)

Lấy vi phõn toàn phần 2 vế của (4) cú:

)
5
(
3

2
/

0 2 2

x
x
y

y
xy
y

G

x
G
dx

dy
dy

y
G
dx
x
G






















Hệ thức (5) cho biết độ dốc của đường bàng quan trên; nếu thay x = 1; y = 2 vào (5) thỡ cú:
)

6
(
0
11
14



dx
dy

Hệ thức (6) cho biết độ dốc của đường bàng quan trên tại x = 1; y =2; đó cũng chính là tỷ lệ thay
thế biờn của hàng hoỏ thứ 2 cho hàng hoỏ thứ 1. Hay núi rừ hơn là tại mức tiêu dùng trên nếu ta
tăng một đơn vị mặt hàng thứ nhất thỡ cú thể giảm 14/11 đơn vị hàng thứ 2 mà vẫn duy trỡ được
độ thoả dụng U = 1.

Bài 53 Cho mụ hỡnh cõn bằng thu nhập quốc dõn:

với giả thiết:

Trong đó: S(Y)-hàm tiết kiệm; T(Y)-hàm thuế; I(Y)-hàm đầu tư; G0- chi tiờu chớnh phủ.

1. Giải thớch ý nghĩa kinh tế của giả thiết .

2. Hóy phân tích ảnh hưởng của chi tiêu chớnh phủ tới thu nhập cõn bằng.

Giải

Câu 1 Giả thiết: SY,TY,IY 0- cho biết tốc độ tăng của tiết kiệm S, của thuế T, của đầu tư I theo
thu nhập Y. Giả thiết: SY TY IY đòi hỏi tốc độ tăng của nguồn đầu tư là S(Y)+T(Y) phải lớn
hơn tốc độ tăng của đầu tư I(Y) (vì một phần cịn dành cho chi tiêu chính phủ).

Câu 2 Nếu thu nhập cân bằng là Y* thì có:

0
)

(
)
(
)
(
)
,
(
)

(
)
(

)

(Y T Y I Y G0F Y G0 S Y T Y I Y G0

S (1)

Hệ thức (1) xác định ẩn hàm Yg(G0). Theo quy tắc đạo hàm hàm ẩn:
0

1
/

/ 0















 



Y
Y
Y T I
S

Y
F

G
F
dG

dY

hay G0 tăng thì Y* tăng.
Bài 54 Cho mụ hỡnh:

với giả thiết: .

)
(
)
(
)

(Y T Y I Y G

S   

)
(
;

0
,

,        

 Y Y Y Y Y

Y T I S T I

S

)
(












0
0

)
(

)
(
)
(

M
r
L
kY

G
r
I
Y
C
Y

0
;
0

;
0
;
1

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

Trong đó: r-lói suất; C(Y)-hàm tiờu dựng; I(r)- hàm đầu tư, G0-chi tiờu chớnh phủ; M0-lượng cung

tiền.

1. Cho biết trong mụ hỡnh trờn thỡ hàm cầu tiền là hàm nào?
2. Phân tích ảnh hưởng của G0, M0 tới thu nhập cõn bằng.
Giải

Câu 1 Điều kiện cân bằng trong thị trường tiền tệ là cung tiền bằng cầu tiền; theo giả thiết cung
tiền là M0 nên hàm cầu tiền là: kY L(r)- hàm này gồm hai số hạng, một số hạng tỷ lệ thuận với

thu nhập quốc dân Y và một số hạng nghịch biến với lãi suất.

Câu 2 Gọi thu nhập cân bằng là (Y*,r*) thì Yg(G0,M0);rh(G0,M0) và có:
)

2
(

)
1

(
0
)

(
)

,
,
,
(

0
)

(
)
(
)

,
,
,
(

0
0

0
2

0
0

0
1






























M
r
L
kY
M
G
r
Y
F

G
r
I
Y
C
Y
M
G
r
Y
F

Lấy đạo hàm riêng toàn phần (1) và (2) theo G0:








































0
0

G

r
L
G
Y
k

G
r
I
G
Y
C
G
Y

r

r
Y

(3)

Ta có định thức Jacobi:

0
)

1
(
)

1
(















   





r
r
Y
r

r

Y

I
k
L
C
L

k

I
C

J

0
0

0
1

1 















 




 

J
L
G
Y
L

L
I

D r

r
r

r

-hay khi G0 tăng (các yếu tố khác khơng

đổi) thì Y* tăng.

0
0

0
1
)
1
(

2 














  

J
k
G

r
k

k
C

D Y - hay khi G

0 tăng (các yếu tố khác

khơng đổi) thì r* tăng.

Tương tự, lấy đạo hàm riêng tồn phần (1) và (2) theo M0 sẽ tìm được hai đạo hàm phân tích tĩnh

so sánh cịn lại. Theo lí thuyết kinh tế thì phải có: 0; 0
0
0









  

M
r
M

Y

(học sinh tự kiểm tra bằng
tính tốn).

</div>

Bài tập tổng ôn KTQD

<b>GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN </b>





















<sub></sub>

<sub></sub>







































 





























 







<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về