tài liệu xstk lớp k55def mã lớp 191192193 nguyenvantien0405

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (843.34 KB, 100 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

THỐNG KÊ

• LÝ THUYẾT MẪU

• ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ

• KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Kiểm tra

• 1. Trình bày các ppxs của trung bình mẫu, phương sai

mẫu khi lấy 1 mẫu, 2 mẫu độc lập từ các tổng thể có pp
chuẩn.

• 2. Trình bày các khoảng ước lượng của trung bình tổng

thể khi đã biết phương sai.

• 3. Trọng lượng một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên

phân phối chuẩn với trung bình là 30 và độ lệch chuẩn 2.

• Lấy ngẫu nhiên 20 sản phẩm để kiểm tra thì với xác suất

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Đại cương về mẫu

• Phương pháp mẫu: tổng thể; phương pháp chọn

mẫu; mẫu ngẫu nhiên

• Các đặc trưng mẫu:

– Thống kê mẫu
– Trung bình mẫu
– Tỷ lệ mẫu

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Phương pháp mẫu

Tổng thể (population)
Mẫu (Sample)

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Các vấn đề cần quan tâm

• Cách chọn mẫu

• Cỡ (kích thước) mẫu cần chọn

• Các thống kê thường nghiên cứu trên mẫu
• Phân phối xác suất của thống kê mẫu

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Ví dụ về chọn mẫu

• Cơng ty có 5000 cơng nhân. Một nghiên cứu được 
thiết kế để điều tra về mức chi tiêu hàng tháng của
cơng nhân.

• Để bắt đầu, người ta chọn ngẫu nhiên một số cơng 
nhân ra để nghiên cứu thì được kết quả như sau:

2,0 2,2 2,5 2,1 2,3 2,8

3,0 3,5 3,6 2,2 2,5 2,8

2,5 3,5 3,1 3,5 2,1 2,5

3,1 2,4 2,2 2,5 2,1 2,5

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Mẫu tổng quát

X1 X2 X3 X4 X5 X6

X7 X8 X9 X10 X11 X12
X13 X14 X15 X16 X17 X18
X19 X20 X21 X22 X23 X24
X25 X26 X27 X28 X29 X30

• Cơng thức tổng qt các thống kê:
• Trung bình mẫu

• Tỷ lệ mẫu (về một t/c nào đó) F=m/n
• Phương sai mẫu hiệu chỉnh

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Mẫu cụ thể

• Các thống kê mẫu cụ thể:
• Trung bình mẫu (sv tự tính)

• Tỷ lệ mẫu về chi tiêu trên 2,5 triệu: f=16/30
• Phương sai mẫu h/c s2 (sv tự tính)

•

2,0 2,2 2,5 2,1 2,3 2,8

3,0 3,5 3,6 2,2 2,5 2,8

2,5 3,5 3,1 3,5 2,1 2,5

3,1 2,4 2,2 2,5 2,1 2,5

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Tổng thể

• Tổng thể (population) là tập hợp tất cả các phần tử có 
cùng dấu hiệu nghiên cứu X

• Biến ngẫu nhiên đặc trưng cho dấu hiệu nghiên cứu X, 
gọi là bnn gốc của tổng thể

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Mơ tả tổng thể

Nếu X chỉ có k giá trị có thể có (k nhóm) là x1, x2, …, xk
với số lượng tương ứng là N1, N2, …, Nk

Ni gọi là tần số của nhóm thứ i

Đặt pi=Ni/N gọi là tần suất tổng thể.
Ta có mơ tả:

X x1 x2 … xk

N N1 N2 … Nk

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Tham số đặc trưng của tổng thể

Trung bình tổng thể

Phương sai tổng thể

Trung bình, phương sai tổng thể chính là kỳ vọng và 
phương sai của biến ngẫu nhiên gốc X

 

1 2 1 1 2 2

... ... k

N k k

i i
i

x x x N x N x N x

x p E X

N N





     

  













 

1 1

1 N k

i i i

i i

x p x V X

N

  

 

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Tham số đặc trưng của tổng thể

Độ lệch chuẩn tổng thể

Tỷ lệ tổng thể (tần suất tổng thể)

M: số lượng phần tử trong tổng thể có tính chất quan
tâm.

  

M
p

N

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Mẫu ngẫu nhiên (random sample)

• Định nghĩa. Tập hợp n biến ngẫu nhiên độc lập X1, X2, 
…, Xn thành lập từ biến ngẫu nhiên gốc X được gọi là

mẫu ngẫu nhiên cỡ n (kích thước n)

• Ký hiệu: W=(X1, X2, …, Xn) trong đó Xi là các bnn

• Xi có cùng quy luật phân phối với X

• Một phép thử với mẫu ngẫu nhiên là một mẫu cụ thể 
gồm n quan sát. w=(x1,x2,…,xn)



i



 



i



 

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Chọn mẫu ngẫu nhiên

Mẫu ngẫu nhiên (random sample)

- Mỗi phần tử chọn ngẫu nhiên và độc lập

- Mỗi phần tử có khả năng được chọn như nhau
- Mọi mẫu cỡ n có cùng khả năng được chọn

Phương pháp chọn mẫu đơn giản

- Đánh số

- Chọn ngẫu nhiên, lần lượt, hồn lại

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Mơ tả mẫu

• Nếu mẫu cụ thể, các giá trị có thể có là x1, x2, …, xk với 
các tần số tương ứng là n1, n2, …, nk hoặc tần suất

tương ứng f1, f2, …, fk (fi=ni/n)

• Nếu các giá trị có thể có là một khoảng thì ta lấy giá trị 
giữa làm đại diện.

xi x1 x2 … xk

ni n1 n2 … nk

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Thống kê mẫu

• Khái niệm. Với mẫu ngẫu nhiên W=(X1, X2, …, Xn), một

thống kê trên mẫu là một hàm số với các biến ngẫu
nhiên Xi.

• Ký hiệu: T=T(X1, X2, …, Xn)

• Ta có: T là một biến ngẫu nhiên và có phân phối xác 
suất xác định nhưng liên quan đến X.

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Trung bình mẫu

• Là trung bình cộng các thành phần của mẫu.

• Trung bình mẫu là một biến ngẫu nhiên

• Đối với mẫu cụ thể ta có:

1 1 2 ...

n

i

i N

X

X X X

X

n n

   

 



 

E X V X X

n n







  
1 1
.
n k

i i i

i i

x x n

x  

 

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Phương sai mẫu S*

• Sử dụng khi biết trung bình tổng thể

• Phương sai mẫu S*2 là một biến ngẫu nhiên

• Đối với mẫu cụ thể ta có:









* n i

i

S X

n  











E S 











*2 2 2

1 1

n k

i i i

i i

s x n x x x

n   n    

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Phương sai mẫu

• Sử dụng khi khơng biết trung bình tổng thể

• Phương sai mẫu là một biến ngẫu nhiên

• Đối với mẫu cụ thể ta có:

•



 





1 n

i
i

S X X

n 









 

2 n 1 2

E S

n 




 









2 2

 

1 1

1 n 1 k

i i i

i i

s x x n x x x x

n n





 



  

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Phương sai mẫu S

• Sử dụng khi khơng biết trung bình tổng thể

• Phương sai mẫu là một biến ngẫu nhiên

• Đối với mẫu cụ thể ta có:

•  





 

 2

1
1
1 1
n
i
i

n

S X X S

n  n

  







 

2 2

E S 

 









2 2

 

1 1

1 1 1

n k

i i i

i i

n

s x x n x x x x

n  n  n

 

     

 

 

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Chú ý

• Ta thường ký hiệu phương sai là MS và gọi là phương 
sai mẫu chưa hiệu chỉnh.

• Phương sai S2 gọi là phương sai mẫu đã hiệu chỉnh

hoặc phương sai mẫu.

• Phương sai S*2 gọi là phương sai mẫu khi đã biết trung

bình tổng thể.

• Khi thực hành ta chỉ dùng phương sai S*2 hoặc S2

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Tỷ lệ mẫu F (tần suất mẫu)

• Gọi Y là số phần tử có tính chất A trong mẫu ngẫu

nhiên W.

• Tổng thể có tỷ lệ tính chất A là p.
• Y có phân phối nhị thức B(n;p)
• Tỷ lệ mẫu:

• Ta có:

• Trong mẫu cụ thể thì Y và F là các số cụ thể
Y

F

n



 

p



1 p



E Y p V Y

n



</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Tính các thống kê mẫu

• Cho mẫu định lượng cụ thể thu gọn:

• Ta có:

X x1 x2 … xk

Tần số n1 n2 … nk





 





2
2
2
2
1 1
2
2

2 1 1

1 1

k k

i i i i

i i

k

i i k

i

i i

n x x n x

m

s x f

n n n

n x x

n

s s x n x

n n n

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Các thống kê mẫu_cụ thể

• Độ lệch chuẩn mẫu:

• Độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh:

s





s



</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Tính thống kê mẫu

Điều tra thời gian sử dụng internet trong tuần của 90
sinh viên một trường ta được bảng số liệu sau:

Hãy tính các thống kê mẫu sau:

a) Trung bình mẫu, phương sai mẫu (đã hiệu chỉnh),
phương sai mẫu chưa hiệu chỉnh?

b) Tỷ lệ sinh viên trong mẫu có thời gian sử dụng trên 5
giờ một tuần?

Thời gian (giờ) 3 4 5 6 7 8

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Cách 1_Lập bảng

xi ni xini (xi)2n

i
…. …. …. ….
…. …. …. ….
Tổng
i

n



x n

i i

2
i i

x n



i i

x n

x

n





 

x n

i i 2

s

x

n









 

1 n

s

n







i

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Cách 1_Lập bảng

xi ni xini (xi)2n

3 7 21 63

4 8 32 128

5 17 85 425

6 24 144 864

7 20 140 980

8 14 112 896

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Cách 1_Lập bảng

• Cỡ mẫu:

• Trung bình mẫu:

• Phương sai mẫu chưa hiệu chỉnh:

• Phương sai mẫu đã hiệu chỉnh: Độ lệch mẫu đã hiệu

chỉnh:

90

i

n





n



534 5,9333

90

i i

x n

x

n







 

2
2 2

... 2,0844







 



x n

i i

s

x

n

 

2,1078

1 





n

s

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Cách 2__dùng máy tính 570ES

1. Shift + 9 + 3 + = + =: Reset máy

2. Shift + Mode +  + 4 + 1: bật tần số (frequency on)
3. Mode + 3 + 1: vào tính thống kê 1 biến (stat1-var)
4. Khi này ta có bảng sau:

X FREQ

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Cách 2__dùng máy tính 570ES

• Ta nhập vào như sau:

• Nhấn AC để thoát.

X FREQ

1 3 7

2 4 8

3 5 17

4 6 24

5 7 20

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Cách 2_dùng máy tính 570ES

6. Lấy số liệu thống kê: Shift + 1 + 5 (4) Chọn Var

Ta có bảng sau:

Tương ứng:

1: cỡ mẫu

2: trung bình mẫu

3. Độ lệch chuẩn

mẫu.

4. Độ lệch chuẩn

mẫu hiệu chỉnh.

1: n

2:

3:



x

4: sx

Không
phải
phương

sai

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Đối với FX 500MS hoặc 570MS

1. Reset máy: Shift + Mode + 3 + = + =
2. Vào hệ SD:

• Máy 500MS: Mode + 2

• Máy 570MS: Mode + Mode + 1

3. Nhập dữ liệu: “Giá trịShift , Tần sốM+”

• 3Shift , 7M+

• Nhập đến hết. Nhấn AC

4. Lấy số liệu:

• Shift 2 1 = : Trung bình mẫu.

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Ví dụ 1

Lượng xăng hao phí của một ô tô đi từ A đến B sau 30 lần
chạy kết quả cho trong bảng.

Lượng xăng

hao phí Số lần tương ứng

9,6 – 9,8 3

9,8 – 10 5

10 – 10,2 10

10,2 – 10,4 8

10,4 – 10,6 4

a) Tính trung bình mẫu
b) Tính độ lệch chuẩn

mẫu

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Phân phối xác suất của thống kê mẫu

• A. Biến ngẫu nhiên gốc có phân phối chuẩn

• B. Biến ngẫu nhiên gốc có phân phối B(1,p)
• C. Hai tổng thể có phân phối chuẩn

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

1. Tổng thể có phân phối chuẩn

• Cho tổng thể có phân phối chun.

ã Bin nn gc X~N(à; 2)

ã Ta cú:















 









2
2 2
2 2
2 2

~ , ~ 0;1

~ 1

* 1

~ ~ 1

X n

X N N

n

X n

t n
S

n S n S

Z n Z n

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

2. Tổng thể có phân phối nhị thức

• Gọi p là tỷ lệ một tính chất A nào đó của tổng thể.

• Khi này ppxs của bnn gốc X là: B(1;p) hay A(p)

• Lấy mẫu nn cỡ n, gọi F là tỷ lệ mẫu.

• Ta có:

















~ ; ~ 0;1

p p F p n

F N p N

n p p

 

 



 



</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

3. Hai tổng thể có phân phối chuẩn

• Cho hai tổng thể và 2 bnn gốc:

• Ta tiến hành lấy 2 mẫu độc lập:

• Các thống kê mẫu tương ứng:









~ X ; X ; ~ Y ; Y

X N   Y N  

  

1 2



  

1 2



W n  X X, ,..., Xn W m  Y Y, ,...,Ym

1 2 1 2

2 2

... n ... m

X X X Y Y Y

X Y

n m

S S

     

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

3. Hai tổng thể có phân phối chuẩn

• Ta có:

• Do đó:

2 2
2 2
~ ; ; ~ ;
~ ;
X Y
X Y
X Y
X Y

X N Y N

n m

X Y N

n m
 
 
 
 
   
   
   
 
     
 













2 2 ~ 0;1

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

3. Hai tổng thể có phân phối chuẩn

• Nếu chưa biết 2 phương sai nhưng mẫu lớn m>30, 
n>30 thì:





 

2 2 0;1

X Y
X Y

X Y

Z N

S S

n m

 

  

 

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

3. Hai tổng thể có pp Chuẩn, mẫu nhỏ

• Hai tổng thể có phân phối chuẩn

• Trường hợp mẫu nhỏ (m hay n<30) và có thêm giả 
thuyết 2 phương sai bằng nhau (chưa biết) ta có:

• Với S2 là phương sai chung được ước lượng như sau













2 2 ~ t 2

X Y

X Y

Z n m

S S
n m
 
  
  










2   2   2

2 1 1 1 1

2 2

n m
i i

X Y
i i

x x y y

n S m S

S

n m n m

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

3. Hai tổng thể có pp Chuẩn, mẫu nhỏ

• Hai tổng thể có phân phối chuẩn

• Trường hợp mẫu nhỏ (m hay n<30) và có thêm giả 
thuyết 2 phương sai khác nhau (chưa biết) ta có:

• Trong đó:









 

2 2
X Y
X Y
X Y

Z t k

S S
n m
 
  
 














2
2 2
2 2
2 2
/ /
/ /
X Y
X Y

S n S m

k

S n S m

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

3. Hai tổng thể có phân phối chuẩn

• Cho hai tổng thể và 2 bnn gốc:

• Ta tiến hành lấy 2 mẫu cỡ n và cỡ m.

• Ta có:









~ X ; X ; ~ Y; Y

X N   Y N  

  

1 2



  

1 2



W n  X X, ,..., Xn W m  Y , Y ,..., Ym

 
     
 
 
 
 
 
2 2
2 2
2 2

2 2 2

2 2 2
2

1 1

~ 1 ~ 1

/ 1

~ 1; 1

1 /
/ 1
X Y
X Y
X Y
X

X X X
Y Y Y
Y

n S m S

Z n Z m

n S

n

S

F n m

m S S

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

3. Hai tổng thể có phân phối chuẩn

• Cho hai tổng thể và 2 bnn gốc:

• Ta tiến hành lấy 2 mẫu cỡ n và cỡ m.

• Tương tự:









~ X ; X ; ~ Y; Y

X N   Y N  

  

1 2



  

1 2



W n  X X, ,..., Xn W m  Y , Y ,..., Ym





*2 2

1 1

*2 2

2 2

/

~

;

/

S

F n m

S

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

4. Hai tổng thể chưa biết ppxs, mẫu lớn

• Hai tổng thể có ppxs chưa biết
• Kích thước mẫu lớn m>30, n>30 
• Đã biết hai phương sai

• Chưa biết hai phương sai:





 

2 2 0;1

X Y
X Y
X Y
Z N
n m
 
 
  
 






 
 

2 2 0;1

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

5. Hai tổng thể có phân phối B(n,p)

• Cho hai tổng thể có tỷ lệ lần lượt là p1; p2.

• Lấy mẫu cỡ n từ tổng thể 1, tần suất mẫu F1=k1/n
• Lấy mẫu cỡ m từ tổng thể 2, tỷ lệ mẫu F2=k2/m

• Với n, m đủ lớn ta có:

   

     

1 2 1 2
1 1 2 2

~ 0;1

1 1

F F p p

Z N

p p p p

n m

  



 

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

Ví dụ 2

• Giả sử bạn lấy mẫu 100 giá trị từ tổng thể có trung

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

Ví dụ 3

Một mẫu kích thước n được rút ra từ tổng thể phân phối
chuẩn với trung bình là μ và độ lệch chuẩn 10. Hãy xác
định n sao cho:









)

10 0,9544

)

2 0,9544



















a P

X

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

Ví dụ 4

Trọng lượng một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên phân
phối chuẩn với trung bình là 20,5 và độ lệch chuẩn 2.

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

Ví dụ 5

• Chiều dài của một loại sản phẩm là bnn pp chuẩn

với trung bình 20 m và độ lệch chuẩn 0,2 m. Lấy

một mẫu ngẫu nhiên 25 sp.

a) Cho biết ppxs của trung bình mẫu. Tính kỳ vọng và

phương sai của nó.

b) Xs để trung bình mẫu tối thiểu 30,06m

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

Ví dụ 6

• Giả sử X là năng suất lúa vùng A có pp chuẩn với

phương sai bằng 3 (tạ/ha)

. Lấy một mẫu ngẫu

nhiên kích thước 100. Tính xác suất để:





100 2

270

i
i

P

X















</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

Tổng thể Mẫu TQ Mẫu cụ thể
Kích

thước N n n

Trung
bình
Phương
sai
Độ lệch
chuẩn
Tỷ lệ A

Tóm tắt tổng thể và mẫu

 

E X

 

 

2 V X

 

 

V X

 

 

p P A

X



 

S 2 ; ;S2

 

S* 2

 ; ; *

S S S

F

x

 

s 2 ; ;s2

 

s* 2

; ;

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

Tổng thể Mẫu TQ Mẫu cụ thể
Trung
bình
Phương
sai
Tỷ lệ

PPXS đối với hai mẫu độc lập

;

X Y
 

2 ; 2

X Y



1; 2

p p

;

X Y

2 ; 2
X Y

S S

1; 2

F F

;

x y

 

s 2 ; ;s2

 

s* 2

1; 2

f f

, t

N
F

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

Đề đợt 1/2012

• Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với kỳ

vọng là 30 và phương sai là 4. Lấy một mẫu ngẫu

nhiên với cỡ mẫu là 25.

• a. Nêu (có chứng minh) quy luật phân phối xác

suất của trung bình mẫu . Tính kỳ vọng và phương

sai của .

• b. Tìm k để tỷ lệ giữa phương sai mẫu và phương

sai tổng thể ít nhất là k với xác suất là 0,05.

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

Đề đợt 1/2013

• Cho mẫu ngẫu nhiên W=(X1,X2,…,X8) lập từ tổng

thể phân phối chuẩn N(;). Lập các thống kê sau:

• Nêu quy luật phân phối xác suất, tính kỳ vọng tốn

của Y1, Y2.

• Chú ý. Tổ hợp tuyến tính của các bnn có phân phối chuẩn

độc lập là một bnn có phân phối chuẩn.

•

8 5

1 2 6 7 8

1 1

, 2 3 4

8 i i 14 i i

Y X Y X X X X

 

   

        

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

Đề năm 2014

• Ba mẫu ngẫu nhiên độc lập kích thước bằng 3, 4 và

5 được rút ra từ một tổng thể có phân phối chuẩn

N(;) và tìm được trung bình mẫu tương ứng là , , .

Xét tập hợp các ước lượng:

• a. Nêu quy luật phân phối xác suất của G, tính kỳ

vọng và phương sai của G.

• 



1 1 2 2

1

1 2 3

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

Đề năm 2014

• 6b. Doanh số hàng tháng của các hộ kinh doanh

một mặt hàng ở vùng ký hiệu X có phương sai là 2.

Điều tra ngẫu nhiên 151 đại lý ở vùng trên, hãy

tính:

trong đó Xi là doanh số của đại lý thứ i. Cho





151 2
1
270,96
i
i

P X X


 
 

 


















151
1
2 2
1
151

100 124,34 0,95; 150 135, 48 0,95.

i
i

X X

P  P 




   

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

Tổng hợp phân phối mẫu

• Một tổng thể

• Hai tổng thể









 

  2 *2

2 2

1. ~ ??? 2. ~ ???
1

3. ~ ??? 4. ~ ??? 5. ~ ???
1

X n X n

S

F p n n S nS

p p
 

 
 
 






 





 

   

1 1 1 2 1 1 1 2

2 2 *2 2
1 2 1 2 1 1 1 1

1. ~ ??? 2. ~ ???

??? ???

/ /

3. ~ ??? 4. ~ ??? 5. ~ ???

X X X X

F F p p S S

   

 

     

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

ƯỚC LƯỢNG

THAM SỐ

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

ƯỚC LƯỢNG

• Ước lượng điểm khơng chệch, hiệu quả

• Ước lượng khoảng trung bình, tỷ lệ, phương sai

• Ước lượng chênh lệch hai trung bình, tỷ lệ, phương

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

Ước lượng

• Tổng thể có tham số



chưa biết.

• Ta muốn xác định tham số này.

• Lấy một mẫu nn cỡ n.

• Từ mẫu này tìm cách xác định gần đúng giá trị của

tham số



của tổng thể.

• Ước lượng điểm: dùng một giá trị.

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

Ước lượng điểm

• Dùng một giá trị để thay thế cho giá trị của tham

số



chưa biết của tổng thể.

• Giá trị này là giá trị cụ thể của một thống kê T nào

đó của mẫu ngẫu nhiên.

• Cùng với một mẫu ngẫu nhiên có thể xây dựng

được rất nhiều thống kê mẫu để ước lượng cho

tham số



.

• Ta dựa vào các tiêu chuẩn sau: khơng chệch, hiệu

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

Ước lượng khơng chệch (ƯLKC)

• Thống kê T(X

1

;X

2

;…;X

n

) gọi là ước lượng không

chệch của tham số



nếu:

• Nếu E(T)



thì ước lượng T gọi là một ước lượng

chệch (ƯLC) của tham số



.

• Độ chệch của ước lượng:

E(T)



</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

Ví dụ 1

• Theo lý thuyết mẫu ta có:

 







 





 

*2 2
2 2

2 2
1
E X
E S
n
E S
n
E S

E F p













*2 2 2

2 2

la ULKC cua
la ULKC cua

, la ULKC cua
la UL chech cua

</div>
(64)<div class='page_container' data-page=64>

Ước lượng KC tốt hơn

• Cho X, Y là hai ULKC của tham số



.

• Có nghĩa là:

• Nếu:

• Thì Y là ước lượng tốt hơn X (do phương sai nhỏ

hơn nên mức độ tập trung xung quanh tham số



nhiều hơn).

 

E X





E Y





 

</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>

Ví dụ 1.

• Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, …, Xn).

a) CMR: các thống kê sau:

đều là các ước lượng không chệch của



.

b) Trong các ước lượng trên ước lượng nào là tốt

hơn.

1 2

1 1 2 2

  



 ; X X ; n X X ... Xn

Z X Z Z

</div>
(66)<div class='page_container' data-page=66>

Ước lượng hiệu quả

• Thống kê T(X

1

;X

2

;…;X

n

) gọi là ước lượng hiệu quả

của tham số



nếu:

• T là ULKC của



• V(T) nhỏ nhất so với mọi ULKC khác xây dựng

trên cùng mẫu ngẫu nhiên trên.

• Ta thường dùng bất đẳng thức Crammer-Rao để

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67>

BĐT Cramer-Rao

• Biến nn gốc X có hàm mật độ hoặc cơng thức tính xác 
suất có chứa tham số θ dạng f(x,θ) và thỏa mãn một số
điều kiện nhất định.

• Cho T là một ƯLKC của θ. Ta ln có:

• Vậy ULKC nào thỏa mãn dấu “=“ thì đó là ULHQ

 









ln ,

V T

f X
nE



   

 

  

</div>
(68)<div class='page_container' data-page=68>

Ví dụ 2.

• Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, …, Xn) lấy từ tổng thể

có kì vọng



và phương sai



2. Xét 2 thống kê:

a) CMR: cả 2 thống kê trên đều là các ước lượng

không chệch của



.

b) Trong hai ước lượng trên ước lượng nào là tốt

hơn.





1 2 1 2

2 ...

2 ;

1

n n

X

nX

X

Z

X

n n

n





</div>
(69)<div class='page_container' data-page=69>

Ví dụ 3

Cho tổng thể có phân phối chuẩn N(μ;σ2). CMR: là ước

lượng hiệu quả nhất của tham số μ.

Giải.

Dễ thấy, là ước lượng không chệch và:

Hàm ppxs của tổng thể:

•  

Var X

n













 2

2
2
1
, ,
2
x

f x f x e

</div>
(70)<div class='page_container' data-page=70>

Ví dụ 3

• Ta có:

• Và:

















2
2
2

2 

























 



















ln

,

x

f x

x





2 4 2

1 X

E



E X



</div>
(71)<div class='page_container' data-page=71>

Ví dụ 3

• Theo bất đẳng thức Cramer-Rao ta có:

• Vậy thống kê là ƯLKC có phương sai nhỏ nhất

trong các ước lượng không chệch của tham số μ

của tổng thể

•  









 

2
2

ln ,

Var T Var X

n
f X

nE






  

  

 

  

</div>
(72)<div class='page_container' data-page=72>

Các ULHQ

• Ta chứng minh được:

2 *2 2

.

,

.

X la ULHQ cua

S S la ULHQ cua

F la ULHQ cua p



</div>
(73)<div class='page_container' data-page=73>

Ước lượng hợp lý tối đa

</div>
(74)<div class='page_container' data-page=74>

Ước lượng khoảng

Giả sử tổng thể có tham số  chưa biết. Dựa vào mẫu
ngẫu nhiên ta tìm khoảng (a; b) sao cho:

P(a <  <b)=(1 - ) khá lớn.

Khi đó ta nói, (a;b) là khoảng ước lượng của tham số 

với độ tin cậy (1 - ) .

Độ tin cậy thường được cho trước và khá lớn.
Dạng khoảng tin cậy:

• : khoảng tin cậy bên trái (tối đa)

• : khoảng tin cậy bên phải (tối thiểu)
• : khoảng tin cậy hai phía

</div>
(75)<div class='page_container' data-page=75>

Ước lượng khoảng

• (a; b): khoảng tin cậy hay khoảng ước lượng.
• (1 - ): độ tin cậy của ước lượng.

• |b - a|=2ε: độ rộng khoảng tin cậy.
• ε : độ chính xác (sai số).

• Vấn đề: tìm a, b như thế nào? (1 - ) là bao nhiêu thì phù
hợp.

</div>
(76)<div class='page_container' data-page=76>

Nguyên tắc ULK

• Với mẫu đã chọn, tìm thống kê T có ppxs xác định và 
chứa tham số cần ước lượng.

• Với độ tin cậy (1-α) cho trước tìm cặp số α1; α2 sao 
cho:

• Tìm các giá trị tới hạn mức (1- α1) và α2
• Ta có:

• Biến đổi tương đương tìm khoảng UL cho tham số cần 
tìm.

1 2













1 1 2



1

</div>
(77)<div class='page_container' data-page=77>

Ước lượng tỷ lệ p

• Bài tốn hai phía. Tổng thể có tỷ lệ p chưa biết (về tính

chất A nào đó).

• Ta lấy mẫu cỡ n (trên 30).
• Tìm (a,b) sao cho:

• Chú ý:





1 P a



p b



 









1 

~



0;1



F

p

n

Z

N

p





</div>
(78)<div class='page_container' data-page=78>

Ước lượng hai phía cho p

• B1. Với độ tin cậy (1-α), ta chọn α1; α2

• B2. KƯL của thống kê Z

• B3. KƯL của tham số p sau khi

biến đổi và xấp xỉ

� ớ ��= ��/2

√

� (1− �)

√

�





~

0;1

Z

N

/ 2



/ 2





1 



/2
z
/2

z




/2 /2



1 P



z





Z



z



 







1

</div>
(79)<div class='page_container' data-page=79>

Khoảng tin cậy cho p

• Hai phía:

• Bên trái:

• Bên phải:



F  ; F 







F F

z

n



  



0; F 







F F

z

n



  



F  ;1



z F



1 F



n



</div>
(80)<div class='page_container' data-page=80>

Độ chính xác, độ tin cậy, cỡ mẫu

• Khi ước lượng hai phía, độ dài khoảng ước lượng:

• Sai số (độ chính xác của ước lượng):
• Để xác định kích thước mẫu, ta dùng:





1
2 2z F F

n


  





2
2

F F z

</div>
(81)<div class='page_container' data-page=81>

Ước lượng trung bình

• Tổng thể có phân phối chuẩn

• Ước lượng điểm khơng chệch: 
• Độ tin cậy:

• Phân phối thống kê mẫu:

• Chú ý: t(n) hội tụ về N(0;1) khi n>30

• 











 

~ 0;1 ~

X n X n

Z N Z t n

S

 



 

</div>
(82)<div class='page_container' data-page=82>

Khoảng tin cậy_biết σ

• Khoảng tin cậy hai phía

:

• KUL bên trái:

• KUL bên phải:



X  ; X 



z

n




 



 ; X 



z

n




 



X  ;



z

n



</div>
(83)<div class='page_container' data-page=83>

Khoảng tin cậy_khơng biết σ

• Khoảng tin cậy hai phía

:

• KUL bên trái:

• KUL bên phải:



X  ; X 



S
t n

n


    

 



 ; X 



t n





S

n

   



X  ;



t n





S

n

</div>
(84)<div class='page_container' data-page=84>

Độ chính xác, độ tin cậy, cỡ mẫu

• Khi ước lượng hai phía, sai số hay độ chính xác:

• Để xác định kích thước mẫu, ta dùng:

1;
2

S

z hay t n

n n












   
 
2 2
/2
2 1
z

n  


 
  
 
2

2
2
1;
2
1

</div>
(85)<div class='page_container' data-page=85>

Ước lượng phương sai

• Tổng thể có phân phối chuẩn

• Ước lượng điểm khơng chệch: S*2 hay S2

• Độ tin cậy:

• Phân phối thống kê mẫu:

• Chú ý: (n) hội tụ về N(n;2n) khi n>30

•  









2
*2

2 2

~ n S ~ 1

nS

Z  n Z  n

 



</div>
(86)<div class='page_container' data-page=86>

Khong tin cy_bit à

ã

Khong tin cy hai phớa

:

ã

KUL bên trái:

• KUL bên phải:

*2 *2
2 2
;
; ;1
2 2
nS nS

n  n 

 
 
 

 
   
  
   
 
   
 





*2
2
0;
;1
nS
n
 
 
 
  
 





2 ; ;

</div>
(87)<div class='page_container' data-page=87>

Khong tin cy_khụng bit à

ã Khong tin cy hai phía:

• KUL bên trái:

• KUL bên phải:









2 2

1 1

;

1; 1;1

2 2

n S n S

n  n 

</div>
(88)<div class='page_container' data-page=88>

Bài 1

• Trong kho hàng xí nghiệp A có rất nhiều sản

phẩm. Lấy nn 100 sp cân lên ta thấy

a) Các sp từ 1050 gr trở lên là sp loại 1. Ước lượng

trọng lượng trung bình của các sp loại 1 với độ tin

cậy 98% (giả sử trọng lượng sp có pp chuẩn)

Xi (gr) 800-850 850-900 900-950 950-1000 1000-1050 1050-1100 1100-1150

</div>
(89)<div class='page_container' data-page=89>

Bài 1

b) Nếu muốn ước lượng tỷ lệ sp loại 1 với độ tin cậy

98% và độ chính xác 3% thì cần điều tra thêm bao

nhiêu sản phẩm nữa.

</div>
(90)<div class='page_container' data-page=90>

Bài 2

• Mức hao phí nhiên liệu cho một đơn vị sản phẩm là

bnn có pp chuẩn. Xét trên 25 sản phẩm ta có kết quả
sau:

• Hãy ước lượng phương sai với độ tin cậy 95% trong 2

trường hợp:

a) Biết kỳ vọng là 20?
b) Không biết kỳ vọng?

X

19,5 20 20,5

</div>
(91)<div class='page_container' data-page=91>

Bài 3

• Năng suất lúa một vùng (tạ/ha) là bnn có phân

phối chuẩn. Thu hoạch ngẫu nhiên 100 ha ta có số

liệu sau:

• Ước lượng năng suất lúa trung bình của vùng với

độ tin cậy 95%

• Tìm khoảng tin cậy với hệ số tin cậy 95% cho

phương sai của năng suất.





100 2

37,9; i 1059

i

x x x



</div>
(92)<div class='page_container' data-page=92>

Bài 4

• Lấy ngẫu nhiên 15 bao bột do một máy đóng bao

sản xuất ta có:

• Giả thiết trọng lượng các bao bột là bnn có phân

phối chuẩn. Hãy ước lượng trọng lượng trung bình



với độ tin cậy 95%.

39,8; 0,144

</div>
(93)<div class='page_container' data-page=93>

Bài 5

• Điểm trung bình mơn Tốn của 100 sinh viên dự thi

môn XSTK là 6 với độ lệch chuẩn mẫu đã hiệu

chỉnh là 1,5.

a) Ước lượng điểm trung bình mơn XSTK của toàn

thể sinh viên với độ tin cậy 95%?

</div>
(94)<div class='page_container' data-page=94>

Bài 6

• Một lơ hàng có 5000 sản phẩm. Chọn ngẫu nhiên

400 sản phẩm từ lơ hàng thì thấy có 360 sản phẩm

loại A.

a) Hãy ước lượng số sản phẩm loại A trong lô hàng

với độ tin cậy 96%?

b) Tìm khoảng tin cậy bên phải của tỉ lệ sản phẩm

loại A trong lô hàng ở độ tin cậy 97%?

</div>
(95)<div class='page_container' data-page=95>

Bài 7

• Để ước lượng số cá trong hồ người ta đánh bắt

2000 con, đánh dấu rồi thả xuống hồ. Sau đó người

ta đánh lên 400 con thì thấy có 40 con bị đánh dấu.

Với độ tin cậy 95%, số cá trong hồ khoảng bao

</div>
(96)<div class='page_container' data-page=96>

Bài 8

• Để ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu của một kho đồ

hộp, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 100 hộp thấy có

11 hộp xấu.

a) Ước lượng tỉ lệ sản phẩm xấu của kho đồ hộp với

độ tin cậy 94%?

</div>
(97)<div class='page_container' data-page=97>

Bài 9

• Điều tra về số lượt gửi xe máy trong 121 ngày ở

FTU ta có bảng sau:

• Những ngày có từ 1000 lượt gửi trở lên là những

ngày đông.

Số 
lượt

700-800

800-900

900-1000

1000-1100

1100-1200

1200-1300

1300-1400

1400-1500

Số 
ngày

</div>
(98)<div class='page_container' data-page=98>

Bài 9

a) Ước lượng số lượt gửi xe trung bình một ngày ở FTU

với độ tin cậy 99%.

b) Khi ước lượng tỉ lệ những ngày đông với mẫu trên,
nếu muốn độ tin cậy là 95% và độ chính xác tối đa 8%
thì cần điều tra tối thiểu bao nhiêu ngày?

c) Ước lượng độ lệch chuẩn của số lượt gửi một ngày
với độ tin cậy 95% biết

</div>
(99)<div class='page_container' data-page=99>

Bài 10

• Trọng lượng các bao gạo được đóng gói tự động với

trọng lượng qui định là 27,5 kg. Kiểm tra ngẫu nhiên 41
bao trong kho gồm 2000 bao gạo, ta thấy:

a) Với mẫu trên, ước lượng trọng lượng trung bình một
bao gạo với độ tin cậy 95%.

b) Với mẫu trên, ước lượng số bao gạo từ 27 kg trở
xuống trong kho với độ tin cậy 90%.

Trọng lượng bao (kg) 25 26 27 28 29

</div>
(100)<div class='page_container' data-page=100>

Bài tập

• 4.2 – 4.13

</div>

tài liệu xstk lớp k55def mã lớp 191192193 nguyenvantien0405

<b>THỐNG KÊ</b>

•

<b><sub>LÝ THUYẾT MẪU</sub></b>

•

<sub>ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ</sub>

•

<sub>KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT</sub>

Kiểm tra

Đại cương về mẫu

•

<sub>Phương pháp mẫu: tổng thể; phương pháp chọn </sub>

mẫu; mẫu ngẫu nhiên

•

<sub>Các đặc trưng mẫu:</sub>

Phương pháp mẫu

Các vấn đề cần quan tâm

Ví dụ về chọn mẫu

Mẫu tổng quát

Mẫu cụ thể

•

Tổng thể

Mơ tả tổng thể

Tham số đặc trưng của tổng thể

 











 

Tham số đặc trưng của tổng thể

<b>Mẫu ngẫu nhiên (random sample)</b>





 





 

Chọn mẫu ngẫu nhiên

Mơ tả mẫu

Thống kê mẫu

Trung bình mẫu



 

 

 









Phương sai mẫu S*

























Phương sai mẫu

•

 







 

 









 





Phương sai mẫu S