7 Đề thi HSG toán 8 có đáp án

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (501.6 KB, 28 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

ĐỀ 1

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

MƠN: TỐN LỚP 8

Thời gian: 150 phút

Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử

b) Tìm giá trị nguyên của x để A  B biết

A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 .

c)Cho x + y = 1 và x y 0 . Chứng minh rằng

 

3 3 2 2

1 1 3

x y

x y

y x x y



  

  

Bài 2: (3đ) Giải các phương trình sau:
a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12

b) 2008x+1 + x+2

2007+

x+3

2006=

x+4
2005+

x+5
2004+

x+6

2003

Bài 3: (2đ) Cho hình vng ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F

sao cho AE = CF

a) Chứng minhEDF vuông cân

b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng
minh O, C, I thẳng hàng.

Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên
AB, AC sao cho BD = AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho:

a/ DE có độ dài nhỏ nhất

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

HD CHẤM
Bài 1: (3 điểm)

a) ( 0,75đ) x3 - 5x2 + 8x - 4 = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – 4

(0,25đ)

= x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) (0,25đ)

= ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2 (0,25đ)

b) (0,75đ) Xét

A 10x 7x 5 7

5x 4

B 2x 3 2x 3

 

   

  (0,25đ)

Với x  Z thì A  B khi

2x 3  Z  7  ( 2x – 3) (0,25đ)

Mà Ư(7) = 1;1; 7;7   x = 5; - 2; 2 ; 1 thì A  B (0,25đ)
c) (1,5đ) Biến đổi 3 3

x y

y  1 x  1=

4 4

3 3

x x y y
(y 1)(x 1)
  

 
=



4 4



2 2

x y (x y)
xy(y y 1)(x x 1)

  

    ( do x + y = 1 y - 1= -x và x - 1= - y) (0,25đ)

   



2 2



2 2 2 2 2 2

x y x y x y (x y)

xy(x y y x y yx xy y x x 1)

    

        (0,25đ)
=

  2 2

2 2 2 2

x y (x y 1)

xy x y xy(x y) x y xy 2

  

     

 

  (0,25đ)
=

  2 2

2 2 2

x y (x x y y)
xy x y (x y) 2

   
  
 
  =
  
2 2

x y x(x 1) y(y 1)
xy(x y 3)

   

 (0,25đ) 
=

  

2 2

x y x( y) y( x)
xy(x y 3)

   

 =

 

2 2

x y ( 2xy)
xy(x y 3)

 

 (0,25đ) 
= 2 2

2(x y)
x y 3
 

 Suy ra điều cần chứng minh (0,25đ)

Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ)

(x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x

y2 + 4y - 12 = 0 ⇔ y2 + 6y - 2y -12 = 0 (0,25đ)

⇔ (y + 6)(y - 2) = 0 ⇔ y = - 6; y = 2 (0,25đ) 
* x2 + x = - 6 vô nghiệm vì x2 + x + 6 > 0 với mọi x (0,25đ)

* x2 + x = 2 ⇔ x2 + x - 2 = 0 ⇔ x2 + 2x - x - 2 = 0 (0,25đ)

⇔ x(x + 2) – (x + 2) = 0 ⇔ (x + 2)(x - 1) = 0 ⇔ x = - 2; x = 1 (0,25đ)

Vậy nghiệm của phương trình x = - 2 ; x =1
b) (1,75đ)

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
2008 2007 2006 2005 2004 2003

     

     ⇔ (x 1 1) (x 2 1) (x 3 1) (x 4 1) (x 5 1) (x 6 1)

2008 2007 2006 2005 2004 2003

     

          

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

⇔ x+2009

2008 +

x+2009

2007 +

x+2009

2006 =

x+2009
2005 +

x+2009
2004 +

x+2009

2003 ⇔

x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009
0

2008 2007 2006 2005 2004 2003

     

     

(0,25đ)

⇔ (x+2009)( 1

2008+
1
2007+

1
2006−

1
2005−

1
2004 −

2003)=0 (0,5đ) Vì

1 1
2008 2005 ;

1 1

20072004;

1 1

2006 2003

Do đó : 20081 + 1

2007+
1
2006 −

1
2005 −

1
2004 −

2003<0 (0,25đ) Vậy x + 2009 = 0 ⇔ x =
-2009

Bài 3: (2 điểm) 
a) (1đ)

Chứng minh EDF vng cân

Ta có ADE =CDF (c.g.c) EDF cân tại D

Mặt khác: ADE =CDF (c.g.c)  Eˆ1Fˆ2
Mà Eˆ1Eˆ2Fˆ1 = 900  Fˆ2Eˆ2Fˆ1= 900

 EDF= 900. VậyEDF vuông cân
b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng

Theo tính chất đường chéo hình vuông  CO là trung trực BD

MàEDF vuông cân  DI =

1
2EF

Tương tự BI =

2EF  DI = BI

 I thuộc dường trung trực của DB  I thuộc đường thẳng CO

Hay O, C, I thẳng hàng

Bài 4: (2 điểm) 
a) (1đ)

DE có độ dài nhỏ nhất

Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a)
Áp dụng định lý Pitago với ADE vuông tại A có:

DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 (0,25đ)

= 2(x –
2

4 )2 + 
2

a
2 

2 (0,25đ)

A
B

E I

D
C

2
1

A
D

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Ta có DE nhỏ nhất  DE2 nhỏ nhất  x =

2 (0,25đ)

 BD = AE =

2  D, E là trung điểm AB, AC (0,25đ)

b) (1đ)

Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.
Ta có: SADE =

2AD.AE =
1

2 AD.BD =
1

2AD(AB – AD)=
1

2(AD2 – AB.AD) (0,25đ)

= –

2 (AD2 – 2

2 .AD +

AB
4 ) +

AB
8 = –

2(AD – 
AB

4 )2 +

AB
2 

8 (0,25đ)

Vậy SBDEC = SABC – SADE
2

AB
2 –

AB
8 =

8AB2 không đổi (0,25đ)

Do đó min SBDEC =

8AB2 khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC (0,25đ)

ĐỀ 2

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

MƠN: TỐN LỚP 8

Thời gian: 150 phút

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x2 – y2 – 5x + 5y

b) 2x2 – 5x – 7

Bài 2: Tìm đa thức A, biết rằng:
4x2−16

x2+2 =
A
x

Bài 3: Cho phân thức: 25xx+2 5

+2x

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bài 4: a) Giải phơng trình : x −x+22−
1

x=

x(x −2)

b) Giải bất phơng trình: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + 3

Bài 5: Giải bài tốn sau bằng cách lập phơng trình:

Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, mỗi ngày sản xuất đợc 50 sản
phẩm. Khi thực hiện, mỗi ngày tổ đó sản xuất đợc 57 sản phẩm. Do đó đã hồn
thành trớc kế hoạch một ngày và còn vợt mức 13 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch tổ
phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm và thực hiện trong bao nhiêu ngày.

Bài 6: Cho ∆ ABC vng tại A, có AB = 15 cm, AC = 20 cm. Kẻ đờng cao AH và
trung tuyến AM.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

BIỂU ĐIỂM - ĐÁP ÁN

Đáp án Biểu

điểm
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) x2 – y2 – 5x + 5y = (x2 – y2) – (5x – 5y) = (x + y) (x – y) – 5(x – y)

= (x - y) (x + y – 5) (1 điểm)

b) 2x2 – 5x – 7 = 2x2 + 2x – 7x – 7 = (2x2 + 2x) – (7x + 7) = 2x(x +1) –

7(x + 1)

= (x + 1)(2x – 7). (1 điểm)
Bài 2: Tìm A (1 điểm)

A =

4x2−16

2x¿2−42
¿
¿

x¿

Bài 3: (2 điểm)

a) 2x2 + 2x = 2x(x + 1) 0

⇔ 2x 0 và x + 1 0

⇔ x 0 và x -1 (1 điểm)

b) Rút gọn:
5x+5
2x2+2x=

5(x+1)

2x(x+1)=

2x (0,5 điểm)

2x=1⇔5=2x⇔x=

2 (0,25 điểm)

Vì 52 thoả mãn điều kiện của hai tam giác nên x=5

2 (0,25 điểm)
Bài 4: a) Điều kiện xác định: x 0; x 2

- Giải: x(xx+2)- (x- 2)
(x −2) =

x(x −2)  x

2 + 2x – x +2 = 2;
 x= 0 (loại) hoặc x = - 1. Vậy S =

 

1

b)  x2 – 9 < x2 + 4x + 7

 x2 – x2 – 4x < 7 + 9  - 4x < 16  x> - 4

Vậy nghiệm của phơng trình là x > - 4

1 đ

1đ
Bài 5: – Gọi số ngày tổ dự định sản xuất là : x ngày

Điều kiện: x nguyên dơng và x > 1

Vậy số ngày tổ đã thực hiện là: x- 1 (ngày)

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

- Số sản phẩm làm theo kế hoạch là: 50x (sản phẩm)
- Số sản phẩm thực hiện là: 57 (x-1) (sản phẩm)
Theo đề bài ta có phơng trình: 57 (x-1) - 50x = 13

 57x – 57 – 50x = 13
 7x = 70

 x = 10 (thoả mãn điều kiện)

Vậy: số ngày dự định sản xuất là 10 ngày.

Số sản phẩm phải sản xuất theo kế hoạch là: 50 . 10 = 500 (sản phẩm)

0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
1 đ
Bài 6: a) Xét ∆ ABC và ∆ HBA, có:

Góc A = góc H = 900; có góc B chung
 ∆ ABC ~ ∆ HBA ( góc. góc)

b) áp dụng pitago trong ∆ vng ABC

ta có : BC = AB2 AC2 = 152 202 = 625= 25 (cm)

vì ∆ ABC ~ ∆ HBA nên 15

25
20







HA
HB
hay
BA
BC
HA
AC
HB
AB

 AH = 25 12

05
.
20



(cm)
BH = 25 9

.
15



(cm)

HC = BC – BH = 25 – 9 = 16 (cm)
c) HM = BM – BH =

)
(
5
,
3
9
2
25

2 BH cm

BC






SAHM = 2

AH . HM = 2
1

. 12. 3,5 = 21 (cm2)

- Vẽ đúng hình: A

B H M C

1 đ
1 đ
1 đ

1 đ

1đ

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

ĐỀ 3

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

MƠN: TỐN LỚP 8

Thời gian: 150 phút

Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:

a) x2 – 4x + 4 = 25

b)
4
1004
1
x
1986
21
x
1990
17
x







c) 4x – 12.2x + 32 = 0

Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và z 0
1
y
1
x
1




.

Tính giá trị của biểu thức:

xy
2
z
xy
xz
2
y
xz
yz
2
x
yz

A 2 2 2








Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1
đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào
chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính

phương.

Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm.
a) Tính tổng CC'

'
HC
'
BB
'
HB
'
AA
'
HA



b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc
AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.

c) Chứng minh rằng:

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

ĐÁP ÁN

 Bài 1(3 điểm):

a) Tính đúng x = 7; x = -3 ( 1 điểm )
b) Tính đúng x = 2007 ( 1 điểm )
c) 4x – 12.2x +32 = 0  2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm )

 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0  (2x – 8)(2x – 4) = 0 ( 0,25điểm )

 (2x – 23)(2x –22) = 0  2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 ( 0,25điểm )

 2x = 23 hoặc 2x = 22  x = 3; x = 2 ( 0,25điểm )

 Bài 2(1,5 điểm):

0
z
1
y
1
x
1



 0 xy yz xz 0

xyz
xz
yz
xy










 yz = –xy–xz ( 0,25điểm )

x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )

Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )

Do đó: (z x)(z y)

xy
)
z
y
)(
x
y
(
xz
)
z
x
)(
y
x
(

yz
A










( 0,25điểm )
Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm )

 Bài 3(1,5 điểm):

Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d



N, 0a,b,c,d9,a 0 (0,25điểm)

Ta có: abcd k2

2
m
)
3
d
)(
5

c
)(
3
b
)(
1
a
(     

abcdk2

abcd1353m2 (0,25điểm)

Do đó: m2–k2 = 1353

 (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm)

m+k = 123 m+k = 41

m–k = 11 m–k = 33
m = 67 m = 37

k = 56 k = 4 (0,25điểm)
Kết luận đúng abcd = 3136 (0,25điểm)

với k, m N, 31<k<m<100

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

 Bài 4 (4 điểm) :

Vẽ hình đúng (0,25điểm)

a)
'
AA
'
HA
BC
'.
AA
.
2
1
BC
'.
HA
.
2
1
S
S
ABC
HBC



; (0,25điểm)
Tương tự: CC'

'
HC

S
S
ABC
HAB


; BB'

'
HB
S
S
ABC
HAC

(0,25điểm)

1
S
S
S
S
S
S
'
CC
'
HC
'
BB

'
HB
'
AA
'
HA
ABC
HAC
ABC
HAB
ABC
HBC






(0,25điểm)
b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:

AI
IC
MA
CM
;
BI
AI
NB
AN

;
AC
AB
IC
BI



(0,5điểm )

BI.AN.CM BN.IC.AM

1
BI
IC
.
AC
AB
AI
IC
.
BI
AI
.
AC
AB
MA
CM
.
NB

AN
.
IC
BI






c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm)
-Chứng minh được góc BAD vng, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm)
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm)

-BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2

 AB2 + AD2  (BC+CD)2 (0,25điểm)

AB2 + 4CC’2  (BC+AC)2

4CC’2  (BC+AC)2 – AB2

Tương tự: 4AA’2  (AB+AC)2 – BC2

4BB’2  (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm)

-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2)  (AB+BC+AC)2

'
CC
'
BB
'
AA
)
CA
BC
AB
(
2
2
2
2





(0,25điểm)
(Đẳng thức xảy ra  BC = AC, AC = AB, AB = BC  AB = AC =BC

 ABC đều)

ĐỀ 4

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

MƠN: TỐN LỚP 8

(0,5điểm )

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Thời gian: 150 phút

Câu 1: (4,0 điểm)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1).

Câu 2: (5,0 điểm)

Cho biểu thức :

2 2

2 2 3

2 4 2 3

( ) : ( )

2 4 2 2

x x x x x

A

x x x x x

  

  

   

a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?
b) Tìm giá trị của x để A > 0?

c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.
Câu 3: (5,0 điểm)

a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :

9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.

b) Cho 1

x y z

a b c  và 0

a b c

x yz  . Chứng minh rằng :

2 2 2

2 2 2 1

x y z

a b c  .

Câu 4: (6,0 điểm)

Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần
lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu
của C xuống đường thẳng AB và AD.

a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?
b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

HƯỚNG DẪN CHẤM THI

Nội dung đáp án Điểm

Bài 1

a 2,0

3x2 – 7x + 2 = 3x2 – 6x – x + 2 = 1,0

= 3x(x -2) – (x - 2) 0,5

= (x - 2)(3x - 1). 0,5

b 2,0

a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = 1,0

= ax(x - a) – (x - a) = 0,5

= (x - a)(ax - 1). 0,5

Bài
2: 5,0
a 3,0
ĐKXĐ :
2
2
2 3
2 0

4 0 0

2 0 2

3
3 0
2 0
x
x x
x x
x
x x
x x
  


   

 
   
 
  
  

  

1,0

2 2 2 2 2 2

2 2 3

2 4 2 3 (2 ) 4 (2 ) (2 )

( ) : ( ) .

2 4 2 2 (2 )(2 ) ( 3)

x x x x x x x x x x

A

x x x x x x x x x

       

    

       1,0

4 8 (2 )

.
(2 )(2 ) 3

x x x x

x x x

 



   0,5

2
4 ( 2) (2 ) 4
(2 )(2 )( 3) 3

x x x x x

x x x x

 

 

    0,25

Vậy với x0,x2,x3 thì

2
4x
3
A
x


 . 0,25

b 1,0

Với

2
4

0, 3, 2 : 0 0

3
x

x x x A

x

     

 0,25

3 0
x

   0,25

3( )

x TMDKXD

  0,25

Vậy với x > 3 thì A > 0. 0,25

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

7 4
7 4

7 4
x

x

x
 


   

 

 0,5

11( )

3( )

x TMDKXD

x KTMDKXD



  

 0,25

Với x = 11 thì A =

121

2 0,25

Bài 3 5,0

a 2,5

9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0

 (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0 1,0
 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*) 0,5

Do : (x1)2 0;(y 3)20;(z1)2 0 0,5

Nên : (*) x = 1; y = 3; z = -1 0,25

Vậy (x,y,z) = (1,3,-1). 0,25

b 2,5

Từ :

ayz+bxz+cxy

0 0

a b c

x  y  z   xyz  0,5

 ayz + bxz + cxy = 0 0,25

Ta có :

1 ( ) 1

x y z x y z

a b c   a b c  0,5

2 2 2

2 2 2 2( ) 1

x y z xy xz yz

a b c ab ac bc

       0,5

2 2 2

2 2 2 2 1

x y z cxy bxz ayz

a b c abc

 

     0,5

2 2 2

2 2 2 1( )

x y z

dfcm

a b c

    0,25

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

O F

E

K
H

C

A

D

B 0,25

a 2,0

Ta có : BEAC (gt); DFAC (gt) => BE // DF 0,5
Chứng minh : BEODFO g c g(   ) 0,5

=> BE = DF 0,25

Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành. 0,25

b 2,0

Ta có: ABC ADC HBC KDC  0,5

Chứng minh : CBH CDK g g(  ) 1,0

. .

CH CK

CH CD CK CB
CB CD

    0,5

b, 1,75

Chứng minh : AFDAKC g g(  ) 0,25

. A .

AK

AD AK F AC

AD AC

    0,25

Chứng minh : CFDAHC g g(  ) 0,25

CF AH
CD AC

  0,25

Mà : CD = AB . .

CF AH

AB AH CF AC
AB AC

    0,5

Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

ĐỀ 5

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

MƠN: TỐN LỚP 8

Thời gian: 150 phút

Bài 1: (4 điểm)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3.

b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010.

Bài 2: (2 điểm)

Giải phương trình:

x 241 x 220 x 195 x 166
10

17 19 21 23

   

   

.
Bài 3: (3 điểm)

Tìm x biết:







 









 



2 2

2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19

2009 x 2009 x x 2010 x 2010

     



      .

Bài 4: (3 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Bài 5: (4 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là
hình chiếu vng góc của điểm D lên AB, AC.

a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vng.

b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 6: (4 điểm)

Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB
sao cho: 31<k<m<100 .

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính độ dài đoạn BD.
ĐÁP ÁN

Bài 1:

a) (x + y + z)

3 – x3 – y3 – z3 =





3 3 3 3

x y z x y z

        

 

= ⇔

= ⇔ = 3



y z x x y











z x y








= 3



x y y z z x

 



 





b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 =



 



4 2

x  x  2010x 2010x 2010

= ⇒ = ⇔ .
Bài 2:

x 241 x 220 x 195 x 166
10

17 19 21 23

   

   

x 241 x 220 x 195 x 166

1 2 3 4 0

17 19 21 23

   

        

x 258 x 258 x 258 x 258
0

17 19 21 23

   

    



x 258



1 1 1 1 0

17 19 21 23

 

      

 

x 258

 

Bài 3:







 









 



2 2

2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19

2009 x 2009 x x 2010 x 2010

     



      .

ĐKXĐ: x 2009; x 2010  .

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

















2 2

a 1 a 1 a a 19

a 1 a 1 a a

   



   

a a 1 19

3a 3a 1 49

 

 

 

2 2

49a 49a 49 57a 57a 19

       8a2 8a 30 0 



2a 1



2 42 0



2a 3 2a 5

 



       

3
a

2
5
a




 

 

 (thoả ĐK)

Suy ra x =

4023

2 hoặc x = 
4015

2 (thoả ĐK)

Vậy x = ⇔ và x =

4015

2 là giá trị cần tìm.

Bài 4:

2010x 2680

x 1






2 2 2

2 2

335x 335 335x 2010x 3015 335(x 3)

335 335

x 1 x 1

     

  

 

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 335 khi x = – 3.
Bài 5:

a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì E A F 90    o)

Để tứ giác AEDF là hình vng thì AD là tia phân
giác của BAC .

b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF
Suy ra 3AD + 4EF = 7AD

3AD + 4EF nhỏ nhất  AD nhỏ nhất

 D là hình chiếu vng góc của A lên BC.

Bài 6:

a) Đặt AFE BFD  , BDF CDE  , CED AEF  .

Ta có BAC     1800(*)

Qua D, E, F lần lượt kẻ các đường thẳng vng góc với BC, AC, AB cắt nhau tại O.
Suy ra O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF.

 OFD OED ODF 90     o(1)

Ta có OFD   OED   ODF   270o(2) O

B C

D
E













E
F

A B

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

(1) & (2)       180o (**)

(*) & (**)  BAC  BDF .

b) Chứng minh tương tự câu a) ta có:



B, C 

 AEF DBF DEC ABC



BD BA 5 5BF 5BF 5BF

BD BD BD

BF BC 8 8 8 8

CD CA 7 7CE 7CE 7CE

CD CD CD

CE CB 8 8 8 8

AE AB 5 7AE 5AF 7(7 CE) 5(5 BF) 7CE 5BF 24
AF AC 7

   

    

   

       

   

   

     

   

 

   

   

CD BD 3

   (3)

Ta lại có CD + BD = 8 (4)
(3) & (4)  BD = 2,5

ĐỀ 6

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

MƠN: TỐN LỚP 8

Thời gian: 150 phút

Bài 1: (2 điểm)

Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:
1. x2 7x 6

 

2. x4 2008x2 2007x 2008

  

Bài 2: (2điểm) Giải phương trình:
1. x2 3x 2 x1 0

2.  

2 2 2

2 2

1 1 1 1

8 x 4 x 4 x x x 4

x x x x

       

       

       

       

Bài 3: (2điểm) 1. CMR với a,b,c,là các số dơng ,ta có: (a+b+c)( 1a+

b+

c¿≥9

3. Tìm số d trong phép chia của biểu thức x2 x4 x6 x82008 cho đa thức

10 21

x  x .

Bài 4: (4 điểm)Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (HBC). Trên
tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đờng vng góc với BC tại D cắt AC tại E.

O
A

B C

D
E

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo

m AB .

2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC
đồng dạng. Tính số đo của góc AHM

3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh:

GB HD
BC AH HC .

BàI

1

Câu

Nội dung Điểm

1.

1.1 2,0

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

   

2 7 6 2 6 6 1 6 1

x  x x  x x x x  x

x1 x6

0.5
0,5
1.2

(1,25 điểm)

4 2 4 2 2

2008 2007 2008 2007 2007 2007 1

x  x  x x x  x  x 

0,25



 







4 2 1 2007 2 1 2 1 2 2007 2 1

x x x x x x x x

           

0,25



x2 x 1

 

x2 x 1



2007



x2 x 1

 

x2 x 1

 

x2 x 2008



            

0,25

2.

2,0

2.1 x2 3x 2 x 1 0
     (1)

+ Nếu x1: (1)  
2

1 0 1

x x

     (thỏa mãn điều kiện x1).

+ Nếu x1: (1)

     

2 4 3 0 2 3 1 0 1 3 0

x x x x x x x

            

 x1; x3 (cả hai đều khơng bé hơn 1,
nên bị loại)

Vậy: Phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là x1.

0,5
0,5
2.2

 

2 2 2

2 2

1 1 1 1

8 x 4 x 4 x x x 4

x x x x

       

       

       

        (2)

Điều kiện để phơng trình có nghiệm: x0

(2)  

2 2

1 1 1 1

8 x 4 x x x x 4

x x x x

 
       
                

        
   
2
2 2
2
2
1 1

8 x 8 x x 4 x 4 16

x x

   

           

   

0 8

x hay x

   và x0.

Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm x8

0,25
0,5
0,25

3

2.0

3.1 Ta có:

A= (a+b+c)(1a+

b+

c)=1+
a
b+

a
c+

b
a+1+

b
c+

c
a+

c
b+1

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Mà: xy+ y

x≥2 (BĐT Cơ-Si)

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

3.2 Ta có:

       



 



( ) 2 4 6 8 2008

10 16 10 24 2008

P x x x x x

x x x x

     

Đặt tx210x21 (t3;t7), biểu thức P(x) đợc viết lại:

    2

( ) 5 3 2008 2 1993
P x  t t   t t

Do đó khi chia t2 2t 1993

  cho t ta có số d là 1993

0,5

4

4,0

4.1

+ Hai tam giác ADC
và BEC có:

Góc C chung.

CD CA

CE CB (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)

Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c).
Suy ra: BEC ADC 1350

  (vì tam giác AHD vng cân tại H

theo giả thiết).
Nên AEB 450

 do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy

ra: BEAB 2m 2

1,0

0,5
4.2

Ta có:

1 1

2 2

BM BE AD

BC  BC  AC (do BEC ADC)

mà AD AH 2 (tam giác AHD vuông vân tại H)

nên

1 1 2

2 2 2

BM AD AH BH BH

BC  AC   AC AB BE (do ABH CBA)

Do đó BHM BEC (c.g.c), suy ra:
  1350  450

BHM BEC  AHM 

0,5
0,5
0,5
4.3 Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM cịn là phân

giác góc BAC.

Suy ra:

GB AB

GC AC , mà

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

   // 

AB ED AH HD

ABC DEC ED AH

AC DC   HC HC

Do đó:

GB HD GB HD GB HD

GC HC  GB GC HD HC  BC AH HC

0,5

ĐỀ 7

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

MƠN: TỐN LỚP 8

Thời gian: 150 phút

Bài 1( 6 điểm): Cho biểu thức:

P =

2 2 2

2 3 2 8 3 21 2 8

: 1

4 12 5 13 2 20 2 1 4 4 3

x x x x

x x x x x x x

   

 

  

        

 

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P khi

1
2

x 

c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
d) Tìm x để P > 0.

Bài 2(3 điểm):Giải phương trình:

a)
2

15

1 1 12

3

4

3 x



























148

169

186

199

10

25

23

21

19 x







2

3

5 x







</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Một ngời đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3 giờ 20 phút. Nếu ngời ấy tăng vận tốc
thêm 5 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi
của ngời đó.

Bài 4 (7 điểm):

Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng
của điểm C qua P.

a) Tứ giác AMDB là hình gì?

b) Gọi E và F lần lợt là hình chiếu của điểm M lên AB, AD. Chứng minh EF//AC và
ba điểm E, F, P thẳng hàng.

c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF khơng phụ thuộc vào vị
trí của điểm P.

d) Giả sử CP  BD và CP = 2,4 cm,

9
16

PD

PB  . Tính các cạnh của hình chữ nhật

ABCD.

Bài 5(2 điểm): a) Chứng minh rằng: 20092008 + 20112010 chia hết cho 2010

b) Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:

2 2

1

2

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Đáp án và biểu điểm
Bài 1: Phân tích:

4x2 – 12x + 5 = (2x – 1)(2x – 5)

13x – 2x2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x)

21 + 2x – 8x2 = (3 + 2x)(7 – 4x)

4x2 + 4x – 3 = (2x -1)(2x + 3) 0,5đ

Điều kiện:

1

5

3

7 ;

4

2

4 x



x



x





x



x



0,5đ
a) Rút gọn P =

2 3

2 5

x
x



 2đ

1
2

x  1

x

 

hoặc

1
2

x 

1
2

x 



… P = 
1
2

1
2

x 



…P =

3 1đ
c)

P =

2 3

2 5

x
x



 =

2
1

5
x




Ta có:

1 

Z

Vậy P



Z

khi

5 Z

x 



x – 5



Ư(2)

Mà Ư(2) = { -2; -1; 1; 2}

x – 5 = -2



x = 3 (TMĐK)
x – 5 = -1



x = 4 (KTMĐK)
x – 5 = 1



x = 6 (TMĐK)
x – 5 = 2



x = 7 (TMĐK)

KL: x



{3; 6; 7} thì P nhận giá trị nguyên. 1đ
d) P =

2 3

2 5

x
x



 =

2
1

5
x



 0,25đ

Ta có: 1 > 0
Để P > 0 thì

2
5

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Với x > 5 thì P > 0. 0,25
Bài 2:

a)
2

15

1 1 12

3

4

3 x





























 







15

1 1 12

4

1 4 3

1 x

































ĐK:

x



4;

x



1

 3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 3. 12(x -1) + 12(x + 4)

…

 3x.(x + 4) = 0

 3x = 0 hoặc x + 4 = 0

+) 3x = 0 => x = 0 (TMĐK)
+) x + 4 = 0 => x = -4 (KTMĐK)

S = { 0} 1đ
b)

148

169

186

199

10

25

23

21

19 x









148 169 186 199

1 2 3 4 0

25 23 21 19

x x x x

   

       

       

       

       

 (123 – x)

1 1 1 1

25 23 21 19

 

  

 

 = 0

1 1 1 1

25 23 21 19

 

  

 

 > 0

Nên 123 – x = 0 => x = 123

S = {123} 1đ
c)

2

3

5 x







Ta có:

x



2  

0 x



2 3



> 0
nên

2

3

2

3 x







x





</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

 x 2 = 5 – 3

 x 2 = 2

+) x - 2 = 2 => x = 4

+) x - 2 = -2 => x = 0

S = {0;4} 1đ
Bài 3(2 đ)

Gọi khoảng cách giữa A và B là x (km) (x > 0) 0,25đ
Vận tốc dự định của ngời đ xe gắn máy là:

3 (

/ )

1 10

3 x

km h



(3h20’ =

 

1
3

3 h ) 0,25đ

Vận tốc của ngời đi xe gắn máy khi tăng lên 5 km/h là:





5 /

10
x

km h


0,25đ
Theo đề bài ta có phơng trình:

3 5 .3

10 x

















0,5đ 
 x =150 0,5đ

Vậy khoảng cách giữa A và B là 150 (km) 0,25đ
Vận tốc dự định là:





3.150

45 /

10  km h

Bài 4(7đ)

Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 0,5đ

A B

C
D

O
M

I
E

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

a) Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật ABCD.

 PO là đường trung bình của tsm giác CAM.
 AM//PO

 tứ giác AMDB là hình thang. 1đ

b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị)
Tam giác AOB cân ở O nên góc OBA = góc OAB

Gọi I là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì tam giác AIE cân ở I
nên góc IAE = góc IEA.

Từ chứng minh trên : có góc FEA = góc OAB, do đó EF//AC (1) 1đ
Mặt khác IP là đường trung bình của tam giác MAC nên IP // AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, F, P thẳng hàng. 1đ
c) MAF DBA g g







nên

MF AD

FA AB không đổi. (1đ)

Nếu

9
16
PD

PB  thì 9 16 9 , 16

PD PB

k PD k PB k

    

Nếu CPBD thì





CP PB

CBD DCP g g

PD CP

    

1đ
do đó CP2 = PB.PD

hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2

PD = 9k = 1,8(cm)

PB = 16k = 3,2 (cm) 0,5d
BD = 5 (cm)

C/m BC2= BP.BD = 16 0,5đ

do đó BC = 4 (cm)

CD = 3 (cm) 0,5đ
Bài 5:

a) Ta có: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1)

Vì 20092008 + 1 = (2009 + 1)(20092007 - …)

= 2010.(…) chia hết cho 2010 (1)
20112010 - 1 = ( 2011 – 1)(20112009 + …)

= 2010.( …) chia hết cho 2010 (2) 1đ
Từ (1) và (2) ta có đpcm.

b) 2 2

1

2

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

7 Đề thi HSG toán 8 có đáp án

<b>ĐỀ 1</b>

<b>ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN</b>

<b>MƠN: TỐN LỚP 8</b>

<b>Thời gian: 150 phút</b>









<b>ĐỀ 2</b>

<b>ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN</b>

<b>MƠN: TỐN LỚP 8</b>

<b>Thời gian: 150 phút</b>

 

<b>ĐỀ 3</b>

<b>ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN</b>

<b>MƠN: TỐN LỚP 8</b>

<b>Thời gian: 150 phút</b>

<sub></sub>

<b>ĐỀ 4</b>

<b>ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN</b>

<b>MƠN: TỐN LỚP 8</b>

<b>Thời gian: 150 phút</b>

<b>ĐỀ 5</b>

<b>ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN</b>

<b>MƠN: TỐN LỚP 8</b>

<b>Thời gian: 150 phút</b>







 

 









 

 





















 

 





 













 

 









 

 

























 