TÀI LIỆU ÔN TẬP

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (815.57 KB, 33 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 9
* PHẦN I: ĐẠI SỐ.

Chương I. CĂN BẬC HAI-CĂN BẬC BA
1/ Kiến thức trọng tâm:

A) Định nghĩa, tính chất căn bậc hai

a) Với số dương a, số ađược gọi là căn bậc hai số học của a.
b) Với a  0 ta có x = a  

 










a
a
x
x

2
2

c) Với hai số a và b khơng âm, ta có: a a  b

2 A neu A 0

A A

A neu A 0



 

 



B) Các công thức biến đổi căn thức

1. A2 A 2. AB  A. B (A  0, B  0)

A A

B  B (A  0, B > 0) 4. A B2 A B (B  0)

5. A B  A B2 (A  0, B  0)

A B A B2 (A < 0, B  0)
6.

A 1
AB

B B (AB  0, B  0) 7.





C A B
C

A B
A B  



(A  0, A  B2)

A A B
B

B  (B > 0) 9.





C A B

A B
A B 



(A, B  0, A  B)
2/ Các ví dụ:

Ví dụ 1:

Bài 1: Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng: 121; 144; 400

Trả lời: Căn bậc hai của 121 là 11 và (-11). Suy ra 121 11

Căn bậc hai của 144 là 12 và (-12). Suy ra 144 12

Căn bậc hai của 400 là 20 và (-20). Suy ra 400 20

Bài 2: So sánh 4 và 15

Trả lời: 16 15 nên 4 và 15

Bài 3: a/.Tìm số x không âm biết x1

Trả lời: x 1  x  1 x1. Vì x0 . vậy x1

b/.Tìm số x không âm biết x3

Trả lời: x 3 x  9  x9. Vì x0 . vậy 0 x 9

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bài 1: Với giá trị nào của x thì 14 7 x xác định?

Trả lời: 14 7 x xác định 14 7 x0 x2

Bài 2:Rút gọn





2
3 1

Trả lời:





3 1  3 1  3 1

Bài 3:Giải phương trình x2 5 0

Trả lời: x2 5 0  x2  5 x 5

Ví dụ 3:

Bài 1: Tính 3, 6.90; Tính 10. 40

Trả lời: 3,6.90= 36.9 36. 9 6.3 18 

10. 40 10.40 100.4 100. 4 10.2 20 

Bài 2: Rút gọn rồi tính: 6,82 3, 22

Trả lời: 6,82 3, 22 



6,8 3, 2 6,8 3, 2

 





 3, 4.10  34

Bài 3: Chứng minh: 9 17. 9 17 8

Trả lời: VT =



 



2
2

9 17 9 17  9  17  81 17  64 8 VP

Bài 4: Tìm x : x 5 3

Trả lời:





5 3

x  x 5 9 x 14

    

Ví dụ 4:

Bài 1: +

25 25 5

121  12111
+

80 80

16 4
5

5    ; 5

1
5
15
:
3

5 

Bài 3: So sánh 3 7 và 28

C1: 3 7 32.7  63 ; 28

Vì 63  28 nên 3 7  28

C2: 3 7; 28  22.7 2 7
Vì 3 7 2 7  3 7 28

Bài 2: a) 32.23 2; b) 20 2 .5 2 52 

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bài 4: Rút gọn:

2
2 2

2 3( ) 2( ) 3 2 3 1 3 1

2 . 6

2 ( )( ) 2 2 2

x y x y

x y x y x y x y x y x y

 

   

     

Ví dụ 5:

Bài 1: Rút gọn biểu thức:

a.
1
3 5 -

3 5 b.

7 3
7 3

 + 
7 3
7 3


 c.

2 3 10 15

1 5

  



3 3 6 3

2 2

1 3 2 1

     

 

   

     

    e.

6 4 2
2 6 4 2



  +

6 4 2
2 6 4 2



 

Trả lời:

a.
1
3 5 -

1
3 5 =

3 5 (3 5)
(3 5)(3 5)

  

  = 2 2

2 5
3 ( 5) =

5
2
b.
7 3
7 3

 + 
7 3
7 3

 = 
2
2

( 7 3) ( 7 3)
( 7 3)( 7 3)

  

  =

7 2 21 3 7 2 21 3
5
7 3
    

 .
c.

2 3 10 15

1 5

  

 =

2(1 5) 3(1 5)
1 5

  

 =

( 2 3)(1 5)
1 5

 

 = 2 3

3 3 6 3

2 2

1 3 2 1

     

 

   

     

   =

3( 3 1) 3( 2 1)

2 2

1 3 2 1

     

 

   

     

    =(2 3)(2 3) = 2 ( 3) 12 2 

6 4 2
2 6 4 2



  +

6 4 2
2 6 4 2



  = 2

6 4 2
2 (2 2)



  + 2

6 4 2
2 (2 2)



  =

6 4 2
2 2 2



 + 
6 4 2
2 2 2


 =
2
(2 2)
2(2 2)

 + 
2
(2 2)

2(2 2)

 = 
2 2
2

+
2 2
2


= 2 2

Bài 2: Trục căn thức ở mẫu.
a)

2 3 6
8 2



 b) 1

a a
a

 c) 
15 5
1 3



Trả lời:
a/

2 3 6 3(2 2) 3. 2( 2 1)

8 2 2 2 2 2( 2 1)

  

 

   = 2

3. 2 3 3

2
( 2)  2  .

( 1)

1 ( 1)

a a a a

a

a a

 

 

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>









5 3 1 5 1 3

15 5

1 3 1 3 1 3

  



  

  

Bài 3: Chứng minh đẳng thức:

2
7 4 3 +

7 4 3 =28 b. 3 5 =

5 1
2


c. 2 3 + 2 3 6 d.









x x y y
x y x y



 

+
2 y

x y - 1
xy
x y 

Trả lời:

2
7 4 3 +

7 4 3 = 28

Biến đổi vế trái ta có: VT =

2(7 4 3 2(7 4 3)
(7 4 3)(7 4 3)

  

  =

14 8 3 14 8 3
28
49 48

  



 = VP

Vậy đẳng thức đã được chứng minh

b. 3 5 =
5 1

2


C1 : Bình phương 2 vế .

C2 : Biến đổi vế trái ta có: VT = 3 5 =

6 2 5
2


( 5 1)
2


=

5 1
2 VP



Vậy đẳng thức đã được chứng minh

c. 2 3 + 2 3 6

C1 : Bình phương 2 vế .

C2 : Biến đổi vế trái ta có: VT =

4 2 3
2


4 2 3
2


( 3 1)
2


+

( 3 1)


=

3 1
2


+
3 1

2


=
2 3

2 = 6 = VP . Vậy đẳng thức đã được c/minh









x x y y
x y x y



 

+
2 y

x y - 1
xy
x y 

, 0

x y
x y








Biến đổi vế trái ta có: VT =

















x x y y y x y xy x y
x y x y

    

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>









2 2

x x y y x y y y x y y x
x y x y

    

 

( )

( )( )

x x y x y y y
x y x y

  

 

( ) ( )

( )( )

x x y y x y
x y x y

  

  =

( )( )

x y x y
x y x y

 



  = VP

Ví dụ 6:

Bài 1: Rút gọn biểu thức.

a, 75 48 300 = 5 .32  4 .32  10 .32 = 5 3 4 3 10 3  =  3

b, 98 72 0,5 8 = 7 .22  6 .2 0,5. 2 .22  2 = 7 2 6 2 0,5.2 2  =7 2 6 2  2

= 2 2



2 3 5 . 3



 60 = 2 3. 3 5. 3 2 .152 = 6 15 2 15 = 6 15

Bài 2: Cho biểu thức A =

2 2 1

1 1 1

a a

a a a

   


 

    

  (với a > 0; a 1)
a, Rút gọn A.

b, Tìm các giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên.

Trả lời:

a) Ta có A=

2 2 1

1 1 1

a a

a a a

   


 

    

  =



 





 



2 . 1 2 . 1 2 1

1 . 1

a a a a a

a

a a

        

 

    

 



 



2 2 2 2 1

.
1

1 . 1

a a a a a a a

a a

 

       

 

   

 



 



2 1

.
1

1 . 1

a a

 



 

   

  =

2
1
a

a

Vậy A =
2

1
a
a

b, Ta có A =
2

1
a
a =

(2 2) 2 2

1 1

a

a a

 

 

 

Để A đạt giá trị nguyên

2
2

1 Z
a

  

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

1 1
1 1
1 2
1 2
a
a
a
a
  

 


 
 


 

2
0
3
1
a
a
a
a
 



 




 
4
0
9
a
a

a



 

 

 (Loại)

Vậy với a =4; a =9 thì biểu thức A đạt giá trị nguyên.

Bài 3: Chứng minh đẳng thức:

1 . 1 1

1 1

a a a a

a
a a
     
   
   
     

    (với a0;a1)

Trả lời:

Ta có: VT =

1 . 1

1 1

a a a a

a a
     
 
   
     
   =









. 1 . 1

1 . 1

1 1

a a a a

a a

     

     

   



1 a

 

. 1 a



 

2
1 a

= 1- a = VP

Vậy

1 . 1 1

1 1

a a a a

a
a a
     
   
   
     

    (đpcm)

3/ Bài tập vận dụng kiến thức:

Bài 1 Vớí những giá trị nào của x thì các căn thức sau có nghĩa
a) b) c) d)

Bài 2 So sánh hai số sau :

a) 3 và 2 b) 4 và c) và 3

Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau :

a) A = ; b) B =

c) C = d) D =

Bài 4 : Thực hiện phép tính, rút gọn các biểu thức sau

a) A = b) B= c) C =

Bài 5: Thực hiện các phép tính sau đây:

a. b.

c. d. e.

Bài 6: Thực hiện các phép tính sau đây:
2

4x 3

x

2
1


x



a

2 15 10

27
5
12
4
3

3   32 50 18

162
32

2
1
4

72  

3
1
1
5
11

33
75
2
48
2
1






5 2



52





45 63



7 5





5 3 5

 

 15





12  48  108  192



:2 3



2 112 5 72 63 2 28



7
54

5
150
24

7   2 20 503 80 320

72
98
50

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

a. b.

c. d.

e. f. g.

Bài 7: Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau

a) b) c) d) e)

Bài 8 :Rút gọn biểu thức

a) A = b) B =

c) C = d) D =

Bài 9 : Rút gọn biểu thức

a) A = b) B =

Bài 10: Chứng minh

a) b)

c) d)

e) f) ( ): =-2

Bài 12 :Chứng minh : a) với x > 0 và y >0

b) = a – b với a>0, b>0 và a b
c) = 1- a với a và a

Bài 13 :Tìm x biết : a) b) = 3

c) d)

e) f)
27
2
3
2
2
2
9
3
1
5

75  

3
1
1
5
75
2
3
1
5

48  





150

2
3
27
2

12  


















 75
8
1
3
1
3

5
.
0
18



152 3



2 12 5 ( 62)( 3 2)



31



2  2 34
13

13 7 2

 5 2 3

 5 2

5
2
2
5


1
10
9

1
3

1
1
3
1



 1 2

1
2
1
1



5
5
5
5
5
5
5
5





1

1
3
3
1
1
3
3














2
2
3
3

1  



2 3



2  4 2 3

2
5
5
4

9   6

6
2
3

4
3
2
2
6
2
3






3 2

 

1 2 2



2 6 9
2

2    2  









8
5
2
4
5
2
4
2
2 






3 5



10 2



3 5 8 1 3

5
15
2
1
7
14





5
7
1








x y

xy
y
x
x
y
y
x




b

a
ab
a
b
b
a

 1
:












1
1
a
a
a












1
1
a
a
a
0

 1

5
4
4
1 2



 x x (2x 1)2

12
5

4 x  x x 3 15x

1
2
15
15
3
5



6
2
3

10 x   3 9 45 6

4
5

3
20

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bài 14: Tìm các giá trị nguyên của x để các biểu thức sau có giá trị nguyên

a)A = b) B = c) C = d) D =

Bài 16: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a b. c. xy-y

d. f. e.

Bài 17: Sắp xếp theo thứ tự tăng dần : ; ;
Toán tổng hợp :

Bài 18: Cho các biểu thức : A = B =

a) Tìm tập xác định của B rồi rút gọn B b) Tính giá trị biểu thức A c ) Tìm x để A = B

Bài 19: Cho các biểu thức : Q = với a>b>0
a)Rút gọn biểu thức Q b) Xác định Q khi a=3b

Bài 20: Cho các biểu thức :

A = B = ( ĐK :x 0; x 1)

a) Rút gọn các biểu thức A và B b) Tìm x để A = B.

Bài 21 : Cho biểu thức : Q=

a) Rút gọn biểu thức Q. b) Tìm x để Q= .
c)Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức Q có giá trị nguyên.

Bài 22: Cho biểu thức : A=

a) Tìm tập xác định của biểu thức A b) Rút gọn biểu thức A
c)Chứng minh rằng A> 0 với mọi x 1

Bài 23: Cho biểu thức E =

a)Rút gọn biểu thức E b) Tìm x để E = 2.

c)Tính giá trị của E khi x =

Bài 24: Cho biểu thức P =
5
2


x
x
x
x


2
1
3
2
3


x
x
3
1
2


x
x

1



 x x

x

x ab2 a3 b6 x x 1




 a b

ab ax by  bx ay a a 2 ab2 b

;
2

5 2 5 2 3 3 2



8 12



2 3



1
3
1



 x
x
2
2
2
2
2

2 1 :a a b

b
b
a
a
b
a
a















3
1
:
)
3
1
1
3
1
1
(



 x x

x
x
x




1
2

1  

6
1
4
2
2
1
2
2




 x
x
x
x
5
6
2
1
:
)
1
1
1
1
2
( 







 x
x
x
x
x
x
x
x














x
x
x
x

x
x
x 1
:
)
4
1
1
1
1
(

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

a) Rút gọn P nếu x 0, x 4 b)Tìm x để P = 2

Bài 25: Cho biểu thức Q =

a) Rút gọn Q với a > 0 , a 4 và a 1 b)Tìm giá trị của a để Q dương.

Bài 26: Cho biểu thức P =

a)Tìm điều kiện của x để P xác định - Rút gọn P

b)Tìm các giá trị của x để P < 0 c)Tính giá trị của P khi x =
4-Chương II. HÀM SỐ BẬC NHẤT

1/ Kiến thức trọng tâm:
A. Hàm số:

Khái niệm hàm số

* Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định được

chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x được gọi là biến số.
* Hàm số có thể cho bởi cơng thức hoặc cho bởi bảng.

B. Hàm số bạc nhất:

a) Định nghĩa, tính chất hàm số bậc nhất

a) Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b (a, b  R và a  0)
b) Hàm số bậc nhất xác định với mọi giá trị x R.

Hàm số đồng biến trên R khi a > 0. Nghịch biến trên R khi a < 0.

b) Đồ thị của hàm số y = ax + b (a  0) là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ
bằng b (a: hệ số góc, b: tung độ gốc).

c) Cho (d): y = ax + b và (d'): y = a'x + b' (a, a’ ≠ 0). Ta có:
(d)  (d') 






'
'
b
b

a
a

(d) // (d') 






'
'

b
b

a
a

(d)  (d')  a  a' (d)  (d')  a.a '  1
d) Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox thì:

+Khi a > 0 thì  là góc nhọn
+Khi a < 0 thì  là góc tù.
2/ Các ví dụ:

Ví dụ 1:

a) Hàm số bậc nhất y = ax+b (a ≠ 0) đồng biến; nghịch biến khi nào?

b) Hai đường thẳng (d): y =ax+b (a ≠ 0) và (d’): y = a’x+b’ (a’ ≠ 0) song song khi nào?

Giải a) Hàm số bậc nhất y = ax+b (a ≠ 0)

 



























 1

2
2

1
:

1
1
1

a
a
a

a
a

a

 


























 1

2
1
1
:
1

1 x x x x

x
x

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

+ Đồng biến khi a > 0
+ Nghịch biến khi a < 0

b) Hai đường thẳng (d) và (d’) song song khi a = a’ và b ≠ b’
Ví dụ 2: Tìm điều kiện của m để hàm số y = (m – 2)x + 5 là hàm số bậc nhất?

Giải Để hàm số y = (m – 2)x + 5 là hàm số bậc nhất khi m – 2 0
 m  2

Ví dụ 3: Cho hàm số yf x

 

2x3

a) Hàm số có đồng biến hay nghịch biến trên R khơng? Vì sao?
b) Tính f

 

Giải a) Hàm số nghịch biến trên R vì a = –2 < 0
b) f

 

5 –2.5 3 –7

Ví dụ 4: Cho hàm số y = ax + 3 (a ≠ 0). Tìm hệ số a trong mỗi trường hợp sau:
a) Khi x = 2 hàm số có giá trị y = 9

b) Đồ thị của hàm số song song với đường thẳng y = –
3
2x

Giải a) Khi x = 2, y = 9 ta có 9 = a.2 + 3  a = 3

b) Để y = ax + 3 // y = –
3

2x  a = –

3
2
Ví dụ 5:

Câu 1. Cho hàm số y = f(x) = 5x + 2
a) Tính f( 2); f( –1)

b) Tìm x để f(x) = 12

Câu 2. Cho hàm số y2x1 có đồ thị là đường thẳng (d).

a/ Tìm tọa độ điểm A thuộc (d) biết rằng A có hồnh độ bằng 2.
b/ Tìm tọa độ điểm B thuộc (d) biết rằng B có tung độ bằng –7.

Giải Câu 1.

a) f

 

2 = 5.2+2 = 14
f

 

1 = 5.( –1)+2 = –3

b) Vì f(x) = 12  y = 12, Thế y = 12 vào hàm số y = f(x) = 5x + 2

ta được: x = 2

Câu 2.

a) Thay xA 2 vào phương trình y2x1, tìm được yA 5
b) Thay yB 7 vào phương trình y2x1, tìm được xB 4
Ví dụ 6: Cho hàm số y = 2x +3

a) Vẽ đồ thị hàm số trên.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

c) Tính chu vi của tam giác OAB, biết đường thẳng vừa vẽ của hàm số y = 2x +3 cắt hai
trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A và B. (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimet).

Giải a) y =2x+3

* Tìm được 2 điểm thuộc đồ thị (0; 3); (–
3
2;0)
* Vẽ đúng đồ thị là 1 đường thẳng

b) tanα = 2  α ≈ 630

c) Gọi A O x B Oy;  ,ta có:AOB vng tại O
2 2 32 (1,5)2 3 5 ( )

AB OA OB    cm

Chu vi của tam giác AOB là:

3 5 9 3 5

2 1,5 3 ( )

2 2

P OA OB AB        cm

Ví dụ 7:

Câu 1. Cho hai đường thẳng (d1): y = x – 2 ; (d2): y = –2x + 1 và (d3): y = (m – 2)x + m (m ≠

2). Hãy tìm m để đồ thị hàm số (d1) ; (d2) và (d3) đồng qui (cùng đi qua một điểm).

Câu 2. Cho hàm số bậc nhất yf x

 

 



1 5



x 2. Khơng tính, hãy so sánh f

 

1 và

 

5
f

Giải Câu 1.

Phương trình hồnh độ giao điểm của (d1) và (d2), ta có:

x – 2 = – 2x +1  x = 1, y = –1

 (d1) và (d2) luôn giao nhau tại tọa độ A( 1;-1)

Để (d1) ; (d2) và (d3) đồng quy  A(d3)
 (m – 2).1 + m = –1 m =

2 (thỏa đk m ≠ 2)
Vậy m =

2 thì (d1) ; (d2) và (d3) đồng quy.

Câu 2.

Ta có: a 1 5 0 nên hàm số đã cho nghịch biến.

nên 1 5 f

 

1  f

 

5
3/ Bài tập vận dụng kiến thức:

Bài 1: Cho hai đường thẳng (d1): y = ( 2 + m )x + 1 và (d2): y = ( 1 + 2m)x + 2

1) Tìm m để (d1) và (d2) cắt nhau .

2) Với m = – 1 , vẽ (d1) và (d2)trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy rồi tìm tọa độ giao điểm của

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Bài 2: Cho hàm số bậc nhất y = (2 - a)x + a . Biết đồ thị hàm số đi qua điểm M(3;1), hàm số
đồng biến hay nghịch biến trên R ? Vì sao?

Bài 3: Cho hàm số bậc nhất y = (1- 3m)x + m + 3 đi qua N(1;-1) , hàm số đồng biến hay nghịch
biến ? Vì sao?

Bài 4: Cho hai đường thẳng y = mx – 2 ;(m0)và y = (2 - m)x + 4 ;(m2). Tìm điều kiện của
m để hai đường thẳng trên:

a)Song song; b)Cắt nhau .

Bài 5: Cho hàm số y = (m -2)x + m + 3

a)Tìm điều kiện của m để hàm số luôn luôn nghịch biến .

b)Tìm điều kiện của m để đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3.

Bài 6: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng y = 2x + 3+m và y = 3x + 5- m cắt nhau tại
một điểm trên trục tung .Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) song song với (d’): y =

x
2

1


và cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ bằng 10.

Bài 7: Viết phương trình đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x và đi qua điểm
A(2;7).

Bài 8: Cho hai đường thẳng : (d1): y =

1
2

2x và (d2): y =  x 2
a/ Vẽ (d1) và (d2) trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.

b/ Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Ox , C là giao điểm của (d1) và (d2)

Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC (đơn vị trên hệ trục tọa độ là cm)?

Bài 9: Cho các đường thẳng (d1) : y = 4mx - (m+5) với m0

(d2) : y = (3m2 +1) x +(m2 -9)

a; Với giá trị nào của m thì (d1) // (d2)

b; Với giá trị nào của m thì (d1) cắt (d2) tìm toạ độ giao điểm Khi m = 2

c; C/m rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d1) luôn đi qua điểm cố định A ;(d2) đi qua điểm cố

định B . Tính BA ?

Bài 10: Cho hàm số : y = ax +b

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định rồi tính độ lớn góc  tạo bởi đường thẳng trên với trục Ox ?
c; Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng trên với đường thẳng y = - 4x +3 ?

d; Tìm giá trị của m để đường thẳng trên song song với đường thẳng y = (2m-3)x +2

Bài 11 : Cho hàm số y = (m + 5)x+ 2m – 10
a) Với giá trị nào của m thì y là hàm số bậc nhất
b) Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến.
c) Tìm m để đồ thị hàm số điqua điểm A(2; 3)

d) Tìm m để đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 9.
e) Tìm m để đồ thị đi qua điểm 10 trên trục hoành

f) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = 2x -1
g) Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m.

h) Tìm m để khoảng cách từ O tới đồ thị hàm số là lớn nhất

Bài 12: Cho đường thẳng y=2mx +3-m-x (d) . Xác định m để:
a) Đường thẳng d qua gốc toạ độ

b) Đường thẳng d song song với đ/thẳng 2y- x =5
c) Đường thẳng d tạo với Ox một góc nhọn
d) Đường thẳng d tạo với Ox một góc tù

e) Đường thẳng d cắt Ox tại điểm có hồnh độ 2

e) Đường thẳng d cắt đồ thị Hs y= 2x – 3 tại một điểm có hồnh độ là 2
f) Đường thẳng d cắt đồ thị Hs y= -x +7 tại một điểm có tung độ y = 4
Chương III. PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH

1/ Kiến thức trọng tâm:

A/Phương trình bậc nhất hai ẩn:

+Dạng: ax + by = c trong đó a; b; c là các hệ số đã biết(a0hoặc b0)
+ Một nghiệm của phương trình là cặp số x0; y0 thỏa mãn : ax0 + by0 = c

+ Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c ln ln có vơ số nghiệm.

+ Tập nghiệm được biểu diễn bởi đường thẳng (d): ax + by = c. Nếu a0;b0thì đường
thẳng (d) là đồ thị của hàm số bậc nhất: b

c
x
b
a

y  

.
B/ Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:

+ Dạng: 





)
2
.(
)
1
.(

,
,
,x b y c

a

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

+ Nghiệm của hệ là nghiệm chung của hai phương trình

+ Nếu hai phương trình ấy khơng có nghiệm chung thì ta nói hệ vơ nghiệm
+ Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đường thẳng biểu diễn tập nghiệm:
-Phương trình (1) được biểu diễn bởi đường thẳng (d)

-Phương trình (2) được biểu diễn bởi đường thẳng (d')
*Nếu (d) cắt (d') hệ có nghiệm duy nhất nếu ' '

a b

a b

*Nếu (d) song song với (d') thì hệ vơ nghiệm nếu ' ' '

a b c

a b c
*Nếu (d) trùng (d') thì hệ vơ số nghiệm nếu ' ' '

a b c

a b c
C/Hệ phư ơng trình tương đương:

Hai hệ phơng trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm
D/Giải hệ ph ương trình bằng phương pháp thế :

Quy tắc thế :

+ Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia, rồi thay vào
phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ cịn 1 ẩn).

+ Bước 2: Dùng phương trình mới này để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ (phương
trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở
bước 1).

E/ Giải hệ ph ương trình bằng phương pháp cộng đại số :

Quy tắc cộng đại số :

+ Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ của hệ phương trình đã cho để được
một phương trình mới.

+ Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ
nguyên phương trình kia)

Lưu ý: Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau thì ta cộng vế theo vế của hệ.
Khi các hệ số của cùng một ẩn bằng nhau thì ta trừ vế theo vế của hệ.

Khi hệ số của cùng một ẩn khơng bằng nhau cũng khơng đối nhau thì ta chọn nhân với
số thích hợp để đưa về hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau).( tạm gọi là quy đồng
hệ số)

F/ Giải bài toán bằng cách lập hệ ph ương trình :

- Ơn tập về các cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
- Tùy theo dạng bài tập để chọn cách giải hợp lí.

- Giới thiệu cách giải đặt ẩn để giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình.
- Các bước giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình:

Bước 1: Lập hệ phương trình:

+ Chọn các ẩn (hai ẩn) và xác định điều kiện thích hợp cho từng ẩn số.
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Bước 2: Giải hệ phương trình.

Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thoả mãn
điều kiện của ẩn, nghiệm nào khơng, rồi kết luận.

§. CÁC DẠNG GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1./ Toán chuyển động: S = vt; v =

s
t ; t=

s
v

- Dạng chuyển động cả đi và về: Quảng đường đi bằng quảng đường về, khác nhau về vận
tốc nên thời gian khác nhau

- Dạng chuyển động cùng chiều (đuổi nhau): Quảng đường đi thường bằng nhau, xe có vận
tốc nhanh hơn đến trước

- Dạng chuyển động ngược chiều: Khi hai xe gặp nhau thì tổng quảng đường hai xe đi được

bằng chiều dài quảng đường.

- Dạng chuyển động trên song:

Vận tốc xi dịng = Vận tốc thực + Vận tốc dòng nước
Vận tốc ngược dòng = Vận tốc thực - Vận tốc dòng nước
- Dạng chuyển động vòng tròn:

+ Khi hai vật chuyển động ngược chiều gặp nhau thì tổng quảng đường hai vật đi được
bằng độ dài đường tròn

+ Khi hai vật chuyển động cùng chiều gặp nhau thì vật đi nhanh đi hơn vật đi chậm 1
vịng trịn

2./ To¸n t×m sè: xy10x y hay yx10y x
3./ Tốn hình học:

+ Diện tích hình chữ nhật = chiều dài x chiều rộng

+ Diện tích tam giác vng = (Cạnh góc vng x cạnh góc vng) : 2
+

4./ Toán năng suất công việc:

Lu ý: Nu làm một cơng việc hết x ngày(giờ) thì một ngày( giờ) làm được
1

x cơng việc
2/ Các ví dụ:

Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau:

3 1

x y
x y

 




 

 b)

3 5

2 3

x y
x y

 





 

 c)

2 5

2 3

x y
x y

 




 

 d)

4 5 40

5 4 41

60
x y

x y



 





  




Giải

3 3 2

3 1 4 4 1

x y x y y

x y x x

    

  

 

  

   

  

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (1;2)





5 3

3 5 5 3 2

2. 5 3 3

2 3 1 1

x y

x y x y x

y y

x y y y

 



    

   

  

   

  

    

   

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

2 5 2 5 2 5 5

2 3 4 2 6 5 11 7

5
x

x y x y x y

x y x y x

y



      
   
  
   
    
    



Vậy hệ phương trình có nghiệm là (
11 7

;
5 5)

4 5 40 1 1 1 1

60 12 12

5 4 41 1 1

5 4 41 15

60 15

x

x y x x

y

x y y

x y
    
 
    
  
  
   


       
  


Vậy hệ phương trình có nghiệm là (12;15)

*Lưu ý: có thể giải hệ theo PP đặt ần phụ.

4 5 40

5 4 41

60
x y
x y

 



  

 
Đặt:
1 1
x a ;

1 1
y b

Ta có hệ phương trình mới:

4 5 4 5 12

60 60

41 15

5 4

a b a b a

b
b
a b

  
    
 
 
  


    


*Với:

1 1 1

12
12 x

x  a   ;

1 1 1

15
15 y
y  b  
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (12;15)
Ví dụ 2: Cho phương trình: 3x + y = –5 (1)

a) Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1)
b) Tìm a để cặp số (–1; a) là nghiệm của phương trình (1).

Giải

Phương trình: 3x + y = –5 (1)

a) Nghiệm tổng quát của phương trình (1) là:

5 3
x R
y x




 

 hoặc

5
3
y
x
y R
 




 

b) Ta có (–1; a)  (1).

Thế x = –1; y = a vào (1) ta được: 3.( –1) + a = –5 a = –2

Ví dụ 3: Số tiền mua 7 cân cam và 7 cân lê hết 112 000 đồng . Số tiền mua 3 cân

cam và 2 cân lê hết 41 000 đồng . Hỏi giá mỗi cân cam và mỗi cân lê là bao nhiêu đồng ?
Gọi giá tiền mỗi cân cam là x ( 0 < x < 112000); giá tiền mỗi cân lê là y (0 <
y < 112000);

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Giải (nghìn đồng).

Theo bài ra ta có phương trình:

7x + 7y = 112000 (1)

Số tiền mua 3 cân cam là : 3x ( nghìn đồng) .
Số tiền mua 2cân lê là : 2y ( nghìn đồng)

Theo bài ra ta có phương trình: 3x + 2y = 41000 (2)

Từ 1 và 2 ta có HPT:

 

7 7 11200 ( )0 1
3 2 41000 2

x y

  
 






Giải hệ phương trình trên tìm được x = 9000 (nhận); y = 7000 (nhận)
Vậy giá tiền mỗi cân cam là 9000 nghìn đồng, giá tiền mỗi cân lê là 7000
nghìn đồng

Ví dụ 4: Tìm hai số biết rằng bốn lần số thứ hai cộng với năm lần số thứ nhất bằng 18040
và ba lần số thứ nhất hơn hai lần số thứ hai là 2002.

Giải

Gọi số thứ nhất là x, số thứ hai là y. Đk: 0 < x, y < 18040
Do bốn lần số thứ hai cộng với năm lần số thứ nhất bằng 18040
Nên ta có phương trình 5x + 4y = 18040
(1)

Do ba lần số thứ nhất hơn hai lần số thứ hai là 2002

Nên ta có phương trình: 3x - 2y = 2002 (2)

Từ 1 và 2 ta có HPT:

 

5 4 18040 1

3 2 20

( ) 2004(tm)
2005(

02 2 )

x y

x

y tm

y

  






 

   

 



Vậy hai số cần tìm là: 2004; 2005

Ví dụ 5: Hai người cùng làm chung một cơng việc trong 20 ngày thì xong. Nếu người thứ nhất
làm 12 ngày, và người thứ hai làn 15 ngày thì chỉ được

3 cơng việc đó. Hỏi mỗi người làm 
riêng thì xong cơng việc đó trong bao lâu?

Giải

Gọi x(ngày) là thời gian người thứ 1 làm một mình xong cơng việc (x>20),
y(ngày) là thời gian người thứ 2 làm một mình xong cơng việc (y>20)
Theo đề bài ta có phương trình

1 1 1

20
12 15 2

x y



 





  


 Giải hệ PT ta được:

36
45

x
y







 (nhận)

Vậy người thứ 1 làm một mình xong công việc trong 36 ngày,
người thứ 2 làm một mình xong công việc trong 45 ngày

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

trong 1h, rồi cho cả 2 vòi chảy tiếp trong 4h nữa thì số nước chảy vào bằng
8

9 bồn. Hỏi nếu
chảy 1 mình thì mỗi vịi sẽ chảy trong bao lâu thì đầy bồn?

Giải

Gọi x(h) là thời gian vịi 1 chảy một mình đầy bể (x>0),
y(h) là thời gian vịi 2 chảy một mình đầy bể (y>0)
Theo đề bài ta có phương trình

3 8
1

1 4 4 8

x y

x x y


 



   


 Giải hệ PT ta được: 
9
12
x
y





 (nhận)

Vậy Vịi 1 chảy trong 9h thì đầy bể,
vòi 2 chảy trong 12h thì đầy bể.

Ví dụ 7: Cho hệ phương trình

2x y m 1

x y 5



















( m là tham số )

Hãy tìm giá trị của m để biểu thức A = mx – 2y đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải

2x y m 1

x y 5



















x m 6

x y 5







 







x m 6

y

1 m







 

 



Vậy hệ phương trình có nghiệm là (m+6; –1– m)

Thế x = m+6 và y = –1 – m vào biểu thức A = mx – 2y, ta có:









– 2 1

6 2 2

8 16 14

( ) 14 1

4 4

m

A m m m

A m m

A m

A m m  

   

   

   

 

 Amin = –14 khi m + 4 = 0  m = – 4

Vậy với giá trị m = – 4 thì biểu thức A = mx – 2y đạt giá trị nhỏ nhất

Ví dụ 8: Cho hệ phương trình: .

Tìm các số ngun m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x > 0 và y < 0.

Giải

Giải HPT theo tham số m tính được 2
4
2
m
x
m



 và 2

2 1
2
m

y
m




*Với x > 0 2
4
0
2
m
m

 

  m + 4 > 0  m > - 4 (1)

*Với y < 0 2

2 1 1

0 2 1 0

2 2
m
m m
m

      

 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: - 4 < m <
1
2.

Vì m là số nguyên, vậy với m  



3; 2; 1;0 



thỏa đề bài

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

3/ Bài tập vận dụng kiến thức:

Bài 1 : Gi¶i hệ phơng trình (bằng phơng pháp thế) :

4x+y=2
8x+3y=5

{¿ ¿ ¿

¿ b)

x−y=m

2x+y=4

{¿ ¿ ¿

¿ c)

3x+2y=6

x−y=2

{¿ ¿ ¿

¿ d)

2x−3 y=1

−4x+6 y=2

{¿ ¿ ¿
¿

2 3 5

5 4 1

x y
x y

 


 

 f)

3 7
2 0
x y
x y
 


 
 g) 
4 2

3 2 4

x y
x y
 


 
 h) 
2

2 3 9

x y
x y
  


  


Bài 2 : Giải hệ phương trình (bằng phương pháp cộng đại số) :

3x+y=3
2x−y=7

{¿ ¿ ¿

¿ b)

2x+5y=8
2x−3y=0

{¿ ¿ ¿

¿ c)

3x+2y=−2
3x−2y=−3

{¿ ¿ ¿

¿ d)

−5x+2y=4
6x−3y=−7

{¿ ¿ ¿
¿

2x−3y=11

−4x+6y=5

{¿ ¿ ¿

¿ f)

3x+2y=1
2x−y=3

{¿ ¿ ¿

¿ g)

2x 5y 2
6x 15y 6

 




 


Bài 3 : Giải các hệ phương trình sau :

3x 2y 2
x 4y 3

 



  
 b) 
2 5
1
 


 

x y

x y c)

10x 9y 1
15x 21y 36

 




 

 d)

3 2 8

2 5
x y
y x

Bi 4 : Đặt ẩn phụ rồi giải các hệ phơng trình sau :

1 1
2
x 2 y 1

2 3

1
x 2 y 1

 
  


 

Bài 5 : Giải các hệ phơng tr×nh sau :

2x y 15
3x y 20

 




 

 b.

2(x 2) 3(1 y) 2
3(x 2) 2(1 y) 3

   




   



4x 3y = 24

4x



7y



16 







d.

x+y=2
2x−3y = 9

{¿ ¿ ¿

Bµi 6 : Giải các hệ phơng trình sau :

2x y 3
x y 2

 




 

 b)

2x 3y 3
2x 3y 2

  




 



 c)

4x 2y 3
x 4y 2

 




 

 d)

x 5y 5
3x y 3

  



 


e)
3 6
1
2x 1 3 y

1 1

0
2x 1 3 y

 
  


  
  

 f)

13x 15y 48
2x y 29

 




</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Bài 7 : Xác định a ; b để hệ phương trình

2x ay b 4
ax by 8 9a

  




  

 có nghiệm là x = 3 ; y = –1

Bài 8 : Tìm m để hệ phương trình sau có vơ số nghiệm : 2
3x y m
9x m y 3 3

 



 



Bài 9 : Tìm các hệ số a và b biết hệ

( 2) 5 25

2 ( 2) 5

  




  



a x by

ax b y có nghiệm (x ; y) = (3 ; 1)
Bài 10 : Giải các hệ phơng trình :

x + y = 2
2x 3y =9

{¿ ¿ ¿

¿ b)

x + 2y = 11
5x 3y = 3




 c) 
x 2
y 3

x + y 10 = 0





 
 d) 
3 5

2 3 18

x y
x y
 


 

e)

x + 2y = 11
5x 3y = 3




 f)









3 11

2 5 15

x y y

x x y

  



  

 g)

2 3 1

2x y x 2y 2

2 1 1

2x y x 2y 18


 
  


  
  

h)

x y 2
3

3 3

4x y x
1
6 4


 




  



Bài11 : Cho hệ phương trình

x my 4
nx y 3

 




 


a/ Tìm m, n để hệ phương trình có nghiệm : (x ; y) = (–2 ; 3)
b/ Tìm m, n để hệ phương trình cú vụ s nghim.

Bài 12: Cho h phng trình:

2 3

25 3 3

x y m
x y

 




 

 . Tìm m để phơng trình có nghiệm x > 0 ; y < 0.

Bài 13 : Tìm a và b biết rằng phương trình ax2 – 2bx + 3 = 0 có tập nghiệm S = {–2 ; 1}

Bài 14 : Cho hệ phương trình :

x y 3
mx y 2m

 




  



Xác định m để hệ phương trình có một nghiệm ? Vơ nghiệm ? Vơ số nghiệm ?

Bài 15 : Tìm giá trị của m để hệ phương trình





3 2

mx y 1

m x m 1 y 2

 




  


 , v« nghiƯm, v« sè nghiƯm.

Bài 16 : Cho hệ phương trình :

x y 1
2x y m 1

 




  

 (I)

a) Giải hệ phương trình (I) b) Tìm m để x, y là số nguyên.

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

1./ Toán chuyển động

Bài 1: Hai khách du lịch xuất phát đồng thời từ hai thành phố A và B cách nhau 19 km. Họ đi
ngược chiều và gặp nhau sau 2 h. Hỏi vận tốc của mỗi người, biết rằng khi gặp nhau người thứ
hai đi được nhiều hơn người thứ nhất 1 km.

Bài 2: Một khách du lịch đi trên ơtơ trong 4 h sau đó đi tiếp bằng tàu hoả trong 7 h thì được
quãng đường dài 640 km. Hỏi vận tốc của tàu hoả và ôtô, biết rằng mỗi giờ tàu hoả đi nhanh
hơn ôtô 5 km.

Bài 3: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc xác định. Nếu vận tốc tăng thêm 30 km/h thì thời
gian đi sẽ giảm 1 h. Nếu vận tốc giảm bớt 15 km/h thì thời gian đi tăng thêm 1 h. Tính vận tốc
và thời gian đi từ A đến B của ô tô?

Bài 4: Hai ô tô khởi hành đồng thời từ hai bến xe cách nhau 750 km và đi ngợc chiều nhau, sau
10 h chúng gặp nhau. Nếu xe thứ nhất khởi hành trớc xe thứ hai 3 h 45' thì sau khi xe thứ hai đi
đợc 8 h chúng gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi xe?

2./ Tốn tìm số

Bài 1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là
4 đơn vị và nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì đợc số mới bằng

5 số ban đầu.

Bài 2: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục nhỏ hơn hai lần chữ số hàng
đơn vị là một đơn vị. Nếu viết số ấy theo thứ tự ngược lại thì đợc số mới (có hai chữ số) bé hơn
số cũ 18 đơn vị.

Bài 3: Tìm một số có hai chữ số, biết rằng tổng các chữ số của số đó bằng 9 và 8 lần chữ số
này bằng chữ số kia.

Bài 4: Một số có hai chữ số. Tổng hai chữ số là 10. Tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 12.
Tìm số đã cho.

Bài 5: Tổng của hai số bằng 90. Số này gấp đơi số kia. Tìm hai số đó.

Bài 6: Tổng của hai số bằng 80. Hiệu của chúng bằng 14. Tìm hai số đó.

3./ Tốn hình học:

Bài 1: Một thửa ruộng HCN có chu vi 340 m. Ba lần chiều dài hơn bốn lần chiều rộng là 20 m.
Tính diện tích thửa ruộng?

Bài 2 : Một khu vờn HCN có chu vi 100m. Nếu tăng chiều dài lên gấp 2 lần và chiều rộng lên
gấp 3 lần thì chu vi của khu vờn mới sẽ là 240 m. Tính diện tích khu vờn ban đầu.

Bài 3 : Tính các kích thước của một hình chữ nhật có diện tích bằng 40 cm2, biết rằng nếu tăng

mỗi kích thước thêm 3 cm thì diện tích tăng thêm 48 cm2

Bài 4 : Một mảnh vườn HCN có chu vi 34 m, nếu tăng chiều dài thêm 3 m và tăng chiều rộng
thêm 2 m thì diện tích của nó tăng thêm 45 m2. Tính chiều dài và chiều rộng mảnh vườn.

Bài 5 : Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu tăng chiều dài thêm 2 m, chiều rộng thêm 3 m thì
diện tích tăng thêm 100 m2. Nếu giảm cả chiều dài và chiều rộng đi 2m thì diện tích giảm 68

m2. Tớnh diện tích thửa ruộng?

Bài 6 : Hình thang có diện tích 140 cm2, chiều cao 8 cm. Tính độ dài các đáy của hình thang

biết chúng hơn kém nhau 15 cm.

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Bài 1: Hai đội công nhân cùng làm một cơng trình trong 12 ngày thì xong. Mỗi ngày phần việc

đội I làm được nhiều gấp rưỡi đội II. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong cơng trình
trong bao lâu?

Bài 2: Hai đội công nhân I và II được giao sửa một đoạn đường Nếu cả hai đội cùng làm thì
sau 4 h hồn thành cơng việc. Nếu đội I làm một mình trong 2h, sau đó đội II tiếp tục làm một
mình trong 3 h thì họ đã hồn thành được

12 công việc. Hỏi mỗi đội làm riêng thì sẽ hồn 
thành cơng việc trong bao lâu?

Bài 3: Nếu hai người cùng làm một cơng việc thì mất 4 giờ. Người thứ nhất làm đợc nửa công
việc, người thứ hai làm nốt cho đến khi hoàn thành cả thảy hết 9 giờ. Hỏi nếu mỗi người làm
riêng thì mất mấy giờ?

Bài 4: Hai vịi nước cùng chảy vào một bể khơng có nước thì trong 4h 48' sẽ đầy bể. Nếu mở
vòi thứ I trong 3 h vịi thứ II trong 4 h thì được

4 bể nước. Hỏi mỗi vịi chảy 1 mình thì trong 
bao lâu mới đầy bể?

* PHẦN II: HÌNH HỌC.

Chương I. HỆ THỨC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1/ Kiến thức trọng tâm:

 Hệ thức giữa cạnh và đường cao:

+b2 a.b,;c2 a.c, 
+ h2 b,.c, 
+ a.hb.c

+ 2 2 2

1 1 1

h b c

+ a2 b2 c2

+ ab, c,

+ ,

,
2
2
,
,
2
2

b
c
b

c
c
b
c
b




Tỷ số lượng giác: D

K
Cotg
K
D
Tg
H
K
Cos
H
D

Sin  ;  ;  ; 

Tính chất của tỷ số lượng giác:

1/ Nếu   900 Thì:  




Sin
Cos

Cos
Sin




Tan Cot

Cot Tan

 



2/Với  nhọn thì 0 < sin < 1, 0 < cos < 1

*sin2 + cos2  = 1 *tan =   \f(sin,cos *cot =  \f(cos,sin *tan  . cot

 =1

Hệ thức giữa cạnh và góc:

+ Cạnh góc vng bằng cạnh huyền nhân Sin góc đối:ba.SinB.;ca.SinC

+ Cạnh góc vng bằng cạnh huyền nhân Cos góc kề: ba.CosC.;ca.CosB

+ Cạnh góc vng bằng cạnh góc vng kia nhân Tan góc đối:b c TanB c b TanC . .;  .

+ Cạnh góc vng bằng cạnh góc vng kia nhân Cot góc kề:b c CotC c b CotB . .;  .
2/ Các ví dụ:

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Giải

ABC vng tại A, đường cao AH, ta có:
+ BC = BH + CH = 4 + 9 = 13cm

+ AH2 = BH.CH = 4.9 = 36

 AH = 6 cm

Ví dụ 2: Tìm x, y trong hình 3:
(các độ dài x và y làm tròn
đến chữ số thập phân thứ nhất).

Giải

ABC

 vuông tại A, ta có:

*AB HB BC.  x AB  1.5 5 2, 2 cm

*AC HC BC.

4.5 20 2 5 4,5

y AC cm

     

Ví dụ 3:

a) Một cột cờ cao 7m có bóng trên mặt đất dài 4m. Tính góc  mà tia sáng mặt trời tạo với
mặt đất (làm trịn đến phút).

b) Tính: Sin4B – cos4B + 2.cos2B

Giải a) Gọi AB là chiều cao cột cờ;

AC là bóng cột cờ trên mặt đất
Xét tam giác vuông ABC tại A,
ta có:

7
tanC tan

4
AB
AC



  

Suy ra :   60015’

Vậy góc  tạo bởi tia sáng mặt trời tạo

với mặt đất là 60015’

b) Ta có: Sin4B – cos4B + 2cos2B [(sin2 B)2 (cos2B) ] 2cos2  2B

(sin2B cos2B)(sin2Bcos2B) 2cos 2B
sin2B cos2B2cos2B

4m
7m



B
 1cm

(Hình 3)
 y
 x

C
B

A

H

4cm

4cm

x y

1cm C

H
B

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

F
D

E
C

B
A

sin2Bcos2B
1

Ví dụ 4: Cho ABC vng tại A Biết AB = 3cm, BC = 5cm.

a/ Từ B kẻ đường thẳng vng góc với BC, đường thẳng này cắt đường thẳng AC tại D.
Tính độ dài các đoạn thẳng AC, AD, BD (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

b/ Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A trên BC và BD. Chứng minh: BF.BD = BE.BC

Giải a) ABC vng tại A, theo định lý Py-ta-go ta có:

BC2  AB2 AC AC2  BC2 AB2  52 32 4cm

BCD vuông tại B, đường cao BA, ta cú :
+ AB2 = ADAC

2 2

AB 3

AD 2,3cm

AC 4

   

+ BD2 = ADDC = AD(AD+AC) = 2,3.6,3  BD 14, 49 3,8 cm

b) BAD vng tại A, đường cao AF, ta có:
AB2 = BF.BD (1) (hệ thức cạnh và đường cao)

ABC vuụng tại A, đường cao AE, ta có:

AB2 = BE.BC (2) (hệ thức cạnh và đường cao)

Từ (1), (2)  BF.BD = BE.BC (đpcm)

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC vng ở A có và .Kẻ đường cao AH
(H thuộc cạnh BC). Tính AH; AC; BC.

Giải a) Tính AH:

ABH vng tại H có: (cm).

b) Tính AC:

ABC vng tại A có: (cm)

c) Tính BC:

Ta có: AH BC. AB AC.

. 8.8 3

16 (cm)
4 3

AB AC
AH

BC

   

60
8

H
B

C
A

 600

ABC  AB8cm

.cos 8. 4 3

2
AH AB B 

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết

AB



9 cm AC

;



12 cm

.
a) Tính số đo góc B (làm trịn đến độ) và độ dài BH.

b) Gọi E; F là hình chiếu của H trên AB; AC.Chứng minh: AE.AB = AF.AC.

Giải

a) Tính độ dài BH và số đo góc B (làm trịn đến độ).

BC = AB2AC2  92122 15 (cm)

AB2 = BC.BH

2 92
15
AB
BH

BC

  

= 5,4 (cm)
Tan B =

12 4
9 3
AC

AB      530

b) Chứng minh: AE.AB = AF.AC

ABH vuông tại H, đường cao HE  AH2 = AB. AE

ACH vuông tại H, đường cao HF  AH2 = AC. AF

Vậy: AE.AB = AF.AC

Ví dụ 7: Cho ABC vuông tại A, AH là đường cao. Gọi E là trung điểm của BC.

Biết BH = 3 cm, HC = 12 cm.

a./ Tính AE (độ dài cạnh làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

b./ Tính diện tích AHE (độ dài diện tích làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
c./ Trên tia đối BA lấy D sao cho BD = BC. Chứng minh rằng: tan 2

ABC AC

AB BC




Giải a./ ABC vng tại A, ta có: 
* BCHB HC  3 12 15 cm
* Vì E là trung điểm của BC

nên AE là đường trung tuyến của ABC, ta có:

1 1

.BC .15 7,5

2 2

AE cm

   

b./
AHE

 vng tại H, ta có:
* AH  HB HC.

 AH  3.12 6 cm

12cm
3cm

A

B C

H E

D

C
B

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

* HE AE2 AH2

 HE 7,52 62 4,5cm

*Diện tích AHElà:

2
. 6.4,5

13,5

2 2

MHE

AH HE

S    cm

c./

Ta có: BD = BC (gt) nên BDCcân tại B  BDC BCD

 1
2

BDC ABC

 

(vì ABC BDC BCD  )

Xét ADCvng tại A có tanADC

AC
AD


(1)
mà

  1 ;
2

BDCADC ABC ADAB BD AB BC

Do đó từ (1) suy ra: tanADC tan 2

ABC AC

AB BC

 

 (đpcm)

Ví dụ 8: Cho tam giác ABC vuông ở A; AB = 3cm; AC = 4cm; Đường cao AH.

a) Giải tam giác vng ABC.

b) Phân giác của góc A cắt BC tại E. Tính BE, CE.

c) Gọi M và N theo thứ tự là hình chiếu của E trên các cạnh AB và AC.
Tứ giác AMEN là hình gì? Tính diện tích của tứ giác AMEN.

Giả
i

M
E

A B

a) BC =  AB2AC2  3242  25 5

SinB =

 0  0 0 0

53 ; 90 53 37

5
AC

B C

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

b) AE là phân giác góc A nên:

3
4

EB AB

EC AC 

3 4 3 4 7

EB EC EB EC

  



5 15

7 7

EB  

(cm);

5 20

7 7

EC 

(cm)

c) Tứ giác AMEN có A M  N 900 AMEN là hình chữ nhật
Có đường chéo AE là phân giác của góc A nên AMEN là hình vng

ME = BE. SinB

0 2 2

. 53 1,7 2,89( )

7 Sin cm SAMEN ME cm

    

3/ Bài tập vận dụng kiến thức:

Bài 1: Giải tam giác vuông ABC vuông tại A, biết AB = 30cm, và góc C = 300.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Giải tam giác vuông biết BC = 32cm; AC = 27cm
(Độ dài làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba, góc làm trịn đến độ)

Bài 3: Cho hình vẽ sau

Hãy tính các tỉ số lượng giác của góc B.

Bài 4: a) Cho tan = 2. Tính sin ; cos ; cot ?

b) Tính:

cos 20

2 0



cos 40

2 0



cos 50

2 0



cos 70

2 0
Bài 5:

a) Tìm x trên hình vẽ sau b) Cho B = 500, AC = 5cm. Tính AB

c) Tìm x, y trên hình vẽ

Bài 6: Cho ABC có AB = 5cm; AC = 12cm; BC = 13cm

a) Chứng minh ABC vuông tại A và tính độ dài đường cao AH;

5cm

50

B C

A

y

x
3

6
9

4
x

H

C
B

A



</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

b) Kẻ HE AB tại E, HF AC tại F. Chứng minh: AE.AB = AF.AC;
c) Chứng minh: AEF và ABC đồng dạng.

Bài 7: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết HB = 3,6cm ; HC = 6,4cm
a) Tính độ dài các đoạn thẳng: AB, AC, AH.

b) Kẻ HEAB ; HFAC. Chứng minh rằng: AB.AE = AC.AF.

Bài 8: Cho hình chữ nhật ABCD. Từ D hạ đường vng góc với AC, cắt AC ở H. Biết rằng
AB = 13cm; DH = 5cm. Tính độ dài BD.

Bài 9: Cho ABC vng ở A có AB = 3cm, AC = 4cm, đường cao AH.

a) Tính BC, AH. b) Tính góc B, góc C.

c) Phân giác của góc A cắt BC tại E. Tính BE, CE.

Bài 10: Cho tam giác ABC vng tại A có góc B = 300, AB = 6cm

a) Giải tam giác vuông ABC.

b) Vẽ đường cao AH và trung tuyến AM của ABC. Tính diện tích AHM.

Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH = 6cm, HC = 8cm.
a/ Tính độ dài HB, BC, AB, AC

b/ Kẻ . Tính độ dài HD và diện tích tam giác AHD.

Bài 12: Cho tam giác ABC vng tại A có AB = 10cm,
a) Tính độ dài BC?

b) Kẻ tia phân giác BD của góc ABC (D AC). Tính AD?

(Kết quả về cạnh làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai)

Bài 13: Trong tam giác ABC có AB = 12cm, B = 400, C = 300, đường cao AH.

Hãy tính độ dài AH, HC?

Bài 14: Cho tam giác ABC vuông ở A ; AB = 3cm ; AC = 4cm.
a) Giải tam giác vuông ABC?

b) Phân giác của góc A cắt BC tại E. Tính BE, CE.

c) Từ E kẻ EM và EN lần lượt vng góc với AB và AC. Hỏi tứ giác AMEN là hình
gì ? Tính diện tích của tứ giác AMEN

Bài 15: Cho α là góc nhọn. Rút gọn biểu thức: A = sin6 α + cos6 α + 3sin2 α – cos2
α

Bài 16: Cho hình vng ABCD có cạnh bằng a. Gọi M là một điểm thuộc cạnh AB. Tia DM
và tia CB cắt nhau ở N. Chứng minh rằng :

Bài 17: Chứng minh rằng: Nếu một tam giác có 2 cạnh là a và b, góc nhọn tạo bởi 2 đường 
thẳng đó là thì diện tích của tam giác đó bằng: S =

Bài 18: Cho tan + cot = 3. Tính giá trị của biểu thức A = sin.cos
*Bài toán thực tế

Bài 19: Một cây cau có chiều cao 6m. Để hái một buồn cau xuống, phải đặt thang tre sao cho
đầu thang tre đạt độ cao đó, khi đó góc của thang tre với mặt đất là bao nhiêu, biết chiếc thang
dài 8m (làm tròn đến phút).

 

 



HDAC (D AC)

0
40

ACB


2
2
2

1
1
1

a
DN

DM  

 2 sin

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Bài 20: Trường bạn An có một chiếc thang dài 6 mét. Cần đặt chân thang cách chân tường một
khoảng cách bằng bao nhiêu để nó tạo được với mặt đất một góc “an tồn” là 650 (tức là đảm

bảo thang khơng bị đổ khi sử dụng).

Bài 21: Ca nô kéo 1 người mang dù bay lên không bằng 1 sợi dây dài 10m tạo với mặt nước

biển 1 góc 600. Khi ca nơ giảm tốc độ thì độ cao người đó giảm xuống 2m. Hỏi lúc ca nơ giảm

tốc độ thì người đó cách mặt nước biển bao nhiêu mét? (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ
nhất).

Chương II. ĐƯỜNG TRÒN:
1/ Kiến thức trọng tâm:



.Sự xác định đường tròn: Muốn xác định được một đường tròn cần biết:

+ Tâm và bán kính,hoặc

+ Đường kính( Khi đó tâm là trung điểm của đường kính; bán kính bằng 1/2 đường kính) , hoặc
+ Đường trịn đó đi qua 3 điểm ( Khi đó tâm là giao điểm của hai đường trung trực của hai
đoạn thẳng nối hai trong ba điểm đó; Bán kính là khoảng cách từ giao điểm đến một trong 3
điểm đó) .



Tính chất đối xứng:

+ Đường trịn có tâm đối xứng là tâm của đường trịn.

+ Bất kì đường kính vào cũng là một trục đối xứng của đường tròn.



Các mối quan hệ:

1. Quan hệ giữa đường kính và dây:

+ Đường kính (hoặc bán kính)  Dây  Đi qua trung điểm của dây ấy.

2. Quan hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây:
+ Hai dây bằng nhau  Chúng cách đều tâm.

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>



Vị trí tương đối của đường thẳng với đường trịn:

+ Đường thẳng khơng cắt đường trịn  Khơng có điểm chung  d > R (d là khoảng cách từ

tâm đến đường thẳng; R là bán kính của đường trịn).

+ Đường thẳng cắt đường trịn  Có 2 điểm chung  d < R.

+ Đường thẳng tiếp xúc với đường trịn  Có 1 điểm chung  d = R.



Tiếp tuyến của đường tròn:

1. Định nghĩa: Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với đường trịn đó.

2. Tính chất: Tiếp tuyến của đường trịn thì vng góc với bán kính tại đầu mút của bán kính
(tiếp điểm)

3.Dấu hiệu nhhận biết tiếp tuyến: Đường thẳng vng góc tại đầu mút của bán kính của một

đường trịn là tiếp tuyến của đường trịn đó.

2/ Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho đường trịn



O ; 5cm . Dây AB = 8cm. Tiếp tuyến tại A của đường trịn cắt



đường kính vng góc với AB tại C.

a) Hãy tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.
b) Tính AC.

Giải

8cm
5cm

C
O

a) Ta có IA = IB = 4cm ( OIAB)

2 2 2 2

OI OA AI 5 4 3

      cm

 OI 3  o

cos AOI AOI 53

OA 5

   

 o

AC OA.tan OAC 5.t an53  6,64cm

Ví dụ 2: Cho đường tròn (O; R), dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vng góc với AB
cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở M.

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Giải

H
O

M
A

a) HS chứng minh được:OAM OBM c g c( . . )

ˆ 90

OBM

   MB OB

Vậy MB là tiếp tuyến của đường trịn (O).
b) Ta có: AH =

12( )

2 2

AB

cm
 

OH = 152122 9(cm)

2
15

25( )
9

OM cm

  

Ví dụ 3: Cho ( O), A nằm ngoài (O) kẻ tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M, N là tiếp điểm)
a) Chứng minh: OA vng góc với MN .

b) Từ M vẽ đường thẳng song song với OA cắt (O) tại B .
Chứng minh : Ba điểm B , O , N thẳng hàng.

Giải

a). Chứng minh : OA vng góc với MN

MA = MB ( Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ),
OM = ON ( bán kính đường trịn )

Suy ra : OA là trung trực của đoạn thẳng MN
Vậy: OA vng góc với MN

b) BM // OA (gt) , OA ¿ MN ( câu 1 )

⇒ BM ¿ MN ⇒ Δ BMN vng tại M

Đường trịn tâm O ngoại tiếp tam giác vuông , nên tâm O là trung điểm cạnh
huyền BN.

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Ví dụ 4: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB. Ax là tiếp tuyến với nửa đường tròn (Ax
và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). M là điểm trên tia Ax, MC là tiếp
tuyến thứ hai kẻ từ M (C là tiếp điểm). N là giao điểm của BC và Ax.

a) Chứng minh: Δ NAB vuông tại A.
b) Δ MAC là tam giác gì ? vì sao ?

c) Chứng minh: OM là trung trực của đoạn thẳng AC.
d) Chứng minh: M là trung điểm của AN

Giải a) Ax là tiếp tuyến tại A của nửa đường trịn

⇒Ax⊥AB
Vậy: Δ NAB vng tại A

b) MA = MC ( tính chất hai tiếp tuyên cắt nhau ).
Suy ra: Δ MAC cân tại M

c) Δ MAC cân tại M (câu b), có MO là phân giác góc M (tính chất hai tiếp
tuyến cắt nhau), nên MO cũng là đường trung trực

Vây: MO là đường trung trực của đoạn thẳng AC

d) Δ ABC vuông tại C ( vì Δ ABC có AB là đường kính của nửa đường trịn)
⇒ BC ¿ AC .

MO ¿ AC ( vì MO là trung trực của AC)

Do đó: BC // MO (cùng vng góc với AC) hay NB // MO

Δ NAB , có : NB // MO và O là trung điểm AB

Vậy: M là trung điểm của AN

Ví dụ 5: Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O ;R), kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn
(B ; C là hai tiếp điểm). Qua O kẻ đường thẳng vng góc với OB cắt AC tại D.

a) Chứng minh : DA = DO

b) Nếu OA = 2R và I là giao diểm của đường tròn (O) với OA chứng minh DI là tiếp
tuyến của đường tròn (O)

A B

O
x

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Giải

D
I
A

O
B

a) AB // DO (cùng  OB)

 BAO AOD (so le trong)

mà BAO DAO (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

 AOD DAO nên ADO cân tại D

Vậy DA = DO

b) OA = 2R ; OI = R nên I là trung điểm OA
IO IA

  mà DA = DO
 DI là trung trực của OA

DI OA

 

 DI là tiếp tuyến của đường trịn (O)

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC vng tại A, đường cao AH. Vẽ đường trịn(A ; AH). Kẻ các tiếp
tuyến BD ; CE với đường tròn (D, E là các tiếp điểm khác H). Chứng minh rằng:

a) BD + CE = BC

b) Ba điểm D, A, E thẳng hàng.

c) DE là tiếp tuyến của đường trịn có đường kính BC.

Giải

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: BD = BH và CE = CH
Do đó: BD + CE = BH + CH = BC (đpcm)

B C

H
D

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

DAB = HAB =

2 DAH và EAC = HAC = 
1

2 HAE

Do đó: DAH + HAE = 2.( HAB + HAC) = 2 BAC = 1800
Vậy ba điểm D, A, E thẳng hàng

c) + Gọi M là trung điểm của BC ;

thì MA là đường trung bình của hình thang BDEC

nên MA // BD. Do đó MA ¿ DE

+ Ta lại có MA = MB = MC

nên MA là bán kính của đường trịn có đường kính BC (tâm M)
Vậy : DE là tiếp tuyến của đường trịn có đường kính BC.
3/ Bài tập vận dụng kiến thức:

Bài 1: Cho (O, R) có AB là đường kính. Vẽ tiếp tuyến Ax, lấy bất kỳ M thuộc Ax. MB cắt (O)
tại C.

a) Chứng minh : AC MB.
b) Tính BC.BM theo R

c) Vẽ dây AD MO tại H. Chứng minh : MD2 = MC.MB
d) Vẽ DE AD tại E, DE cắt MB tại I. Chứng minh : ID = IE

Bài 2: Cho



ABC vng tại A có AB = 5 và AC = 4
a) Giải



ABC.

b) Kẻđường cao AH của



ABC . Chứng minh: BC là tiếp tuyến của ( A; AH).

c) Từ H kẻ HEAB cắt (A) tại I và từ H kẻ HFAC cắt (A) tại K. Chứng minh BI là tiếp 
tuyến của (A). Chứng minh : BI là tiếp tuyến của (A).

d) Chứng minh : 3 điểm I, A, K thẳng hàng

Bài 3: Cho nửa đường trịn (O), đường kính AB = 2R. Vẽ đường trịn tâm K đường kính OB.
a) Chứng tỏ hai đường tròn (O) và (K) tiếp xúc nhau.

b) Vẽ dây BD của đường trịn (O) ( BD khác đường kính), dây BD cắt đường tròn (K) tại
M.Chứng minh: KM // OD

Bài 4: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB. Gọi Ax; By là các tia vng góc với AB.(Ax ;
By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB).Qua điểm M thuộc nửa đường
tròn ( M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường trịn, nó cắt Ax tại C và cắt By tại D.

a) Chứng minh và

b) AD cắt BC tại N. Chứng minh:

c) Tích AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường trịn.

Bài 5: Cho



ABC vng tại A có đường cao AH. Gọi K là trung điểm của AH. Từ A hạ
vng góc với AB và AC tại D và E. đường trịn tâm K bán kính AK cắt đường trịn tâm O
đường kính BC tại I, AI cắt BC tại M.

a) Chứng minh 5 điểm A, I, D, H, E thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh: MKAO

c) Chứng minh : 4 điểm M, D, K, E thẳng hàng
CDAC BD COD 900

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

d) Chứng minh : MD.ME = MH2.

Bài 6: Cho đường tròn (O) và điểm C nằm ngồi đường trịn, vẽ hai tiếp tuyến CA và CB đến
(O) (A và B là hai tiếp điểm)

a) Chứng minh : OCAB tại H.
b) Chứng minh HA.HB = HC.HD

c) Đoạn thẳng OC gặp (O) tại I. chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp



ABC
d) Chứng minh : tg

BAC

2 =

HC
AH+AC .

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A. vẽ đường trịn tâm O đường kính AC cắt BC tại I
a) Chứng minh BA là tiếp tuyến của (O).

b) Kẻ OMBC tại M, AM cắt (O) tại N, Chứng minh



AIM đồng dạng



CNM rồi suy
ra AM.MN = MI2

c) Kẻ MK//AC, K ¿ AI. Chứng minh 4 điểm M, I, K, O cùng nằm trên một đường tròn

d) Kẻ OHAN tại H. chứng minh OM > OH

Bài 8: Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài (O) sao cho OM = 2R. Vẽ các tiếp tuyến
MA, MB đến đường tròn ( A, B là ai tiếp điểm ).

a) Chứng minh :



MAB là tam giác đều.
b) Tính diện tích



MAB theo R

c) Tia MO cắt ( O) tại H và K ( H nằm giữa M, K ) Từ O vẽ ONAK. Chứng minh B, O, 
N thẳng hàng

d) Tính AH.AK theo R

Bài 9: Cho tam giác ABC vơng tại A. Đường trịn tâm O đường kính AB cắt BC tại D.
a) Chứng minh : AC2 = CD. BC.

b) Gọi I là trung điểm của BD. Tiếp tuyến tại D cắt AC ở M và cắt OI tại N. Chứng minh
MB là tiếp tuyến của (O)

c) OM cắt AD ở K. Chứng minh OK.OM = OI.ON

</div>

TÀI LIỆU ÔN TẬP

 



















 





 





























































 

 

 





 





 





 













 



 



<i>a</i>















 







