Ôn tập tốt nghiệp môn Toán - GV: Dương Phước Sang

<span class='text_page_counter'>(1)</span>www.VNMATH.com TR NG THPT CHU V N AN T TOÁN. OÂn taäp Toát nghieäp. GV: Dương Phước Sang. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> www.VNMATH.com. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> www.VNMATH.com Ph n I. KH O SÁT HÀM S. VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN. 1. Hàm số bậc ba, hàm số trùng phương và các vấn đề liên quan a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 1 Tập xác định: D = ℝ 2 Tính y ′ 3 Cho y ′ = 0 để tìm các nghiệm x 0 (nếu có). 4 Tính hai giới hạn: lim y ; lim y x →−∞. x →+∞. 5 Vẽ bảng biến thiên của hàm số. 6 Nêu sự đồng biến, nghịch biến và cực trị (nếu có) của hàm số. 7 Tìm điểm uốn (đối với hàm số bậc ba). 8 Lập bảng giá trị. 9 Vẽ đồ thị hàm số và nêu nhận xét. y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0). Số nghiệm của phương trình y ′ = 0. a>0. a <0. y ′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt. y ′ = 0 có nghiệm kép. y ′ = 0 vô nghiệm. Đồ thị hàm số bậc ba luôn đối xứng qua điểm uốn Dương Phước Sang. -1Lop12.net. THPT Chu Văn An.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> www.VNMATH.com. 01688559752. y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0). Số nghiệm của phương trình y ′ = 0. a>0. a <0. y ′ = 0 có 3 nghiệm phân biệt. y ′ = 0 có 1 nghiệm duy nhất Đồ thị hàm số trùng phương luôn đối xứng qua trục tung b) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 1 – biết toạ độ tiếp điểm M0) 1 Chỉ rõ x 0 và y0 (hoành độ & tung độ của điểm M0) 2 Tính f ′(x 0 ) 3 Công thức:. y − y 0 = f ′(x 0 )(x − x 0 ). c) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 2 – biết trước hệ số góc k) 1 Lập luận để có được f ′(x 0 ) = k (*) 2 Thay y ′(x 0 ) vào (*) để tìm x 0 3 Có x 0 , tìm y 0 và dùng công thức y − y 0 = f ′(x 0 )(x − x 0 ). Lưu ý:. Tiếp tuyến song song với y = ax + b có hệ số góc k = a Tiếp tuyến vuông góc với y = ax + b (a ≠ 0) có hệ số góc k = − 1 a. d) Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị (C ):y = f(x) 1 Đưa phương trình về dạng: f (x ) = BT (m ) 2 Lập luận: số nghiệm của phương trình đã cho bằng với số giao điểm của đồ thị (C ) : y = f (x ) và đường thẳng d : y = BT (m ) . 3 Vẽ 2 đường đó lên cùng 1 hệ trục toạ độ và lập bảng kết quả Tài liệu tham khảo. -2Lop12.net. Ôn tập tốt nghiệp môn Toán.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> www.VNMATH.com m BT(m) Số giao điểm… … … ….. Số nghiệm pt… ….. Lưu ý: nếu bài toán chỉ yêu cầu tìm các giá trị của m để phương trình có đúng 3 nghiệm, 4 nghiệm,… ta không cần lập bảng kết quả như trên mà chỉ cần chỉ rõ các trường hợp thoả đề. e) Sự tương giao giữa đồ thị (C ):y = f(x) và đường thẳng d: y = ax + b 1 Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và d: f (x ) = ax + b (*) 2 Lập luận: số giao điểm của (C ) và d bằng với số nghiệm của (*) 3 Đếm số nghiệm của (*) suy ra số giao điểm của (C ) và d. VÍ DỤ MINH HOẠ Bài 1 : Cho hàm số y = x 3 − 6x 2 + 9x + 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại giao điểm của (C ) với trục tung. c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau đây có nghiệm duy nhất: x 3 − 6x 2 + 9x + m = 0 Bài giải 3 2 Câu a: Hàm số y = x − 6x + 9x + 1 Tập xác định: D = R Đạo hàm: y ′ = 3x 2 − 12x + 9 Cho y ′ = 0 ⇔ 3x 2 − 12x + 9 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 3 Giới hạn: lim y = −∞ x →−∞. Bảng biến thiên: (chú ý: do a > 0). lim y = +∞. ;. x →+∞. x −∞ y′ + y. 1 0. –. 3 0. + +∞. 5 –∞. +∞. 1. Hàm số đồng biến trên các khoảng (–∞;1) và (3;+∞) Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3) Đồ thị hàm số có điểm cực đại D(1; 5) , điểm cực tiểu T (3;1) y ′′ = 6x − 12. Cho y ′′ = 0 ⇔ x = 2 ⇒ y = 3 . Điểm uốn I (2; 3) Dương Phước Sang. -3Lop12.net. THPT Chu Văn An.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> www.VNMATH.com. 01688559752. Bảng giá trị: x 0 1 2 3 4 y 1 5 3 1 5 Đồ thị hàm số là một đường cong đối xứng qua điểm I (2; 3) như hình vẽ bên đây: Câu b: Cho x = 0 ⇒ y(0) = 1 . Giao điểm của (C ) với trục tung là: A(0;1) f ′(0) = 9 Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại A là: y − 1 = 9(x − 0) ⇔ y = 9x + 1 Câu c: Ta có, x 3 − 6x 2 + 9x + m = 0 ⇔ x 3 − 6x 2 + 9x = −m ⇔ x 3 − 6x 2 + 9x + 1 = 1 − m (*) Phương trình (*) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đồ thị (C ) và đường thẳng d : y = 1 − m cắt nhau tại 1 điểm duy nhất 1 − m > 5 m < −4 ⇔  ⇔  1 − m < 1 m > 0. Bài 2 : Cho hàm số y = 3x 2 − 2x 3 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại các giao điểm của (C ) với trục hoành. c) Biện luận theo a số nghiệm phương trình: 4x 3 − 6x 2 − 3a = 0 Bài giải 2 3 Câu a: Hàm số y = 3x − 2x Tập xác định: D = ℝ Đạo hàm: y ′ = 6x − 6x 2 Cho y ′ = 0 ⇔ 6x − 6x 2 = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1 Giới hạn: lim y = +∞ x →−∞. Bảng biến thiên: (chú ý: do a < 0). lim y = −∞. ;. x →+∞. x −∞ y′ y. –. 0 0. +∞. +. 1 0. +∞ –. 1 0. –∞. Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1) Tài liệu tham khảo. -4Lop12.net. Ôn tập tốt nghiệp môn Toán.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> www.VNMATH.com Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 0) và (1; +∞) Đồ thị hàm số có điểm cực đại D(1;1) , điểm cực tiểu O(0; 0) y ′′ = 6 − 12x . Cho y ′′ = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = 1 . Điểm uốn I ( 1 ; 1 ) 2. Bảng giá trị: x − 1. 0. 1. 0. 2. y. 1 2 1 2. 1. 2 1 2. 1. 0. 2 2. Đồ thị hàm số là một đường cong đối xứng qua điểm I ( 1 ; 1 ) như hình vẽ bên đây: 2 2. x = 0 Câu b: Cho y = 0 ⇔ 3x 2 − 2x 3 = 0 ⇔  3 x = 2 Giao điểm của (C ) với trục hoành là: O(0; 0) và B( 3 ; 0) 2. Tại O(0; 0) : f ′(0) = 0 , phương trình tiếp tuyến là: y = 0 Tại B( 3 ; 0) : f ′( 3 ) = − 9 , phương trình tiếp tuyến là: 2. 2. 2. y − 0 = − 9 (x − 3 ) ⇔ y = − 9 x + 27 2. 2. 2. 4. Câu c: Ta có, 4x 3 − 6x 2 − 3a = 0 ⇔ 6x 2 − 4x 3 = −3a ⇔ 3x 2 − 2x 3 = − 3 a (*) 2. Số nghiệm phương trình (*) bằng với số giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng d : y = − 3 a , do đó ta có bảng kết quả sau đây: 2. Số giao điểm Số nghiệm của của (C ) và d phương trình (*). −3a. a. 2. a <−2. −3a >1. 1. 1. a =−2. −3a =1. 2. 2. −2 <a < 0. 0 <−3a <1. 3. 3. a=0. −3a = 0. 2. 2. a>0. −3a < 0. 1. 1. 3 3. 3. 2. 2. 2. 2. 2. -5Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> www.VNMATH.com. 01688559752. x 3 + 3x 2 + 3x 2 b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) biết tiếp tuyến song. Bài 3 : a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số y =. song với đường thẳng ∆ : y = 3 x 2. c) Tìm toạ độ các giao điểm của (C ) với đường thẳng y = 3 x + 2 2. Bài giải. x 3 + 3x 2 + 3x Tập xác định: D = ℝ 2 3x 2 + 6x + 3 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ do đó hàm số luôn đồng Đạo hàm y ′ = 2 biến trên ℝ và không đạt cực trị. Giới hạn: lim y = −∞; lim y = +∞. Câu a: y =. x →−∞. x →+∞. Bảng biến thiên: x −∞ y′. y. −1 0. +. +∞ + +∞. −1 2. –∞. y ′′ = 3x + 3 = 0 ⇔ x = −1 ⇒ y = − 1 2. Điểm uốn. I (−1; − 1 ) 2. Bảng giá trị: x −3 y −9. −2 −1. 2. −1 −1 2. 0 0. 1 7 2. Đồ thị hàm số là đường cong đối xứng qua điểm I (−1; − 1 ) 2. Câu b: Tiếp tuyến của (C ) song song với đường thẳng ∆ : y = 3 x có hệ 2. số góc k = f ′(x 0 ) = 3 2. x = 0 = 3 ⇔ 3x 02 + 6x 0 = 0 ⇔  0 2 2 x 0 = −2 Với x 0 = 0 thì y 0 = y(0) = 0 , tiếp tuyến tương ứng là ⇔. 3x 02. + 6x 0 + 3. y − 0 = 3 (x − 0) ⇔ y = 3 x (trùng với ∆ ) 2. 2. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> www.VNMATH.com Với x 0 = −2 thì y 0 = y(−2) = −1 , tiếp tuyến tương ứng là. y + 1 = 3 (x + 2) ⇔ y = 3 x + 2 (song song với ∆ ) 2. Vậy, tiếp tuyến thoả đề là y =. 2 3x 2. +2. Câu c: Hoành độ giao điểm (nếu có) của (C ) và y = 3 x + 2 là nghiệm 2. 3. 2. 3 x + 3x + 3x = x + 2 ⇔ x 3 + 3x 2 + 3x = 3x + 4 2 2 x = 1 ⇔ x 3 + 3x 2 − 4 = 0 ⇔ (x − 1)(x 2 + 4x + 4) = 0 ⇔  x = −2 x = 1 ⇒ y = 7 và x = −2 ⇒ y = −1. phương trình. 2. Vậy, (C ) và d : y = 3 x + 2 cắt nhau tại 2 điểm: 2. ( 2). A 1; 7 và B(−2; −1). Bài 4 : a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số: y = x 4 − 2x 2 − 3 b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) tại điểm trên (C ) có hoành độ x là nghiệm của phương trình f ′′(x ) = 20 c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau đây có nhiều hơn hai nghiệm: x 4 − 2x 2 + m = 0 Bài giải Câu a:Hàm số y = x 4 − 2x 2 − 3 Tập xác định: D = ℝ. y ′ = 4x 3 − 4x. Cho y ′ = 0 ⇔ 4x 3 − 4x = 0 ⇔ x = 0; x = ±1. Giới hạn: lim y = +∞. ;. x →−∞. Bảng biến thiên: x –∞ y′ – y +∞. lim y = +∞. x →+∞. –1 0. 0 +. 0. −3. 1 –. 0. +∞ + +∞. –4 –4 Hàm số đồng biến trên các khoảng trên (–1;0), (1;+∞) và nghịch biến trên các khoảng (–∞;–1), (0;1).. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 01688559752. www.VNMATH.com. Đồ thị hàm số có điểm cực đại D(0; −3) và hai điểm cực tiểu T1(−1; −4),T2 (1; −4) Bảng giá trị: 0 1 2 x − 2 –1 y –3 –4 –3 –4 –3 Đồ thị hàm số là đường cong đối xứng qua trục tung như hình vẽ Câu b: Ta có, y ′′ = 12x 2 − 4 = 20 ⇔ 12x 2 = 24 ⇔ x 2 = 2 ⇔ x = ± 2 Đáp số: y = 4 2x − 11 và y = −4 2x − 11 (học sinh tự giải) Câu c: Ta có, x 4 − 2x 2 + m = 0 ⇔ x 4 − 2x 2 − 3 = −m − 3 (*) Phương trình (*) có nhiều hơn 2 nghiệm khi và chỉ khi (C ) và d : y = −m − 3 cắt nhau tại nhiều hơn 2 điểm (3 hoặc 4 điểm)   −m − 3 ≤ −3  m ≥ 0 ⇔ 0 ≤ m < 1 ⇔ ⇔     −m − 3 > −4 m <1     Bài 5 :a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số: y = −x 4 + 4x 2 − 3 b) Dùng đồ thị (C ) biện luận số nghiệm pt sau: x 4 − 4x 2 + m = 0 Hướng dẫn giải và đáp số Câu a: HS tự giải để có được đồ thị: Câu b: Biến đổi phương trình ta được: x 4 − 4x 2 + m = 0 ⇔ −x 4 + 4x 2 − 3 = m − 3 Bảng kết quả số nghiệm của phương trình đã cho Số giao Số nghiệm điểm của m m–3 của (C ) phương trình (*) và d m >4 m–3>1 0 0 m=4 m–3=1 2 2 0<m<4 –3<m–3<1 4 4 m=0 m–3=–3 3 3 m<0 m–3<–3 2 2. Tài liệu tham khảo. -8Lop12.net. Ôn tập tốt nghiệp môn Toán.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> www.VNMATH.com BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC BA VÀ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG Bài 6 : Cho hàm số y = x 3 – 3x + 1 có đồ thị là (C ) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số. b) Viết pttt với (C ) tại điểm thuộc (C ) có hoành độ bằng 2. c) Viết pttt với (C ) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9. d) Tìm điều kiện của m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: x 3 – 3x + 1 + 2m = 0 . Bài 7 : Cho hàm số y = − 1 x 3 + 3 x 2 − 2 2. 2. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số. b) Viết pttt với (C ) song song với đường thẳng d: y = − 9 x + 2 2. c) Tìm các giá trị của k để phương trình sau đây có nghiệm duy x 3 − 3x 2 − 4 − k = 0 nhất: Bài 8 : Cho hàm số y = 2x 3 + 3x 2 − 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số. b) Viết pttt với (C ) tại giao điểm của (C ) với trục hoành. c) Viết pttt với (C ) biết tiếp tuyến song song với d : y = 12x − 1 d) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: 2x 3 + 3x 2 + 2m = 0 Bài 9 : Cho hàm số y = − 1 x 3 + 3 x 2 − 5 có đồ thị là (C ) 3. 2. 2. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số. b) Viết pttt với (C ) tại điểm trên (C ) có hoành độ x thoả y ′′ = 1 c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C ) và d : y − 2 = 0 . d) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm duy nhất 2e 3x − 9e 2x + 6m = 0 Bài 10 : Cho hàm số y = 1 x 3 − x 2 3. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số. b) Viết pttt của (C ) tại điểm trên (C ) có tung độ bằng 0. c) Viết pttt của (C ) song song với đường thẳng y = 8x − 3 d) Tìm các giá trị của a để phương trình sau đây có nghiệm duy nhất: x 3 − 3x 2 − log a = 0 Dương Phước Sang. -9Lop12.net. THPT Chu Văn An.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 01688559752. www.VNMATH.com. Bài 11 : Cho hàm số y = 2x 3 − 3x 2 − 1 (*) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số. b) Tìm toạ độ giao điểm của (C ) với đường thẳng d: y = −x − 1 c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 4x 3 − 6x 2 + 1 − m = 0 Bài 12 : Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 2 , m là tham số. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số. b) Viết pttt của (C ) vuông góc với đường thẳng d: y = 1 x − 1 3. 3. c) Tìm các giá trị của a đường thẳng y = ax + 2 cắt (C ) tại ba điểm phân biệt. Bài 13 : Cho hàm số y = −x 3 + 3x 2 − 2 có đồ thị (C ) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm A(0; –2) c) Viết pttt của (C ) biết tiếp tuyến song song với 9x − 4y − 4 = 0 d) Biện luận theo m số giao điểm của (C ) và d : y = mx − 2 Bài 14 : Cho hàm số y = 4x 3 − 3x − 1 , có đồ thị là (C ) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số. b) Tìm m để phương trình 4x 3 − 3x − 1 = m có đúng 3 nghiệm. c) Viết pttt với (C ) tại giao điểm của (C ) với trục hoành. d) Viết pttt với (C ) biết tiếp tuyến vuông góc với d : y = −. 1 x 72. Bài 15 : Cho hàm số y = 2x 3 − 6x 2 + 6x − 2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số. b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C ) , Ox , x = 1, x = 2 Bài 16 : Cho hàm số y = x 2 (2 − x 2 ) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số. b) Viết pttt với (C ) tại điểm trên (C ) có hoành độ bằng − 2 c) Viết pttt với (C ) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 24. d) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có 4 nghiệm x 4 − 2x 2 + m = 0 Tài liệu tham khảo. - 10 Lop12.net. Ôn tập tốt nghiệp môn Toán.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> www.VNMATH.com Bài 17 : Cho hàm số y = x 4 + 2x 2 − 3 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số. b) Viết pttt của (C ) tại điểm trên (C ) có tung độ bằng 5. c) Tìm điều kiện của m để phương trình sau đây có đúng 2 nghiệm: x 4 + 2x 2 + 3 + 2m = 0 Bài 18 : Cho hàm số y = 1 x 4 − 3x 2 + 2. 3 2. có đồ thị (C ) .. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số. b) Viết pttt với (C ) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng –8. c) Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm: x 4 − 6x 2 + log m = 0 Bài 19 : Cho hàm số y = (1 − x 2 )2 − 6 có đồ thị (C ) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số. b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x 4 − 2x 2 = m c) Viết pttt của (C ) biết tiếp tuyến vuông góc với d : y = − 1 x 24. Bài 20 : Cho hàm số y =. − 1 x4 4. 2. + 2x − 1. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số. b) Tìm m để phương trình x 4 − 8x 2 + 4 = m có nhiều hơn 2 nghiệm c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) tại điểm trên (C ) có hoành độ là nghiệm của phương trình y ′′(x ) = 10 Bài 21 : Cho hàm số y = 1 x 4 − 2x 2 4. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số. b) Viết pttt của (C ) song song với d1 : y = 15x + 2012 . c) Viết pttt của (C ) vuông góc với d2 : y = −. 8 x 45. + 2012. d) Tìm m để phương trình −x 4 + 8x 2 = m có 4 nghiệm phân biệt. Bài 22 : Cho hàm số y = x 4 − mx 2 − (m + 1) có đồ thị (Cm ) a) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm M (−1; 4) b) Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số khi m = −2 . c) Gọi (H ) là hình phẳng giới hạn bởi (C ) và trục hoành. Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo ra khi quay (H ) quanh trục hoành. Dương Phước Sang. - 11 Lop12.net. THPT Chu Văn An.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> www.VNMATH.com. 01688559752. 2. Hàm số nhất biến và các vấn đề liên quan a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (c ≠ 0, ad − cb ≠ 0) y=. ax + b cx + d. { c}. 1 Tập xác định: D = ℝ \ − d 2 Tính y ′ =. ad − cb 2. và khẳng định y ′ dương hay âm, ∀x ≠ − d. c (cx + d ) 3 Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến trên mỗi khoảng xác định (−∞; − d ),(− d ; +∞) và không đạt cực trị. c. c. 4 Tính các giới hạn và tìm hai tiệm cận: a a a Tính lim y = và lim y = , suy ra y = là TCN x →−∞ x →+∞ c c c d Tính lim y và lim y , suy ra x = − là TCĐ − + c x →(−d ) x →(−d ) c. c. 5 Vẽ bảng biến thiên của hàm số. 6 Lập bảng giá trị. 7 Vẽ đồ thị hàm số (có 2 tiệm cận) và nêu nhận xét.. y=. ax + b (c ≠ 0, ad − cb ≠ 0) cx + d. y′ > 0. y′ < 0. Đồ thị hàm số nhất biến gồm hai nhánh riêng biệt luôn đối xứng nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận Tài liệu tham khảo. - 12 Lop12.net. Ôn tập tốt nghiệp môn Toán.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> www.VNMATH.com b) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 1 – biết toạ độ tiếp điểm M0) 1 Chỉ rõ x 0 và y 0 (hoành độ & tung độ của điểm M0) 2 Tính f ′(x 0 ) 3 Công thức:. y − y 0 = f ′(x 0 )(x − x 0 ). c) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 2 – biết trước hệ số góc k) 1 Lập luận để có được f ′(x 0 ) = k (*) 2 Thay y ′(x 0 ) vào (*) để tìm x 0 3 Có x 0 , tìm y 0 và dùng công thức y − y 0 = f ′(x 0 )(x − x 0 ) Lưu ý:. Tiếp tuyến song song với y = ax + b có hệ số góc k = a Tiếp tuyến vuông góc với y = ax + b (a ≠ 0) có hệ số góc k = − 1 a. d) Sự tương giao giữa đồ thị (C ):y = f(x) và đường thẳng d: y = ax + b 1 Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và d: f (x ) = ax + b (*) 2 Lập luận: số giao điểm của (C ) và d bằng với số nghiệm của (*) 3 Đếm số nghiệm của (*) suy ra số giao điểm của (C ) và d. VÍ DỤ MINH HOẠ 2x + 1 x +1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm trên (C ) có tung độ bằng 5. Bài 23 : Cho hàm số y =. 2. c) Chứng minh rằng đường thẳng d : y = −2x + m luôn cắt đồ thị (C ) tại 2 điểm phân biệt. Bài giải. 2x + 1 Câu a: Hàm số y = x +1 Đạo hàm: y ′ =. Tập xác định: D = ℝ \ {−1} 1. > 0, ∀x ≠ −1 , do đó hàm số đồng biến (x + 1)2 trên các khoảng (−∞; −1) , (−1; +∞) và không đạt cực trị. Dương Phước Sang. - 13 Lop12.net. THPT Chu Văn An.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> www.VNMATH.com. 01688559752. Giới hạn và tiệm cận: lim y = 2 ; lim y = 2 ⇒ y = 2 là tiệm cận ngang. x →−∞. x →+∞. lim y = +∞ ; lim y = −∞ ⇒ x = −1 là tiệm cận đứng.. x →(−1)−. x →(−1)+. Bảng biến thiên: x −∞ y′ +. −1. +∞ +. +∞. y. 2 Bảng giá trị: x –2 − 3 2. 2. −∞ 1 2. –1. 0. y 3 4 0 1 Đồ thị hàm số gồm hai nhánh đối xứng nhau qua điểm I (−1;2) như hình vẽ 2x + 1 5 = ⇔ 2(2x + 1) = 5(x + 1) ⇔ x = −3 Câu b: Với y = 5 thì 2 x +1 2 1 1 ′ = Ta có f (−3) = 2 4. (−2). Vậy, tiếp tuyến của (C ) tại M (−3; 5 ) là: 2. y−. 5 2. =. 1 (x 4. + 3) ⇔ y = 1 x + 13 4. 4. Câu c: Hoành độ giao điểm (nếu có) của (C ) và d là nghiệm phương trình 2x + 1 = −2x + m ⇔ 2x + 1 = (−2x + m )(x + 1) , x ≠ −1 x +1. ⇔ 2x 2 + (4 − m )x + 1 − m = 0 (*) ( x = −1 không thoả (*)) Biệt thức của phương trình (*): ∆ = m 2 − 4m + 12 = (m − 2)2 + 8 > 0, ∀m ∈ ℝ Do ∆ > 0 nên (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt, từ đó (C ) và d luôn có 2 điểm chung phân biệt. x −3 Bài 24 :a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số y = 2−x b) Viết pttt của (C ) biết tiếp tuyến song song với d : y = −x c) Tìm các giá trị của m để đường thẳng d : y = −x + m cắt đồ thị (C ) tại 2 điểm phân biệt. Tài liệu tham khảo. - 14 Lop12.net. Ôn tập tốt nghiệp môn Toán.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> www.VNMATH.com x −3 x −3 = Tập xác định: D = ℝ \ {2} 2−x −x + 2 −1 Đạo hàm: y ′ = < 0, ∀x ≠ 2 , do đó hàm số nghịch biến (2 − x )2 trên các khoảng (−∞;2) , (2; +∞) và không đạt cực trị. Giới hạn và tiệm cận: lim y = −1 ; lim y = −1 ⇒ y = −1 là tiệm cận ngang.. Câu a: Hàm số y =. x →−∞. x →+∞. lim y = −∞ ; lim y = +∞ ⇒ x = 2 là tiệm cận đứng.. x →2−. x →2+. Bảng biến thiên: 2 +∞ x −∞ y′ − − +∞ −1 y −∞ −1 Bảng giá trị: 1 2 3 4 x 0 y−3 –2 0 −1 2. 2. Đồ thị hàm số gồm hai nhánh đối xứng nhau qua điểm I (2; −1) như hình vẽ Câu b: Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = −x nên có hệ số góc k = f ′(x 0 ) = −1. 2 − x = 1 x = 1 2 0   0 ⇔ ⇔ ⇔ (2 − x ) = 1 = − 1 0 2 − x = −1 x = 3 2 (2 − x 0 ) 0   0 Đáp số: có 2 tiếp tuyến thoả đề là y = −x − 1 và y = −x + 3 Câu c: Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và d:. ⇔. −1. x −3 = −x + m ⇔ x 2 − (m + 3)x + 2m + 3 = 0 (*) 2−x (C ) và d cắt nhau tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0 ⇔ m 2 − 2m − 3 > 0 ⇔ m ∈ (−∞; −1) ∪ (3; +∞) Vậy với m ∈ (−∞; −1) ∪ (3; +∞) thì đồ thị (C ) và đường thẳng d : y = −x + m cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. Dương Phước Sang. - 15 Lop12.net. THPT Chu Văn An.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> 01688559752. www.VNMATH.com. BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ NHẤT BIẾN 2x + 1 x −1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số. b) Viết pttt với (C ) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng –3.. Bài 25 : Cho hàm số y =. c) Viết pttt với (C ) tại điểm trên (C ) có tung độ bằng. 7 2. d) Tìm m để d : y = m(x + 1) + 2 cắt (C ) tại 2 điểm phân biệt. 2x + 1 Bài 26 : Cho hàm số y = x +1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H ) của hàm số. b) Lập phương trình tiếp tuyến của (H ) biết tiếp tuyến song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. c) Viết pttt với (H ) tại điểm trên (H ) có hoành độ bằng −3 . d) Tìm m để đường thẳng y = mx + 1 cắt (C ) tại 2 điểm phân biệt. 2x − 1 Bài 27 : Cho hàm số y = x −2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số. b) Viết pttt với (C ) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng − 3 4. c) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m đường thẳng y = x − m luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt. 3 Bài 28 : Cho hàm số y = 2 + x −1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số. b) Viết pttt với đồ thị (C ) tại giao điểm của (C ) với trục hoành. c) Tìm m để đường thẳng d :y = m − x cắt (C ) tại 2 điểm phân biệt x +2 Bài 29 : Cho hàm số y = có đồ thị (C ) . x −3 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số. b) Viết pttt với (C ) tại điểm trên (C ) có hoành độ bằng 1. c) Viết pttt với (C ) tại điểm trên (C ) có tung độ bằng − 3 2. d) Viết pttt với (C ) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng. −5 4. e) Xác định toạ độ giao điểm của (C ) và y = −3x + 2 Tài liệu tham khảo. - 16 Lop12.net. Ôn tập tốt nghiệp môn Toán.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> www.VNMATH.com 2 có đồ thị là (C ) . x +1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) tại các giao điểm của (C ) với đường thẳng d : y = 2x − 1 c) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;2] d) Viết pttt của (C ) biết tiếp tuyến song song với y = − 1 x + 3. Bài 30 : Cho hàm số y =. 2. 2. e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C ) trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2. 1−x có đồ thị (C ) . Bài 31 : Cho hàm số y = x +1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b) Tìm điểm M trên trục hoành mà tiếp tuyến của (C ) đi qua điểm M song song với đường thẳng d : y = –2x −2x Bài 32 : Cho hàm số y = x +1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số. b) Viết pttt với (C ) tại giao điểm của (C ) với d : y = 2x − 3 . c) Viết pttt của (C ) vuông góc với đường thẳng y = 1 x + 2012 2. d) Tìm m để đường thẳng d: y = mx + 2 cắt cả hai nhánh của (C ) . 2x − 3 Bài 33 : Cho hàm số y = 1−x a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số. b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C ) , Ox và x = 2 . c) Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng y = −x + 3 đồng thời tiếp xúc với đồ thị (C ) 3x + 4 Bài 34 : Cho hàm số y = x −1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số. b) Viết pttt với (C ) tại giao điểm của (C ) với trục tung. c) Viết pttt với (C ) tại các giao điểm của (C ) với d : y = −2x − 4 d) Tìm a để đường thẳng ∆:y = ax + 3 đồ thị (C ) không giao nhau e) Tìm tất cả các điểm trên (C ) có toạ độ đều là các số nguyên. Dương Phước Sang. - 17 Lop12.net. THPT Chu Văn An.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> 01688559752. www.VNMATH.com. 3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a;b] 1 Hàm số y = f (x ) liên tục trên đoạn [a;b]. 2 Tính y ′ = f ′(x ) . 3 Cho y ′ = 0 để tìm các nghiệm x i ∈ [a; b ] (nếu có) và các số. x j ∈ [a; b ] làm cho y ′ không xác định (nhớ loại các số x l ∉ [a; b ] ) 4 Tính các giá trị f (x i ) , f (x j ) và f (a ), f (b) (không được tính f của các x l đã bị loại) 5 Chọn kết quả lớn nhất và kết quả nhỏ nhất từ bước 4 để kết luận về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a;b]. 4. Điều kiện để hàm số có cực trị (tóm tắt)  f ′(x ) = 0  0 Nếu  thì hàm số y = f (x ) đạt cực đại tại x 0  ′′  f x ( )<0 0     f ′(x 0 ) = 0 Nếu  thì hàm số y = f (x ) đạt cực tiểu tại x 0  ′′  f (x 0 ) > 0   Hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d có cực đại, cực tiểu ⇔ ∆y ′ > 0 Hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có cực đại, cực tiểu ⇔ a.b < 0. 5. Điều kiện để hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định Hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d đồng biến trên ℝ   ∆y ′ ≤ 0 ⇔ y ′ ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔   a>0   Hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d nghịch biến trên ℝ   ∆y ′ ≤ 0 ⇔ y ′ ≤ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔   a <0   ax + b Hàm số y = đồng biến trên từng khoảng xác định cx + d ⇔ y ′ > 0, ∀x ∈ D ⇔ ad − cb > 0 (không có dấu “=”) ax + b nghịch biến trên từng khoảng xác định Hàm số y = cx + d ⇔ y ′ < 0, ∀x ∈ D ⇔ ad − cb < 0 (không có dấu “=”) Tài liệu tham khảo. - 18 Lop12.net. Ôn tập tốt nghiệp môn Toán.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>