LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP 8

LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TỐN LỚP
ƠN TẬP LÍ THUYẾT
Các cơng thức lũy thừa:

an = a.a...a
123

n thua so

1.
2.

7.
8.

3.

1

m
n

an

a m = (n a ) m = a n

9.

am.an = am+ n

n k

a = nk a

10.
m

a

n

5.

(am)n = (an)m = am.n

a0 = 1 ∀a ≠ 0
a− n =

4.

a
an
( )n =
b
bn

a

−

m− n

=a

a

m
n =

11.
n

n

n

6. (a.b) = a .b

n

12.

1
m
an

=

1
n m

a


a, voi n = 2k + 1
a =
 a voi n = 2k

n

Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ:
(A+B)2 = A2+2AB+B2
(A-B)2 = A2-2AB+B2
A2-B2 = (A+B)(A-B)
(A+B)3= A3+3A2B+3AB2 +B3
(A+B)3= A3+B3 +3AB(A+B)
(A-B)3= A3-3A2B+3AB2 -B3
(A-B)3= A3-B3 -3AB(A-B)
A3+B3= (A+B)(A2-AB+B2)
A3-B3= (A-B)(A2+AB+B2)
2
2
2
2
(a1+a2+a3+..+an-1+an)2 = a1 + a2 + a3 + ... + an + 2a1a2 + 2a1a3 + .... + 2a1an + 2a2a3.... + an−1an
an + bn =(a+b)(an-1 – an-2 .b + an-3.b2+..+ bn-1)

ĐƠN THỨC-ĐA THỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN:

- Đơn thức: là biểu thức chỉ gồm một số, một biến hoặc tích các số và các biến: VD: 3; 3xy; …
- Bậc của đơn thức là tổng số mũ của các biến: VD: 3xy2z3: bậc 6 .

- Đơn thức đồng dạng: là đơn thức giống nhau phần biến nhưng khác hệ số.
1


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP
- Đa thức: là tổng các đơn thức, bậc của đa thức là bậc của đơn thức cao nhất.
DẠNG 1: CÁC PHÉP TOÁN CỘNG TRỪ, NHÂN CHIA ĐA THỨC:
PP:

-

Cộng, trừ đơn thức ta cộng hệ số còn giữ nguyên phần biến.
Cộng trừ đa thức ta cộng các đơn thức đồng dạng với nhau.
Nhân(chia) hai đơn thức ta nhân (chia) phần hệ số cho hệ số, biến cho biến.
Nhân đơn thức với đa thức ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức.
Nhân hai đa thức: ta lấy từng hạng tử của đa thức này nhân với từng hạng tử của đa thức kia.
Chia hai đa thức ta xắp xếp theo lũy thừa giảm dần rôi thực hiện phép chia.
BÀI TẬP: NHÂN ĐA THỨC.
Bài 1: Thực hiện các phép tính sau:
(x2 – 1)(x2 + 2x)

(x + 3)(x2 + 3x – 5)

(2x − 1)(3x + 2)(3– x)

a)

b)
(x + 1)(x2 – x + 1)

c)
(2x3 − 3x − 1).(5x + 2)

(x2 − 2x + 3).(x − 4)

e)

d)

f)

Bài 2: Thực hiện các phép tính sau:
−2x3y(2x2 – 3y + 5yz)
a)

(x – 2y)(x2y2 − xy + 2y)
b)

2 2
x y.(3xy – x2 + y)
3

c)
2

(x – y)(x + xy + y )

2

(2x + 3y)

a)

f)

e)

( x 2 − 3).( x 4 + 3 x 2 + 9)
i)
Bài 4: Cho
a)

(2x + y )

(5x – y)

2

a+ b = S

A = a2 + b2

và

c)
2 2 1
 x −
2
3

d)

b)

 2 2  2 2
 x + y ÷.  x −
5 
5



y÷


3


y÷


(3x2 – 2y)3
g)

(x − 3y)(x2 + 3xy + 9y2)
h)

(2x – 1)(4x2 + 2x + 1)

(x + 2y + z)(x + 2y – z)

k)

ab = P

f)

2 3

b)
1

x+ ÷
4


1
 3
 xy – 1÷.(x – 2x – 6)
2


2

d)
e)
Bài 3: Thực hiện phép tính bằng cách sử dụng hằng đẳng thức:
2

2
xy(x2y – 5x + 10y)
5

l)
. Hãy biểu diễn theo S và P, các biểu thức sau đây:
B = a3 + b3

c)

2

C = a4 + b4

(5+ 3x)3
m)


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP
Bài 5: Cho a+b+c=0, Chứng minh M=N=P
M=a(a+b)(a+c); N=b(b+a)(b+c); P=c(c+a)(c+b)
Bài 6: Số a gồm 31 chữ số 1, số b gồm 28 chữ số 1, chứng minh a.b-1 chia hết cho 3
Bài 7: Số 350+1 có phải là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp khơng
Bài 8:Thực hiện phép tính:
(−2)5 :(−2)3

(− y)7 :(− y)3

a)

x12 :(− x10)

b)
(2x6) :(2x)3

c)
(−3x)5 :(−3x)2

d)
Bài 9: Thực hiện phép tính:

(xy2)4 :(xy2)2

e)

f)

(x + 2)9 :(x + 2)6

(x2 + 2x + 4)5 :(x2 + 2x + 4)
b) (x-y)4: (x-y)3

a)

1
2(x2 + 1)3 : (x2 + 1)
3

5
5(x − y)5 : (x − y)2
6

6xy2 :3y

6x2y3 : 2xy2

d)
e)
Bài 10: Thực hiện phép tính:
a)

8x2y : 2xy

b)
5x2y5 : xy3

c)
(−4x4y3) : 2x2y

d)

g)

c)

e)
3 3 3  1 2 2
x y : − x y ÷
4
 2


xy3z4 :(−2xz3)
f)

9x2y4z :12xy3

(2x3y)(3xy2) : 2x3y2

h)

i)

(3a2b)3(ab3)2

(2xy2)3(3x2y)2

(a2b2)4

(2x3y2)2

k)
l)
Bài 11:Thực hiện phép tính:
(2x3 − x2 + 5x) : x

(3x4 − 2x3 + x2):(−2x)

a)

b)
 1 
(x3 – 2x2y + 3xy2):  − x÷
 2 

d)
Bài 12:Thực hiện phép tính:
5 2

3 3

2 4

e)

c)

3(x − y)5 − 2(x − y)4 + 3(x − y)2  : 5(x − y)2

2 2

(3x y + 4x y − 5x y ) : 2x y
a)

(−2x5 + 3x2 – 4x3) : 2x2

b)

 3 6 3 3 3 4 9 5 3 3
 a x + a x − ax ÷: ax
7
10
5
 5

3


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP
(9x2y3 − 15x4y4) :3x2y − (2 − 3x2y)y2
c)

(6x2 − xy) : x + (2x3y + 3xy2): xy − (2x − 1)x
d)

e) (x2-xy):x + (6x2y5-9x3y4+15x4y3): x2y3
Bài 13: Thực hiện phép tính:
(x3 – 3x2) :(x – 3)
a)

(2x2 + 2x − 4) :(x + 2)
b)

(x4 – x – 14) :(x – 2)
c)

(x3 − 3x2 + x − 3) :(x − 3)
d)

(x3 + x2 – 12) :(x – 2)
e)

(2x3 − 5x2 + 6x – 15) :(2x – 5)
f)

(−3x3 + 5x2 − 9x + 15) :(5− 3x)
g)
Bài 14: Thực hiện phép tính:

(− x2 + 6x3 − 26x + 21) :(2x − 3)
h)

(2x4 − 5x2 + x3 − 3− 3x) :(x2 − 3)
a)

(x5 + x3 + x2 + 1) :(x3 + 1)
b)

(2x3 + 5x2 – 2x + 3) :(2x2 – x + 1)
c)

(8x − 8x3 − 10x2 + 3x4 − 5) :(3x2 − 2x + 1)
d)

(− x3 + 2x4 − 4 − x2 + 7x) :(x2 + x − 1)
e)
Bài 15: Thực hiện phép tính:
(5x2 + 9xy − 2y2) :(x + 2y)

(x4 − x3y + x2y2 − xy3) :(x2 + y2)

a)

b)

(4x5 + 3xy4 − y5 + 2x4y − 6x3y2) :(2x3 + y3 − 2xy2)

c)
Bài 16: Thực hiện phép tính:

(2a3 + 7ab2 − 7a2b − 2b3) :(2a − b)
d)

(2x + 4y)2 :(x + 2y) − (9x3 − 12x2 − 3x) :(−3x) − 3(x2 + 3)
a)
(13x2y2 − 5x4 + 6y4 − 13x3y − 13xy3) :(2y2 − x2 − 3xy)
b)
Bài 17: Cho x,y nguyên:
a) Cho 5x+y 19. Chứng minh rằng A=4x-3y 19.
b) Cho 4x+3y 13. Chứng minh rằng: B=7x+2y 13.
Bài 18:
a) Cho 4 số lẻ lien tiếp, Chứng minh rằng hiệu của tích hai số cuối với tích của hai số đầu chia
hết cho 16.

4


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP
b) Cho 4 số nguyên lien tiếp. Hỏi tích của số đầu với số cuối nhỏ hơn tích của hai số giữa bao
nhiêu đơn vị?
c) Cho 4 số nguyên liên tiếp, giả sử tích của số đầu với số thứ ba nhỏ hơn tích của số thứ hai và
số thứ tư là 99. Tìm bốn số ngun đó?
Bài 19: Cho b+c=10. Chứng minh (10a+b)(10a+c)=100a(a+1) +bc
Áp dụng: Tính 62.68; 43.47
Bài 20:

ĐÁP SỐ.
Bài 1:
a,( x2-1)(x2+2x)=x2(x2+2x)-1(x2+2x)=x4+2x3-x2-2x.
b, -6x3+17x2+5x-6.
c, x3+6x2+4x-15.
d, x3+1.
e, 10x4+4x3-15x2-11x-2.
f, x3-6x2+11x-12.
Bài 2:
a, -4x5y+6x3y2-10x3y2z.
b, x3y2-x2y+2xy-2x2y3+2xy2-4y2.
c, x3y2-2x2y+4xy2.
d, 2x3y2- x4y +x2y2.
e, x3-y3.
f, x4y-x2y-3xy-x3+2x+6.
Bài 3:
a, 4x2+12xy+9y2.
b, 25x2-10xy+y2.
c, 8x3+12x2y2+6xy4+y6.
d, x4 - y2.
e, x2+ x+.
f, x6 - x4y + x2y2 - y3.
g, 27x6-54x4y+36x2y2-8y3. h, x3-27y3. i, x6-27. k, x2+4y2-z2+4xy.
l, 8x3-1. m, 125+225x+135x2+27x3
Bài 4:
a, a2+b2= (a2+2ab+b2)-2ab=(a+b)2-2ab=S2-2P.
b, a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=S(S2-2P-P)=S3-3PS. ( thay a2+b2=S2-2P).
c, a4+b4= a4+2a2b2+b4-2a2b2=(a2+b2)2-2a2b2=(S2-2P)2-2S2.
Bài 5:
Vì a+b+c=0 nên a+b=-c; a+c=-b; b+c=-a. Ta có:

M=a.(-c)(-b)=abc; N=b(-c)(-a)=abc; P=c(-b)(-a)=abc. Vậy M=N=P.
Bài 6:
a chia 3 dư 1 nên a=3m+1, b chia 3 dư 1 nên b=3n+1. Suy ra:
a.b-2=(3m+1)(3n+1)-1=9mn+3n+3m+1-1=9mn+3n+3m chia hết cho 3. đpcm
Bài 7:
số trên chia 3 dư 1 nên khơng là tích 2 số liên tiếp
Bài 8:
a, (-2)2=4 b, y4 c, -x2 d, x3 e, (-3x)3 f,( xy2)2=x2y4
Bài 9:
a, (x+2)3 b, x-y c, (x2+2x+4)4 d, 6(x2+1)2 e, 6(x-y)3.
Bài 10:

5


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP
a, 2xy b, 3xy c, 4x d, 5xy2 e, -2x2y2 f, -1/2y3z g, -3/2xy h, 3/4xyz i, 3xy
Bài 11:
a, 2x2-x+5 b, -3/2.x3+x2-1/2.x c, -x3+3/2-2x
d, -2x2+4xy-6y2 e, 3/5.(x-y)3-2/5.(x-y)2+3/5.
Bài 12:
a, 3/2.x3+2xy-5/2.y2 b, a5+5/7.a2x-3/2.x2 c, y2-2x2y3 d, 7x+2y e, x-y+4y2-6xy+10x2
Bài 13:
a, x2 b, 2(x-1) c, x3+2x2+4x+7 d, x2+1 e, x2+3x+6 f, x2+3 g, x2+3 h, 3x2+4x-7.
Bài 14:
Các em xắp xếp lại đa thức bị chia theo lũy thừa giảm dần rồi thực hiện phép chia hoặc dùng
phương pháp phân tích thành nhân tử:
a, 2x2+x+1 b, x2+1 c, x+3 d, x2-2x-5 e, 2x2-3x+4
Bài 15:
Các em dùng phép chia hoặc phân tích đa thức thành nhân tử:

a, 5x-y b, x2-xy c, 2x2+xy-y2 d, a2-3ab+2b2
Bài 16:
a, 4(x+2y)-(-3x2+4x-1)-3x2-9=8y-8 b, 5x2-2xy+3y2
Bài 17:
a, Vì 5x+y 19 nên 3(5x + y) 19 . Ta có: 19x 19 nên 19x-3(5x+y) 19 hay 4x-3y 19.
b, Ta có: 3B-2(4x+3y)=13x 13 mà 2(4x+3y) 13 nên 3B 13. Mà ƯC(3;13)=1 nên B 13.
Bài 18:
a, Gọi 4 số lẻ là 2n+1; 2n+3; 2n+5; 2n+7. Ta có: hiệu của tích hai số cuối với tích của hai số
đầu là: (2n+7)(2n+5)-(2n+1)(2n+3)=(4n2+24n+35)-(4n2+8n+3)=16n+32 16 đpcm
b, Gọi 4 số nguyên liên tiếp là n, n+1, n+2, n+3. Ta có: (n+1)(n+2)-n(n+3)=2. Vậy tích của số
đầu với số cuối nhỏ hơn tích của hai số giữa là 2 đơn vị.
c, Tương tự câu c, ta có: (n+1)(n+3)-n(n+2)=99 suy ra 2n+3=99, n=48
Bài 19:
Ta có: (10a+b)(10a+c)=100a2+10a(b+c)+bc= 100a2+100a+bc=100a(a+1) +bc
Áp dụng:
62.68=(10.6+2)(10.6+8)=100.6(6+1)+2.8=4200+16=4218;
43.47=(10.4+3)(10.4+7)=…….

DẠNG 2 : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC:
PP:

- Ta rút gọn biểu thức, sau đó thay các giá trị x vào biểu thức rút gọn
6


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP
- Chú ý các bài tốn có quy luật: để tính giá trị của biểu thức tại x=a ta thường phân tích các
thừa số để suất hiện các tích (x-a).
BÀI TẬP:
Bài 1: Thực hiện các phép tính, sau đó tính giá trị biểu thức:

A = (x − 2)( x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16)
a)

với

x= 3

B = (x + 1)(x7 − x6 + x5 − x4 + x3 − x2 + x − 1)
b)

với
C = (x + 1)( x6 − x5 + x4 − x3 + x2 − x + 1)

c)

với
D = 2x(10x2 − 5x − 2) − 5x(4x2 − 2x − 1)
với

d)

x= 2

.

x= 2

.

.

x = −5

.

HD:
a, Thực hiện phép nhân đa thức rồi rút gọn ta được: A=x5-32 nên A(3)=35-32=211.
Tương tự:
b, B=x8-1 nên B(2)=255.

c, C=x7+1 nên C(2)=129

d, D= x nên D(-5)=-5.

Bài 2: Thực hiện các phép tính, sau đó tính giá trị biểu thức:
3

2

2

x = 2, y = −

3

A = (x − x y + xy − y )(x + y)
a)

với
B = (a − b)(a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4)

b)

1
2

.

a = 3, b = −2

với

.

C = (x2 − 2xy + 2y2)(x2 + y2) + 2x3y − 3x2y2 + 2xy3
với
c)
HD: Thực hiện phép nhân đa thức rồi rút gọn ta được:
a, A=x4-y4 . Thay x=2; y=-1/2 ta được A=255/16.
b, B=a5-b5 nên B=275.
c, C=x4+2y4 nên C=3/16.
Bài 3: Tính giá trị của đa thức:

7

1
1
x = − ,y = −
2
2

.


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP
P (x) = x7 − 80x6 + 80x5 − 80x4 + ... + 80x + 15
a)

với
Q(x) = x14 − 10x13 + 10x12 − 10x11 + ... + 10x2 − 10x + 10

b)

với
R(x) = x4 − 17x3 + 17x2 − 17x + 20

c)

với

P(79) = 94

x = 79

HD:

x= 9

Q(9) = 1

HD:

x = 16

S(x) = x10 − 13x9 + 13x8 − 13x7 + ... + 13x2 − 13x + 10
với

d)

x = 12

e) L(x)=x6-20x5-20x4-20x3-20x+3 với x=21
HD:
a, P(x)=x7-79x6-x6+79x5+x5….+79x+x+15=x6(x-79)-x5(x-79)…..-x(x-79)+x+15
P(79)=79+15=94.
b, Q(x)=x14-9x13-x13+9x12+x12….-9x-x+10=x13(x-9) – x12(x-9)……+x(x-9) – x+10
Q(9)=-9+10=1.
c, R(x)=x3(x-16)-x2(x-16)+x(x-16)-x+20 nên R(16)=-16+20=4.
d, S(x)=x9(x-12)-x8(x-12)…..+x(x-12) – x +10 nên S(12)= -12+10=-2.
e, L(x)=x6-21x5+x5-21x4+x4…+x2-21x +x+3=x5(x-21)+x4(x-21)….+x(x-21)+x+3
nên L(21)=21+3=24.
Bài 4: Tính giá trị biểu thức bằng cách vận dụng hằng đẳng thức:
A = x3 + 3x2 + 3x + 6

x = 19

B = x3 − 3x2 + 3x

a)
với

b)
HD:
a) A=(x+1)3+5 nên A(19)=(19+1)3+5=8005
b) B=(x3-3x2+3x-1)+1=(x-1)3+1 nên B(11)=(11-1)3+1=1001
Bài 5: Cho x+y=9 ; xy=14. Tính:
2

2

3

với

x = 11

3

a) x-y ;
b) x +y ;
c)x +y .
HD:
a, Đặt P=x-y suy ra P2=(x-y)2=x2+y2-2xy=(x2+2xy+y2)-4xy=(x+y)2-4xy=92-4.14=25 nên P= 5 hoặc
P=-5
2
b, x +y2=(x2+2xy+y2)-2xy=(x+y)2-2xy=92-2.14=53.
c, x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)=9(53-14)= 351
Bài 6: Cho x>y>0; x-y=7; x.y=60. Khơng tính x,y hãy tính giá trị biểu thức sau:
A=x2-y2
B=x4-y4
HD:

Ta có: (x+y)2=(x-y)2+4xy=72+4.60=289

8


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP
nên x+y=17 hoặc x+y=-17.
A=(x-y)(x+y). Với x-y=7 và x+y=17 thì A=119.
Với x-y=7 và x+y=-17 thì A=-119.
B=(x2-y2)( x2+y2).
Ta có: x2+y2=(x+y)2-2xy=289-2.60=169
Với x2-y2=119 và x2+y2=169 thì B=20111
Với x2-y2=-119 và x2+y2=169 thì B=-20111
Bài 6: Tính giá trị:
A= x3+9x2+27x+27 tại x=-103.
B= x3-15x2+75x tại x=25.
C= (x+1)(x-1)(x2-x+1)(x2+x+1) tại x=-3.
D=2(x3-y3)-3(x+y)2 với x-y=2.
HD:
A=(x+3)3 nên A(-103)=( -103+3)3=-1000000.
B=x3-3.x2.5+3.x.52-53 +75=(x-5)3+75 nên B(25)=(25-5)3+75=8075.
C=(x+1)(x2-x+1)(x-1)(x2+x+1)=(x3+1)(x3-1)=x6-1 nên C(-3)=(-3)6-1=728.
D=2(x-y)(x2+xy+y2)-3(x2+2xy+y2)=4(x2+xy+y2)-3(x2+2xy+y2)= x2-2xy+y2=(x-y)2=4
DẠNG 3: CÁC DẠNG BÀI TẬP TÌM NGHIỆM ĐA THỨC:
PP:

- Dùng các phân tích, đặt nhân tử chung đưa về các bài tốn tìm x cơ bản.
- Chú ý các bài trị tuyệt đối, căn, dạng tích, dạng tổng bình phương, các dạng phương trình
-

bậc 2, bậc 3 ..có thể nhẩm nghiệm rồi dùng phương pháp tách.
Nghiệm nguyên của đa thức ln là ước của số hạng tự do.

Ví dụ: Tìm các nghiệm nguyên của đa thức: f(x)=2x 4+7x3-2x2-13x+ 6 rồi phân tích đa thức thành
nhân tử.
Hạng tử tự do bằng 6; Ư(6)=+ ±1; ±2; ±3; ±6.
Có:f(-1)=2-7-2+13+6=12 ≠ 0 nên -1 không phải là nghiệm của đa thức này.
f(-2)=32-56-8+26+6=0 => -2 là nghiệm của đa thức này.
f(-3)=162-189-18+39+6=0 nên -3 là nghiệm của đa thức này.
f(1)=2+7-2-13+6=0 nên 1 là nghiệm của đa thức này.
f(2)=32+56-8-26+6=60 ≠ 0 nên 2 không phải là nghiệm của đa thức này.
f(3)=162+189-18-39+6=300 ≠ 0 nên 3 không phải là nghiệm của đa thức này.

9


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP
Đa thức có một nghiệm hữu tỷ nữa thì mẫu số của nó phải là ước của 2, Do đó có thể 1,2,-1,-2 sẽ

là mẫu số của nghiệm này. Nên

1 3 −1 −3
;
;
;
2 2
2
2

có thể là nghiệm của đa thức này.

1
2

1
1
1
1
1
f( ) = 2. + 7. − 2 − 13 + 6 = 0
2
16
8
2
2

Suy ra
là nghiệm của đa thức này.
Vì đa thức f(x) có bậc 4 nên nó có tối đa 4 nghiệm, suy ra các nghiệm của nó lần lượt là: 1;-2;-3;

1
2

.

*Theo định lý Bơdu ta có: f(x) chia hết cho x-2;x+2;x+3;x-

1
2

.

1
2

=>f(x)= 2(x-1)(x+2)(x+3)(x- )
Ví dụ : Tìm nghiệm của đa thức rồi phân tích đa thức thành nhân tử: f(x)=x3-6x2+11x-6
Hạng tử tự do:6

⇒

Ư(6)= ±1; ±2 ;+-3 ; ±6.

f(1)=1-6+11-6=0 => 1 là nghiệm của f(x)
f(2)=8-24+22-6=0 => 2 là nghiệm của f(x)
f(3)=27-54+33-6=0 => 3 là nghiệm của f(x)
Vì đa thức f(x) có bậc là 3 nên nó có tối đa 3 nghiệm, suy ra các nghiệm của nó là 1,2,3.
Theo định lý Bơdu ta có: f(x) chia hết cho x-1;x-2;x-3.

⇒

f(x)=x3-6x2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3).
BÀI TẬP: Tìm x

a)
b)
c)
d)
e)
f)

3x(12x-4)-9x(4x-3)=30
x(5-2x)+2x(x-1)=15
(12x-5)(4x-1)+(3x-7)(1-16x)=81
(x+2)2=9
(x+2)2-x2+4=0
(2x-1)2+(3y-9)2=0
HD:
a, x=2

b, x=3

c, x=1

d, x=1 hoặc x=-5

10


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP
e, x=-2

f,
DẠNG 4: TÌM THƯƠNG VÀ SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA.
PP: Ta kẻ cột, thực hiện phép chia.
Chú ý: Số dư của f(x) cho x-x0 là giá trị tại f(x0).
Bài 1:Tìm thương và số dư trong phép chia f(X) cho x-a
Đa thức
1. f(X) = x3 - 5x2 + 8x - 4
2. f(X) = x3 -9x2 – 35 x + 7

3. f(X) = x3 - 3,256 x + 7,321
4. f(X) = 60 x3 +209x2 + 86 x - 168
5. f(X) = x9 +1 cho
6.f(X) = x10 + x9 + x8 + x7 +.... + x3 + x 2
7. f(X) = 2x5 + 3x4 - 4 x3 - 5x 2 + 3x + 1
8.f(X) = 2x5 + 3x4 - 4 x3 - 5x 2 + 3x + 1
9.f(X) = x4 + 3 x3 - 2x 2 - x + 5
10.f(X) = x4 + 3 x3 - 2x 2 - x + 5

11.f(X) = 4x6 + 3x4 - 2 x3 + 7 x 2 - 11
12.f(X) = 7x5 - 12 x4 + 3 x3 - 5x -7,17
13.f(X) = 7x5 - 12 x4 + 3 x3 - 5x -7,17
14. F(x) = 3x3 + 17x – 625

Nhị thức
cho x – 2
cho x – 12
cho x – 1,1617
cho 5x + 12
x – 0,53241
cho x + 2,1345
2
cho x cho x - 2
cho x + 2
2
3
1+
5
Tính f(3+
)=

cho x+ 3,1226
cho x+ 7,1254
cho x-5
2
Tính F(2
)

Bài 2: Tìm số dư của phép chia sau:

a. (x21+x20+x19+101):(x+1)
b. (3x3+4x2-2x+7) : (x+2)
HD:
a, Đặt f(x)= x21+x20+x19+101. Tính f(-1)=100 suy ra số dư là 100.
b, Làm tương tự.
f (x)
g(x)
Bài 3: Thực hiện phép chia
cho
để tìm thương và dư:
f (x) = 4x3 − 3x2 + 1 g(x) = x2 + 2x − 1
a)
,
f (x) = 2 − 4x + 3x4 + 7x2 − 5x3 g(x) = 1+ x2 − x
b)
,

11

Kết quả

LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP
f (x) = 19x2 − 11x3 + 9 − 20x + 2x4 g(x) = 1+ x2 − 4x
c)
,
f (x) = 3x4y − x5 − 3x3y2 + x2y3 − x2y2 + 2xy3 − y4 g(x) = x3 − x2y + y2
d)
,
HD:
b, Thương: 3x2+7x+32, số dư: 117x-30
DẠNG 5: TỐN TÌM THAM SỐ a, b, c TRONG PHÉP CHIA.
Tìm điều kiện để f(x) chia hết g(x):
Cách 1: Thực hiện phép chia f(x) cho g(x) rồi cho số dư bằng khơng.
Cách 2: Tìm nghiệm g(x) là x1; x2….Để f(x) chia hết cho g(x) thì f(x1)=0 và f(x2)=0… từ đó
tìm được hệ số a,b,c…
Cách 3: Dùng phương pháp hệ số bất định.
a, b
f (x)
g(x)
Bài 1: Tìm
để đa thức
chia hết cho đa thức
, với:
f (x) = x4 − 9x3 + 21x2 + ax + b g(x) = x2 − x − 2
a)
,
f (x) = x4 − x3 + 6x2 − x + a g(x) = x2 − x + 5
b)
,
f (x) = 3x3 + 10x2 − 5 + a g(x) = 3x + 1

c)
,
f (x) = x3 – 3x + a g(x) = (x – 1)2
d)
,
HD:
a)Cách 1:Thực hiện phép chia f(x) cho g(x) ta được thương là x2-8x+15 và số dư là
(a-1)x+b+30: Để f(x) chia hết cho g(x) thì: (a-1)x+b+30=0 với mọi x suy ra: a-1=0 và b+30=0
hay a=1; b=-30.
Cách 2: g(x)=x2-x-2=(x+1)(x-2). Vì g(x) có nghiệm là x=-1; 2 nên để f(x) chia hết cho g(x) thì
a = 1, b = −30
f(-1)=0 và f(2)=0 =>
Cách 3:
BÀI TẬP:
Bài 1:Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f .
Biết P(1) = 1 , P(2) = 4 , P(3) = 9 , P(4) = 16 , P(5) = 25 .Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9)
Bài 2 : Cho Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q . Biết Q(1) = 5 , Q(2) = 7 , Q(3) = 9 ,
Q(4) = 11 . Tính các giá trị của Q(10) , Q(11) , Q(12) , Q(13)

12


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP
Bài 3 :Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Có P(1) = 0,5 ; P(2) = 2 ; P(3) = 4,5 ;
P(4) = 8. Tính P (2002), P(2003)
Bài 4 :Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 5; P(2) = 14; P(3) = 29; P(4) = 50. Hãy
tính P(5) , P(6) , P(7) , P (8)
Bài 5 : Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Có P(1) = 0 ; P(2) = 4 ; P(3) = 18 ;
P(4) = 48. Tính P (2002) và P (2007 )
Bài 6 : Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m .

a. Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003 .
b. Tìm giá trị của m để P(x) chia hết cho x – 2,5
c. P(x) có nghiệm x = 2 . Tìm m .
2 4
x − 2 x3 + 5x + 7
3

Bài 7 :Cho P(x) =
.
a)Tìm đa thức thương Q(x) khi chia P(x) cho x – 5.
b)Tìm số dư của phép chia P(x) cho x – 5 chính xác đến 3 chữ số thập phân
Bài 8 :Tìm số dư trong phép chia đa thức x5 – 7,834x3 + 7,581x2 – 4,568x + 3,194 cho
x – 2,652. Tìm hệ số của x2 trong đ a thức thương của phép chia trên.
Bài 9 :Khi chia đa thức P(x)= 2x4 + 8x3 – 7x2 + 8x – 12 cho x – 2 ta được thương là đa thức
Q(x) có bậc là 3. Hãy tìm hệ số của x2 trong Q(x)
Bài 10 : Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m . Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 3
Bài 11 : Tìm n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n chia hết cho x – 2 .Với n tìm được ở trên hãy
phân tích Q(x) ra tích của các thừa số bậc nhất.
Bài 12 : Cho P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m và Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n .

a. Tìm các giá trị của m và n để P(x) và Q(x) cùng chia hết cho x – 2 .
b. Với giá trị của m và n tìm được,chứng tỏ rằng R(x) = P(x) – Q(x) chỉ có một nghiệm duy
nhất

Bài 13 : Cho f(x) = x3 + ax2 + bx + c . Biết : f

1
 
 3

2
 
3

=

7
108

; f

 1
− 
 2

−

=

3
5

; f

1
 
5

=

89
500

. Tính

giá trị đúng và gần đúng của f
.
Bài 14 : Xác định các hệ số a, b, c của đa thức:P(x) = ax 3 + bx2 + cx – 2007 để sao cho P(x)
chia cho (x – 12) có số dư là 1, chia cho (x – 13) có số dư là là 2, và chia cho
(x – 14) có số dư là 3 (Kết quả lấy với hai chữ số ở hàng thập phân)
a) Xác định các hệ số a, b, c, d và tính giá trị của đa thức

13


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TỐN LỚP
b) Tính P (1,15);
P (1,25) ;
P (1,35)
; P (1,4)
4
3
2
Bài tập 15: cho đa thức P(x) = x + ax + bx + cx + d
a)Biết P(1) = 5; P(2) = 7; P(3) = 9; P(4) = 11. Hãy tính P(5) , P(6) , P(7) , P (8), P (9)

P( 5 ) − 2 P( 6 )
P( 7 )
b)Biết P(1) = 1; P(2) = 3; P(3) = 6; P(4) = 10. Hãy tính A=

Bài tập 16:Cho đa thức P(x) = 6x5 + a x 4 + bx3 + x2 + cx + 450 . Biết đa thức P(x) chia hết cho
nhị thức (x-2) ; (x- 3) ; (x – 5).Hãy tìm a ,b, c,và các nghiệm của P(x)
Bài tập 17:Cho đa thức P(x) =x5 + a x 4 + bx3+cx2 + dx + e . Biết P(1) = 2; P(2) =5;
P(3) = 10; P(4) = 17 ; P(5) = 26. Hãy tính P(7) ; P (8) ; P (9) ; P (10)
Bài tập 18:Cho đa thức P(x) =x5 + a x 4 + bx3+cx2 + dx + e . Biết P(1) = 1; P(2) =4; P(3) = 9;
P(4) = 16 ; P(5) = 25. Hãy tính
P (6) ; P(7) ; P (8) ; P (9) ; P (10); P(11)
4
Bài tập 19:Cho đa thức P(x) = x + mx3+ nx2 + px + q . Biết P(1) = 5; P(2) =7;
P(3) = 3; P(4) = 11 .Hãy tính
P (11)→ P(15)
5
Bài tập20Cho đa thức P(x) =x + a x 4 + bx3+cx2 + dx +132005 . Biết P(1) = 8; P(2) =11; P(3) =
14; P(4) = 17; P(5) = 25. Hãy tính P (11)→ P(15)
Bài tập 21:Cho đa thức P(x) = a x 3 + bx2+cx -2008. Tìm a ,b c biết P(x)chia cho (x-25) thì dư
29542 và khi chia cho (x2-12x+ 25) dư 431 x – 2933
Bài tập 22:Cho đa thức P(x) =x4 - 2 x 3+ 5x2 + (m-3) x + 2 m - 5 .Tìm m=? biết P(-2,5) =0,49
Bài tập 23:Cho đa thức P(x) = x 3 + bx2+cx +d . Biết P(1)= P(2) =-15; P(3)= 9

a. Xác định các hệ số b;c ;d
b. Tìm số dư R 1 khi chia P(x) cho (x-4 )
c. Tìm số dư R 2 khi chia P(x) cho (2x+ 3 )
Bài tập 24:Cho đa thức P(x) = x 3 +bx2+cx +d . Biết P(1)= -25; P(2) = -21 ; P(-3)= -41
a)Xác định các hệ số b;c ;d
b)Tìm số dư R 1 khi chia P(x) cho (x +4 )
c)Tìm số dư R 2 khi chia P(x) cho (5x+ 7 )
d) Tìm số dư R 3 khi chia P(x) cho (5x+ 7 )(x+4)
Bài tập 25:Cho đa thức P(x) = a x 3+ bx2+cx -2007.Tìm a ,b c biết P(x) chia cho (x-3) thì dư
− 27381
16

− 16111
16

; khi chia cho(x-7) thì dư
và khi chia cho(x-7) thì dư 29938
5
4
3
Bài tập 26:Cho đa thức P(x) =x + ax + b x + cx2 +d x +2043 . Biết P(1) = 5; P(2) =7; P(3) =
9; P(4) = 11 .Hãy tính
P (10)→ P(13)
Bài tập 27:Cho đa thức P(x) =x5 + 2x4 -3 x 3 + 4x2 - 5 x +m .

14


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TỐN LỚP
a. Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x-2,5 khi m = 2003
b. Tìm m để P(x) chia hết cho x -2,5
c. P(x) có nghiệm là x=2 . Khi đó hãy tìm m?
2
3

2
Bài tập 28:Cho đa thức P(x) = x4 x 3 + 5 x +7
a)Tìm thương Q(x) trong phép chia P(x) cho x-5.
b)Tìm số dư R trong phép chia P(x) cho x-5( Kết quả lấy chính xác 3 cstp)
Bài tập 29:Cho đa thức P(x) = 22x3 + 2x -2008 .
2

a)Tính P(14
)=?
b)Tìm m =? để P(x) + m3 chia hết cho x-5
Bài 29 :Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c Biết rằng: P(1945) = 1945 ; P(1954) = 1954 ;
P(1975) = 1975. a) Tính P(2005).
b) Q(x) = P(x) + m. Tìm giá trị của m để đa thức Q(x) chia hết cho (x - 2005,05)
Bài 30. Cho đa thức P(x) = x10 + x8 – 7,589x4 + 3,58x3 + 65x + m.
a. Tìm điều kiện m để P(x) có nghiệm là 0,3648
b. Với m vừa tìm được, tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức (x -23,55)
c. Với m vừa tìm được hãy điền vào bảng sau (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).
X

-2,53

5

4,72149

1
34

3

6,15

5

6+ 7 7

P(x)

Bài 31: Tìm a để đa thức

x 4 − x3 + 6x 2 − x + a

chia hết cho đa thức

x2 − x + 5

x 4 + 2 x 3 − 3x 2 + ax + b

.

x 2 + 3x − 1

Bài 32: Tìm a, b để đa thức
chia hết cho đa thức
.
Bài 33: Tìm đa thức bậc ba f(x) biết f(x) chia hết cho 2x – 1 và khi chia cho các đa thức x – 1, x
+ 1, x – 2 đều có số dư là 7.
Bài 34: Tìm giá trị của m để đa thức P(x)=
Bài 35:

a) Tìm n để đa thức

x 4 − x3 + 6x 2 − x + n
3x + 10 x − 5 + n
3

b) Tìm n để đa thức

x 3 − ( 3m + 1) x 2 + mx − 2

chia hết cho đa thức

2

chia hết cho đa thức

15

chia hết cho Q(x)=
x2 − x + 5

3x + 1

.

.

2x − 1

.


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TỐN LỚP
c) Tìm tất cả các số nguyên n để
Bài 36: Chứng minh B=

2n 2 + n − 7

x 3 + 6 x 2 − 19 x − 24

chia hết cho

n−2

.

chia hết cho 6 với mọi x là số tự nhiên.

DẠNG 6: TÌM MSC, QUY ĐỒNG VÀ THỰC HIỆN CÁC PHÉP TOÁN TRÊN PHÂN THỨC

- Tìm điều kiện xác định phân thức.
- Phân tích từng mẫu số để tìm được MSC.
- Nhân vào các phân thức thừa số phụ, đưa về mẫu số chung rồi thực hiện phép tính.
Bài 1.

a)

Thực hiện phép tính:

x − 5 1− x
+
5
5

b)

5xy2 − x2y 4xy2 + x2y
+
3xy
3xy

d)

e)

x − y 2y
+
8
8
x+ 1 x−1 x+ 3
+
+
a− b a− b a− b

x2 − x 1− 4x
+
xy
xy

c)
5 xy − 4 y
2

2x y

3

+

3 xy + 4 y
2 x2 y3

f)

2x2 − xy xy + y2 2y2 − x2
+
+
x− y
y− x
x− y

g)
HD:
a,
b,

c,

g, .
Bài 2.

Thực hiện phép tính:

a)

d)

g)

d, 3y

e,

f,

2x + 4 2 − x
+
10
15
1 − 2x
2x
1
+
+
2x
2x − 1 2x − 4x 2

b)

3x 2x − 1 2 − x
+
+
10
15
20
x

2

xy − y

+

c)

2x − y
xy − x2

e)

f)
2
1
−3x
+
+
x + y x − y x2 − y2

2x2 − 10xy 5y − x x + 2y
+
+
2xy
y
x

x+1
x2 + 3

+
2x − 2 2 − 2x2

h)

x+ y+

i)

HD:

16

x2 + y2
x+ y


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP
a, ; b, ;
c,.
d, .
e,
f, .
g, .
h, .
i, .
Bài 3.
Thực hiện phép tính:
1
3xy

x− y
+
+
3
3
2
x − y y − x x + xy + y2

2x
y
4
+
+ 2
2
x + 2 xy xy − 2 y
x − 4 y2
2

a)

b)
2x + y
2

2x − xy

+

16x
2

2

y − 4x

+

2x − y
2

2x + xy

c)
HD:
a,.
b,
c,
d, ( + + + + = + + + +
= + + += + + +…=

d)

1
1
2
4
8
16
+
+

+
+
+
2
4
8
1− x 1+ x 1+ x 1+ x 1+ x 1+ x16

Bài 3. Thực hiện phép tính:

a)

1− 3x x + 3
−
2
2

b)

xy
x2 − 1
−
2x − y y − 2x

d)
HD:
a, -2x-1
Bài 4.

2(x + y)(x − y) −2y2

−
x
x

3x + 1 2x − 3
−
x+ y x+ y

c)

4x −1 7x −1
−
3x 2 y
3x2 y
e)

b, 2x
e, -1/(xy)

c, (x+4)/(x+y)

d, (xy+x2-1)/(2x-y)

Thực hiện phép tính:

17


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP

a)

d)

4x + 1 3x + 2
−
2
3
1
4
−10x + 8
−
−
3x − 2 3x + 2 9x2 − 4
4a2 − 3a + 5

g)

k)

b)

x+ 3
x
9
−
+
2
x
x − 3 x − 3x

a3 − 1

3x + 2
6
3x − 2
− 2
− 2
2
x − 2x + 1 x − 1 x + 2x + 1

c)

2

x −1 x + x
3x
x
−
5x + 5y 10x − 10y

+

f)
x + 9y

−

x2 − 9y2

h)

l)

1

−

5x2 − y2 3x − 2y
−
xy
y

1− 2a

6
−
−
2
a + a+ 1 a−1

2

2x − 1 2
−
2x2 + 2x x2 − 1 x
3

e)

x+ 3

3y
x2 + 3xy

i)
3
x−6
−
2x + 6 2x2 + 6x

x2 + 1−

m)

x4 + 1
x2 + 1

5
10
15
−
−
a + 1 a − (a2 + 1) a3 + 1
n)

Bài 5.

Thực hiện phép tính:
2x2

.3xy2
y

1 6x
.
x y

a)

d)

b)
2x2 y
.
x − y 5x3

x2 − 9y2

g)
HD:
Bài 6.

a)

x2y2

.

e)

c)
5 x + 10 4 − 2 x
.
4x − 8 x + 2

f)

3x2 − 3y2 15x2y
.
5xy
2y − 2x

3xy
2x − 6y
h)

i)

x 2 − 36 3
.
2 x + 10 6 − x
2a3 − 2b3
6a + 6b
.
2
3a + 3b a − 2ab + b2

Thực hiện phép tính:
2x 5
:

3 6x2

b)

x2 − y2 x + y
:
6x2y 3xy
d)

15 x 2 y 2
.
7 y3 x2

e)

 18x2y5 
16x2y2 :  −
÷
5 

a2 + ab
a+ b
:
b − a 2a2 − 2b2

18

c)

25x3y5

:15xy2
3
x + y x2 + xy
:
y − x 3x2 − 3y2

f)


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP

g)

k)

1 − 4 x2 2 − 4x
:
x 2 + 4 x 3x
4 x − 24
x 2 − 36
: 2
5x + 5 x + 2 x + 1

Bài 7.

a)

c)

h)

l)

3 x + 21 x 2 − 49
:
5x + 5 x 2 + 2x + 1

i)

6 x + 48 x 2 − 64
:
7x − 7 x 2 − 2x + 1
3 − 3x 6 x 2 − 6
:
x +1
(1 + x ) 2

m)

Thực hiện phép tính:
2− x 1
 1

−
 2
÷:  + x − 2 ÷
 x + x x +1   x


2 x  6 x 2 + 10 x

 3x
+

:
2
 1 − 3 x 3x + 1  1 − 6 x + 9 x

b)

1   x−3
x 
 9
+
−
 3
: 2

 x − 9 x x + 3   x + 3x 3x + 9 

Bài 8.

x +1  x + 2 x + 3 
:
:
÷
x + 2  x + 3 x +1 

d)

Rút gọn các biểu thức sau:

1 1
+
x y
1 1
−
x y

a)

b)
2
x+ 1
x2 − 2

1−

x2 − 1

x
x−1
−
x+1
x
x
x+ 1
−
x−1
x
x
+

y
x− y
+
x+ y

1−

d)

5 x − 15
x 2 −9
: 2
4x + 4 x + 2x + 1

x

1−
1−
c)

y
x
x+ y
x− y

e)

f)

x

x+ 1

a− x
x
+
a
a− x
a+ x
x
−
a
a+ x

DẠNG 7: TÌM X NGUYÊN ĐỂ BIỂU THỨC F(x)/G(x) NGUYÊN.
Cách 1: Phân tích tử số theo mẫu số:
Cách 2: Thực hiện phép chia F(x) cho G(x) rồi viết biểu thức dưới dạng:
. Để

Bài 9.

a)

d)

là số nguyên thì a G(x) từ đó tìm được x.
Tìm các giá trị ngun của biến số x để biểu thức đã cho cũng có giá trị nguyên:

x3 − x2 + 2
x−1
3x3 − 7x2 + 11x − 1

3x − 1

b)

x3 − 2x2 + 4
x− 2

c)

x4 − 16

e)

x4 − 4x3 + 8x2 − 16x + 16

19

2x3 + x2 + 2x + 2
2x + 1


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP
HD:

x3 − x2 + 2
x−1
a, Cách 1: Để
Có giá trị ngun thì : x3-x2+2

Bài 10.

* Tính các tổng:

A=

a
b
c
+
+
(a − b)(a − c) (b − a)(b − c) (c − a)(c − b)

B=

a2
b2
c2
+
+
(a − b)(a − c) (b − a)(b − c) (c − a)(c − b)

a)

b)

Bài 11.
A=

* Tính các tổng:
1

1
1
1
+
+
+ ... +
1.2 2.3 3.4
n(n + 1)

1
1
1
= −
k(k + 1) k k + 1

a)

HD:
B=

1
1 1
1 
1
=  +
÷−
k(k + 1)(k + 2) 2  k k + 2  k + 1

1
1

1
1
+
+
+ ... +
1.2.3 2.3.4 3.4.5
n(n + 1)(n + 2)

b)

HD:

Bài 12.

* Chứng minh rằng với mọi

m∈ N

, ta có:

4
1
1
=
+
4m+ 2 m+ 1 (m+ 1)(2m+ 1)

a)
4
1

1
1
=
+
+
4m+ 3 m+ 2 (m+ 1)(m+ 2) (m+ 1)(4m+ 3)

b)
4
1
1
1
=
+
+
8m+ 5 2(m+ 1) 2(m+ 1)(3m+ 2) 2(3m+ 2)(8m+ 5)

c)
4
1
1
1
=
+
+
3m+ 2 m+ 1 3m+ 2 (m+ 1)(3m+ 2)

d)
DẠNG 7: TÌM ĐA THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH

20


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP

PP: Đồng nhất hệ số của phần biến ở hai vế của đẳng thức.
f (x)

Bài 1.

Cho biết đa thức

g(x)

chia hết cho đa thức

f (x) = x3 − 5x2 + 11x − 10 g(x) = x − 2
a)
,

. Tìm đa thức thương:
q(x) = x2 − 3x + 5
HD:

f (x) = 3x3 − 7x2 + 4x − 4 g(x) = x − 2
b)
,

q(x) = 3x2 − x + 2
HD:

P (x) = x4 − x3 − 2x − 4

Bài 2.

Phân tích đa thức
x2 + dx + 2

thành nhân tử, biết rằng một nhân tử có dạng:

.

P (x) = (x2 − x + 2)(x2 − 2)
HD:

Bài 3.

.
Với giá trị nào của a và b thì đa thức

x3 + ax2 + 2x + b

x2 + x + 1
chia hết cho đa thức
.

a = 2, b = 1
HD:
.

Bài 4.

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)
d)

Bài 5.

Bài 6.

x3 − x2 − 14x + 24
x3 − 19x − 30

b)
e)

x3 + 4x2 + 4x + 3
a3 − 6a2 + 11a − 6

f (x)

Tìm các giá trị a, b, k để đa thức

g(x)

chia hết cho đa thức

:

f (x) = x4 − 9x3 + 21x2 + x + k g(x) = x2 − x − 2

a)
,
.

HD:

f (x) = x4 − 3x3 + 3x2 + ax + b g(x) = x2 − 3x + 4
b)
,
.

HD:

k = −30

.

a = 3, b = −4

.

f (k) = k3 + 2k2 + 15
Tìm tất cả các số tự nhiên k để cho đa thức
g(k) = k + 3

chia hết cho nhị thức

k = 0, k = 3

.

Bài 7.

c)

x3 − 7x − 6

HD:

Tìm a, b, c, d biết:

21

.


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP
a) (ax+b)(x2+cx+1)=x3=3x+2
b) x4+ax2+b=(x2-3x+2)(x2+cx+d)
c) (ax2+bx+c)(x+3)=x3+2x2-3x
d) x4+x3-x2+ax+b=(x2+x-2)(x2+cx+d)
Bài 8: * Phân tích các phân thức sau thành tổng các phân thức mà mẫu thức là các nhị thức bậc nhất:
x2 + 2x + 6
(x − 1)(x − 2)(x − 4)

2x − 1
x2 − 5x + 6

3x2 + 3x + 12
(x − 1)(x + 2)x

a)
b)
Bài 9: * Tìm các số A, B, C để có:
x2 − x + 2
3

(x − 1)

a)

A

c)
x2 + 2x − 1

B

C
=
+
+
3
2
x−1
(x − 1) (x − 1)

2

(x − 1)(x + 1)

=

A
Bx + C
+
x − 1 x2 + 1

b)

Bài 10: Tìm a,b,c:

a) (2x-5)(3x+b)=ax2+x+c.
b) (ax+b)(x2-x-1)=ax3+cx2-1.
Bài 10: Cho m là số nguyên dương nhỏ hơn 30. Có bao nhiêu giá trị của m để x 2+mx+72 là tích của
hai đa thức bậc nhất với hệ số nguyên?
Bài 11: Xác định a,b để x4-2x3+3x2+ax+b là bình phương của một đa thức.

DẠNG 8: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
PP:

- Ta biến đổi về trái thành về phải hoặc ngược lại bằng các khai triển hoặc sử dụng hằng đẳng
-

thức. Sauk hi biến đổi thấy 2 vế bằng nhau suy ra đpcm.
Với các bài tốn chứng minh biểu thức khơng phụ thuộc vào x: sau khi biến đổi ta sẽ được một
hằng số. Suy ra biểu thức không phụ thuộc vào x
BÀI TẬP:
Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau:
(x − y)(x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4) = x5 − y5

a)
(x + y)(x4 − x3y + x2y2 − xy3 + y4) = x5 + y5
b)
(a + b)(a3 − a2b + ab2 − b3) = a4 − b4
c)

22


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP
(a + b)(a2 − ab + b2) = a3 + b3
d)
Bài 2: Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
A = (3x + 7)(2x + 3) − (3x − 5)(2x + 11)
a)
B = (x2 − 2)(x2 + x − 1) − x(x3 + x2 − 3x − 2)
b)
C = x(x3 + x2 − 3x − 2) − (x2 − 2)(x2 + x − 1)
c)
D = x(2x + 1) − x2(x + 2) + x3 − x + 3
d)
E = (x + 1)(x2 − x + 1) − (x − 1)(x2 + x + 1)
e)
Bài 3: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
(2x + 3)(4x2 − 6x + 9) − 2(4x3 − 1)
a)

(4x − 1)3 − (4x − 3)(16x2 + 3)
b)

2(x3 + y3) − 3(x2 + y2)
c)

(x + 1)3 − (x − 1)3 − 6(x + 1)(x − 1)

x+ y = 1

với

d)

(x + 5)2 + (x − 5)2

(2x + 5)2 + (5x − 2)2

x2 + 25

x2 + 1

e)
f)
HD: a) 29
b) 8
c) –1
d) 8
e) 2
f) 29
Bài 4: Chứng minh rằng với mọi giá trị của x các đẳng thức sau đây nhận giá trị dương
a/ P = x2 – 6x +10
b/ Q = x2 + x + 1

c/ R = (x - 3)(x - 5) + 4
d/x2-xy+y2
HD:
a, (x-3)2+1 b,
c, (x-4)2+3 d,
Bài 5: Chứng minh rằng không có giá trị nào của x để đẳng thức dưới đây nhận giá trị dương:
a/ M = -x2 + 4x -5
b/ N = -9x2 + 24x – 18
HD:
a, M=-(x-2)2-1
N=-(3x-4)2-2
Bài 6:
a. cho a2+b2+c2=ab+bc+ca, chứng minh a=b=c .
b. Cho 2(a2+b2)=(a-b)2 chứng minh a và b đối nhau.
HD:

23


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP
a, 2(a2+b2+c2)=2(ab+bc+ca)  (a2-2ab+b2)+(a2-2ac+c2)+(b2-2bc+c2)=0
 (a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0  a=b=c.
b, 2a2+2b2=a2-2ab+b2  a2+2ab+b2=0  (a+b)2=0  a= - b.
Bài 7:Chứng minh không tồn tại x,y thỏa mãn đẳng thức sau:
a. 3x2+y2+10x-2xy+26=0
b. 4x2+3y2-4x+30y+78=0
c. 3x2+6y2-12x-20y+40=0
HD:
a, 2(x+ )2+(x-y)2+ b, (2x-1)2+3(y+5)2+2 c, 3(x-2)2+6(y- )2+ .
Bài 8:

a. cho a+b+c+d=0 CMR: a4+b4+c4+d4=2(ab+bc+ca)2
b. cho a+b+c=0 và a2+b2+c2=1, chứng minh a4+b4+c4+d4=1/2
Bài 9: Chứng minh:

a) A=x2+x+1 luôn dương.
b) B=x2-xy+y2 luôn dương với x,y dương.
c) C=4x-10-x2 luôn âm.
Bài 10: Chứng minh rằng:

a) Hai số chẵn hơn kém nhau 4 đơn vị thì hiệu các bình phương của chúng chia hết cho 16.
b) Hai số lẻ hơn kém nhau 6 đơn vị thì hiệu các bình phương của chúng chia hết 24.
Bài 11: Cho m>n>0 và a=m2+n2; b=m2-n2; c=2mn. Chứng minh rằng a,b,c là ba cạnh của tam
giác vng.
Bài 12: Tìm x và n biết: x2+2x+4n-2n+1+2=0
Bài 13: Cho x+y+z=0. Chứng minh x3+y3+z3=3xyz.
Bài 14: Rút gọn: A=(x-y-1)3-(x-y+1)3+6(x+y)2.
Bai 15: Cho (x+2y)(x2-2xy+4y2)=0 và (x-2y)(x2+2xy+4y2)=16. Tìm x, y?
Bài 16: Chứng minh: A=7423-6923 200
B=6853+3153 25000.
Bài 17: Cho a+b+c+d=0. CMR: a3+b3+c3+d3=3(b+c)(ad-bc)
Bài 18: Cho a+b+c=0. CMR:

a) (ab+bc+ca)2=(ab)2+(bc)2+(ac)2.
b) a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2
Bài 19: Cho a+b+c=0 và a2+b2+c2=1. Chứng minh : a4+b4+c4 =.
Bài 20: Tìm tổng các hệ số của các hạng tử trong khai triển:
A= (5x-3)6 B= (3x-4y)10.

DẠNG 9: ĐIỀN VÀO CHỖ TRỐNG

24


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP
PP: Chú ý đến lũy thừa của các biến rồi dựa vào 7 hằng đẳng thức
Bài tập: Điền vào chỗ trống cho thích hợp:
a)
d)

x2 + 4x + 4 =

..........

b)

x3 + 12x2 + 48x + 64 =

......

e)

(x − 3)(x2 + 3x + 9) =
g)
k)
n)

.......
x2 + 6x + 9 =

.......

9x2 + 6x + 1=

h)
l)

.......

o)

x2 − 8x +16 =

(x + 5)(x − 5) =

..........

x3 − 6x2 + 12x − 8 =
x2 + 2x + 1=
4x2 – 9 =

...........
(x + 2)(x2 − 2x + 4) =

...... f)

......

i)

.......

36x2 + 36x + 9 =

c)

......
x2 – 1=

16x2 – 8x + 1=

m)
........

p)

......

x3 + 27 =

......

....

DẠNG 10 : SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ SO SÁNH, TÍNH NHANH
Bài 1: So sánh hai số bằng cách vận dụng hằng đẳng thức:
a)

A = 1999.2001
A = 2011.2013

c)

và
và

B = 20002
B = 20122

b)

A = 216

B = (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)
và

A = 4(32 + 1)(34 + 1)...(364 + 1)
d)

B = 3128 − 1
và
,

e) A=262-242 và B=272-252
HD:
a, A=(2000-1)(2000+1)=20002-1<20002
b, B=(2-1)(2+1)(22+1)..(28+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)=216-1<216
c, A=(2012-1)(2012+1)=20122-1<20122.
d, 2A=8.(32+1)(….(364+1)= (32-1)(32+1)(….(364+1)=3128-1 nên A=(3128-1):2<(3128-1)
e, A=(26-24)(26+24)=2.50; B=(27-25)(27+25)=2.52
Bài 2: Tính nhanh: 1012; 1992; 47.53;

HD:
1012=(100+1)2=1002+2.100+1
1992=(200-1)2=2002-2.200+1
47.53=(50-3)(50+3)=502-9
Bài 3: Chứng minh : 1002+1032+1052+942=1012+982+962+1072
HD:

25