Bất đẳng thức, bất phương trình, cực trị đại số 10

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Bất đẳng thức , bất phương trình ,cực trị đại số - Bất đẳng thức 1. KiÕn thøc cÇn nhí a) §Þnh nghÜa : Cho hai sè a vµ b ta cã a > b  a – b > 0 b) Một số bất đẳng thức cơ bản : 01) Các bất đẳng thức về luỹ thừa và căn thức : A2 n  0n  A víi A lµ mét biÓu thøc bÊt kú , dÊu b»ng x¶y ra khi A = 0 2n. A  0 ; A  0; n  A. ; dÊu b»ng x¶y ra khi A = 0. A  B  A  B Víi A  0; B  0. dÊu b»ng x¶y ra khi cã Ýt nhÊt 1 trong hai sè b»ng kh«ng A  B  A  B víi A  B  o dÊu b»ng x¶y ra khi B = 0. 02) Các bất đẳng thứcvề giá trị tuyệt đối A  0 Víi A bÊt kú , dÊu b»ng x¶y ra khi A = 0 A  B  A  B dÊu b»ng x¶y ra khi A vµ cïng dÊu A  B  A  B DÊu b»ng x¶y ra khi A vµ B cïng dÊu vµ A> B. 03) Bất đẳng thức Cauchy ( Côsi ) : - Cho c¸c sè a1 , a2 ,..., an  0  n a1a2 ...an . a1  a2  ...  an n. ( Trung b×nh nh©n cña n sè kh«ng ©m kh«ng lín h¬n trung b×nh céng cña chóng ) DÊu b»ng x¶y ra khi a1  a2  ...  an - Bất đẳng thức Côsi cho hai số có thể phát biểu dưới các dạng sau : ab  ab 2. Víi a vµ b lµ c¸c sè kh«ng ©m. a  b . Víi a vµ b lµ c¸c sè bÊt kú. 2.  4ab. a  b  . 2. a b 2. 2. 2. Víi a vµ b lµ c¸c sè bÊt kú. DÊu b»ng x¶y ra khi a = b 04) Bất đẳng thức Bunhiacopsky (Còn gọi là bất đẳng thức Côsi – Svac ) : - Cho hai bé c¸c sè thùc: a1 , a2 ,..., an vµ b1 , b2 ,..., bn . Khi đó : a1b1  a2b2  ...  anbn   a12  a22  ...  an2 b12  b22  ...  bn2  2. DÊu b»ng x¶y ra khi : - HoÆc. a a1 a2   ...  n với ai , bi khác 0 và nếu ai  0 thì bi tương ứng cũng bằng 0 b1 b2 bn. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> - HoÆc cã mét bé trong hai bé trªn gåm toµn sè kh«ng - Bất đẳng thức Côsi – Svac cho hai cặp số :. ax  by . 2. .  a 2  b2. x. 2. .  y 2 DÊu b»ng x¶y ra khi ay = bx. 1 x. 1 x. 05) Bất đẳng thức x   2 Với x > 0 ; x   2 Với x < 0 c) Các tính chất của bất đẳng thức : 01) TÝnh chÊt b¾c cÇu : NÕu a > b vµ b > c th× a > c 02 ) TÝnh chÊt liªn quan ®Ðn phÐp céng : Cộng hai vế của bất đẳng thức với cùng một số : Nếu a> b thì a +c > b+ c Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều : Nếu a > b và c > d thì a+c > b +d 03 ) Trừ hai bất đẳng thức ngược chiều : Nếu a > b và c < d thì a – c > b – d 04 ) Các tính chất liên quan đến phép nhân : - Nhân 2 vế của bất đẳng thức với một số NÕu a >b vµ c > 0 th× ac > bc NÕu a > b vµ c < 0 th× ac < bc - Nhân 2 bất đẳng thức cùng chiều NÕu a > b >0 vµ c > d > 0 th× ac > bd NÕu a < b < 0 vµ c < d < 0 th× ac > bd - Luỹ thừa hai vế của một bất đẳng thức : a  b  a 2 n 1  b 2 n 1 Víi mäi n  A a  b  0  a 2n  b2n Víi mäi n  A a  b  0  a 2n  b2n Víi mäi n  A 0 < a < 1  an  am Víi n > m n m a>1 a a Víi n > m 2. Mét sè ®iÓm cÇn l­u ý : - Khi thực hiện các phép biến đổi trong chứng minh bất đẳng thức , không được trừ hai bất đẳng thức cùng chiều hoặc nhân chúng khi chưa biết rõ dấu của hai vế . Chỉ được phép nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một biểu thức khi ta biết rõ dấu của biểu thức đó - Cho một số hữu hạn các số thực thì trong đó bao giờ ta cũng chọn ra được số lớn nhất và số nhỏ nhất . Tính chất này được dùng để sắp thứ tự các ẩn trong việcchứng minh một bất đẳng thức 3. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức: 3.1. Sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức 3 x 2  4 x  11 2 VÝ dô 1: Chøng minh r»ng víi mäi sè thøc x th× : 2 x  x 1. Gi¶i :. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 2. 1 3 Ta cã : x 2  x  1   x     0 Víi mäi x . Do vËy :. 2. 4. 3 x 2  4 x  11  2  3 x 2  4 x  11  2 x 2  x  1  3 x 2  4 x  11  2 x 2  2 x  2 2 x  x 1  x 2  6 x  9  0  x  3  0 §óng víi mäi x 2. DÊu b»ng x¶y ra khi x = -3 VÝ dô 2 : Cho a, b  A vµ a+b  0 . Chøng minh r»ng. a 5  b5  a 2b2 ab. Gi¶i : a 5  b5  a 2 b 2 a  b  a 5  b5 a 5  b5 2 2 2 2 a b  a b 0 M  0 Ta cã : ab ab ab. XÐt tö cña M : a 5  b5  a 3 b 2  a 2 b3  a 5  a 2 b3  a 3 b 2  b5   a 2 a 3  b3  b 2 a 3  b3  . a. 3.  b3 a 2  b 2   a  b a 2  ab  b 2 a  b a  b  . 2 1  3  1  3  2  2   a  b a  b   a 2  ab  b 2   b 2   a  b a  b   a  b   b 2  4  4  2  4    2  1  3 2 Vì a+b  0 nên M= a  b   a  b   b  > 0 do a, b không thể đồng thời bằng 0 2  4   2. 3.2. Phương pháp phản chứng: VÝ dô 3: Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n. a  b  c  0  ab  ac  bc  0 . abc  0 . Chứng minh rằng cả ba số đó đều dương Gi¶i - Giả sử có một số không dương: a  0 Tõ abc > 0 ta cã: bc < 0 (* ) Tõ a+b+c >0 ta cã: b+c>-a>0 Tõ ab +bc+ac >0 ta cã: bc + a(b + c) > 0.  bc > - a (b + c) > 0. (**). Ta cã (*) vµ (**) m©u thuÉn nhau  ®pcm. 3.3. Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức cơ bản: VÝ dô 4: Chøng minh r»ng: Víi x, y > 0. Ta cã :. ( 1 + x) (1 + y)  (1 +. Gi¶i Cách 1 : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có :. Lop10.com. xy )2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> (1  x)(1  y )  12  . C¸ch 2 :.  x   1   y    1  2. 2. 2. xy. . 2. Theo bất đẳng thức Cosi ta có:. 2 xy x y   1 x 1 y (1  x)(1  y ) 1 1 1  2 1 x 1 y (1  x)(1  y ) 2. 2 xy  1 (1  x)(1  y ). . xy  1 (1  x)(1  y ). .  1  (1  xy  (1  x)(1  y )  (1  x)(1  y )  1  xy. DÊu b»ng x¶y ra khi x = y VÝ dô 5 : Cho a, b  A vµ 3a + 4 = 5 . Chøng minh r»ng a 2  b 2  1 Gi¶i : Cách 1 : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có : 52  3a  4b   32  42 a 2  b 2   a 2  b 2  1 2. 3  a 3a  4b  5   5  DÊu b»ng x¶y ra khi :  a b  3  4 b  4  5. C¸ch 2 : Tõ 3a +4b = 5 ta cã a=. 5  4b 3. 2. 5  4b  2 2 2 VËy a  b  1     b  1  25  40b  16b  9b  9 3   2. 2.  25b 2  40b  16  0  5b  4   0 2. §óng víi mäi x. VÝ dô 6 : Chøng minh r»ng víi mäi gãc nhän x ta cã : a ) sin x + cosx . 1 2. b) tgx + cotgx  2 Gi¶i : a) áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương ta có : sin 2 x  cos 2 x 1  sin x + cosx  2 2. DÊu b»ng x¶y ra khi sinx = cosx hay x = 450 b ) Vì tgx , cotgx >0 . áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số ta có ; tgx + cotgx  2 tgx.cot gx  2 ( V× tgx . cotgx = 1 ) DÊu b»ng x¶y ra khi tgx = cotgx hay x= 450 1 a. VÝ dô 7 : Cho a  4 . Chøng minh r»ng : a  . Lop10.com. 17 4. . 2.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Gi¶i : 1 a. Ta cã : a  . a 1 15a   16 a 16. áp dụng bất đẳng thức Cosicho hai số dương. a 1 vµ ta cã : 16 a. a 1 a 1 1 1  2 . 2  16 a 16 a 16 2. Mµ : a  4  1 a. VËy a  . 15a 15 15  .4  16 16 4. 17 DÊu b»ng x¶y ra khi a = 4 4. VÝ dô 8 : Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc x , y ta cã : 5 x 2  2 y 2  2 xy  4 x  6 y  10. Gi¶i : Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : 5 x 2  2 y 2  2 xy  4 x  6 y  10  4 x 2  4 x  1 y 2  6 y  9  x 2  2 xy  y 2   0  2 x  1   y  3  x  y   0 2. 2. 2. Điều này đúng vì 2 x  1  0;  y  3  0; x  y   0 2. 2. 2. và không đồng thời xảy ra (2x-1)2 = (y-3)2 = (x-y)2 = 0 3.4. Phương pháp sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình : Ví dụ9 : Chứng minh rằng nếu phương trình: 2x2 + (x + a)2 + (x + b)2 = c2 Cã nghiÖm th× 4c2  3(a + b)2 – 8ab Gi¶i Ta cã : 2 x 2  x  a   x  b   c 2  4 x 2  2 a  b  x  a 2  b 2  c 2  0 2. 2. Để phương trình có nghiệm thì :. . .  '  0  a  b   4(a 2  b 2  c 2 )  0  4c 2  3 a 2  b 2  2ab  4c 2  3 a  b   8ab 2. 3.5. Phương pháp làm trội: VÝ dô10 : Chøng minh víi n  N* th×: 1 1 1 1   ...   n 1 n  2 2n 2. Gi¶i Ta cã:. 1 1 1   n  1 n  n 2n. Lop10.com. 2.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 1 1  n  2 2n. ………………….. +. 1 1  2n  1 2n. 1 1  2n 2n 1 1 1 1 1    ...   n.  n 1 n  2 2n 2 2. 4. C¸c bµi tËp tù luyÖn : Bµi 1: Trong tam gi¸c vu«ng ABC cã c¹nh huyÒn b»ng 1 , hai c¹nh gãc vu«ng lµ b vµ c. Chøng minh r»ng : b3 + c3 < 1 Bài 2 : Chứng minh các bất đẳng thức sau : a). 7 x 2  15 x  12  3 Víi mäi x x2  x  1. b ) NÕu a + b < 0 th× a 3  b3  ab a  b  c ) NÕu x3+y3 = -2 th× 2  x  y  0 d ) NÕu x3+y3 = 16 th× 0 < x +y  4 Bài 3 : Chứng minh các bất đẳng thức sau : a ) NÕu a2 +b2 = 13 th× a2 +b2  2a +3b b) 5 x 2  y 2  4 x  y   2 xy  1  0 Víi mäi x , y  A Bài 4: a) Cho hai số thực dương a và b . Chứng minh rằng :. 1 1 4   a b ab. b) Cho 0 < x < 2 vµ x  1 . Chøng minh r»ng : 1. x  1. 2. . 1  4  x2 x 2  x . Bµi 5: a ) Cho a > b > 0 . Chøng minh r»ng a  b ) ¸p dông so s¸nh. 2007  2006 vµ. ab  ab 2. 2006  2005. Hướng dẫn giải : Bài 1 : Theo định lý Pitago ta có 1 = b2 + c2 và 1> b; 1 > c VËy 1= b2 + c2 > b3 + c3 2. 1 3 Bµi 2 : a) Ta cã : V× x2 - x +1 =  x     0 víi mäi x . Nªn. 2. 4. 7 x 2  15 x  12  3  7 x 2  15 x  12  3 x 2  3 x  3 2 x  x 1. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>  4 x 2  12 x  9  0  2 x  3  0 ( §óng ) 2. DÊu b»ng x¶y ra khi x = b ) Ta cã :. 3 2. a 3  b3  ab a  b   a  b a 2  ab  b 2   ab a  b   a  b a 2  2ab  b 2   0  a  b a  b   0 2. §óng v× a +b < 0 vµ a+b2  0 c) Ta cã 2  x3  y 3  x  y x 2  xy  y 2  2. y 3 Mµ x  xy  y   x    y 2  0 Nªn x + y < 0 2 4  2. 2. x  y   0  x 2  xy  y 2  xy  x  y x 2  xy  y 2  xy x  y  MÆt kh¸c :  y x  y   2  3xy x  y   6 3  x 3  y 3  3 xy x  y   8  x  y   8  x  y  2 2. DÊu b»ng x¶y ra khi x = y = -1 d) Tương tự câu c Bµi 3 : a) ¸p dông bÊt d¼ng thøc Bunhiacopxky ta cã :. 2a  3b . 2.  a 2  b 2 22  32   13 a 2  b 2   a 2  b 2 . 2.  2a  3b  a 2  b 2  2a  3b  a 2  b 2. DÊu b»ng x¶y ra khi a = 2 ; b = 3 b) Ta cã : 5 x 2  y 2  4 x  y   2 xy  1  0  4 x 2  4 x  1 4 y 2  4 y  1 x 2  2 xy  y 2   0  2 x  1  2 y  1  x  y   0 2. 2. 2. 1 2. Điều này luôn luôn đúng. Dấu bằng xảy ra khi x  ; y   Bµi 4: a ) Ta cã:. 1 2. 1 1 4 ab 4     (*) a b ab ab ab. Vì a,b > 0; a+b > 0 nên: (*)  a  b   4ab ( Bất đẳng thức Cosi cho 2 số ) 2. VËy. 1 1 4   víi mäi a , b > 0 a b ab. b) §Æt (x-1)2 = t th× t > 0 vµ x(2-x) = -x2+2x = 1-(x-1)2 = 1-t V× 0 < x < 2 nªn 1-t > 0 áp dụng bất đẳng thức ở câu (a) cho hai số dương t và 1-t ta được 1. x  1. 2. . 1 1 1 4    4 x 2  x  t 1  t t  1  t. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Mµ 4 - x2 < 4 do 0 < x < 2. VËy:. 1. x  1. 2. . 1  4  x2 x 2  x . Bµi 5: a) Ta cã a . ab  ab  2 a  ab  ab 2. Bình phương hai vế của bất đẳng thức ta được: 4a  2a  2 a 2  b 2  a  a 2  b 2  a 2  a 2  b 2  0  b 2 §óng. b) ¸p dông c©u a víi a = 2006 vµ b = 1 ta cã: 2 2006  2007  2005  2006  2005  2007  2006. V.2. Gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt Cña biÓu thøc : 1. KiÕn thøc cÇn nhí : Cho c¸c biÓu thøc A vµ B - Nếu A  a trong đó a là một giá trị của biểu thức A Th× a ®­îc gäi lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña A (GTLN cña A ) , ®­îc ký hiÖu lµ MaxA hay AMax - Nếu B  b trong đó b là một giá trị của B Th× b ®­îc gäi lµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña B (GTNN cña B ),®­îc ký hiÖu lµ Min B hay BMin - Các cách biến đổi thường dùng để tìm GTLN và GTNN. C¸ch 1: a) T×m GTLN: f(x)  g(x)  a b) T×m GTNN: f(x)  g(x)  a C¸ch 2: a) T×m GTLN: f(x) = h(x) + g(x) (h(x)  0; g(x)  a) b) T×m GTNN: f(x) = h(x) + g(x) (h(x)  0; g(x)  a) Với biểu thức nhều biến có cách làm tương tự 2. Mét sè diÓm cÇn l­u ý : - Khi t×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña mét biÓu thøc . NÕu biÕn lÊy gi¸ trÞ trªn toµn tËp A thì vấn đề đã không đơn giản . Khi biến trong biểu thức chỉ lấy giá trị trong A , A , A hoặc một khoảng giá trị nào đó thì vấn đề càng phức tạp và dễ mắc sai lầm . - Một sai lầm thường mắc phải đó là khi biến đổi các biểu thức theo cách 1 hoặc cách 2 . Ta kÕt luËn gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt cña biÓu thøc lµ a nh­ng dÊu b»ng kh«ng x¶y ra đồng thời VÝ dô 1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : P = 4x2+ y2+2xy+3x+5 Lêi gi¶i 1 : P  x 2  2 xy  y 2  2 x 2  4 x  2  x 2  x  3  x  y   2 x  1  x 2  x  3  x 2  x  3 Víi mäi x 2. Lop10.com. 2.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 2. 1 11 11 Mµ x 2  x  3   x     . Nªn Min P =. 2. 4. 4. 11 1 1 khi x = vµ x +y = 0 nªn y = 4 2 2. Ta thấy lời giải này sai lầm ở chỗ dấu bằng không xảy ra đồng thời . Khi x =. 1 th× (x2. 1)2  0 Lêi gi¶i 2 : Ta cã 2. 1  17 1  17 17 2   P  x  2 xy  y  3  x 2  x     x  y   3  x     4 4 2 4 4   2. 2. 1  x   x  y  0 17  2  VËy Min P = Khi  1 4  x  2  0 y  1  2. VÝ dô 2 : Cho a  2 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = a . 1 a 1 a. 1 a. Lời giải 1 : Theo bất đẳng thức Cosi cho hai số dương ta có P  a   2 a.  2 Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 Lêi gi¶i nµy sai lÇm ë chç P  2  a  1 kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a  2 1 a. a 4. 1 a. 3 4. Lêi gi¶i 2 : Ta cã P  a     a  2 VËy Min P =. a 1 3 3 7 .  a  2 a  4 a 4 4 2. 7 khi a = 2 2. 3. Bµi tËp vÝ dô : -VÒ b¶n chÊt bµi to¸n t×m gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt cña biÓu thøc vµ bµi to¸n chứng minh bất đẳng thức có thể coi là tương đương nhau . Bài toán tìm giá trị lớn nhất hoÆc nhá nhÊt cña biÓu thøc nÕu ta ph¸n ®o¸n ®­îc kÕt qu¶ th× bµi to¸n trë thµnh chứng minh bất đẳng thức VÝ dô 3: Cho x, y, z  R tho¶ m·n x2 + y2 + z2 = 1 T×m GTLN cña P = x  2 y  3z Gi¶i: Theo bất đẳng thức Cosi – Bunhiacopxki ta có: P2 = ( x + 2y + 3z)2  (12 + 22 + 32) (x2 + y2 + z2) = 14 Nªn P  14 DÊu = x¶y ra khi:. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(10)</span>  2 1  x  14 2 2 2 x y z x y z         2 4   4 9 1 2 3 1 y  14 2 2 2 x  y  z  1 x 2  y 2  z 2  1     2 9  z  14 .  14 2 14 3 14   (1) VËy (x, y, z) =  ; ;   14 . HoÆc (x, y, z) =   . 14. 14 . 14 2 14 3 14  ; ;  (2) 14 14 14 .  14 2 14 3 14   hoÆc (x, y, z) = VËy Pmax = 14 khi (x, y, z) =  ; ;   14. 14. 14 . Ví dụ 4: Cho a, b, x, y là các số dương thoả mãn.  14 2 14 3 14  ; ;    14 14 14  . a b  1 x y. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau : a) P = xy; b) Q = x + y Gi¶i: a) Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 2. ab a b    1  xy  4ab xy x y. VËy Pmin = 4ab khi.  x  2a a b 1    x y 2  y  2b.  a a b b b) Ta cã:    ( x  y )     y  x y  x. . . (Bất đẳng thức Bunhiacopxki) VËy : Q = x+ y   a  b . 2. Qmin = VÝ dô 5:.  a  b  khi x = a  2. T×m GTLN cña P =. ab ; y  b  ab x ( x  a) 2. Gi¶i §iÒu kiÖn : x  a Ta cã: Víi x = 0 => P = 0 Víi x  0 ta cã: P =. 2.  a  b x  y  . x . y   x  y  . x  x = P(x + a)2 2 ( x  a).  px2 + 2 apx + pa2 = x. Lop10.com.  a  b. 2.

<span class='text_page_counter'>(11)</span>  px2 + (2ap – 1) x + a2 = 0. Để phương trình có nghiệm thì:   0  (2ap – 1)2 – 4pa2  0 <=> 4a2p2 – 4ap + 1 – 4a2p  0 <=> 4a2p2 – 4a (a + 1)p + 1  0 Giải bất phương trình bậc 2 thu được P1  P  P2 4. Bµi tËp tù luyÖn : Bµi 1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau: a) A = x2 - 6x +1 b) B = 10x2+5y2- 4x - 6y -12xy +2020 c) C =. x 2x  1  2x  1 x. d ) D = 3x2+5y2 víi. 3x  5 y  2. Bµi 2 : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau: a) M = - x2 + 4x + 7 b ) N = 2003 -2x2 - 8y2 +2x + 4xy + 4y c) P = ( x+1 ) (2 - x ) Bµi 3: T×m gi¸ tri lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P =. 3x  1 x2  1. Gi¶i: Bµi 1: a) A= (x-3)2 -8 nªn min A = 8 khi x = 3 b) B = ( x-2)2 +(y - 3)2 +(3x -2y)2 +2007 Nªn Min B = 2007 Khi x = 3; y =2 1 2. c) Điều kiện: x <  ; x > 0 (*). áp dụng bất dẳng thức Cosi cho hai số dương ta có: C. x 2x  1  2 2x  1 x. VËy MinC = 2 khi. x 2x  1 2 2x  1 x. x  2x  1.  x  1 2x  1 2 2 2  x  2 x  1  3 x  4 x  1  0   x   1 x 3 . đối chiếu với (*) ta được x =-1 c) Tõ 3x  5 y  2  3x  5 y  2 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có:.  3x.1 . . 5 y.1  3 x 2  5 y 2 1  1  3 x 2  5 y 2  2 2. VËy MinD = 2 khi x=. 1 3. vµ y = . 1 5. Bµi 2: a) M = 11 - (x - 2)2 Nªn MaxM = 11 khi x = 2. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> b) N = 2005 - (x -1 )2 -(2y+1)2-(x-2y)2 Nªn MaxN = 2005 khi x = 1; y = -. 1 2. 2. x 1 2  x  9 c ) P = ( x+1 ) (2 - x )     2 4  . VËy MaxP = Bµi 3: Ta cã: P =. ( Bất đẳng thức Cosi ). 9 1 khi x = 4 2. 3x  1  P x 2  1  3 x  1  Px 2  3 x  P  1  0 (* ) 2 x 1. Ta thÊy P = 0 khi x =. 1 3. Với P  0 thì giá trị của P phải thoả mãn cho phương trình (*) có nghiệm với x Điều này tương đương với:   32  4 P P  1  0  4 P 2  4 P  9  0  2 P  1  10 2.   10  2 P  1  10  . VËy MaxP = MinP = -. 10  1 10  1 P 2 2. 10  1 khi x = 2. 10  1 3. 10  1 1  10 khi x = 2 3. V.3. Bất phương trình 1. KiÕn thøc cÇn nhí : - Bất phương trình bậc nhất : ax +b = 0 ( a  0 ) + Nếu a > 0 bất phương trình có nghiệm x  . b a. + Nếu a <0 bất phương trình có nghiệm x  . b a. Tương tự cho bất phương trình ax + b < 0 * Ta có thể nhớ cách lấy nghiệm của bất phương trình bậc nhất theo qui tắc " Lớn cùng bé kh¸c " . NghÜa lµ nhÞ thøc bËc nhÊt f(x) = ax +b Khi x > . ( a  0 ) cã nghiÖm x = . b . a. b b th× f(x) vµ hÖ sè a cïng dÊu , khi x <  th× f(x) vµ hÖ sè a kh¸c dÊu a a.   A( x)  0   A( x)  0   B( x)  0  B( x)  0  - Bất phương trình tích : A(x)B(x) > 0   ; A(x)B(x) < 0     A( x)  0  A( x)  0     B ( x)  0   B ( x)  0. trong đó A(x) và B(x) là các biểu thức của biến x. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> - Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối : Ta làm mất dấu giá trị tuyệt đói để giải bằng cách xét khoảng giá trị của biến hoặc bình phương hai vế của bất phương trình  B( x)  0  B( x)  0  A( x)  B ( x)    B ( x)  0 ; A( x)  B( x)   2 2  A( x)   B ( x)    A( x) 2  B ( x) 2  . - Bất phương trình vô tỷ :.  A( x)  0  A( x)  B ( x)   B ( x)  0  A( x)  B ( x) .   A( x)  0    B( x)  0 A( x)  B ( x)    B( x)  0     A( x)  B ( x) 2 . ;.  A( x)  0  A( x)  B ( x)   B ( x)  0  A( x)  ( B ( x)) 2 . 2. Bµi tËp vÝ dô : Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau : a) -3(x+2) +2(x-1)  4x -3 b) m  1 x  2m x  1 2. Gi¶i a) Ta cã : -3(x+2) +2(x-1) 4x -3  3 x  6  2 x  1  4 x  3   x  4 x  3  7 4  5 x  4  x   5. b ) Ta cã : m  1 x  2m x  1  m 2  2m  1x  2mx  2m 2.  m 2  1x  2m. Vì m 2  1  0 với mọi m nên bất phương trình có nghiệm x . 2m m2  1. Ví dụ 2 : Giải các bất phương trình : a) x 2  5 x  6  0 b)  x 2  4 x  3  0 Gi¶i a)Tacã : x 2  5 x  6  0  x 2  2 x  3x  6  0  x x  2   3 x  2   0  x  2 x  3  0  x  2  0  x  3  0    x  2  0    x  3  0.  x  2   x  3   x  3 x  2  x  2     x  3. b) Tacã :  x 2  4 x  3  0   x 2  x  3x  3  0   x x  1  3 x  1  0. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(14)</span>  x  1  0  3  x  0  x  13  x   0     x  1  0   3  x  0.  x  1   x  3  1  x  3  x  1    x  3. Chó ý : - Ta cã thÓ kÕt hîp nghiÖm trªn trôc sè - Ta có thể so sánh A(x) và B(x) trong bất phương trình tích để giải nhanh hơn : VÝ dô : x  13  x   0  x  1x  3  0 do x-1 > x-3 x 1  0 x  1  1 x  3 x  3  0 x  3. nªn chØ x¶y ra . Ví dụ 3 : Giải các bất phương trình : a). x 2  3x  2  x  2. b) 3x  2  2 x  1 Gi¶i:. a) Ta cã :.   x 2  3x  2  0  x  1x  2   0    x  1  0  x  1  0 2 x  3x  2  x  1    x 1  0     x  1  2   x 2  3 x  2  x  1   x 2  3 x  2  x 2  2 x  1 .  x  1  0  x  2  0  x2  x  1    x  1. Chú ý : Tránh biến đổi sai lầm như sau : x 2  3x  2  x  1 . x  1x  2   x  1.  x  2  x  1  1  0. 2. . x  2  x 1. Kết luận phương trình vô nghiệm. b) C¸ch 1 : 1  3 x  1  0 x  Ta cã : 2 x  1  3x  1   3 2 2   2 2 x  1  3 x  1 4 x  4 x  1  9 x 2  12 x  1  1  x   1 1  3   1 x  x  3    x  0 x 3  3 5 x 2  16 x  0  x 5 x  16   0  16    x   5 . 1 3. Cách 2 : Nghiệm của bất phương trình đã cho nếu có phải thoả mãn : 3x-1  0  x  (1). Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> XÐt 2x+1  0  x  . 1 (2) 2. Bất phương trình trở thành : 2 x  1  3x  1   x  2  x  2 KÕt hîp víi (1) vµ (2) ta cã x  XÐt 2x +1 < 0  x  . 1 là nghiệm của bất phương trình đã cho 3. 1 (3) 2. Bất phương trình đã cho trở thành : 2 x  1  3x  1  5 x  0  x  0 Không thoả mãn (3) Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x . 1 3. 3. Bµi tËp tù luyÖn : Giải các bất phương trình sau Bµi 1 : a) 2 3x  1  3 x  2   5 1  2 x   4 b) m  2  x  1  4m 3  x  2. c) 6 x 2  7 x  2  0 d ) 9 x 2  18 x  5  0 Bµi 2 : a) x  2  2 x  1 b) 1  2 x  1  3x  5 c). x 2  5 x  6  3x  2. d) x 2  3x  2  2 x 2  5 x  3 e). 3x 2  2 x  1  x  1. Bµi 3: a) x  6 x  8  0 b). 2x x  0 2x  1 x  2. Gi¶i: Bµi 1:. 5 a) x  ; 13. 16m  m 2  4 b)x  ; m2  4. x  1 d)  1 x  3 . 1 c)  x  1 ; 5. 1  x   2 x  1  0  2   1 Bµi 2: a) x  2  2 x  1   2 x  1  0    x      x  2 2  2 x  12 2    2  3 x  3  0. 1  x  2   x 1  x  1   2   1  x  1. x  2  0. b) Ta cã: 1  2 x  1  3x  5  2 x  1  3x  6  . 2 x  2   3 x  6 . Lop10.com. 2. 2.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> x  2   x  2  x  2  x  4     x4 8 3 x  6  2 x  2 3 x  6  2 x  2   0 x  4 5 x  8   0  x    5  x  2 x  3  0   x2  5x  6  0  x   2  3 x  2  0    3 x 2  5 x  6  3x  2    3x  2  0  x   2    2 2     x  5 x  6  3 x  2  3    2 2   x  5 x  6  9 x  12 x  4. c) Ta cã:.   x  2; x  3   x   2   3 2  x 3   x   2 (*)  3  8 x 2  17 x  10  0 . ( Hệ (*) vô nghiệm do bất phương trình 8x2-17x +10. v« nghiÖm ) d). x 2  3x  2  2 x 2  5 x  3. Ta cã:.  x  1  x 2  3 x  2  0  x  3x  2  2 x  5 x  3   2   x  2 2  x  3 x  2  2 x  5 x  3  2  x  8x  1  0 2. 2.  x  1   x  4  15  x  2    x  4  15   x  4  15   x  4  15  . e) Ta cã:   x  1  2  x  1 x  1 3 x  1  0  3 x  2 x  1  0     3   3x 2  2 x  1  x  1   x  1  0   x  1   x   1 3 x 2  2 x  1  x 2  2 x  1  x 2  1      1  x  1. Bµi 3:. a) §iÒu kiÖn x  0 Ta cã: x  6 x  8  0   x  2  x  4  0  2  x  4  4  x  16. Lop10.com.  x  1 1   x 1 3.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> b) Ta cã: (*) Ta có thể lập bảng xét dấu hoặc xết từng khoảng giá trị để giải - Víi x > 0 th× (*)  x  2 2 x  1  0  2  x  . 1 kh«ng tho¶ m·n x > 0 2.  x  2 -Víi x < 0 th× (*)  x  2 2 x  1  0   kÐt hîp víi x < 0 ta ®­îc x   1  2.  x  2  1   x  0  2. D. Mét sè bµi tËp n©ng cao : Bµi 1:. Cho x  2 ; y  2. Chøng minh r»ng: (x + y) (x2 + y2)  x5 + y5 Bµi 2: Cho a, b, c > 0. Chøng minh r»ng: a b c 3 a b c       2 2 2 2 bc ca ab 1 a 1 b 1 c. Bµi 3: Chøng minh r»ng: 1 3(1  2 ). Bµi 4:. . 1 5( 2  3 ). . 1 7( 3  4 ).  ... . 1 4003( 2001  2002). . 2001 4006. Cho a, b, c > 0; a + b + c = 6. Chøng minh r»ng: 1  1  1  729  1  3 1  3  a  3   c  512  a  b . Bµi 5: Cho abc = 1; a3 > 36, Chøng minh r»ng:. a2 + b2 + c2 > ab + bc + ca 3. Bµi 6 : Chøng minh r»ng . NÕu x, y, z  0 th× x(x - y) (x - z) + y(y - z) (y - x) + z (z - x) (z - y)  0 Bµi 7: Cho a, b, c  [0;2] cã a + b + c = 3. CMR: a2 + b2 + c2 < 5 Bài 8: Cho các số thực dương a , b , c thoả mãn abc = 1. Chøng minh r»ng :. ab bc ca  5  5 < 1 5 5 5 a b c b  c  bc c  a 5  ac 5. Bài 9: CMR. nếu x, y  A  thì một trong hai bất đẳng thức sau là sai:. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> 1  1 1   2  2 y  5x. 1 ≥ xy. 1 ≥ x( x  y ). vµ. 1 1  1  2  2 5  x x  y .    . Bµi 10: Cho a, b, c > 0 vµ abc = 1. Chøng minh r»ng: ba a. . ca b. . ab c.  a  b  c 3. Bµi 11: Chøng minh r»ng: Mäi a, b, c, d, p, q > 0 ta cã: 1 1 1 p  q' pq pq      a b c pa  qb pb  qc pc  qa. Bài 12 : Cho x, y thay đổi sao cho 0  x  3; 0  y  4 T×m Max cña P = (3 – x) ( 4 – y) (2x + 3y) Bài 13: Tìm GTLN và GTNN của xy với x, y là nghiệm của phương trình: x4 + y4 – 3 = xy (1 – 2xy) Bài 14: Giải bất phương trình: x  1x  2 x  3x  4   3  0 Hướng dẫn giải Bµi 1: V× x  2 ; y  2 => => 2.. x2. +. y2. x2  y2 2  4 => 2. x  y x2  y2 x  y  . 2 2 2. x  y x3  y3  => 2. 2 2. => 2.x  y ( x 2  y 2 ) 2  x 3  y 3 ( x 2  y 2 )  x 5  y 5 Bµi 2:. Ta cã :. a 1 a b c 3     Tương tự cho b , c ta được 2 2 2 2 2 1 a 1 b 1 c 2 1 a. DÊu b»ng x¶y ra khi a = b = c = 1 * MÆt kh¸c :. a b c 3 1 1  9  1     (a  b  c)     bc ac ab 2 bc ac ab 2. §Æt a+b= x ; b+c =y ; c+a = z ta cã. x  y  z  1  1  1   9  ( x  y ) 2  ( y  z ) 2  ( z  x) 2  0 ( §óng ) x. Bµi 3: XÐt. y. z. 2. 1 ( n 1  n) n 1  n 1  1 1        2 (2n  1)( n  n  1) n 1  4n  4n  1 2 n(n  1) 2  n. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> 1. 1. 1. 1. 1. 1 . 1. 1. . VËy Sn  1     ...     1   2 3 3 5 n n  2 n 1  2. 2S n  1 . 4n  4. 2.  1. n  4n  4 2.  1. 2 n  S n  n2 2(n  2). víi n = 2001 ta cã: 2 S 2001  1 . 2 2001 2001   S 2001  2003 2003 4006. 1 1 1 Bµi 4: §Æt A = 1  3 1  3 1  3  . a . b . c . Ta cã A = 1  . 1 1 1  1 1 1  1  3  3  3 3  3 3  3 3  3 3 3 3 b c  a b b c a c  a b c a 3. 3 3 1 1   A  1  2 2 2  3 3 3  1   ( Bất đẳng thức Cosicho 3 số dương ) abc a b c a b c  abc  3. abc  1 1 Theo bất đẳng thức cosi: abc      8  abc  8  3 abc 8   3. 1 729 VËy A  1    . 8. (DÊu b»ng x¶y ra: a = b = c = 2). 512. a3  b 2  c 2  ab  bc  ac 3. Bµi 5 : Ta cã : <=>. a2 + b2 + c2 – a(b+c) – bc > 0 3. <=>. a2 + (b + c)2 – a(b+c) – 3bc > 0 3. Thay bc =. (*). 1 ta ®­îc: a. a2 3 (*) <=> + (b + c)2 – a(b+c) – > 0 3 a. <=> a( b + c)2 – a2 (b + c) + §Æt b + c = x ta cã:. ax2. –. a3 -3>0 3. a2x. a3 + - 3 > 0 Víi mäi x 3. Điều này tương đương:  = a4 – 4a ( <=> a4 -. a3 - 3) < 0 3. 4a 4  12a  0 3. <=> 12a (36 – a3) < 0 đúng vì a3 > 36 Bài 6:- Do vai trò bình đẳng của x, y, z nên có thể giả sử z  y  x. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Khi đó: x(x - y) (x - z)  0 (1) MÆt kh¸c: z (z - x)  y(y - z) Do vËy: z (z - x) (z - y)  y(y - x) (z - y)  z (z - x) (z - y) + y(y - z) (y - x)  0 (2) Tõ (1) vµ (2)  ®pcm. Bµi 7: - Do a, b, c  [0;2] nªn (2 - a) (2 - b) (2 - c)  0  8 - 4 (a + b + c) + 2 (ab + bc + ac) - abc  0 . 2 (ab + ac + bc) + 4 (a + b + c) + abc - 8. . 2 (ab + ac + bc)  4 + abc  4. . (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2)  4.  (a2 + b2 + c2) < 5 DÊu "=" x¶y ra khi a, b, c cã mét sè b»ng 2; mét sè b»ng 0; mét sè b»ng 1. Bµi 8 :Ta cã: (a3 - b3) (a2 - b2)  0  (a5 + b5)  a2 b2 (a + b) ab ab c2 c  2 2  2  Do đó : 5 5 a  b  ab a b (a  b)  ab c abc. Tương tự:. (1). bc a < 5 abc a  b  ab. (2). ca b < 5 abc c  a  ac. (3) . Tõ (1) ; (2) vµ (3) ta cã ®iÒu cÇn chøng minh. 5. 5. Bài 9 :- Giả sử cả hai bất đẳng thức đều đúng khi đó: 5 xy  x2 + y2 vµ. 5 x(x + y)  x2 (x + y)2.  5 (x2 + 2xy)  3x2 + 2xy + 2y2  2y2 - 2( 5 - 1)xy + (3 - 5 )x2  0  4y2 - 4 ( 5 - 1)xy + (6 - 3 5 )x2  0  (2y)2 - 2 . 2y ( 5 - 1)x + [( 5 - 1)]2  0  [2y - ( 5 - 1)x]2  0 §iÒu nµy kh«ng x¶y ra v× ( 5 - 1)x lµ sè v« tû kh«ng thÓ b»ng 2y khi x ,y  A  . Bài10:- Theo bất đẳng thức Cosi cho hai số dương ta có:  bc bc ca ab ca ab     2     b c  a b c  a  . bc a. . ca b. .  ca ab   ab bc   bc ca              c   c a   a b  c  b. ab. bc ca ab    2( a  b  c )  a  b  c  3 6 abc  a  b  c  3 a b c. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>