Tải bản đầy đủ (.doc) (2 trang)

Bài soạn Thi HSG Cap Truong

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (74.21 KB, 2 trang )

Trường THCS Nhơn Hậu ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI - Năm học: 2008-2009
Môn : Toán
Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian phát đề)
Đề bài:
Bài 1: (2 điểm): Chứng minh rằng tích của một số chính phương với số đứng trước nó chia hết cho 12.
Bài 2: (2 điểm): a) Chứng minh rằng với x > 1 ta có :
2
1
x
x


b) Cho a > 1 , b > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : E =
2 2
1 1
a b
b a
+
− −
Bài 3 (2 điểm) : Tìm các giá trị nguyên x , y thõa mãm đẳng thức : ( y + 2 ) . x
2
+ 1 = y
2
.
Bài 4:(2 điểm) :Cho hình vuông ABCD , đường thẳng qua A cắt đường thẳng BC và CD lần lượt tại E
và F . Chứng minh rằng :
1 1 1
2 2 2
AE AF AB
+ =
Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC có các cạnh không bằng nhau xác định một điểm P trong tam


giác ABC sao cho tổng các khoảng cách từ P đến ba cạnh của tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất.

------------------------------------
ĐÁP ÁN
Bài 1: (2 đ) Số chính phương là n
2
( với n

Z ) số đứng trước nó là n
2
- 1
Ta có: ( n
2
- 1)n
2
= ( n - 1 )(n+1)n
2
= (n - 1).n .n (n+ 1) (1đ)
Tích này có 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3 , mặc khác (n-1)n là 2 số nguyên liên tiếp nên
Chia hết cho 2 và n(n+1) chia hết cho 2 nên ( n-1)n.n(n+1) chia hết cho 4
Mà(3,4)=1 nên (n-1) .n.n .(n+1) chia hết cho 12 (1đ)
Vậy (n
2
-1)n
2
chia hết cho 12
Bài 2 ( 2 đ) a) x > 1 nên
1 0x − >
Ta có:
2 2 1

1
x
x x
x
≥ ⇔ ≥ −

2
4 1( )x x⇔ ≥ −

2
4 4 0
2
2 0( )
x x
x
⇔ − + ≥
⇔ − ≥

Bất đẳng thức đúng nên suy ra điều phải chứng minh (1 đ)
b) Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số không âm:

E =
2 2
1 1
a b
b a
+
− −

2 2

2 2
1 1
1 1
. .
a b a b
b a
a b
≥ =
− −
− −
Theo câu a ta có :
2 2
1 1
,
a b
a b
≥ ≥
− −
Nên E

8 Vậy Min E = 8 khi x=y =2 ( 1đ)
Bài 3:(2đ) ( y + 2 ) . x
2
+ 1 = y
2


x
2
=

2
1 3
2
2 2
y
y
y y

= − +
+ +
x, y nguyên nên y + 2 là Ư(3) (1đ)
y + 2 = 1 ; 3;-1;-3 Nên y = -1 ;1;-3 ;5
do x
2

0

nên (y
2
-1)(y+2)
0

, y
2
≠ ⇔

2 1y− ≤ ≤ −
hoặc y
1≥
do đó : y = -1 hoặc y = 1 suy ra x=0 Vậy nghiệm nguyên : (x,y)=

{ }
0 1 0 1( , );( , )−
(1đ)
Bài 4:(2đ)Trên tia đối của tia BC Lấy điểm M sao cho BM=DF

ABM ADF∆ = ∆
Suy ra: góc MAB = góc FAD và AM=AF (1đ)
Từ đó suy ra
MAF∆
vuông tại A có đường cao AB
Và hai cạnh góc vuông AF và AE
Nên
1 1 1
2 2 2
AE AF AB
+ =
(1đ)
Bài 5:(2đ) Gọi a , b, c là các cạnh đối diện với góc A, B, C và h
a
, h
b
, h
c
Là các đường cao tương ứng. Giả sử
,a b c≥ ≥
khi đó : h
a
h h
b c
≤ ≤


Ta có : S
ABC
= S
PAC
+ S
PBC
+ S
PAB
( 1đ)


2 S = a. PH + b . PK + c. PI

a ( PH + PK + PI)


PH + PK + PI
2S
a

= h
a



PH + PK + PI nhỏ nhất khi P trùng với A (1 đ)

M
F

E
D C
B
A
I
H
P
K
C
B
A

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay
×