Khảo sát tính toán ổn định của vòm đối xứng chịu tải phân bố đều bằngphương pháp phần tử hữu hạn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
_______________
^]_______________

CAO ĐỨC VĨNH

KHẢO SÁT TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA
VÒM ĐỐI XỨNG CHỊU TẢI PHÂN BỐ ĐỀU
BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
CHUN NGÀNH:
MÃ SỐ NGÀNH :

XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CƠNG NGHIỆP
60.58.20

LUẬN VĂN THẠC SĨ

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH, THÁNG 11 NĂM 2007


CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học : PGS. PHAN NGỌC CHÂU

Cán bộ chấm nhận xét 1 :

Cán bộ chấm nhận xét 2 :

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày 17
tháng 01 năm 2008


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
----------------

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHIÃ VIỆT NAM
Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc
---oOo--Tp. HCM, ngày . . . . . tháng . . . . . năm . . . . . .

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ và tên học viên :
Ngày, tháng, năm sinh :
Chuyên ngành :

CAO ĐỨC VĨNH
16 – 08 – 1982
Xây dựng dân dụng và cơng nghiệp

Giới tính : Nam
Nơi sinh : Đồng Tháp

Khố (Năm trúng tuyển) : 2005
1- TÊN ĐỀ TÀI:
KHẢO SÁT TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA VÒM ĐỐI XỨNG
CHỊU TẢI PHÂN BỐ ĐỀU BẰNG PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN

2- NHIỆM VỤ LUẬN VĂN:
- Tính ổn định của vịm bằng phương pháp giải tích .
- Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn để khảo sát tính tốn ổn định của vịm đối xứng
chịu tải phân bố đều.
- Xây dựng chương trình máy tính ứng dụng bằng ngơn ngữ lập trình Matlab version 7.0 để
khảo sát và tìm nghiệm bài tốn .
- Nhận xét và kiến nghị .
3- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ :

05 – 02 – 2007

4- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 05 – 11 – 2007
5- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : PGS. PHAN NGỌC CHÂU
Nội dung và đề cương Luận văn thạc sĩ đã được Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua.
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN
(Họ tên và chữ ký)

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN
QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH
(Họ tên và chữ ký)


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, em xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu trường Đại Học Bách
Khoa Tp. Hồ Chí Minh, Phòng Đào tạo sau Đại Học và các quý thầy cô Khoa Kỹ
Thuật Xây Dựng đã truyền đạt cho em những kiến thức nền tảng để em hoàn
thành luận văn này .

Em xin chân thành cám ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn luận án tốt
nghiệp, PGS: Phan Ngọc Châu, người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và

quan tâm sâu sắc đến em trong suốt quá trình thực hiện luận án .
Xin cám ơn đến gia đình tôi đã động viên tinh thần tôi trong suốt quá
trình học tập và trong quá trình thực hiện luận án .
Xin gửi lời cảm ơn đến các bạn bè Cao học khóa 2005 ngành xây dựng
dân dụng và công nghiệp đã giúp đỡ, chia sẻ kinh nghiệm cùng với những tình
cảm chân thành trong suốt quá trình học tập và trong quá trình thực hiện
luận án .


1

MỤC LỤC
CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU ......................................................................................3
1.1 Tổng quan ................................................................................................3
1.2 Phạm vi nghiên cứu đề tài ........................................................................5
1.3 Các giả thiết của đề tài ............................................................................5
CHƯƠNG 2: TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA VÒM BẰNG PHƯƠNG
PHÁP GIẢI TÍCH .............................................................................................7
2.1 Phương trình vi phân và nghiệm tương ứng của thanh cong ....................8
2.1.1 Bỏ qua ảnh hưởng của chuyển vị u ...................................................8
2.1.2 Khi xét đến ảnh hưởng của chuyển vị u ..........................................10
2.2 Khảo sát ổn định của vòm tròn đối xứng chịu lực hướng tâm phân
bố đều ..........................................................................................................15
2.2.1 Vòm hai khớp ..................................................................................15
2.2.2 Vòm không khớp .............................................................................17
2.2.3 Vòm ba khớp ...................................................................................19
2.2.4 Vòm một khớp .................................................................................21
2.2.5 Tổng hợp kết quả khảo sát tính vòm tròn chịu tải trọng phân bố
đều hướng tâm ...........................................................................................23
2.2.6 Vành tròn không khớp ....................................................................25

2.3 Ổn định của vòm Parabol đối xứng chịu lực phân bố đều theo
chiều dài nhịp ..............................................................................................27
CHƯƠNG 3: TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA VÒM BẰNG PHƯƠNG
PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ...........................................................................30
3.1 Lý thuyết tổng quát giải bài toán bằng phương pháp phần tử hữu
hạn ...............................................................................................................31
3.1.1 Phân loại các bài toán cơ học vật rắn và khái niệm phương
pháp phần tử hữu hạn ................................................................................31
3.1.2 Trình tự phân tích và hàm xấp xỉ của bài toán theo phương
pháp phần tử hữu hạn ................................................................................34
3.2 Tính toán ổn định của vòm tròn bằng phương pháp phần tử hữu hạn ....37
3.2.1 Các phương trình cơ bản .................................................................37

KHẢO SÁT TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA VÒM ĐỐI XỨNG CHỊU TẢI PHÂN BỐ ĐỀU BẰNG PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HAÏN


2

3.2.2 Áp dụng tính toán các ma trận độ cứng cho bài toán vòm tròn ......50
3.2.3 Công thức chuyển trục toạ độ .........................................................69
3.3 Phương trình ổn định .............................................................................70
CHƯƠNG 4: VÍ DỤ TÍNH ỔN ĐỊNH VÒM TRÒN BẰNG PHƯƠNG
PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ...........................................................................72
4.1 Ví dụ 1 ...................................................................................................73
4.2 Ví dụ 2 ...................................................................................................74
4.3 So sánh và nhận xét .............................................................................76
CHƯƠNG 5: KẾT LUẬN ..............................................................................78
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...............................................................................79
PHỤ LỤC : Chương trình Matlab 7.0 tính toán ổn định vòm tròn ...................81

KHẢO SÁT TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA VÒM ĐỐI XỨNG CHỊU TẢI PHÂN BỐ ĐỀU BẰNG PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN


3

CHƯƠNG 1 : MỞ ĐẦU
1.1 TỔNG QUAN :
Trong thời đại hiện nay, với sự phát triển mạnh mẽ của các ngành Khoa
học kỹ thuật. Trong đó, ngành Công nghệ thông tin đã đóng góp rất lớn trong
việc lập trình các phầm mềm tính toán các kết cấu trong ngành xây dựng, đặc
biệt là các công trình lớn, vượt nhịp và nhẹ : tấm, vỏ mỏng, thanh, vòm… ngày
càng được sử dụng nhiều .
Trong thực tế khi tính toán thiết kế kết cấu công trình, nếu ngoài việc tính
nội lực của kết cấu (moment, chuyển vị, lực dọc..v.v…), để kiểm tra điều kiện bền
và điều kiện cứng không thôi thì chưa đủ cơ sở để xem xét khả năng làm việc của
công trình. Trong nhiều trường hợp, đặc biệt là các kết cấu chịu nén hoặc nén
cùng với kéo, tuy tải trọng chưa đạt đến giá trị phá hoại hoặc tải trọng còn nhỏ
hơn giá trị cho phép về điều kiện bền và điều kiện cứng nhưng kết cấu vẫn mất
khả năng bảo toàn hình dạng ban đầu ở trạng thái biến dạng mà chuyển sang
dạng cân bằng khác làm kết cấu bị phá hoại. Xem xét sựï ổn định của công trình
là vô cùng quan trọng và là điều không thể tránh khỏi trong thiết kế của kỹ sư
công trình : kỹ sư hàng không, kỹ sư xây dựng dân dụng, kỹ sư cơ khí và các ứng
dụng cơ học,.v.v… Đặc biệt với các kết cấu vòm, việc tính toán ổn định là rất cần
thiết và quan trọng vì đa số các kết cấu vòm bị phá hoại không phải do sự xuất
hiện ứng suất cao hơn trong lúc tính toán mà do không đảm bảo được sự ổn định
đàn hồi của kết cấu .
Trong lónh vực công trình, ổn định là tính chất của công trình có khả năng
giữ được vị trí ban đầu hoặc giữ được dạng cân bằng ban đầu trong trang thái biến

dạng tương ứng với các tải trọng tác dụng .
Tính chất ổn định công trình thường không phải là vô hạn khi tăng giá trị
của các tải trọng tác dụng trên công trình. Khi tính chất đó mất đi thì công trình
không còn khả năng chịu tải trọng, lúc này công trình được gọi là không ổn định.
Như vậy, vị trí của công trình hoặc dạng cân bằng ban đầu trong trạng thái biến
dạng của công trình có khả năng ổn định hoặc không ổn định .
Vị trí của công trình hay dạng ban đầu trong trạng thái biến dạng của công
trình được gọi là ổn định dưới tác dụng của tải trọng nếu như sau khi gây cho
công trình một độ lệch rất nhỏ so với vị trí ban đầu hoặc dạng cân bằng ban đầu

KHẢO SÁT TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA VÒM ĐỐI XỨNG CHỊU TẢI PHÂN BỐ ĐỀU BẰNG PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN


4

bằng một nguyên nhân bất kì nào đó bằng tải trọng đã có rồi bỏ nguyên nhân đó
đi thì công trình sẽ có khuynh hướng quay trở về trạng thái ban đầu. Tuỳ theo các
nguyên nhân gây ra công trình các biến dạn đàn hồi hay đàn dẻo, công trình sẽ
phục hồi trạng thái ban đầu hoàn toàn hay không hoàn toàn .
Vị trí của công trình hay dạng cân bằng ban đầu trong trạng thái biến dạng
của công trình được gọi là không ổn định dưới tác dụng của tải trọng nếu như sau
khi gây cho công trình một độ lệch rất nhỏ so với vị trí ban đầu hoặc dạng cân
bằng ban đầu bằng một nguyên nhân bất kì nào đó ngoài tải trọng đã có rồi bỏ
nguyên nhân đó đi thì công trình sẽ không quay trở về trạng thái ban đầu. Lúc
này, độ lệch của công trình không có khuynh hướng giảm dần mà có thể tiếp tục
phát triển cho đến khi công trình có vị trí mới hoặc dạng cân bằng mới .
Bước quá độ của công trình từ trạng thái ổn định sang trạng thái không ổn
định gọi là mất ổn định. Giới hạn đầu của bước quá độ đó gọi là trạng thái tới hạn
của công trình. Tải trọng tương ứng với trạng thái tới hạn gọi là tải trọng tới hạn .

Bài toán ổn định đã được quan tâm từ thế kỷ XVIII, khởi đầu từ công trình
nghiên cứu bằng thực nghiệm do Piter van Musschenbroek công bố 1729. Năm
1744, L.Euler đã công bố với thế giới về nghiên cứu lý thuyết bài toán ổn định
đàn hồi khi uốn dọc của các thanh chịu nén. Trong thời gian dài, bài toán ổn định
của L.Euler chưa được ứng dụng vào thực tế. Mãi đến thế kỷ XIX vấn đề ổn định
công trình mới được phát triển mạnh mẽ thông qua các cống hiến của các nhà
khoa học như : Giáo sư F.S.Iaxinski, Viện só A.N.Đinnik, Viện só V.G.Galerkin,
X.P.Timosenko.… A.C.Loksin là tác giả đầu tiên, đã tìm ra nghiệm chính xác của
bài toán vòm Parabol, Viện só A.N.Đinnik, A.F.Smirnov đã vận dụng phương
pháp số để nghiên cứu sự ổn định của vòm Parabol có tiết diện không đổi và thay
đổi tương ứng với các điều kiện khác nhau .
Các bài toán nghiên cứu lý thuyết ổn định đã phát triển theo từng thời kỳ
nhằm đáp ứng với điều kiện phát triển của Khoa học kỹ thuật, thực tế sản xuất và
ứng dụng như : bài toán ổn định đàn hồi theo lý thuyết tuyến tính, ổn định đàn hồi
theo lý thuyết phi tuyến, ổn định của hệ làm việc ngoài giới hạn đàn hồi, ổn định
của những hệ chịu lực không bảo toàn, ổn định của hệ chịu lực động tác dụng có
chu kỳ, ổn định của hệ chịu các lực ngẫu nhiên..v.v…
Các lí thuyết ổn định ngày càng được hoàn thiện và phát triển nhờ vào
việc ứng dụng, thực tế sản xuất và các thí nghiệm để kiểm chứng, bổ sung cho
kết quả tính toán theo lí thuyết .
Trên nền tảng kế thừa những thành quả đã đạt được, đề tài sẽ khảo sát tính
toán bài toán ổn định của vòm tròn đối xứng chịu lực hướng tâm phân bố đều

KHẢO SÁT TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA VÒM ĐỐI XỨNG CHỊU TẢI PHÂN BỐ ĐỀU BẰNG PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN


5

bằng phương pháp Phần tử hữu hạn và đưa ra những nhận xét, phân tích về kết

quả nhận được .
1.2. PHẠM VI NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI :
Như ta đã biết, vòm chỉ chịu nén đúng tâm khi trục thanh trùng với đường
cong áp lực. Khi mất ổn định, vòm chuyển từ dạng cân bằng chịu nén sang dạng
cân bằng chịu uốn và trong vòm sẽ phát sinh mômen uốn. Trong khuôn khổ yêu
cầu của luận văn thực hiện trong thời gian hữu hạn nên đề tài chỉ nghiên cứu ổn
định dạng nén đúng tâm của thanh cong là kết cấu vòm tròn (có trục là đường
tròn) đối xứng và vòm parabol (trục là đường parabol) đối xứng thường gặp trong
ngành xây dựng :
1. Nghiên cứu tính ổn định của vòm tròn đối xứng chịu lực hướng tâm phân
bố đều bằng phương pháp trực tiếp dựa trên phương trình vi phân của độ võng .
2. Dựa trên cơ sở lí thuyết, đề tài sẽ phân tích các trường hợp mất ổn định
của vòm tròn đối xứng chịu lực hướng tâm phân bố đều và vòm Parabol đối xứng
chịu lực phân bố đều theo chiều dài nhịp ứng với các điều kiện biên khác nhau .
3. Nghiên cứu nội dung lí thuyết, tính toán ổn định kết cấu vòm đối xứng
(vòm tròn) bằng phương pháp Phần tử hữu hạn .
4. Thiết lập thuật toán chung cho việc tính toán ổn định vòm tròn đối xứng
chịu lực phân bố đều .
5. Một số ví dụ minh hoạ. So sánh và nhận xét kết quả của bài toán với kết
quả tính toán của bài baùo: A Finite Element Approach To The Structural
Instability Of Beam Columns, Frames, And Arches .
Sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để viết chương trình tính toán .
1.3. CÁC GIẢ THIẾT CỦA ĐỀ TÀI :
Khi nghiên cứu ổn định của hệ thanh ta chấp nhận các giả thiết dưới đây
nhằm đơn giản hoá việc xác định tải trọng tới hạn :
- Vật liệu của phần tử là đồng nhất, đẳng hướng và làm việc trong giới hạn
đàn hồi .
- Tuân theo định luật Hooke .
- Đường cong quan hệ ứng suất – biến dạng giống nhau trong kéo và nén .

KHẢO SÁT TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA VÒM ĐỐI XỨNG CHỊU TẢI PHÂN BỐ ĐỀU BẰNG PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HAÏN


6

- Các nút của hệ xem như tuyệt đối cứng. Do đó, chuyển vị tại các đầu
thanh quy tụ vào một nút sẽ như nhau .
- Các thanh của hệ xem như không co giản. Trước và sau khi biến dạng,
khoảng cách theo phương ban đầu giữa các nút của hệ không thay đổi .
- Khi xác định chuyển vị trong hệ, chỉ xét đến ảnh hưởng của biến dạng
uốn do moment uốn và do lực dọc phát sinh trước khi hệ mất ổn định. Bỏ qua ảnh
hưởng của gia số lực dọc phát sinh sau khi hệ mất ổn định .
- Tải trọng tác dụng không biến đổi .

KHẢO SÁT TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA VÒM ĐỐI XỨNG CHỊU TẢI PHÂN BỐ ĐỀU BẰNG PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN


7

CHƯƠNG 2 :
TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA VÒM
BẰNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH

KHẢO SÁT TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA VÒM ĐỐI XỨNG CHỊU TẢI PHÂN BỐ ĐỀU BẰNG PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN


8

2.1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ NGHIỆM TƯƠNG ỨNG CỦA THANH
CONG :
Chúng ta xét thanh cong tròn AB, trên cung tròn ta xét một phân tố vô
cùng bé mn có góc ở tâm là dθ , bán kính cong là R. Sau khi biến dạng phân tố
mn sẽ dịch chuyển tới vị trí mới là m’n’, bán kính cong sau khi biến dạng là r.
Chuyển vị tại điểm bất kỳ m trên thanh được phân tích thành hai thành phần:
thành phần chuyển vị hướng tâm w và thành phần chuyển vị theo phương pháp
tuyến u .
Các chuyển vị của hệ được xem là nhỏ, đồng thời chuyển vị u thường rất
nhỏ so với chuyển vị w nên trong quá trình tính toán để đơn giản ta có thể bỏ qua
ảnh hưởng của chuyển vị u .
2.1.1 Bỏ qua ảnh hưởng của chuyển vị u :
dθ

ds
m

B

n

m
dw
ds

w

w
n'

m'

A

n'

dθ
θ

dθ+Δdθ

m'

m'n'=ds+Δds
R

n

2

dw + d w ds
ds ds2

O

Hình 2.1
Nếu coi chuyển vị w hướng về tâm cong của cung tròn là dương, mômen
uốn làm giảm độ cong ban đầu của thanh là dương thì ta có thể biểu diễn mối
quan hệ giữa độ biến thiên độ cong và độ lớn của moment M trong trường hợp

thanh mỏng bằng công thức sau :

hoặc

M
⎛1 1 ⎞
⎜ − ⎟=−
EI
⎝r R⎠

(2.1)

⎛1 1 ⎞
EI ⎜ − ⎟ = − M
⎝r R⎠

(2.2)

KHẢO SÁT TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA VÒM ĐỐI XỨNG CHỊU TẢI PHÂN BỐ ĐỀU BẰNG PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN


9

ở đây: M là mômen uốn trong mặt cắt ngang .
EI là độ cứng chịu uốn của vòm .
Chiều dài hình học ban đầu của phân tố mn và độ cong ban đầu là :
or

ds = R dθ

dθ 1
=
ds R

(2.3)

Nếu bỏ qua biến dạng nén do lực dọc gây ra, tức là ta sẽ chấp nhận chiều
dài hình học của phân tố mn trước và sau khi biến dạng m’n’ là như nhau. Độ
cong sau khi biến dạng được cho bởi công thức :
1 dθ + Δdθ
=
r ds + Δds

(2.4)

ở đây dθ + Δdθ là góc hợp bởi hai pháp tuyến tại hai mặt cắt m’ và n’ của thanh
cong, ds + Δds là chiều dài của phân tố m’n’. Trong tính toán góc Δdθ là bé, ta
có góc hợp bởi đường tiếp tuyến của trục thanh tại m’ và đường vuông góc với
bán kính mO là dw/ds. Góc tương ứng tại mặt cắt ngang n’ là :

và do đó :

dw d 2 w
+
ds
ds ds 2

(2.5)

⎛ dw d 2 w ⎞ dw d 2 w
= 2 ds
Δdθ = ⎜⎜
+ 2 ds ⎟⎟ −
ds
ds
⎠ ds ds
⎝

(2.6)

Từ hình 1.1, áp dụng đồng dạng hình quạt ta có :
ds ds + Δds
=
R
R−w

⇒

⎛ w⎞
ds + Δds = ds⎜1 − ⎟
⎝ R⎠

(2.7)

Thế công thức (2.6) và (2.7) vào (2.4) ta đạt được :

(

)

1 dθ + d 2 w ds 2 ds
=
r
ds (1 − w R )

hoaëc

⎡ dθ d 2 w ⎤
1
1
=
+
⎢
⎥
r (1 − w R ) ⎣ ds ds 2 ⎦

hoaëc

(1 − w R ) = ⎡ 1 + d 2 w ⎤
r

⎢
⎣R

(2.8)

⎥
ds 2 ⎦

KHAÛO SÁT TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA VÒM ĐỐI XỨNG CHỊU TẢI PHÂN BỐ ĐỀU BẰNG PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN


10

hoaëc

2
⎛1 1 ⎞ d w w
⎜ − ⎟= 2 +
Rr
⎝ r R ⎠ ds

(2.9)

Ở mức độ gần đúng ta xem w Rr ≅ w R 2 và thế vào công thức (2.1) liên hệ
mômen_độ cong ta được :
d 2w w
M
+ 2 =−
2
ds
R
EI

hoaëc

MR 2
d 2w

+
=
−
w
EI
ds 2 R 2

hoaëc

MR 2
d 2w
+w=−
EI
dθ 2

(2.10)

2.1.2 Khi xét đến ảnh hưởng của chuyển vị u :
Tương tự như trên, ta xét một phân bố vô cùng bé mn của thanh cong tròn
có góc ở tâm là dθ , bán kính cong là R .
Chuyển vị tại điểm bất kỳ m trên thanh được phân tích thành hai thành
phần: chuyển vị hướng tâm w (chiều dương hướng về phía tâm cong) và chuyển
vị theo phương tiếp tuyến u (chiều dương hướng về bên phải). Các thành phần
chuyển vị tương ứng của điểm n sẽ là w + dw và u + du .
Sau khi hệ bị biến dạng, phân bố mn chuyển dịch tới vị trí mới m’n’ như
trên hình 2.2 :
b

m

ϕ

ϕ+dθ1

n

w

ds

dθ

u
R

R

dθ

ϕ1

m'

ds'
r
r

a

w+

dw

u+d
u

n'

dθ1

y

Hình 2.2
KHẢO SÁT TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA VÒM ĐỐI XỨNG CHỊU TẢI PHÂN BỐ ĐỀU BẰNG PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN


11

Phân bố m’n’ có góc ở tâm là dθ1 , bán kính cong là r . Chọn trục x trùng
với tiếp tuyến tại m và gọi ϕ là góc hợp thành giữa tiếp tuyến tại m’ với tiếp
tuyến tại m .
Từ hình 2.2, ta tìm được góc hợp thành giữa tiếp tuyến tại n’ với tiếp tuyến
tại n là ϕ1 = ϕ + dθ1 − dθ . Do đó: dϕ = ϕ1 − ϕ = dθ1 − dθ .
Neáu quy ước chiều dương của mômen uốn là chiều làm giảm độ cong của
thanh đồng thời chú ý là ds = R.dθ và ds ' = r.dθ1 thì từ Sức bền vật liệu ta có sự
liên hệ giữa độ biến thiên của độ cong và mômen uốn như sau :
dϕ 1 1
M
= − =−
ds r R

EI

(1.1)

Để thiết lập các điều kiện hình học, chiếu đường khép kín mnan’m’b lên
các trục toạ độ, ta có :
∑ X = ds. cos(dθ 2) + (u + du ) cos dθ − (w + dw) sin dθ − ds ' cos[ϕ + (dθ1 2 )] − u = 0
∑ Y = ds.sin (dθ 2) + (u + du )sin dθ + (w + dw)cos dθ − ds ' sin[ϕ + (dθ1 2 )] − w = 0

Sau khi biến đổi các hàm lượng giác của tổng các góc và chỉ giữ lại các số
hạng vô cùng bé bậc một, ta được :
ds + du − w.dθ = ds ' cos ϕ
u.dθ + dw = ds ' sin ϕ

Nếu bỏ qua biến dạng nén do lực dọc gây ra, tức là xem ds ' = ds , thì với
các góc ϕ được xem là nhỏ, ta được :
du w
− =0
ds R

(2.11)

u dw
+
=0
R ds

(2.12)

Từ các phương trình (2.1), (2.11) và (2.12) ta tìm được phương trình vi

phân của chuyển vị hướng tâm như sau :
d 2w w
M
+ 2 =−
2
ds
R
EI

hay

d 2w
MR 2
+
=
−
w
dθ 2
EI

(2.10)

KHẢO SÁT TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA VÒM ĐỐI XỨNG CHỊU TẢI PHÂN BỐ ĐỀU BẰNG PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN


12

Phương trình vi phân của chuyển vị tiếp tuyến (2.11) sẽ trở thành :
du w

− =0
ds R

(2.13)

Phương trình (2.10) là phương trình vi phân của chuyển vị hướng tâm và là
phương trình vi phân chủ đạo của bài toán thanh cong trong toạ độ cực để giải
quyết các bài toán ổn định của vòm. Để giải phương trình vi phân của chuyển vị
hướng tâm (2.10) ta cần xác định moment uốn phát sinh trong thanh ở trạng thái
biến dạng khi mất ổn định .
Ta xét cung tròn AB chịu tải trọng tác dụng hướng tâm như Hình 2.3. Khi
thanh chưa mất ổn định, nếu bỏ qua biến dạng nén do lực dọc gây ra thì từ Cơ
học kết cấu ta tìm được : tại tiết diện bất kỳ chỉ tồn tại lực dọc bằng pr .
Giả sử khi hệ vừa bị mất ổn định, cung tròn AB chuyển dịch tới vị trí mới
A’B’ như Hình 2.3. Chuyển vị tại điểm bất kỳ trên thanh được phân tích thành hai
thành phần: thành phần chuyển vị hướng tâm w và thành phần chuyển vị theo
phương pháp tuyến u . Chọn gốc toạ độ tại A’, trục x theo phương tiếp tuyến tại A
ở trạng thái ban đầu, trục y vuông góc với trục x. Vị trí của B’ được xác định theo
các toạ độ x,y. Gọi uo, wo và u1, w1 là chuyển vị theo phương x và phương y của
điểm A và điểm B; u và w là chuyển vị theo phương tiếp tuyến và chuyển vị
hướng tâm của điểm B. Từ Hình 3.3.a ta tìm được các liên hệ sau :
x = R sin θ − u1 + u 0 ; y = R − R cosθ + w1 − w0 ; w = u1 sin θ + w1 cos θ

(2.14)

uo
p

pr

Mo

No

x

A'
To

u1

y
w1

x
B'
R

θ

y

(a)

w

1

sθ
co

B

pds
pdx

pr

A

θ
sin
u1
w

dy

wo

ds

pdy
ω

dx

R

(b)

O

Hình 2.3
KHẢO SÁT TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA VÒM ĐỐI XỨNG CHỊU TẢI PHÂN BỐ ĐỀU BẰNG PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN


13

Giả sử khi bắt đầu mất ổn định, tại A’ với θ = 0 , phát sinh thêm các nội lực
rất nhỏ N0, To, Mo . Để lập biểu thức moment uốn được dễ dàng, ta phân tích hợp
lực của tải trọng hướng tâm p trên phân tố thanh ds tại toạ độ góc ω là pds thành
hai thành phần theo hai phương x và y. Vì ds rất nhỏ nên có thể xem như một
đoạn thẳng nghiêng so với trục x theo góc ω . Chiếu hợp lực pds lên trục x và trục
y (Hình 2.3.b), ta được : pds.sin ω =p.dy ; pds.cos ω =p.dx .
Như vậy, ta có thể thay tải trọng phân bố đều theo chiều dài cong của
thanh với cường độ p bằng hai thành phần : tải trọng theo phương y phân bố đều
với cường độ p theo chiều dài hình chiếu của thanh lên phương x và tải trọng theo
phương x phân bố đều với cường độ p theo chiều dài hình chiếu của thanh lên
phương y .
Biểu thức moment uốn tại B’ ở trạng thái biến dạng sẽ bằng :
M = M o + To x + N o y + pRy −

(

p 2
x + y2
2

)

(2.15)

Thay (2.14) vào (2.15) và bỏ qua các số hạng bậc hai của các đại lượng
được xem là vô cùng bé (No , To , Mo và các chuyển vị), ta tìm được biểu thức
moment uốn dưới daïng :
M = A + B sin θ + C cosθ + pRw

(2.16)

trong đó : A = Mo + NoR ; B = ToR – pRuo ; C = -(NoR + pRwo)
Biểu thức lực cắt Q =

dM B
C
dw
= cosθ − sin θ + pR
ds
R
R
ds

(2.16’)

Thay (2.16) vào (2.10), ta được :
d 2w
R2
( A + B sin θ + C cosθ + pRw)
+
w

=
−
dθ 2
EI

hoaëc

d 2w
R2
2
( A + B sin θ + C cosθ )
+
k
w
=
−
dθ 2
EI

trong đó :

k2 =

pR 3
+1
EI

(2.17)
(2.18)

Tích phân (2.17) ta được phương trình chuyển vị hướng tâm w tại toạ độ
góc θ :

KHẢO SÁT TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA VÒM ĐỐI XỨNG CHỊU TẢI PHÂN BỐ ĐỀU BẰNG PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN


14

AR 2 BR 2 sin θ CR 2 cosθ
w = D1 sin kθ + D2 cos kθ − 2 +
+
k EI 1 − k 2 EI 1 − k 2 EI

(

)

(

(2.19)

)

với D1 và D2 là các hằng số tích phân .
Từ phương trình (2.11), ta có :
du = wds

R

= wdθ

Do ñoù :
⎛
AR 2 BR 2 sin θ CR 2 cosθ ⎞
⎜
⎟⎟dθ
+
u = ∫ wdθ = ∫ ⎜ D1 sin kθ + D2 cos kθ − 2 +
2
2
−
−
1
1
k
EI
k
EI
k
EI
⎝
⎠

(

)

(

)

Lấy tích phân phương trình trên ta được phương trình chuyển vị tiếp tuyến
u tại toạ độ θ :
u=−

D1 cos kθ D2 sin kθ AR 2
BR 2 cosθ CR 2 sin θ
+
− 2 θ−
+
+F
k
k
k EI
1 − k 2 EI 1 − k 2 EI

(

)

(

)

Haèng số tích phân F được xác định theo điều kiện :
θ = 0; u = u0 . Suy ra :
F=

D1

BR 2
+
+ uo
k
1 − k 2 EI

(

)

Ta được :
u = u0 +

D1 (1 − cos kθ ) D2 sin kθ AR 2
BR 2 (1 − cosθ ) CR 2 sin θ
+
− 2 θ+
+
k
k
k EI
1 − k 2 EI
1 − k 2 EI

(

)

(

)

(2.20)

KHẢO SÁT TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA VÒM ĐỐI XỨNG CHỊU TẢI PHÂN BỐ ĐỀU BẰNG PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HAÏN


15

2.2. KHẢO SÁT ỔN ĐỊNH CỦA VÒM TRÒN ĐỐI XỨNG CHỊU LỰC
HƯỚNG TÂM PHÂN BỐ ĐỀU :
2.2.1 Vòm hai khớp :
Nếu một thanh cong có khớp ở hai đầu và trục thanh có dạng cung tròn.
Dưới tác dụng của áp lực p phân bố đều hướng tâm thì trong vòm hai khớp chỉ tồn
tại lực dọc nén đúng tâm bằng pr . Qua nghiên cứu, tải trọng tới hạn nhỏ nhất xảy
ra tương ứng với dạng biến dạng phản xứng (đường nét đứt) như trên hình 2.4, do
đó ta không cần xét dạng biến dạng đối xứng .
p
f
θ

l
R

R

α

α

Hình 2.4
Khi hệ mất ổn định theo dạng biến dạng phản xứng, tại đỉnh vòm ta có các
điều kiện sau: M0 = 0; N0 = 0; w0 = 0. Do đó biểu thức mômen uốn (2.16) và
phương trình chuyển vị hướng tâm (2.19) sẽ có dạng :
(2.21)

M = B. sin θ + p.R.w
w = D1 sin kθ + D2 cos kθ +

BR 2 sin θ
(1 − k 2 )EI

(2.22)

Các điều kiện biên :
* Khi θ = 0 (tại đỉnh vòm) ta có w = 0 : từ (2.22) ta tìm được D2 = 0 .
* Khi θ = α (tại chân vòm) ta có M = 0 và w = 0 .
° Từ (2.21) ta tìm được : B sin α = 0 ; suy ra B = 0 .
° Từ (2.22) ta tìm được : D1 sin kα = 0 .

KHẢO SÁT TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA VÒM ĐỐI XỨNG CHỊU TẢI PHÂN BỐ ĐỀU BẰNG PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN


16

Vòm bị mất ổn định khi D1 ≠ 0 và sin kα = 0 . Tải trọng tới hạn nhỏ nhất
tương ứng với nghiệm kα = π
⇒ k =π .

α
Từ (2.18), ta coù: k 2 =
Suy ra:

pth =

pR 3
π2
+1 = 2
EI
α

⎞
⎞
EI ⎛ π 2
EI ⎛ π 2
⎜
⎜ 2 − 1⎟⎟
⎟
vaø
−
1
=
=
N
p
R
th
th
3 ⎜

2
2 ⎜
⎟
R ⎝α
R ⎝α
⎠
⎠

(2.23)

Đường biến dạng của hệ khi mất ổn định xảy ra theo hai nửa sóng hình sin.
* Nếu lấy α = π 2 , ta thấy rằng phương trình (2.23) cho trị số pth của nửa
vành tròn bị mất ổn định nằm giữa hai điểm uốn đối nhau :
pth =

3EI
R3

* Khi α tiến dần đến trị số π , tức là vòm gần như vành kín, trị số qth theo
phương trình (2.23) gần bằng không. Có thể lí giải điều này nếu lưu ý rằng khi
α = π , hai khớp sẽ trùng khít với nhau và vòm sẽ xoay tự do quanh khớp chung
ấy như một vật rắn .
* Khi α bé hơn π rất nhiều thì trong dấu ngoặc của công thức (2.23), có
2
thể coi số một là không đáng kể so với π 2 . Do đó, lực nén tới hạn N th = pth R
α
trở thành tải trọng tới hạn trong trường hợp thanh lăng trụ có hai đầu khớp và có
chiều dài Rα .
* Khi xác định công thức (2.23), ta tính với trường hợp vòm có dạng biến
dạng phản xứng (điểm uốn tại chính giữa) (hình 2.4). Trong chuyển vị của vòm

có trục không co dãn thì cũng có khả năng xuất hiện dạng biến dạng đối xứng
(đối xứng qua điểm chính giữa). Nếu lấy dạng biến dạng đối xứng làm cơ sở tính
toán tải trọng tới hạn thì ta nhận được trị số tới hạn có giá trị lớn hơn giá trị trị số
tính theo công thức (2.23). Do đó, ta phải dùng công thức (2.23) để tính pth .
* Khi rút ra công thức (2.23), ta đã giả thiết rằng trước lúc mất ổn định,
thanh cong có trục là một cung tròn. Điều kiện này chỉ đạt được khi lực nén đều
pth R

AE

trên một đơn vị chiều dài trục thanh phát sinh trước khi gắn hai đầu

thanh vào gối khớp, nếu không thì ngay khi vừa mới đặt tải thì dưới tác dụng của
áp lực đều thanh đã bị uốn. Hiện tượng này rất nhỏ khi áp lực p khá bé so với pth
và tình huống cũng tương tự như hiện tượng uốn xuất hiện ở thanh chịu nén do
nhiều nguyên nhân sai sót khác .
KHẢO SÁT TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA VÒM ĐỐI XỨNG CHỊU TẢI PHÂN BỐ ĐỀU BẰNG PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN


17

* Trong phương trình (2.23), thay thế E bởi E

(1 − υ )
2

và I bởi h3/12, ta

nhận:

⎛π 2
⎞
Eh 3
⎜ 2 − 1⎟⎟
pth =
2
3 ⎜
12 1 − υ R ⎝ α
⎠

(

)

Coù thể dùng công thức này để tính tải trọng tới hạn cho vỏ trụ có khớp dọc
theo các cạnh θ = 0 và θ = 2α (hình 2.4) chịu tác dụng của áp lực đều .
2.2.2 Vòm không khớp :

p
f

l
R

R
α

α

Hình 2.5

Tương tự, xét một thanh cong có liên kết ngàm ở hai đầu và trục thanh có
dạng cung tròn chịu tác dụng của áp lực p phân bố đều hướng tâm. Qua nghiên
cứu, tải trọng tới hạn nhỏ nhất xảy ra tương ứng với dạng biến dạng phản xứng
như trên hình 2.5, do đó ta không cần xét dạng biến dạng đối xứng .
Khi hệ mất ổn định theo dạng biến dạng phản xứng, tại đỉnh vòm ta có các
điều kieän: M0 = 0 ; N0 = 0 ; w0 = 0. Do đó, phương trình chuyển vị hướng tâm vẫn
có dạng (2.22) như trường hợp vòm hai khớp :
w = D1 sin kθ + D2 cos kθ +

BR 2 sin θ
1 − k 2 EI

(

)

(2.22)

KHẢO SÁT TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA VÒM ĐỐI XỨNG CHỊU TẢI PHÂN BỐ ĐỀU BẰNG PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN


18

Phương trình góc xoay:
dw
BR 2 cosθ
= kD1 cos kθ − kD2 sin kθ +
dθ
1 − k 2 EI

(

)

(2.24)

Các điều kiện biên:
* Khi θ = 0 (tại đỉnh vòm) ta có w = 0 : từ (2.22) ta tìm được D2 = 0 .
* Khi θ = α (tại chân vòm) ta có w = 0 và dw dθ = 0 .
Từ (2.22) và (2.24) ta tìm được :
D1 sin kθ +

Br 2 sin α
=0
1 − k 2 EI

(

)

Br 2 cos α
kD1 cos kθ +
=0
1 − k 2 EI

(

)

(2.25)

Ta tìm phương trình tính trị số tới hạn của áp lực đều p bằng cách buộc
định thức của hệ phương trình (2.25) bằng không, ta có :
D=

sin kα
k cos kα

sin α
=0
cos α

⇒ sin kα . cos α − k sin α . cos kα = 0

Hay:

tgkα = k .tgα

(2.26)

Trị số k và áp lực p tới hạn phụ thuộc vào độ lớn của góc α
Giải phương trình (2.26) ta sẽ tìm được giá trị k và từ (2.18) suy ra công
thức xác định lực tới hạn :
pth =

(

)

EI 2
k −1
R3

(2.27)

Trị số pth này luôn luôn lớn hơn trị số đã được tìm theo phương trình (2.23).
Tương tự như trên, lực tới hạn trong công thức (2.27) được xác định trong
trường hợp vòm có dạng biến dạng phản xứng (điểm uốn tại chính giữa) (hình
2.5). Ngoài ra, vòm cũng có khả năng xuất hiện dạng biến dạng đối xứng (đối
xứng qua điểm chính giữa). Nếu lấy dạng biến dạng đối xứng làm cơ sở tính toán
tải trọng tới hạn thì ta nhận được giá trị lực tới hạn lớn hơn giá trị lực tới hạn tính
theo công thức (2.27). Do đó, ta phải dùng công thức (2.27) để tính pth .

KHẢO SÁT TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA VÒM ĐỐI XỨNG CHỊU TẢI PHÂN BỐ ĐỀU BẰNG PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN


19

2.2.3 Vòm ba khớp :
Dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều, hướng tâm, vòm tròn ba khớp có
thể bị mất ổn định theo dạng biến dạng phản xứng Hình 2.6.a hoặc theo dạng
biến dạng đối xứng Hình 2.6.b . Do đó ta cần xét cả hai dạng biến dạng và chọn
tải trọng nhỏ nhất làm tải trọng tới hạn của hệ .
p
p
f

l

R

R
α

R

α

R
α

(a)

α

(b)

Hình 2.6
a. Hệ bị mất ổn định theo dạng biến dạng phản xứng :
Trong trường hợp này đường biến dạng của vòm ba khớp có dạng tương
tự như đường biến dạng của vòm hai khớp. Do đó ta có thể vận dụng công thức
(2.23) để xác định lực tới hạn cho vòm ba khớp :
pth =

⎞
EI ⎛ π 2
⎜ 2 − 1⎟⎟
3 ⎜
R ⎝α

⎠

(2.23)

b. Hệ bị mất ổn định theo dạng biến dạng đối xứng :
Trong trường hợp này, tại đỉnh vòm ta có các điều kiện :
M0 = 0 ; T0 = 0 ; u0 = 0 .
Do đó, biểu thức mômen uốn (2.16) có dạng :
M = A + C. cos θ + p.R.w

°Khi θ = 0 , ta coù: M = 0; w = w0. Suy ra: A + C + p.R.w0 = 0 .

KHẢO SÁT TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA VÒM ĐỐI XỨNG CHỊU TẢI PHÂN BỐ ĐỀU BẰNG PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HAÏN


20

°Khi θ = α , ta coù: M = 0; w = 0. Suy ra: A + C. cos α = 0 .
Giải hai phương trình trên ta tìm được :
A=

p.R.w0 cos α
p.R.w0
; C=−
1 − cos α
1 − cos α

(2.28)

Phương trình chuyển vị hướng tâm :
w = D1 sin kϕ + D2 cos kϕ −

AR 2 BR 2 sin ϕ CR 2 cos ϕ
+
+
k 2 EI 1 − k 2 EI 1 − k 2 EI

(

)

(

)

Sẽ có dạng :
w = D1 sin kϕ + D2 cos kϕ −

AR 2 CR 2 cos ϕ
+
k 2 EI 1 − k 2 EI

(

(2.29)

)

Khi θ = 0 ta có: w = w0. Từ (2.29) suy ra: D2 −

AR 2
CR 2
+
= w0 .
k 2 EI 1 − k 2 EI

(

)

Thay thế (2.28) vào điều kiện trên ta tìm được:
⎡ p.R. cos α
⎤
R2
p.R
R2
D2 = w0 ⎢1 +
× 2 +
×
⎥.
2
⎣ 1 − cos α k EI 1 − cos α 1 − k EI ⎦

(

)

Phương trình chuyển vị hướng tâm trong trường hợp này sẽ là:
⎡ p.R. cos α

⎤
R2
p.R
R2
× 2 +
×
w = D1 sin kθ + w0 ⎢1 +
⎥ cos kθ
2
⎣ 1 − cos α k EI 1 − cos α 1 − k EI ⎦

(

− w0

)

p.R. cos α
R2
p.R
R 2 cosθ
× 2 − w0
×
1 − cos α k EI
1 − cos α 1 − k 2 EI

(

(2.30)

)

Phương trình chuyển vị tiếp tuyến :
u = u0 +

D1 (1 − cos kθ ) D2 sin kθ AR 2
BR 2 (1 − cosθ ) CR 2 sin θ
+
− 2 ϕ+
+
k
k
k EI
1 − k 2 EI
1 − k 2 EI

(

)

(

)

Trong trường hợp này sẽ là :
u = D1

(1 − cos kθ ) + sin kθ w
k

− w0

k

⎡ p.R. cos α
⎤
R2
p.R
R2
+
×
+
×
1
0⎢
⎥
2
2
⎣ 1 − cos α k EI 1 − cos α 1 − k EI ⎦

(

p.R. cos α
R2
p.R
R 2 sin θ
× 2 θ − w0
×
1 − cos α k EI
1 − cos α 1 − k 2 EI

(

)

)

(2.31)

KHẢO SÁT TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA VÒM ĐỐI XỨNG CHỊU TẢI PHÂN BỐ ĐỀU BẰNG PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN


21

Các điều kiện biên tại chân vòm :
Khi θ = α , ta có w = 0 và u = 0 : thế vào phương trình (2.30) và (2.31) :
⎡ p.R. cos α
⎤
R2
p.R
R2
× 2 +
×
w = D1 sin kα + w0 ⎢1 +
⎥ cos kα
2
⎣ 1 − cos α k EI 1 − cos α 1 − k EI ⎦

(

− w0
u = D1

)

p.R. cos α
R2
p.R
R 2 cos α
× 2 − w0
×
=0
1 − cos α k EI
1 − cos α 1 − k 2 EI

(

(1 − cos kα ) + sin kα w

− w0

k

k

(2.32)

)

⎡ p.R. cos α
⎤
R2
p.R
R2
+
×
+
×
1
0⎢
⎥
2
2
⎣ 1 − cos α k EI 1 − cos α 1 − k EI ⎦

(

p.R. cos α
R2
p.R
R 2 sin α
× 2 α − w0
×
=0
1 − cos α k EI
1 − cos α 1 − k 2 EI

(

)

)

(2.33)

Ta tìm phương trình tính giá trị lực tới hạn của áp lực đều p bằng cách
cho định thức các hệ số của D1 và w0 trong (2.32) và (2.33) bằng không :
Sau quá trình biến đổi ta được phương trình ổn định :
tgv − v 4(tgα − α )
=
v3
α3

, với v =

kα
2

(2.34)

Giải phương trình (2.34) ta sẽ tìm được giá trị v , ta suy ra giá trị k và từ
công thức k 2 =

pR 3
+ 1 , suy ra công thức xác định lực tới hạn :
EI
pth =

4v 2 − α 2

α

2

×

EI
R3

(2.35)

Thực nghiệm chứng tỏ rằng tải trọng tới hạn nhỏ nhất của vòm ba khớp
xảy ra tương ứng với trường hợp biến dạng đối xứng. Nó cũng phù hợp với lời giải
lí thuyết vì tải trọng tới hạn trong công thức (2.23) lớn hơn tải trọng tới hạn trong
công thức (2.35) .
2.2.4 Vòm một khớp :
Dưới tác động của tải trọng phân bố đều, hướng tâm, vòm tròn một khớp
có thể bị mất ổn định theo dạng biến dạng phản xứng hoặc theo dạng biến dạng
đối xứng. Do đó ta cần xét cả hai dạng biến dạng và chọn tải trọng nhỏ nhất làm
tải trọng tới hạn của hệ .

KHẢO SÁT TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA VÒM ĐỐI XỨNG CHỊU TẢI PHÂN BỐ ĐỀU BẰNG PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN