Đề thi – Đáp án cuối kỳ môn Hàm suy rộng lớp K55A1-học lại
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (143.23 KB, 3 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI</b>
<b>ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN</b>
<b>————-ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KÌ II</b>
<b>NĂM HỌC 2013-2014</b>
<b>——oOo——-Mơn thi: Hàm suy rộng</b>
Mã mơn học:<b>MAT3014</b> Số tín chỉ:<b>2</b> Đề số:<b>1</b>
Dành cho sinh viên khoá:<b>Lớp K55A1T-Học lại</b> Ngành học:<b>Tốn học</b>
Thời gian làm bài<b>90 phút</b> (khơng kể thời gian phát đề)
<b>Câu 1.</b> (a) (3 điểm) Xét ánh xạ T2014 : <i>ϕ</i>(x) 7→ <i>ϕ</i>(x−2014),<i>ϕ</i> ∈ D(<b>R</b>). Chứng minh rằng
T2014 là ánh xạ tuyến tính liên tục từ D(<b>R</b>) vào chính nó. Từ đó, với mỗi f ∈ D0(<b>R</b>), hãy
chứng minh phiếm hàmT2014f : D(<b>R</b>) →<b>C</b>xác định bởi
hT<sub>2014</sub>f,<i>ϕ(</i>x)i =hf,<i>ϕ(</i>x−2014)i,<i>ϕ</i>∈ D(<b>R</b>)
là một hàm suy rộng trên<b>R</b>, nghĩa là f ∈ D0(<b>R</b>).
(b) (4 điểm) Xét ánh xạ f 7→ T2014f, f ∈S0(<b>R</b>).Chứng minh rằng ánh xạ này là ánh xạ tuyến
tính liên tục từ S0(<b>R</b>) vào chính nó. Từ đó hãy tính biến đổi Fourier củaT2014δ với<i>δ</i> là hàm
Dirac trên<b>R</b>.
<b>Câu 2.</b> Chog1: <b>R</b>→<b>R</b>xác định bởi
g1(x) =
(
ex khix <0,
0 khix ≥0.
(a) (3 điểm) Đặtgn =gn−1∗g1,n =2, 3, . . . .Bằng quy nạp, tínhgn và giá suppgn,n≥2.
(b) (2 điểm) Tính biến đổi Fourier F(gn),n = 1, 2, . . . . Từ đó tìm tất cả các số thực s để
g2014 ∈Ws(<b>R</b>).
</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>
<b>ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI</b>
<b>ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN</b>
———————–
<b>ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM</b>
<b>ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KÌ II, NĂM HỌC 2013-2014</b>
<b>Môn thi: Hàm suy rộng</b>
Mã môn học:<b>MAT3014</b> Số tín chỉ:<b>2</b> Đề số:<b>1</b>
Dành cho sinh viên khố:<b>Lớp K55A1T-Học lại</b> Ngành học:<b>Tốn học</b>
<b>Lời giải 1</b>. [<b>7</b>điểm]
(a) Lấy<i>ϕ</i>∈ D(<b>R</b>)có
- supp<i>ϕ</i>(x−2014) =supp<i>ϕ</i>+2014,
-Dk<i>ϕ</i>(x−2014) = (Dk<i>ϕ</i>)(x−2014)
nênT2014<i>ϕ</i>∈ D(<b>R</b>). <b>1</b>
Kiểm tra tính tuyến tính củaT2014.
Kiểm tra tính liên tục dãy tại gốc, nghĩa là với dãy cóD− lim
n→∞<i>ϕ</i>n =0cần chỉ ra
D− lim
n→∞T2014<i>ϕ</i>n=0.
<b>1.5</b>
Kiểm tra tính tuyến tính củaT2014f.
Kiểm tra tính liên tục dãy tại gốc củaT2014f, nghĩa là với dãy cóD− lim
n→∞<i>ϕ</i>n=0cần chỉ ra
lim
n→∞hT2014f,<i>ϕ</i>ni=0.
<b>0.5</b>
(b) Lấy f ∈S0(<b>R</b>).CóT2014f ∈ D0(<b>R</b>), theo câu (a).
Chỉ raC>0vàm∈<b>N</b>để có
|hT2014f,<i>ϕ</i>i| ≤Csup
x∈<b>R</b>
(1+|x|2<sub>)</sub>m
∑
mk=0
|Dk<i>ϕ</i>(x)|,∀<i>ϕ</i>∈ D(<b>R</b>).
<b>1</b>
Kiểm tra tính tuyến tính, nghĩa làT2014(<i>α</i>f+<i>β</i>g) =<i>α</i>T2014f+<i>β</i>T2014g.
Kiểm tra tính liên tục dãy, nghĩa là với dãy cóS0<sub>−</sub> lim
n→∞fn =0cần chỉ ra
-D0
−<sub>n</sub>lim<sub>→</sub><sub>∞</sub>T2014fn=0,
- cóC>0,m∈<b>N</b>để
|hT2014fn,<i>ϕ</i>i| ≤Csup
x∈<b>R</b>
(1+|x|2)m
m
∑
k=0
|Dk<i>ϕ</i>(x)|,∀<i>ϕ</i>∈ D(<b>R</b>),∀n∈<b>N.</b>
<b>1.5</b>
Có<i>δ</i>∈S0(<b>R</b>)nênT2014<i>δ</i>∈ S0(<b>R</b>).Do đó, với<i>ϕ</i>∈S(<b>R</b>)có
hF(T2014<i>δ</i>),<i>ϕ</i>i=hT2014<i>δ</i>,F<i>ϕ</i>(x)i=h<i>δ</i>,F<i>ϕ</i>(x−2014)i= F<i>ϕ</i>(−2014).
Khi đóF(T2014<i>δ</i>)(<i>ξ</i>) = (2<i>π</i>)
−1/2<sub>e</sub>2014i<i>ξ</i><sub>.</sub>
<b>1.5</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>
<b>Lời giải 2</b>. [<b>5</b>điểm]
(a) Dog1 ∈ L1(<b>R</b>)nên
g2(x) =g1∗g1(x) =
0 khix>0,
0
R
x
ex−yeydy=−xex khix≤0.
Dog2là hàm liên tục nên suppg2 = (−∞, 0].
<b>2</b>
Bằng quy nạp, vớin>2,có
gn(x) =gn−1∗g1(x) =
0 khix>0,
0
R
x
ex−y(<sub>(n</sub>−<sub>−</sub>y)<sub>2</sub>n−<sub>)</sub><sub>!</sub>2eydy= (−x)
n−1
(n−1)!e
x <sub>khi</sub><sub>x</sub><sub>≤</sub><sub>0.</sub>
Dogn,n≥2,là hàm liên tục nên suppgn= (−∞, 0].
<b>1</b>
Dog1 ∈ L1(<b>R</b>)nênFg1(<i>ξ</i>) = (2<i>π</i>)−1/2R
<b>R</b>
e−ix<i>ξ</i><sub>g</sub>
1(x)dx =
(2<i>π</i>)−1/2
1−i<i>ξ</i> . <b>1</b>
Bằng quy nạp có
F(gn)(<i>ξ</i>) = (2<i>π</i>)(n−1)/2(Fg1(<i>ξ</i>))n= (2<i>π</i>)
−n/2
(1−i<i>ξ</i>)n.
<b>0.5</b>
Khi đó Z
<b>R</b>
(1+|<i>ξ</i>|2)s|F(g2014)(<i>ξ</i>)|2d<i>ξ</i> = (2<i>π</i>)2014
Z
<b>R</b>
(1+|<i>ξ</i>|2)s−2014d<i>ξ</i>.
Do đóg2014 ∈Ws(<b>R</b>)khi và chỉ khis<2014−1/2.
<b>0.5</b>
Hà nội, ngày 23 tháng 04 năm 2014
NGƯỜI LÀM ĐÁP ÁN
(ký và ghi rõ họ tên)
TS. Đặng Anh Tuấn
</div>
<!--links-->
