bài tập giữa kỳ lớp toán liên thông đh huế – maths life

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>BÀI TẬP GIỮA KỲ - LỚP TOÁN LIÊN THÔNG ĐHSP HUẾ</b>

1. Cho ánh xạ <i>f</i>:<i>U →V</i> , chứng minh 2 điều kiện sau
<i>i</i>)<i>f</i>₍<i>u</i>₁+<i>u</i>₂₎=<i>f</i>₍<i>u</i>₁₎+<i>f</i> ₍<i>u</i>₂₎ ∀<i>u</i>_1,<i>u</i>₂∈<i>U</i>

<i>ii</i>)<i>f</i>(<i>α u</i>)=<i>α f</i>(<i>u</i>) ∀<i>α</i>∈<i>K , u</i>∈<i>U</i>

tương đương với: <i>f</i>(<i>α u</i>₁+<i>u</i>₂)=<i>α f</i>(<i>u</i>₁)+<i>f</i>(<i>u</i>₂) ∀<i>α</i>∈<i>K ,</i> ∀<i>u</i>_1,<i>u</i>₂∈<i>U</i> .

2. <b>Định lý về số chiều:</b> Cho f là axtt từ KGVT n chiều U vào V, chứng minh rằng
<i>dim</i>(<i>Imf</i>)+<i>dim</i>(<i>kerf</i>)=<i>dim U</i>=<i>n</i>

3. Cho <i>f</i>∈<i>L</i>(<i>V</i>) là tự đồng cấu trong không gian hữu hạn chiều V. Chứng minh các

mệnh đề sau tương tương
a) <i>Imf</i>2

=<i>Imf</i>

b) <i>Imf</i>+<i>ker f</i>=V

c) <i>Imf ∩ kerf</i>={0}

4. Cho p(x) là đa thức tối tiểu của ánh xạ tuyến tính f, nghĩa là p(x) khác 0 và có bậc
nhỏ nhất thỏa <i>p</i>(<i>f</i>)=0 . Chứng minh rằng nếu đa thức g(x) thỏa <i>g</i>(<i>f</i>)=0 thì g(x) chia
hết cho p(x).

5. Cho <i>f</i>∈<i>L(V</i>)<i>,</i> chứng minh các không gian: <i>Imf , Kerf , E(λ)={v</i>∈V:<i>f</i>(<i>v</i>)=λ<i>v</i>} là
không gian con f-ổn định của V.

6. Chứng minh các cấu trúc của kgvt V cho dưới đây là không gian Euclide

<i>V</i>=<i>Mn</i>(<i>R</i>) là không gian các ma trận vuông thực cấp n,

∀<i>A , B</i>∈<i>V ,</i>⟨<i>A , B</i>⟩=<i>trace</i>(<i>ABt</i>

) ,

trong đó trace(A) là vết của ma trận A bằng tổng các phần tử trên đường chéo chính.
2)<i>V</i>={

∑

<i>n</i>=0

+∞

<i>x_n</i>: <i>x_n</i>∈<i>R và</i>

∑

<i>n</i>=0

+∞

<i>x_n</i>2 <i>h iộ</i> <i>tụ</i>}<i>,</i>

⟨

∑

<i>n</i>=0

+∞

<i>x_n,</i>

∑

<i>n</i>=0

+∞

<i>y_n</i>

⟩

=

∑

<i>n</i>=0

+∞

<i>λ_nx_ny_n</i> ,
trong đó {<i>λ_n</i>} _{là dãy số thực dương và bị chặn cho trước.}

3) Xác định a, b, c, d sao cho

⟨<i>x , y</i>⟩=<i>a x</i>1<i>y</i>1+<i>b x</i>2<i>y</i>2+<i>cx</i>1<i>y</i>2+<i>d x</i>2<i>y</i>1,∀<i>x</i>=(<i>x</i>1<i>, x</i>2)<i>, y</i>=(<i>y</i>1,<i>y</i>2)∈<i>R</i>2
là một tích vơ hướng trên <i>R</i>2 _.

7. Cho A, B là tập hợp con của không gian vecto Euclide V. CMR:

1) Tập hợp <i>AL</i> (phần bù trực giao của A) là không gian vecto con của V.
2) Nếu <i>A</i>⊂<i>B thì AL</i>⊃<i>BL.</i>

3) <i>A ∩ AL</i>_⊂

{0}<i>.</i>

</div>

<!--links-->