Mệnh đề và mệnh đề chứa biến – Chuyên đề đại số 10 - Hoc360.net

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí </b>

<b>§1. MỆNH ĐỀ VÀ MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN </b>
<b>A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT </b>

<b>1.Định nghĩa:</b>

<i><b>Mệnh đề</b></i> là một câu khẳng định <i><b>Đúng</b></i> hoặc <i><b>Sai</b></i> .
Một mệnh đề không thể vừa đúng hoặc vừa sai

<b>2.Mệnh đề phủ định:</b>

Cho mệnh đề <i>P</i> . Mệnh đề “Không phải <i>P</i> ” gọi là <i><b>mệnh đề phủ định</b></i> của <i>P</i>.
Ký hiệu là <i>P</i> . Nếu P đúng thì <i>P</i> sai, nếu <i>P</i> sai thì <i>P</i> đúng

<b>3. Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo </b>

Cho hai mệnh đề <i>P</i> và <i>Q</i>. Mệnh đề "nếu <i>P</i> thì <i>Q</i>" gọi là <i><b>mệnh đề kéo theo</b></i>
Ký hiệu là <i>P</i> <i>Q</i>. Mệnh đề <i>P</i> <i>Q</i> chỉ sai khi P đúng Q sai

Cho mệnh đề <i>P</i> <i>Q</i>. Khi đó mệnh đề <i>Q</i> <i>P</i> gọi là <i><b>mệnh đề đảo</b></i> của <i>Q</i> <i>P</i>

<b>4. Mệnh đề tương đương </b>

Cho hai mệnh đề <i>P</i> và <i>Q</i>. Mệnh đề "<i>P</i> nếu và chỉ nếu <i>Q</i>" gọi là <i><b>mệnh đề tương đương</b></i>
Ký hiệu là <i>P</i> <i>Q</i>.

Mệnh đề <i>P</i> <i>Q</i> đúng khi cả <i>P</i> <i>Q</i> và <i>Q</i> <i>P</i> cùng đúng

<i><b>Chú ý:</b></i> "Tương đương" còn được gọi bằng các thuật ngữ khác như "điều kiện cần và đủ", "khi
và chỉ khi", "nếu và chỉ nếu".

<b>5. Mệnh đề chứa biến </b>

Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập

<i>X</i>

nào đó mà với mỗi giá trị của biến thuộc

<i>X</i>

ta được một mệnh đề.

Ví dụ: <i>P n</i> : "<i>n</i> chia hết cho 5" với <i>n</i> là số tự nhiên

;

<i>P x y</i> :"2<i>x</i> <i>y</i> 5" Với <i>x y</i>, là số thực

<b>6. Các kí hiệu </b> <b>, và mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu </b> <b>, . </b>

Kí hiệu : đọc là với mọi, : đọc là tồn tại

Phủ định của mệnh đề “ <i>x</i> <i>X P x</i>, ” là mệnh đề “ <i>x</i> <i>X P x</i>, ( )”
Phủ định của mệnh đề “ <i>x</i> <i>X P x</i>, ” là mệnh đề “ <i>x</i> <i>X P x</i>, ( )”

<b>B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. </b>

➢ <b>DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH MỆNH ĐỀ VÀ TÍNH ĐÚNG SAI CỦA MỆNH ĐỀ </b>
<b>. </b>

<b>1. Các ví dụ minh họa. </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí </b>

(1) Ở đây đẹp quá!

(2) Phương trình <i>x</i>2 3<i>x</i> 1 0 vô nghiệm
(3) 16 không là số nguyên tố

(4) Hai phương trình <i>x</i>2 4<i>x</i> 3 0 và <i>x</i>2 <i>x</i> 3 1 0 có nghiệm chung.
(5) Số có lớn hơn 3 hay khơng?

(6) Italia vô địch Worldcup 2006

(7) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.

(8) Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vng góc với nhau.

<i><b>Lời giải </b></i>

Câu (1) và (5) không là mệnh đề(vì là câu cảm thán, câu hỏi)
Các câu (3), (4), (6), (8) là những mệnh đề đúng

Câu (2) và (7) là những mệnh đề sai.

<b>Ví dụ 2: </b>Cho ba mệnh đề sau, với <i>n</i> là số tự nhiên
(1) <i>n</i> 8 là số chính phương

(2) Chữ số tận cùng của <i>n</i> là 4
(3) <i>n</i> 1 là số chính phương

Biết rằng có hai mệnh đề đúng và một mệnh đề sai. Hãy xác định mệnh đề nào, đúng mệnh đề
nào sai

<i><b>Lời giải </b></i>

Ta có số chính phương có các chữ số tận cùng là0, 1, 4, 5, 6, 9. Vì vậy

- Nhận thấy giữa mệnh đề (1) và (2) có mâu thuẫn. Bởi vì, giả sử 2 mệnh đề này đồng thời là
đúng thì <i>n</i> 8 có chữ số tận cùng là 2 nên khơng thể là số chính phương. Vậy trong hai
mệnh đề này phải có một mệnh đề là đúng và một mệnh đề là sai.

- Tương tự, nhận thấy giữa mệnh đề (2) và (3) cũng có mâu thuẫn. Bởi vì, giả sử mệnh đề này
đồng thời là đúng thì <i>n</i> 1 có chữ số tận cùng là 3 nên khơng thể là số chính phương.

Vậy trong ba mệnh đề trên thì mệnh đề (1) và (3) là đúng, còn mệnh đề (2) là sai.

<b>2. Bài tập luyện tập. </b>

<b>Bài 1.0: </b>Các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề? Nếu là mệnh

đề hay cho biết mệnh đề đó đúng hay sai.
a) Khơng được đi lối này!

b) Bây giờ là mấy giờ?

c) Chiến tranh thế giới lần thứ hai kết thúc năm 1946.
d) 16 chia 3 dư 1.

e) 2003 không là số nguyên tố.
f) 5là số vô tỉ.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí </b>

<b>Bài 1.1: </b>Tại Tiger Cup 98 có bốn đội lọt vào vòng bán kết: Việt Nam, Singapor, Thái Lan và

Inđơnêxia. Trước khi thi đấu vịng bán kết, ba bạn Dung, Quang, Trung dự đoán như sau:

<i>Dung:</i> Singapor nhì, cịn Thái Lan ba.

<i>Quang:</i> Việt Nam nhì, cịn Thái Lan tư.

<i>Trung</i>: Singapor nhất và Inđơnêxia nhì.

Kết quả, mỗi bạn dự đoán đúng một đội và sai một đội. Hỏi mỗi đội đã đạt giải mấy?

➢ <b>DẠNG TOÁN 2: CÁC PHÉP TOÁN VỀ MỆNH ĐỀ . </b>

<i>Các phép toán mệnh đề được sử dụng nhằm mục đích kết nối các mệnh đề lại với nhau </i>
<i>tạo ra một mệnh đề mới. Một số các phép toán mệnh đề là : Mệnh đề phủ định(phép phủ </i>
<i>định), Mệnh đề kéo theo(phép kéo theo), mệnh đề đảo, mệnh đề tương đương(phép tương </i>
<i>đương). </i>

<b>1. Các ví dụ minh họa. </b>

<b>Ví dụ 1</b>: Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau, cho biết mệnh đề này đúng hay sai?

:

<i>P</i> " Hình thoi có hai đường chéo vng góc với nhau"

:

<i>Q</i> " 6 là số nguyên tố"

:

<i>R</i> " Tổng hai cạnh của một tam giác lớn hơn cạnh còn lại"

:

<i>S</i> " 5 3"

:

<i>K</i> " Phương trình <i>x</i>4 2<i>x</i>2 2 0 có nghiệm "

:
<i>H</i> "

2

3
3 12 "

<i><b>Lời giải </b></i>

Ta có các mệnh đề phủ định là

:

<i>P</i> " Hai đường chéo của hình thoi khơng vng góc với nhau", mệnh đề này sai

:

<i>Q</i> " 6 không phải là số nguyên tố", mệnh đề này đúng

:

<i>R</i> " Tổng hai cạnh của một tam giác nhỏ hơn hoặc bằng cạnh còn lại", mệnh đề này sai

:

<i>S</i> " 5 3", mệnh đề này sai

:

<i>K</i> " phương trình <i>x</i>4 2<i>x</i>2 2 0 vơ nghiệm ", mệnh đề này đúng vì

2

4 ₂ 2 ₂ 2 ₁ ₁ ₀

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

:

<i>H</i> " 3 12 2 3 ", mệnh đề này sai

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí </b>

b) <i>P</i> : "2 9" và <i>Q</i> : " 4 3 "

c) <i>P</i> : " Tam giác <i>ABC</i> vuông cân tại A" và <i>Q</i> : " Tam giác <i>ABC</i> có <i>A</i> 2<i>B</i> "

d) <i>P</i> :" Ngày 2 tháng 9 là ngày Quốc Khánh của nước Việt Nam" và <i>Q</i> :" Ngày 27 tháng 7

là ngày thương binh liệt sĩ"

<i><b>Lời giải </b></i>

a) Mệnh đề <i>P</i> <i>Q</i> là " Nếu tứ giác <i>ABCD</i> là hình thoi thì AC và BD cắt nhau tại trung
điểm mỗi đường", mệnh đề này đúng.

Mệnh đề đảo là <i>Q</i> <i>P</i> : "Nếu tứ giác <i>ABCD</i> có AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi
đường thì<i>ABCD</i> là hình thoi ", mệnh đề này sai.

b) Mệnh đề <i>P</i> <i>Q</i> là " Nếu 2 9 thì 4 3", mệnh đề này đúng vì mệnh đề <i>P</i> sai.
Mệnh đề đảo là <i>Q</i> <i>P</i> : " Nếu 4 3 thì 2 9", mệnh đề này đúng vì mệnh đề <i>Q</i> sai.
c) Mệnh đề <i>P</i> <i>Q</i> là " Nếu tam giác <i>ABC</i> vng cân tại A thì <i>A</i> 2<i>B</i> ", mệnh đề này
đúng

Mệnh đề đảo là <i>Q</i> <i>P</i> : " Nếu tam giác <i>ABC</i> có <i>A</i> 2<i>B</i> thì nó vng cân tại A", mệnh
đề này sai

d) Mệnh đề <i>P</i> <i>Q</i> là " Nếu ngày 2 tháng 9 là ngày Quốc Khánh của nước Việt Nam thì
ngày 27 tháng 7 là ngày thương binh liệt sĩ"

Mệnh đề đảo là <i>Q</i> <i>P</i> : " Nếu ngày 27 tháng 7 là ngày thương binh liệt sĩ thì ngày 2 tháng
9 là ngày Quốc Khánh của nước Việt Nam"

Hai mệnh đề trên đều đúng vì mệnh đề <i>P Q</i>, đều đúng

<b>Ví dụ 3</b>: Phát biểu mệnh đề <i>P</i> <i>Q</i> bằng hai cách và và xét tính đúng sai của nó
a) <i>P</i> : "Tứ giác <i>ABCD</i> là hình thoi" và <i>Q</i> :" Tứ giác <i>ABCD</i> là hình bình hành có hai
đường chéo vng góc với nhau"

b) <i>P</i> : " Bất phương trình <i>x</i>2 3<i>x</i> 1 có nghiệm" và <i>Q</i> : " 1 2 3. 1 1 "

<i><b>Lời giải </b></i>

a) Ta có mệnh đề <i>P</i> <i>Q</i> đúng vì mệnh đề <i>P</i> <i>Q Q</i>, <i>P</i> đều đúng và được phát biểu
bằng hai cách như sau:

"Tứ giác <i>ABCD</i> là hình thoi khi và chỉ khi tứ giác <i>ABCD</i> là hình bình hành có hai đường
chéo vng góc với nhau" và

"Tứ giác <i>ABCD</i> là hình thoi nếu và chỉ nêu tứ giác <i>ABCD</i> là hình bình hành có hai đường
chéo vng góc với nhau"

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí </b>

" Bất phương trình <i>_x</i>2 ₃<i>_x</i> ₁

có nghiệm khi và chỉ khi 1 2 3. 1 1" và
" Bất phương trình <i>_x</i>2 ₃<i>_x</i> ₁

có nghiệm nếu và chỉ nếu 1 2 3. 1 1"

<b>3. Bài tập luyện tập. </b>

<b>Bài 1.2: </b>Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau, cho biết mệnh đề này đúng hay sai?
:

<i>P</i> " Trong tam giác tổng ba góc bằng 1800"

:

<i>Q</i> " 3 27 2 là số nguyên "

:

<i>R</i> " Việt Nam vô địch Worldcup 2020"

:

<i>S</i> " 5 2

2 "
:

<i>K</i> " Bất phương trình <i>x</i>2013 2030 vơ nghiệm "

<b>Bài 1.3: </b>Phát biểu mệnh đề <i>P</i> <i>Q</i> và phát biểu mệnh đề đảo, xét tính đúng sai của nó.
a) <i>P</i> : " Tứ giác <i>ABCD</i> là hình chữ nhật" và <i>Q</i> : "Tứ giác <i>ABCD</i> có hai đường thẳng AC
và BD vng góc với nhau"

b) <i>P</i> : " 3 2 " và

3 3

: " 3 2 "

<i>Q</i>

c) <i>P</i> : " Tam giác <i>ABC</i> có <i>A</i> <i>B</i> <i>C</i> " và <i>Q</i> : " Tam giác <i>ABC</i> có

2 2 2

<i>BC</i> <i>AB</i> <i>AC</i> "

d) <i>P</i> :"Tố Hữu là nhà Toán học lớn của Việt Nam" và <i>Q</i> :"Évariste Galois là nhà Thơ lỗi lạc
của Thế giới "

<b>Bài 1.4: </b>Phát biểu mệnh đề <i>P</i> <i>Q</i> bằng hai cách và và xét tính đúng sai của nó
a) Cho tứ giác ABDC. Xét hai mệnh đề

P: " Tứ giác ABCD là hình vng".

Q: " Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo bằng vng góc với nhau ".
b) P: " Bất phương trình <i>x</i>2 3<i>x</i> 1 0 có nghiệm" và Q: " Bất phương trình

2 ₃ ₁ ₀

<i>x</i> <i>x</i> vơ nghiệm"

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí </b>

A : “Nếu ABC đều có cạnh bằng a, đường cao là h thì h = 3

2
<i>a</i>

” ;
B : “Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình vng” ;

C : “15 là số nguyên tố” ;

D : “ 125 là một số nguyên”.

a) Hãy cho biết trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai : A B, A D, B
C.

b) Hãy cho biết trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai : A B, B C, B
D.

<b>Bài 1.6: </b>Hãy phát biểu mệnh đề kéo theo <i>P</i> <i>Q Q</i>, <i>P</i> và xét tính đúng sai của mệnh đề
này.

a) Cho tứ giác ABCD và hai mệnh đề:

P: " Tổng 2 góc đối của tứ giác lồi bằng 1800_{" và Q: " Tứ giác nội tiếp được đường tròn ".}

b) P : " 2 3 1" và Q: "

2 2

2 3 1 "

➢ <b>DẠNG TOÁN 3: MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN VÀ MỆNH ĐỀ CHỨA KÍ HIỆU </b> ,
<b>. </b>

<b>1. Các ví dụ minh họa. </b>

<b>Ví dụ 1</b>: Cho mệnh đề chứa biến "<i>_{P x}</i> _:<i>_x</i> <i>_x</i>3_{" , xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:}

a) <i>P</i> 1 b) 1

3

<i>P</i> c) <i>x</i> <i>N P x</i>, d) <i>x</i> <i>N P x</i>,

<i><b>Lời giải </b></i>

a) Ta có <i>P</i> 1 : 1 13 đây là mệnh đề sai
b) Ta có

3

1 1 1

:

3 3 3

<i>P</i> đây là mệnh đề đúng

c) Ta có <i>x</i> <i>N x</i>, <i>x</i>3 là mệnh đề sai vì <i>P</i> 1 là mệnh đề sai

d) Ta có <i>x</i> <i>N x</i>, <i>x</i>3 là mệnh đề đúng vì <i>x</i> <i>x</i>3 <i>x</i> 1 <i>x</i> 1 <i>x</i> 0 với mọi số
tự nhiên.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí </b>

b) Với mọi số thực bình phương của là một số khơng âm.
c) Có một số ngun mà bình phương của nó bằng chính nó.
d) Có một số hữu tỉ mà nghịch đảo của nó lớn hơn chính nó.

<i><b>Lời giải</b></i>

a) Ta có <i>P</i> : <i>n</i> <i>N n n</i>, 1 <i>n</i> 2 6, mệnh đề phủ định là

: , 1 2

<i>P</i> <i>n</i> <i>N n n</i> <i>n</i> 6.

b) Ta có <i>Q</i> : <i>x</i> , <i>x</i>2 0, mệnh đề phủ định là <i>Q</i> : <i>x</i> , <i>x</i>2 0
c) Ta có <i>R</i> : <i>n</i> <i>Z n</i>, 2 <i>n</i> , mệnh đề phủ định là <i>R</i> : <i>n</i> <i>Z n</i>, 2 <i>n</i>.
d) <i>q</i> <i>Q</i>, 1 <i>q</i>

<i>q</i> , mệnh đề phủ định là

1
,

<i>q</i> <i>Q</i> <i>q</i>

<i>q</i> .

<b>Ví dụ 3</b>: Xác định tính đúng sai của mệnh đề sau và tìm phủ định của nó :
a) A : " <i>x</i> <i>R x</i>, 2 0 "

b) B: " Tồn tại số tự nhiên đều là số nguyên tố".
c) C : " <i>x</i> <i>N</i>, <i>x</i> chia hết cho <i>x</i> 1 "
d) D: " <i>n</i> <i>N n</i>, 4 <i>n</i>2 1 là hợp số "
e) E: " Tồn tại hình thang là hình vng ".

f) F: " Tồn tại số thực <i>a</i> sao cho 1 1 2

1
<i>a</i>

<i>a</i> "
<i><b>Lời giải </b></i>

a) Mệnh đề A đúng và <i>_A</i>_: <i>_x</i> <i>_{R x}</i>_, 2 ₀

b) Mệnh đề B đúng và <i>B</i> : "Với mọi số tự nhiêu đều không phải là số nguyên tố"
c) Mệnh đề C sai và <i>C</i> : " <i>x</i> <i>N x</i>, <i>x</i> 1 "

d) Mệnh đề D sai vì với <i>n</i> 2 ta có <i>n</i>4 <i>n</i>2 1 13 khơng phải là hợp số
Mệnh đề phủ định là <i>D</i> : " <i>n</i> <i>N n</i>, 4 <i>n</i>2 1 là số số nguyên tố"

e) Mệnh đề E đúng và <i>E</i> : " Với mọi hình thang đều khơng là hình vuông ".

f) Mệnh đề F đúng và mệnh đề phủ định là <i>F</i> : " Với mọi số thực <i>a</i> thì 1 1 2

1
<i>a</i>

<i>a</i> "
<b>2. Bài tập luyện tập. </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí </b>

mệnh đề sai.

a) <i>P x</i> : "<i>x</i> <i>R x</i>, 2 2<i>x</i> 0 "

b) <i>Q n</i> : "n chia hết cho 3, với <i>n</i> <i>N</i>".
c) R <i>x</i> : " 4<i>x</i>2 4<i>x</i> 1 0 với <i>x</i> "

<b>Bài 1.8:</b> Xét đúng (sai) mệnh đề và phủ định các mệnh đề sau :
a) <i>x</i> , <i>x</i>3 <i>x</i>2 1 0 b)

4 2 2 2

, 1 3 1 3 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

c) <i>x</i> <i>N n</i>, 2 3 chia hết cho 4 d) <i>q</i> <i>Q q</i>, 2 2 1 0
e) <i>n</i> <i>N n n</i>, 1 là một số chính phương

<b>Bài 1.9: </b>Xác định tính đúng - sai của các MĐ sau :

2

) , 2 4

<i>a x</i> <i>R x</i> <i>x</i> <i>b x</i>) <i>R x</i>, 2 <i>x</i>2 4

2

) , 4 2

<i>c x</i> <i>R x</i> <i>x</i> <i>d x</i>) <i>N x</i>, 2 <i>x</i>2 4
e) <i>m n</i>, , <i>m</i>và <i>n</i>là các số lẻ <i>m</i>2 <i>n</i>2 là số chẵn.

<b>Bài 1.10:</b> a) Với <i>n</i> , cho mệnh đề chứa biến <i>P n</i>( ) : "<i>n</i>2 2 chia hết cho 4”. Xét tính
đúng sai của mệnh đề <i>P</i>(2007).

b) Xét tính đúng sai của mệnh đề <i>P</i>(<i>n</i>) : “ *,1 ( 1)
2

<i>n</i> <i>n n</i> chia hết cho 11”.

<b>Bài 1.11: </b>a) Cho mệnh đề P : "Với mọi số thực x, nếu x là số hữu tỉ thì 2x là số hữu tỉ".

Dùng kí hiệu viết P, <i>P</i> và xác định tính đúng - sai của nó.

b) Phát biểu MĐ đảo của P và chứng tỏ MĐ đó là đúng. Phát biểu MĐ dưới dang MĐ tương
đương

<b>Bài 1.12: </b>Cho số tự nhiên n. Xét hai mệnh đề chứa biến :

A(n) : "n là số chẵn", B(n) : "n2_{là số chẵn".}

a) Hãy phát biểu mệnh đề A(n) B(n). Cho biết mệnh đề này đúng hay sai ?
b) Hãy phát biểu mệnh đề “ <i>n</i> , ( )<i>B n</i> <i>A n</i>( )”.

c) Hãy phát biểu mệnh đề “ <i>n</i> , ( )<i>A n</i> <i>B n</i>( )”.

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí </b>

</div>

<!--links-->
BPT và Hệ BPT bậc nhất 2 ẩn Đại số 10 NC

• 9
• 800
• 0